Παρασκευή, 23 Ιουλίου 2021

Ελάχιστη εισαγωγή βάσης = παράδοξα;

Όπως κάθε νέο σύστημα ελέγχεται στην εκτέλεσή του και στα αποτελέσματα έτσι και στην Ε.Β.Ε. παρουσιάζονται κάποιες παθογένειες όπως θα περιγράψουμε παρακάτω.

Η ανάλυση που θα κάνουμε αφορά τα Μαθηματικά τμήματα που είναι το κύριο θέμα του blog. 

Ας δούμε δύο (ακραία) υποθετικά σενάρια με την Ε.Β.Ε (Ελάχιστης Βάσης Εισαγωγής) για την εισαγωγή υποψηφίου στο Μαθηματικό Αθήνας.

Τα παρακάτω το εμπνεύστηκα από κάποιες δημοσιεύσεις που κυκλοφορούν στο διαδίκτυο. Το πρόγραμμα που χρησιμοποίησα για την εύρεση μορίων και την εύρεση μέσου όρου των βαθμών είναι εδώ. Όσο για την Ε.Β.Ε. για τα μαθηματικά τμήματα μπορείτε να δείτε εδώ.

Α) Υποθετικό σενάριο

Έχουμε δύο υποψήφιους που θέλουν να δηλώσουν πρώτη σχολή το Μαθηματικό τμήμα Αθήνας. Ας δούμε τους βαθμούς τους στον παρακάτω πίνακα.


Β) Ερμηνεία

1) Ποια είναι η Ε.Β.Ε. του Μαθηματικού Αθήνας;

Σύμφωνα με τους πίνακες που δημοσίευσε το Υπουργείο Παιδείας η Ε.Β.Ε (η ελάχιστη βάση) για το Μαθηματικό Αθήνας ορίστηκε στο 14,38.

2) «ΝΑΙ» - «ΟΧΙ»;

Αν ο υποψήφιος έχει μέσο όρο πάνω από την Ε.Β.Ε. τότε εμφανίζεται η σχολή στο σύστημα, άρα στην τελευταία γραμμή σημειώνουμε το «ΝΑΙ».

Αν ο υποψήφιος ΔΕΝ έχει μέσο όρο πάνω από την Ε.Β.Ε., τότε δεν του εμφανίζεται η σχολή στο σύστημα, άρα στην τελευταία γραμμή σημειώνουμε το «ΟΧΙ».

3) Που τελικά εισάγεται ο υποψήφιος;

Δεν πρέπει να συγχέουμε την συμπλήρωση του μηχανογραφικού με την επιτυχία – εισαγωγή του υποψήφιου στη σχολή. Τα τελικά αποτελέσματα θα ανακοινωθούν, όπως κάθε χρόνο στο τέλος Αυγούστου. Ένα είναι το σίγουρο, ότι ο μαθητής Α δεν διεκδικεί θέσεις στο Μαθηματικό τμήμα και ας έγραψε άριστα! Ενώ ο μαθητής Β, ενώ έγραψε κάτω από τη βάση, έχει δικαίωμα στο όνειρο! Μπορεί να ελπίζει! 

Γ) Ο Ευκλείδης και ο Αρχιμήδης συζητούν για την Ε.Β.Ε.!

Ας διαβάσουμε καλύτερα τον διάλογο του Ευκλείδη με τον Αρχιμήδη! Νομίζω ότι οι αγαπητοί μας φανταστικοί φίλοι τα λένε όλα!

Ενώ οι δύο φίλοι κάνουν τις βόλτες τους στον παραλιακό δρόμο του Κιάτου έχουν πιάσει σχετική συζήτηση για τα μαθηματικά και φυσικά για το θέμα των ημερών που δεν είναι ο Αντετοκούμπο, ούτε η ήττα της ΑΕΚ με 2 - 1, αλλά η Ε.Β.Ε. 


Ας τους απολαύσουμε!


Ευκλείδης: Ποια είναι η άποψή σου Αρχιμήδη για την Ε.Β.Ε.;

Αρχιμήδης: Έχει προβλήματα... πρέπει να την αποσύρουν το συντομότερο!

Ευκλείδης: Γιατί; 

Αρχιμήδης: Μπες στο lisari και δες το παράδοξο με τον μαθητή που γράφει 19 και δεν μπορεί καν να επιλέξει το Μαθηματικό Αθήνας, ενώ ο μαθητής που έχει γράψει κάτω από τη βάση στα Μαθηματικά μπορεί!

Ευκλείδης: Ναι το διάβασα, αλλά δεν λέει όλη την αλήθεια!

Αρχιμήδης: Γιατί; 

Ευκλείδης: Γιατί και ο 2ος μαθητής που θα το δηλώσει στο μηχανογραφικό ΔΕΝ σημαίνει ότι σίγουρα θα εισαχθεί στο τμήμα αυτό.

Αρχιμήδης: Έτερον εκάτερον! Τουλάχιστον για τα ειδικά μαθήματα είναι λάθος η Ε.Β.Ε. Εκεί υπάρχει ήδη βάση. Γιατί πρέπει να τη σταθμίσουμε; 

Ευκλείδης: Νομίζω ότι εκεί τους ξέφυγε, δεν έπρεπε να υπολογίζεται η Ε.Β.Ε. στα ειδικά μαθήματα και αυτό φαίνεται ιδίως στους υποψήφιους της Αρχιτεκτονικής σχολής. Άρα ας μείνουμε στα Μαθηματικά τμήματα που είναι το θέμα μας! 

Αρχιμήδης: Ωραία! Και εσύ θεωρείς ότι είναι σωστή; 

Ευκλείδης: Ξέρεις ποια είναι η λογική της Ε.Β.Ε.; 

Αρχιμήδης: Ναι! Να μην περνάει κανείς υποψήφιος με 3.125 στο Μαθηματικό Σάμου όπως έγινε πέρυσι. Δες ανάρτηση στο lisari

Ευκλείδης: Πολύ σωστά!

Αρχιμήδης: Και γιατί Ευκλείδη δεν έθεσαν ως βάση το απόλυτο 10 για όλες τις σχολές και έθεσαν το ποσοστό; 

Ευκλείδης: Η καλύτερη ερώτηση για να σου εξηγήσω πως ξεκίνησε η συζήτηση - έρευνα στο Υπουργείο Παιδείας!

Αρχιμήδης: Σε ακούω! 

ΕυκλείδηςΗ λογική της Ε.Β.Ε. ήταν/είναι η εξής: Δεν πρέπει να επιτρέψουμε σε κανέναν υποψήφιο να εισέλθει στα Μαθηματικά τμήματα (και όχι μόνο) με πολύ χαμηλή βάση όπως έγινε το 2020, όπως πολύ σωστά σημείωσες. Έστω ότι όριζαν ως βάση, σε όλες τις σχολές το 10, τότε αν είχαν θέσει πολύ εύκολα θέματα στις Πανελλήνιες Εξετάσεις η βάση αυτή θα ήταν ένας χαμηλός βαθμός. Αντίθετα, αν είχαν θέσει πιο απαιτητικά θέματα, το 10 θα ήταν ένας πολύ υψηλός βαθμός. Το κατάλαβες;

Αρχιμήδης: Οπότε πήραν ως μέσο όρο όλων των επιδόσεων των υποψηφίων ενός επιστημονικού πεδίου και το πολλαπλασίασαν μεταξύ 80% και 120% , ανάλογα τη σχολή. Σωστά;

Ευκλείδης: Πολύ σωστά!

Αρχιμήδης: Άρα ο μέσος όρος είναι σαν λέμε ότι το μισό σου σώμα βρίσκεσαι μέσα στον φούρνο στους 60 βαθμούς και το άλλο μισό σώμα σου είναι στο ψυγείο και εσύ πρέπει να νιώθεις μια χαρά! 

Ευκλείδης: Τι εννοείς;

Αρχιμήδης: Εννοώ ότι ο μέσος όρος ΔΕΝ δείχνει την ικανότητα του υποψηφίου σε κάποιο μάθημα και για το θέμα μας στα Μαθηματικά! Άρα κάποιος που έχει γράψει καλά εκτός από Μαθηματικά, μπορεί να ελπίζει στο Μαθηματικό τμήμα. Ε;;;

Ευκλείδης: Ναι έχεις δίκιο! Αλλά γιατί να θέλει ένας υποψήφιος με τόσες αδυναμίες να επιλέξει το Μαθηματικό τμήμα; 

Αρχιμήδης: Μάλλον δεν θα το επιλέξει, αλλά εν δυνάμει μπορεί! Άρα η ΕΒΕ πως προστατεύει το κύρος των Πανεπιστημιακών Σπουδών όπως ανακοίνωσε το Υπουργείο Παιδείας; Πώς προστατεύει τον υποψήφιο να επιλέξει σχολή που δεν είναι κατάλληλη γι' αυτόν; Και πώς θα έχουμε καλύτερη ποιότητα μαθημάτων με μαθητές που θα έχουν κάτω από τη βάση; 

Ευκλείδης: Με αυτό το σκεπτικό δεν το προστατεύει.... 

Αρχιμήδης: Α γεια σου!! 

Ευκλείδης: Πάμε για γλυκό ή ποτό; 

Αρχιμήδης: Γλυκό γιατί με φούντωσες πάλι!

Ευκλείδης: Άντε πάμε στο Sorbetto (δες φώτο) κερνάω! Πολλά φαρμάκια είχες σήμερα, ΑΕΚ, Ε.Β.Ε και ακόμα δεν παίξαμε τάβλι!


Τρίτη, 20 Ιουλίου 2021

Η Ελάχιστη Βάση Εισαγωγής (Ε.Β.Ε) στα Μαθηματικά τμήματα - Από 8,27 η ελάχιστη εισαγωγή!

Το Υπουργείο Παιδείας ανακοίνωσε την Ελάχιστη Βάση Εισαγωγής (Ε.Β.Ε) σε όλες τις σχολές. 

Εμείς κρατήσαμε τα μαθηματικά τμήματα για ΓΕΛ και ΕΠΑΛ όπως φαίνονται στις παρακάτω εικόνες. 


Για απευθείας αποθήκευση πατήστε: ΓΕΛ και ΕΠΑΛ (για να δείτε όλες τις Ελάχιστες Βάσεις Εισαγωγής). Τα αρχεία είναι σε μορφή EXCEL. 

Αναλυτικά η διδακτέα - εξεταστέα ύλη των Μαθηματικών της Γ’ τάξης ΓΕΛ - ΕΠΑΛ 2021-2022

Τελευταία επεξεργασία: 20/7/2021

Βγήκε και επίσημα σε ΦΕΚ η διδακτέα - εξεταστέα ύλη των Πανελλαδικώς εξεταζόμενων μαθημάτων για την Γ΄ τάξη για ημερήσια και εσπερινά ΓΕΛ και ΕΠΑΛ 2021 - 2022

Όπως αναμέναμε τελικά δεν εισακούστηκε η άποψή μας για μειωμένη εξ' αρχής ύλη στη Γ Λυκείου. 

Για να δείτε τα ΦΕΚ με την ύλη των Πανελλαδικών Εξετάσεων για όλα τα μαθήματα για το 2021 - 22 πατήστε: ΓΕΛ και ΕΠΑΛ αντίστοιχα. 

Για τα ΓΕΛ και ΕΠΑΛ η ύλη των Μαθηματικών είναι η γνωστή όπως φαίνεται στους παρακάτω πίνακες: 

ΕΠΑΛ

ΓΕΛ

Δευτέρα, 12 Ιουλίου 2021

Το 57,3% συνολικά των μαθητών έγραψε κάτω από τη βάση στα Μαθηματικά

Τελικά τα Στατιστικά του Υπουργείου Παιδείας ανακοινώθηκαν σήμερα Δευτέρα 12 Ιουλίου 2021. 

1) Ας δούμε τα συνοπτικά αποτελέσματα πάνω και κάτω από τη βάση στα Μαθηματικά. 



Συμπεράσματα

1) Το 57,3% συνολικά των μαθητών έγραψε κάτω από τη βάση στα Μαθηματικά! Μια πρόβλεψη που είχαμε αναρτήσει εδώ και μέρες στο lisari. Πέρυσι το αντίστοιχο ποσοστό ήταν 58,84%. 

2) Το 72,76% των μαθητών της Οικονομίας & Πληροφορικής έγραψαν κάτω από την βάση στα Μαθηματικά! Πέρυσι, το αντίστοιχο ποσοστό ήταν 75,59% .


2) Ας δούμε τα αναλυτικά αποτελέσματα για κάθε κλάση χωριστά και για τις δύο ομάδες προσανατολισμού (Ο.Π.)


Συμπεράσματα
1) 38.850 υποψήφιοι εξετάστηκαν συνολικά στα μαθηματικά. Πέρυσι οι μαθητές ήταν 38.440. 

2) Το 47,09% έγραψε κάτω από 5 στην Οικονομία και Πληροφορική! Δηλαδή περίπου οι μισοί δεν έχουν επαφή με το μάθημα! Απλά δηλώνουν παρών. 

3) Αντίθετα, μεταξύ 19 και 20 έγραψαν 1.506 μαθητές συνολικά δηλαδή το 0,85% στην Οικονομία & Πληροφορικής και το 8,88% οι υποψήφιοι των Θετικών Σπουδών! Πολύ μεγάλο ποσοστό! 

4) Τα θέματα ήταν πιο εύκολα από πέρυσι, το αποδεικνύουν και οι βαθμοί, λιγότεροι κάτω από τη βάση και περισσότεροι στην κλίμακα 19 - 20. 


Για να δείτε ΌΛΑ τα στατιστικά από την επίσημη ιστοσελίδα του Υπουργείου Παιδείας πατήστε εδώ.


Για να δείτε τα περσινά Στατιστικά (2020) πατήστε εδώ.


Σημείωση: Οι πρώτες πληροφορίες λένε ότι θα ανοίξουν - κλείσουν  τα μηχανογραφικά από 19 ή 20 Ιουλίου με 30 Ιουλίου περίπου. Αναμένουμε τις επίσημες ανακοινώσεις. 

Κυριακή, 11 Ιουλίου 2021

Το νέο Διοικητικό Συμβούλιο της Ε.Μ.Ε.

Το νέο Δ.Σ. της Ελληνικής Μαθηματικής Εταιρείας (Ε.Μ.Ε.), που προέκυψε από τις αρχαιρεσίες της Κυριακής 27 Ιουνίου 2021 συγκροτήθηκε σε σώμα στις 9-7-2021 με την παρακάτω σύνθεση:


Μέλη Διοικητικού Συμβουλίου

Δ.Σ. ΕΜΕ 2021 - 2023

Πρόεδρος : Ιωάννης Εμμανουήλ, Καθηγητής Πανεπιστημίου Αθηνών (ΕΚΠΑ)                                       

Α’ Αντιπρόεδρος: Αλέξανδρος Παπαϊωάννου, τέως Καθηγητής ΣΕΜΦΕ, ΕΜΠ

Β’ Αντιπρόεδρος: Εμμανουήλ Κρητικός, Αναπληρωτής Καθηγητής Ο.Π.Α


Γενικός Γραμματέας : Ιωάννης Τυρλής, Καθηγητής Δευτεροβάθμιας Εκπαίδευσης

Ταμίας: Γεώργιος Μπαραλής, Καθηγητής ΠΤΔΕ/ ΕΚΠΑ

Ειδικός Γραμματέας: Ευάγγελος Ζώτος, Καθηγητής Δευτεροβάθμιας Εκπαίδευσης

Έφορος Βιβλιοθήκης: Μιχαήλ Χρυσοβέργης, Επίτιμος Σχολικός Σύμβουλος


Μέλη : Κωνσταντίνος Καραμπάτσας, Καθηγητής Δευτεροβάθμιας Εκπαίδευσης

  Στέφανος Κεΐσογλου, τ. Σχολικός Σύμβουλος

  Σπυρίδων Φερεντίνος, τ. Σχολικός Σύμβουλος

  Κωνσταντίνος Παπαδόπουλος, Καθηγητής Δευτεροβάθμιας Εκπαίδευσης

  Παναγιώτης Στεφανής, Καθηγητής Φροντιστηριακής Εκπαίδευσης

  Αθηνά Καλαμπόκα, Καθηγήτρια Φροντιστηριακής Εκπαίδευσης

  Βασίλειος Νεστορίδης, Καθηγητής Πανεπιστημίου Αθηνών

  Στυλιανός Μαρίνης, Καθηγητής Δευτεροβάθμιας Εκπαίδευσης

    

Μέλη Εξελεγκτικής Επιτροπής

Η σύνθεση της Εξελεγκτικής Επιτροπής της Ελληνικής Μαθηματικής Εταιρείας (Ε.Μ.Ε.), που προέκυψε από τις αρχαιρεσίες της Κυριακής 27 Ιουνίου 2021 συγκροτήθηκε σε σώμα στις 9-7-2021 με την παρακάτω σύνθεση 


Πρόεδρος: Φελλούρης Ανάργυρος,  Ομότιμος Καθηγητής Εθνικού Μετσόβιου Πολυτεχνείου

Μέλη: Δρούτσας Παναγιώτης, Καθηγητής Φροντιστηριακής Εκπαίδευσης

  Κουνιάς Ευστράτιος, Ομότιμος Καθηγητής Πανεπιστημίου Αθηνών

Για να δείτε τα συγκεντρωτικά εκλογικά αποτελέσματα εκλογών ΕΜΕ 3-7-2021 πατήστε εδώ (μέσω της επίσημης ιστοσελίδας της Ε.Μ.Ε.). 


Καλή θητεία με γόνιμο έργο! 

Πέμπτη, 8 Ιουλίου 2021

Mήνυμα προς την Υπουργό Παιδείας και Θρησκευμάτων Νίκη Κεραμέως

Το παρακάτω θα μπορούσε να ήταν ένα μήνυμα προς την Υπουργό Παιδείας και Θρησκευμάτων Νίκη Κεραμέως.

Επειδή αυτή είναι η άποψή μου και δεν ξέρω αν εκφράζω όλους τους μαθητικούς το μήνυμα αυτό θα μείνει ως ανάρτηση στο blog.

Θέμα: Η ύλη των Πανελλαδικών εξετάσεων 2022 στα Μαθηματικά

Σε λίγες μέρες θα ανακοινωθεί από το Υπουργείο Παιδείας η ύλη των Πανελλαδικών Εξετάσεων για το μάθημα των μαθηματικών. Ενημερώνομαι ότι θα επανέλθει η προηγούμενη ύλη, δηλαδή το 3ο κεφάλαιο (Ολοκληρωτικός Λογισμός) που ήταν εκτός τα δύο τελευταία χρόνια λόγω του COVID19.

Παρόλο που είμαι ένας καθηγητής που μου αρέσει να διδάσκω στους μαθητές μου πολλές έννοιες μαθηματικών και γενικότερα να διδάσκω μια πιο διευρυμένη ύλη των μαθηματικών από αυτή που υπάρχει στα σχολεία τα τελευταία 20 έτη, δεν μπορώ να δεχθώ την επαναφορά της ύλης (των τριών κεφαλαίων) στους ταλαιπωρημένους μαθητές της Γ Λυκείου.

Οι μαθητές που θα δώσουν φέτος Πανελλαδικές Εξετάσεις 2022 δεν είναι ειδικών συνθηκών; Θεωρούμε ότι έχουν εμπεδώσει, αφομοιώσει και ολοκληρώσει την ύλη της Β Λυκείου; Έχουν δώσει προαγωγικές εξετάσεις στο Λύκειο; Έχουν εξασκηθεί στα τετραμηνιαία διαγωνίσματα; Γνωρίζουν ότι στις τελικές εξετάσεις γράφουν όλα τα θέματα και όχι κάποια από αυτά όπως έκαναν στο Γυμνάσιο;

Γιατί δεν συνεχίζουμε με την αναμορφωμένη ύλη του Κορωνοϊού; Γιατί η τακτική να ανακοινώσουμε μεσούσης περιόδου τις αλλαγές είναι καλύτερο από τον προγραμματισμό; Γιατί δεν το προαναγγέλλουμε από σήμερα αφού τα δεδομένα είναι ήδη αρνητικά για τους μαθητές;

Ας τα πάρουμε τα πράγματα από την αρχή!

Οι μαθητές της Β Λυκείου για το σχολικό έτος 2020 – 21 έκαναν αδιάλειπτα μάθημα μέσω τηλεκπαίδευσης και τους τελευταίους μήνες δια ζώσης. Όμως, όταν εμφανιζόταν επιβεβαιωμένο κρούσμα κορωνοϊού έκλεινε το τμήμα για δεκαπέντε ημέρες χωρίς να κάνει τηλεκπαίδευση άρα οι μαθητές έμεναν στάσιμοι! Με αποτέλεσμα αρκετά τμήματα, σε αρκετά σχολεία να καθυστερήσουν να επιστρέψουν για τουλάχιστον 15 ή 30 μέρες! Εγώ προσωπικά γνωρίζω τμήμα της Β Λυκείου που έκλεισε για ένα μήνα με αποτέλεσμα να μην ολοκληρωθεί η διδακτέα ύλη (δεν διδάχθηκαν οι λογάριθμοι). Να σημειώσω το προφανές ότι η ύλη της Β Λυκείου είναι απαραίτητη για την ομαλή εισαγωγή του μαθητή στην ομαλή παρακολούθηση των μαθηματικών στη Γ Λυκείου.

Φυσικά, να μην ξεχάσουμε τους μαθητές (ένα μικρό ποσοστό) που για δικαιολογημένους λόγους απείχαν από τα δια ζώσης μαθήματα του σχολείου για όλο το χρονικό διάστημα Απριλίου - Ιουνίου.

Προτείνω το Υπουργείο Παιδείας να ανακοινώσει έγκαιρα την Εξεταστέα Ύλη των Πανελλαδικών Εξετάσεων 2022 και να είναι ίδια με την περσινή και ας μην έχουμε ούτε μία μέρα καραντίνα. Έτσι και αλλιώς με πέντε μήνες τηλεκπαίδευση η ύλη δεν ήταν μικρότερη από αυτήν. Με αυτόν τον τρόπο δείχνουμε – αποδεικνύουμε ότι θεωρούμε και τους φετινούς υποψήφιους ειδικών συνθηκών.

Τέλος, πρέπει να αφαιρεθεί και από την ύλη μια σελίδα που δεν έχει νόημα να διδάσκεται. Είναι η σελίδα με την ακολουθία (ορισμός και όριο ακολουθίας) στην σελίδα 68 (δείτε παρακάτω εικόνα).




Μου θυμίζει τους λασπωτήρες (δείτε παρακάτω φωτογραφία) που υπάρχουν στην είσοδο παλαιών κτιρίων όταν οι δρόμοι ήταν χωμάτινοι. Πλέον, χωρίς τα ολοκληρώματα στην ύλη δεν υπάρχει ούτε ως δικαιολογία η έννοια της ακολουθίας στη Γ Λυκείου. Έτσι και αλλιώς ποτέ δεν έχει ζητηθεί κάτι ανάλογο στις Πανελλαδικές Εξετάσεις αφού όλοι γνωρίζουν ότι κάτι τέτοιο δεν μπορεί να εξεταστεί. Ας μην γίνει και η σελίδα 68 ένας ξεχασμένος «λασπωτήρας»….


Μάκης Χατζόπουλος
Καθηγητής Μαθηματικών στο 3ο ΓΕΛ Κηφισιάς

Σάββατο, 3 Ιουλίου 2021

Ποσοστό υποψηφίων κάτω από την βάση στα Μαθηματικά ΓΕΛ

Την επόμενη Παρασκευή 9 Ιουλίου αναμένουμε τα αποτελέσματα οπότε κάθε ενημέρωση ή πρόβλεψη είναι περιττή.

Παρόλα αυτά επειδή τα μηνύματα και το ενδιαφέρον είναι αυξημένο και επειδή (ξανά) τα τελευταία χρόνια σας ενημερώνουμε για την πορεία της βαθμολόγησης θα δώσουμε ένα στατιστικό αποτέλεσμα που κατά την γνώμη μου είναι το πιο σημαντικό και άξιο προς συζήτηση - προβληματισμό. 

Το ποσοστό των υποψηφίων που είναι κάτω από την βάση είναι κοντά στο 56 - 58% στα μαθηματικά για τα ΓΕΛ. 

Το ποσοστό αφορά και τις δύο κατευθύνσεις (προσανατολισμός Θετικής και Οικονομίας).

Πέμπτη, 1 Ιουλίου 2021

Θέματα - απαντήσεις και αποτελέσματα των εξετάσεων για την εισαγωγή των μαθητών σε Γυμνάσια και Λύκεια 2021


(νέο) Για να δείτε τα αποτελέσματα τεστ δεξιοτήτων 

των Πρότυπων Γυμνάσιων και Λυκείων 

πατήστε αντίστοιχα: Λύκεια - Γυμνάσια

Δείτε τους βαθμούς ανά σχολείο στον πίνακα (με τον κωδικό του σχολείου) 

και σε φθίνουσα σειρά για κάθε σχολείο.

Πρώτες εκτιμήσεις: Αρκετά άριστα στους μαθητές του Γυμνασίου!

________________________________________________

Φέτος, πιο πολύ από κάθε άλλη φορά οι μαθητές επιλέγουν τα Πρότυπα σχολεία! 

Ο αριθμός των υποψηφίων που θα συμμετέχουν για μία θέση στα Πρότυπα Σχολεία (Π.Σ.) είναι υψηλότερος σε σχέση με τα προηγούμενα έτη! Όλοι θέλουν - ζητούν μια θέση στα Πρότυπα και Πειραματικά Σχολεία! 

Ο κύριος λόγος είναι η αύξηση κατά πενήντα Πειραματικά και Πρότυπα σχολεία! Συγκεκριμένα εννέα νέα Πρότυπα σχολεία προστέθηκαν στη λίστα των 28 που λειτουργούσαν ήδη στη χώρα μας. 

Επομένως, περισσότεροι μαθητές έχουν τη δυνατότητα να βρίσκονται σε ένα σχολείο υψηλότερων απαιτήσεων και προσδοκιών, χωρίς να φύγουν από την περιοχή τους! 

Η κλήρωση για τα Πειραματικά Σχολεία πραγματοποιήθηκε την Πέμπτη 24 Ιουνίου και οι εξετάσεις για τα Πρότυπα τη Δευτέρα 28 Ιουνίου 2021.

Το lisari.blogspot.com θα σας προσφέρει την Δευτέρα 28/6/2021 τα θέματα και τις λύσεις των εξετάσεων από τις εξετάσεις των Πρότυπων Γυμνασίων και Λυκείων. 

___________________________________

Εκφωνήσεις - Απαντήσεις για τα Πρότυπα Γυμνάσια 

Αναλυτικές λύσεις: Νίκος Κουράκης

Εκφωνήσεις - Απαντήσεις για τα Πρότυπα Λύκεια

Αναλυτικές λύσεις: Επιμέλεια: Μάκης Χατζόπουλος

___________________________________

Σχολιασμός από τον Σπύρο Καρδαμίτση (lisari team)
συγγραφέα και Καθηγητή στα Πρότυπα ΓΕΛ Αναβρύτων


Σχολιασμοί των θεμάτων των Μαθηματικών για την εισαγωγή στα Πρότυπα Γυμνάσια 2021

Από την στιγμή που ο λόγος των θέσεων προς τους υποψήφιους σε κάθε γυμνάσιο (Ανάβρυτα 1 θέση ανά 13 υποψήφιους) είναι αρκετά μικρός, ο ανταγωνισμός είναι έντονος.

Τα θέματα των μαθηματικών ήταν μικρής δυσκολίας και με βάση την παραπάνω αναλογία θα πρέπει να έχουμε συσσώρευση υποψηφίων στις υψηλές θέσεις που εξασφαλίζουν την επιλογή του μαθητή. Επομένως θα υπάρξει και ο παράγοντας τύχης που θα συντελέσει σε αυτή την επιλογή. Τα εύκολα θέματα θα δημιουργήσουν την συσσώρευση πολλών υποψηφίων γύρω από την βάση εισαγωγής και πολλοί μικροί μαθητές θα νιώσουν την απογοήτευση ότι τα πήγαν καλά αλλά δεν πέτυχαν το σκοπό τους. 

Να ενημερώσω ότι σε περίπτωση ισοψηφίας θα πρέπει να γίνει κλήρωση. Η επιλογή από την επιτροπή μικρής δυσκολίας θεμάτων θεωρείται ατυχής. Επιπλέον παρατηρώντας τα θέματα διαπιστώνεται:

α) Η χαμηλή συμμετοχή της γεωμετρίας και αυτή χωρίς την αντίληψη του σχήματος αφού για την απάντησή τους δεν είναι απαραίτητο. Μόνο 2 ερωτήσεις στις 25 ήταν γεωμετρικού περιεχομένου και αυτές ήθελαν καθαρά αριθμητική επίλυση.

β) Η έλλειψη προβλημάτων σε ποσοστά. Υπήρχε ένα και αυτό πάρα πολύ απλό

γ) Η απουσία συνθέτων προβλημάτων.

δ) Ένα μόνο θέμα που άπτεται της προτεραιότητας των αριθμητικών πράξεων πολύ χαμηλού επιπέδου.


Σχολιασμοί των θεμάτων των Μαθηματικών για την εισαγωγή στα Πρότυπα Λύκεια 2021

Σε αντίθεση με τα θέματα του γυμνασίου τα θέματα για την εισαγωγή υποψηφίων σε πρότυπα λύκεια 
  • είχαν ποικιλία (από όλη την έκταση της ύλης) 
  • ήταν διαβαθμισμένης δυσκολίας από εύκολα (πχ ερώτηση 26, 28 ), μέτριας δυσκολίας (πχ. 31, 35) και μεγάλης δυσκολίας (πχ 34, 46, 50) 
  • δεν απαιτούσαν πολλές πράξεις
  • δεν είχαν ασάφειες
  • ήταν θέματα που ξεχωρίζουν έναν έξυπνο και σωστά προετοιμασμένο μαθητή.
Με βάση τα παραπάνω τα θεωρώ επιτυχημένα. Μπράβο στην επιτροπή.

Τα "μαθηματικά" σε όλες τις γλώσσες του κόσμου

Επειδή τα "μαθηματικά" μας συνδέουν σε όποια γωνιά της γης και αν βρισκόμαστε, ας δούμε πως λέγονται σε όλες (;) τις γλώσσες του κόσμου.

Επειδή δύο με τρεις γλώσσες δεν τις γνώριζα έκανα αναζήτηση στη μετάφραση της Google! 

Επόμενο project να τις μεταφέρω πάνω στο χάρτη, στην αντίστοιχη περιοχή, όπου είναι εφικτό και να το προσφέρω το αρχείο στην δραστήρια ομάδα του facebook "Η γεωγραφία είναι πολύ κουλ"! 

Ελληνικά: Μαθηματικά

Αζερμπαϊτζανικά: riyaziyyat

Αϊτιανά: matematik

Αγγλικά: mathematics

Αλβανικά: matematikë

Αχμαρικά: ሂሳብ

Αραβικά: الرياضيات

Αρμενικά: Մաթեմատիկա

Αφρικάανς: wiskunde

Βεγγαλικά: গণিত

Βιετναμικά: toán học

Βιρμανικά: သင်္ချာ

Βοσνιακά: matematika

Βουλγάρικα: математика

Γαλλικά: mathématiques

Γερμανικά: Mathematik

Γεωργιανά: მათემატიკა

Γίντις: מאטעמאטיק

Γιουρόμπα: mathimatiki

Γκουγιαράτι: ગણિત

Εβραϊκά: מָתֵימָטִיקָה

Εσθονικά: matemaatika

Εσπεράντο: matematiko

Ζουλού: izibalo

Ιαβανικά: matématika

Ιαπωνικά: 数学

Ινδονησιακά: matematika

Ιρλανδικά: matamaitic

Ισλανδικά: stærðfræði

Ισπανικά: matemáticas

Ιταλικά: matematica

Κινέζικα (παραδοσιακά): 數學

Κορεάτικα: 수학

Κροάτικα: matematika

Λατινικά: mathematica

Λετονικά: matemātika

Λευκορώσικα: матэматыка

Λιθουανικά: matematika

Μαλαγιαλάμ: ഗണിതശാസ്ത്രം

Μαλέϊ: matematik

Μαλτέζικα: matematika

Μαορί: pangarau

Μογγολικά: математик

Νεπαλικά: गणित

Νορβηγικά: matematikk

Ολλανδικά: wiskunde

Ουγγρικά: matematika

Ουζμπεκικά: matematika

Ουκρανικά: математика

Ουρντού: ریاضی

Πολωνικά: matematyka

Πορτογαλικά: matemática

Ρουμάνικα:  matematică

Ρωσικά: математика

Σαμοανά: numera

Σεμπουάνο: matematika

Σερβικά: математика

Σεσότο: lipalo

Σίντι: رياضي

Σλοβακικά: matematika

Σλοβενικά: matematika

Σουαχίλι: hisabati

Σουηδικά: matematik

Σουνδανικά: matématika

Ταϊλανδικά: คณิตศาสตร์

Ταμιλικά: கணிதம்

Ταταρικά: математика

Τατζικικά: математика

Τελούγκου: గణితం

Τουρκικά: matematik

Τουρκμενικά: matematika

Τσέχικα: matematika

Φιλιπινέζικα: matematika

Φιλανδικά: matematiikka

Φριζιάνα: wiskunde

Χαβαϊκά: makemakika

Χάουσα: lissafi

Χίντι: गणित

Χμερ: គណិតវិទ្យា

Χμονγκ: kev ua lej


Κυριακή, 27 Ιουνίου 2021

Διακεκριμένοι καθηγητές σχολιάζουν τα θέματα των Πανελλαδικών εξετάσεων 2021 στα ΓΕΛ

Επειδή η άποψη των καθηγητών που διδάσκουν σε Πρότυπα σχολεία, Ιδιωτικά σχολεία, Φροντιστών και συγγραφέων έχουν πάντα μια διαφορετική βαρύτητα και κάτι άλλο να σημειώσουν, σας παρουσιάζω με αλφαβητική σειρά το σχολιασμό τους για τα θέματα των Πανελλαδικών Εξετάσεων 2021 στα ΓΕΛ. 


Τάκης Δρούτσας, Φροντιστής, συγγραφέας, Γενικός Γραμματέας Μαθηματικής Εταιρείας

Τα θέματα των μαθηματικών για την ευρύτητα της εξεταζόμενης ύλης. Αρκετά ερωτήματα σχετίζονται με το σχολικό βιβλίο. Για να μπορέσει ο υποψήφιος να αντιμετωπίσει με επιτυχία το σύνολο των θεμάτων πρέπει να έχει καλή γνώση της ύλης των προηγούμενων τάξεων.

Τα θέματα ήταν κλιμακούμενης βαρύτητας με αποτέλεσμα την ομαλή κατανομή της βαθμολογίας. Τέλος, τα θέματα ανταποκρίνονται σε μεγάλο βαθμό στις ιδιαίτερες φετινές συνθήκες. 


Σπύρος Καρδαμίτσης, συγγραφέας και καθηγητής στο Πρότυπο ΓΕΛ Αναβρύτων

ΘΕΜΑ Α  

Τυπικό με απλή θεωρία αναμενόμενη χωρίς παγίδες τα Σ – Λ. Κάποτε πρέπει να ξεφύγουμε από αυτή την φόρμα. Η προσπάθεια με τα αντιπαραδείγματα και την αναφορά σε παραδείγματα σχολικού βιβλίου καλή ήταν για μια δύο χρονιές  αλλά μέχρι εκεί. Χρειαζόμαστε κάτι άλλο!

ΘΕΜΑ Β 

Κλασσικό θέμα που τα ερωτήματα του δεν διαφέρουν από τις ασκήσεις του βιβλίου. Μεγάλο σε μέγεθος.

ΘΕΜΑ Γ 

Ευφυές το Γ2 όπου η ύπαρξη του ξ έτσι ώστε να είναι f ΄(ξ)=0 δεν απαιτεί να ισχύουν οι υποθέσεις του θεωρήματος Rolle. Τα δύο τελευταία ερωτήματα δυσκολότερα αλλά αντιμετωπίζονται καλά από διαβασμένους μαθητές.

ΘΕΜΑ Δ

Εύκολο το α ερώτημα δεν έπρεπε να είναι ερώτημα τέταρτου θέματος. Τα δύο τελευταία αυξημένης δυσκολίας όπως θα έπρεπε να είναι.

Γενικά

Η επιτροπή έλαβε υπόψη της την δύσκολη χρονιά, τα διαδικτυακά μαθήματα, το ότι οι μαθητές στην Β λυκείου δεν διδάχτηκαν όπως έπρεπε την ύλη τους και  την βάση του 10 στις σχολές. Για τον λόγο αυτό «κατέβασε τον πήχη» και καλώς έπραξε. Θα έχουμε μεγαλύτερη διασπορά βαθμών (σωστό) και χαμηλότερο ποσοστό αριστούχων μαθητών (αναμενόμενο). Γενικά η επιλογή των θεμάτων της επιτροπής ήταν σωστή. 

Μετά τις πρώτες διορθώσεις μπορούμε να σχολιάσουμε τα παρακάτω:

Οι υποψήφιοι δυσκολεύτηκαν στις αντιγραφές με τις ερωτήσεις σωστού λάθους. Αυτό οφείλεται στο γεγονός του ότι οι αίθουσες των εξετάσεων αραίωσαν από μαθητές αφού η μεταξύ τους απόσταση μεγάλωσε λόγω covid.

Στα εύκολα θέματα υπερβολικά πολλές λάθος πράξεις (αλγεβρικές και στις παραγώγους) αποτέλεσμα την ελλιπούς εξάσκησης των μαθητών στα σχολεία και στα φροντιστήρια λόγω webex. 

Μεθοδολογικές αντιμετωπίσεις όλων των θεμάτων, όλοι οι υποψήφιοι γνωρίζοντας καλούπια και μεθοδολογίες τις ακολουθούσαν πιστά και αρκετές φορές έκαναν την ζωή τους πιο δύσκολη. 


Αλέξανδρος Μαναρίδης, Προϊστάμενος τμήματος Μαθηματικών στο Κολλέγιο Αθηνών

Θέμα Α

Ζητήθηκε η απόδειξη ενός προσφιλούς, όπως αποδεικνύεται, θεωρήματος. Ξεχώρισε η έλλειψη του αντιπαραδείγματος. 

Θέμα Β

Μεγάλο σε έκταση που κάλυπτε ένα ευρύ  φάσμα της ύλης, χωρίς όμως να εμφανίζονται δυσκολίες στην επίλυση των ερωτημάτων. Αν και η γραφική παράσταση δεν ήταν ένα από τα ζητούμενα, υπήρχαν  όλα εκείνα τα στοιχεία χάραξής της και  η χρήση της θα μπορούσε να απλοποιήσει την επίλυση του 4ου ερωτήματος 

Θέμα Γ

Θέμα με παραμετρική συνάρτηση , χωρίς όμως να είναι δυνατή η εύρεση της τιμής της παραμέτρου και χωρίς να είναι κάποιο από τα ζητούμενα. Τα ερωτήματα ήταν κλασικά χωρίς να παρουσιάζουν ιδιαίτερες δυσκολίες. Το πρόσημο του τριωνύμου  χρειαζόταν για την απάντηση  του 3ου ερωτήματος και η επίλυση μιας απλής τριγωνομετρικής εξίσωσης για την απάντηση του 2ου. Η απάντηση του 4ου ερωτήματος έκανε  χρήση όλων των προηγούμενων ερωτημάτων. 

Θέμα Δ

Ξεχωρίζουν η ευχέρεια στη  χρήση των ιδιοτήτων της Εκθετικής – Λογαριθμικής συνάρτησης καθώς και η διερεύνηση της έννοιας του κρίσιμου σημείου. 

Τα θέματα ήταν συμβατά με το σχολικό βιβλίο, ήταν διατυπωμένα με σαφήνεια και ευκρίνεια. Κάλυπταν όλη την εξεταστέα ύλη και αναδεικνύαν τη συνέχεια των Μαθηματικών σε όλες τις τάξεις του Λυκείου, καθώς υπήρχαν ερωτήματα για την απάντηση των οποίων οι μαθητές έπρεπε να ανακαλέσουν γνώσεις παλαιοτέρων ετών.


Γιώργος Μιχαηλίδης, συγγραφέας

Σχετικά με τα θέματα των Π.Ε. τα σχόλια μου συνοπτικά είναι:

ΘΕΜΑ Α

Αναμενόμενο χωρίς εκπλήξεις, με εύκολη απόδειξη και ερωτήσεις Σ.Λ  που απαιτούσαν προσοχή

ΘΕΜΑ Β 

Σχετικά απλό ερώτημα στο Β1 ,εύρεσης τύπου συνάρτησης ,ασυνήθιστο όμως για θέμα Β. 

Β2 - Β3 κλασικά ερωτήματα μονοτονίας -κυρτότητας-ασύμπτωτων ( Αυτό που σε μια ομιλία μου είχα ονομάσει βασικό πακέτο).

Β4 απαιτούσε καλή γνώση του συνόλου τιμών και βοήθεια ενδεχομένως  στο πρόχειρο από το σχήμα.

ΘΕΜΑ Γ

Γ1 εφαρμογές ορισμών συνέχειας -παραγώγου χωρίς ιδιαίτερες δυσκολίες.

Γ2 i. Ερώτημα ψυχολογίας αφού το επόμενο ερώτημα μπορούσε να παρασύρει τους μαθητές σε λάθος απάντηση. 

Γ3- Γ4 λογικά ερωτήματα για θέμα Γ.

ΘΕΜΑ Δ

Δ1 ερώτημα από σχολικό χωρίς δυσκολίες. 

Δ2-Δ3  Απαιτητικά με λεπτούς αλγεβρικούς χειρισμούς και συνδυασμό γνώσεων. Επιδέχονταν περισσότερους από ένα τρόπους λύσης. 

Δ4 Απαιτητικό θεωρητικό ερώτημα.

Γενικά ο βαθμός δυσκολίας των θεμάτων ήταν αναμενόμενος και σε σχέση με τα περσινά,  η πρόσβαση στην βάση 10 ήταν πιο εύκολη ενώ το θέμα Δ κατά τη γνώμη μου ήταν πιο δύσκολο.

Καλή συνέχεια στα παιδιά και καλά  αποτελέσματα


Νίκος Τάσος, συγγραφέας, Σύμβουλος στο Ι.Ε.Π

Για το Θέμα Α το 1ο Σ - Λ ήταν επικίνδυνο λόγω του ΙR*. 

Για Β θέμα βρίσκω υπερβολικό το ερώτημα με την f(x)=λ. 

Το θέμα Γ χωρίς δυσκολίες. 

Το θέμα Δ εμφανίζει δυσκολία στα 2 τελευταία ερωτήματα. 

Συνολικά τα θέματα μου άρεσαν θεωρώντας παράλληλα ότι οι θεματοδότες έλαβαν υπόψη τους τη δυσκολία που προέκυψε από την πανδημία. 

Δεν έχουμε βέβαια παρά να περιμένουμε και μια πρώτη εικόνα από τα βαθμολογικά!


Θοδωρής Τζουβάρας, συγγραφέας

Επιτυχημένα  με μια λέξη  θέματα , χωρίς εξυπνακιδισμούς  , που λάμβαναν υπόψη τις ειδικές φετινές συνθήκες και σέβονταν τον κόπο των μαθητών , όχι μόνο των αρίστων . Έχουμε και λέμε :

1) Μικρή μόνο παρουσία της Άλγεβρας Συναρτήσεων ( ισότητα , πράξεις , σύνθεση , αντιστροφή συναρτήσεων και γενικά οτιδήποτε είναι πριν τον ορισμό του ορίου ) . Και πολύ σωστά ! Πρόκειται για τελείως βοηθητικές έννοιες και όχι για το ¨ κυρίως μενού ¨ της Μαθηματικής Ανάλυσης .

2) Καθόλου εύρεση ορίων με δεξιοτεχνικούς χειρισμούς και τεχνάσματα , ευτυχώς !

3) Λίγες και εύκολες πράξεις . Έμφαση στις έννοιες . Υπέροχα .

4) Διευρυμένη παρουσία μονοτονίας – ακροτάτων . Και πολύ σωστά  !  Πρόκειται για το σημαντικότερο κατά τη γνώμη μου σημείο της ύλης και είναι φυσικό να έχει αυξημένη εκπροσώπηση στα θέματα .

5) Πολύ περιορισμένη παρουσία των θεωρημάτων Rolle ( μια μόνο αναφορά και αυτή πολύ απλή ) και Μέσης Τιμής ( μία μόνο χρήση , στην απόδειξη της θεωρίας ) . Υπό τις συνθήκες της δεδομένης χρονιάς αυτή ήταν η ενδεδειγμένη επιλογή .

6) Όλες οι συναρτήσεις που χρησιμοποιήθηκαν ( εκτός από την φ στο Δ4 ) δόθηκαν με την αναλυτική τους έκφραση. Και πολύ σωστά !  Η χρήση στα θέματα άγνωστης συνάρτησης δεν απαγορεύεται βέβαια , πρέπει όμως , αν κριθεί χρήσιμη  , να γίνεται με φειδώ και  σε μικρή δοσολογία . Έτσι ακριβώς έγινε .

7) Ο χρόνος αρκούσε !  Μάλιστα περίσσευε και χρόνος ώστε ένας μαθητής να μπορεί να ΄΄ψάξει ΄΄ τα Δ3 , Δ4 .

Ακριβώς έτσι πρέπει να συμβαίνει ώστε το αγαπημένο μας μάθημα να μη χάσει τελείως  τον χαρακτήρα του δημιουργικού και καταντήσει μάθημα γνώσεων  ( ή τα ξέρεις από πριν , λόγω πολύ καλής προετοιμασίας , ή  , αν είσαι μεν πολύ δημιουργικός αλλά όχι πολύ καλά ¨προπονημένος ¨ … έχασες ) .

8) Τα θέματα είχαν το σωστό ύφος . Απλό , λιτό αλλά ακριβές και χωρίς καμία ασάφεια .

9) Στη θεωρία , υπήρξε πλήρης αποφυγή όλων των σημείων στα οποία το σχολικό βιβλίο έχει κάποια ασάφεια ( πχ η κάπως θολή απόδειξη της συμμετρίας των f και f - 1  ως προς την ευθεία ψ = χ  , ο ορισμός των σημείων καμπής και πολλά άλλα  ) .

10) Τα ζήλεψα ! Τελευταίο συν , τελείως υποκειμενικό . Είναι φορές που βλέπεις ένα διαγώνισμα και … θα ήθελες να το είχες φτιάξεις εσύ . Αυτή ήταν μία από αυτές τις φορές .

11) Μοναδικό σημείο κριτικής ( ήσσονος όμως σημασίας ) είναι ότι , σχετικά με την κλιμάκωση της δυσκολίας των ερωτημάτων , έλειπαν ένα - δύο ερωτήματα ενδιάμεσης δυσκολίας δηλ. λίγο πιο εύκολα από τα Δ3, Δ4  αλλά όχι τόσο όσο τα υπόλοιπα ερωτήματα .

Συμπερασματικά η επιτροπή κατάφερε να ισορροπήσει  μεταξύ των ειδικών συνθηκών και της σοβαρότητας του μαθήματος . Για αυτό , στα πολλά ¨ Μπράβο ¨που ακούστηκαν προσθέστε και το δικό μου.


Για απευθείας αποθήκευση και μελέτης του κειμένου πατήστε εδώ.

Παρασκευή, 25 Ιουνίου 2021

Η πηγή του ερωτήματος Δ4 των Πανελλαδικών Εξετάσεων ΓΕΛ 2021

Όλοι συζητάνε για το ερώτημα Δ4 των φετινών (2021) Πανελλαδικών Εξετάσεων στα ΓΕΛ. Αρκετοί μαθητές (και όχι μόνο!) ξέχασαν να πάρουν περιπτώσεις για την παράγωγο της συνάρτησης της απόστασης με αποτέλεσμα να χάσουν 2 μονάδες. 

Προφανώς δεν λείπουν και αυτοί που προσπάθησαν να υπολογίσουν ανεπιτυχώς την παράγωγο της απόστασης ... 

Όμως, η ερώτηση που λογικά μας ενδιαφέρει είναι η εξής: 

Αυτή η εξαιρετική και απλή ιδέα που βρίσκεται; 

Ας τα πάρουμε από την αρχή!

Όλοι όσοι λύσαμε και μελετήσαμε τα θέματα εξετάσεων μόλις είδαμε το ερώτημα Δ4 (δείτε την εικόνα 1)

σκεφτήκαμε την άσκηση Β5 /σελ. 152 σχ. βιβλίου όπως βλέπετε στην εικόνα 2


Εκεί είδαμε τους πρώτους πανηγυρισμούς καθηγητών, μαθητών, γονιών, Φροντιστών κτλ. για την επιτυχία και την πρόβλεψή τους! Αδικαιολόγητοι; Όχι κατά τη γνώμη μου, αφού όλοι συμμετέχουμε στην αγωνία των υποψηφίων, οπότε το ζούμε!  Όπως ζούμε ένα ποδοσφαιρικό αγώνα όταν η ομάδα μας βάζει γκολ! 

Όμως η ιδέα του ερωτήματος Δ4 ήταν αυτό; Η δυσκολία που αντιμετώπισε ο υποψήφιος ήταν αυτό; 

Τελικά όχι! 

Η ιδέα του ερωτήματος του Δ4 είχε να κάνει με την παραγωγισιμότητα της συνάρτησης

d(x) = f(x) - φ(x) 

που έπρεπε να πάρουμε περιπτώσεις ΑΝ παραγωγίζεται στο x0, άρα Fermat ή όχι, άρα κρίσιμο σημείο.

Αυτή η ιδέα που υπάρχει; 

Και για να μην ψάξουμε στα βοηθήματα, που σίγουρα μπορεί να το βρούμε και εκεί, αφού ΔΕΝ είναι κάτι δύσκολο, ας θυμηθούμε το σχολικό βιβλίο της Ανάλυσης επί εποχή δεσμών. Το γνωστό πράσινο βιβλίο (κάτι μου θυμίζει....) όπως βλέπετε στην επόμενη εικόνα 3: 


Ένα εξαιρετικό βιβλίο που αρκετοί ακόμα συνάδελφοι το συμβουλεύονται και το χρησιμοποιούν στη διδασκαλία τους. 

Μέσα στο βιβλίο αυτό (δείτε αρχείο Πηγή: https://parmenides51.blogspot.com/)  θα δείτε και την εξής άσκηση (Β1 σελίδα 180) όπως φαίνεται στην εικόνα 4: 

Σας θυμίζει κάτι; 
Άρα αν συνδυάσουμε τις δύο αυτές ασκήσεις σχολικών βιβλίων (παλαιού και νέου) θα βρούμε το θέμα εξετάσεων! Νομίζω ότι μπήκαμε στο μυαλό των θεματοδοτών! 

Για να διαβάσετε ή να αποθηκεύσετε πιο εύκολα το αρχείο πατήστε εδώ.