Θέματα εξετάσεων από Κύπρο - Ελλάδα

Ο Βασίλης (bilstef) μας ενημέρωσε για ένα site που έχει τα θέματα εξετάσεων για ότι χρειαστείτε, Πανγκύπριες, Πανελλήνιες, Δημοσίου, Λυκείου, Γυμνασίου, Δημοτικού.

Επίσης θα βρείτε και άλλα ενδιαφέροντα θέματα!

http://www.esagogi.com/

Η τέλεια ρίψη πέτρας στη θάλασσα βασίζεται σε... μαθηματική εξίσωση!

Μαθηματικοί από το University College του Λονδίνου δημιούργησαν μια εξίσωση η οποία υπόσχεται σε μικρούς και μεγάλους να πετύχουν τα περισσότερα δυνατά «βατραχάκια» (αναπηδήσεις) όταν πετούν πέτρα στη θάλασσα.

  Το μοντέλο που ανέπτυξαν συγκρίνει το βάρος και την ταχύτητα της πέτρας με την αντίσταση του αέρα και του νερού, καθώς και με τη βαρύτητα, έτσι ώστε να εξασφαλιστεί η τέλεια ρίψη.
 Αν και η συγκεκριμένη μελέτη είχε ως κύριο στόχο της τη διασκέδαση, έχει και σοβαρές προεκτάσεις σε ό,τι αφορά τα πλοία που ταξιδεύουν σε άγριες θάλασσες αλλά και τον πάγο που αναπηδά επάνω στον σκελετό και στα φτερά των αεροσκαφών.

Μπέιζμπολ και Μαθηματικά ! ! !

Οι Ιάπωνες αγαπούν το μπέιζμπολ

Η 48χρονη γιαπωνέζα συγγραφέας συνδυάζει το εθνικό σπορ της πατρίδας της και τα μαθηματικά για να γράψει ένα μυθιστόρημα με θέμα την ομορφιά των ανθρώπινων σχέσεων

ΣΠΥΡΟΣ ΒΡΕΤΟΣ | Κυριακή 8 Αυγούστου 2010

Λίγες ημέρες αφότου ο ιταλός εισαγγελέας Τζιοβάνι Φαλκόνε δολοφονήθηκε από τη Μαφία, λίγο καιρό πριν από την ανακομιδή των οστών του Νικολάου και της Αλεξάνδρας στο Αικατερίνμπουργκ, ανήμερα του δημοψηφίσματος με το οποίο οι Δανοί απέρριψαν τη Συνθήκη του Μάαστριχτ, λίγες ώρες πριν από το σιδηροδρομικό δυστύχημα στον σταθμό του Τορίντε στη γραμμή Κάντο της Ανατολικής Ιαπωνίας, το απόγευμα της 2ας Ιουνίου 1992 το γήπεδο Κοσιέν της πόλης Νισινομίγια, στον Νομό Χιόγκο της Νοτιοδυτικής Ιαπωνίας, γέμιζε ασφυκτικά με φανατικούς θεατές του μπέιζμπολ. Δύο ομάδες της Κεντρικής Λίγκας της Ιαπωνίας, οι Χιρόσιμα Τόγιο Καρπ και οι Χάνσιν Τάιγκερς, ήλθαν αντιμέτωπες σε μια σύγκρουση που καθόρισε την πορεία τους στα επόμενα πολλά χρόνια.

Μαθηματική απόδειξη: 20 κινήσεις αρκούν για να τον κύβο του Ρούμπικ!

ΛΟΝΔΙΝΟ. Χρειάστηκαν συνολικά 15 χρόνια έρευνας, αλλά πλέον είναι σαφές ότι οποιαδήποτε «ακατάστατη» διάταξη του κύβου Ρούμπικ μπορεί να λυθεί με τον ανώτατο αριθμό των 20 κινήσεων. Σε αυτό το συμπέρασμα κατέληξε ομάδα ερευνητών από το Πολιτειακό Πανεπιστήμιο Κεντ στο Οχάιο, η οποία συνεργάστηκε με την Google και για την ακρίβεια με τους... υπερυπολογιστές της, προκειμένου να βρει τη λύση στον δυσεπίλυτο γρίφο.

Με χρήση των υπερσύγχρονων, γρήγορων υπολογιστών οι επιστήμονες έλεγξαν το σύνολο των 43.252.003.274.489.856.0000 διατάξεων που μπορεί να έχει ο κύβος. Για να καταφέρουν να κάνουν αυτόν τον έλεγχο θα απαιτούνταν 35 ολόκληρα χρόνια με χρήση των συμβατικών υπολογιστών. Τα μηχανήματα της Google όμως μείωσαν σημαντικά αυτόν τον χρόνο.

Προκειμένου να διευκολύνουν τη μελέτη οι ειδικοί χώρισαν τους συνδυασμούς σε 2,21 δισεκατομμύρια ομάδες των 20 δισεκατομμυρίων θέσεων η καθεμία. Είδαν έτσι ότι ο ανώτατος αριθμός κινήσεων που απαιτούνται για τη λύση του γρίφου είναι οι 20- αν και για τους περισσότερους συνδυασμούς 15-19 κινήσεις ήταν αρκετές.

Ο συγκεκριμένος αριθμός έχει χαρακτηριστεί «αριθμός του Θεού», γεγονός που μαρτυρεί ότι ούτε ο Υψιστος θα μπορούσε να βρει ταχύτερα τη λύση του κύβου!

Διαβάστε περισσότερα: www.tovima.gr/

Θέματα Μαθηματικών για τους μετεξεταστέους του Γυμνασίου

Πιθανά θέματα από το blog http://examsos.yooblog.gr

Για την Α' Γυμνασίου:

ΘΕΜΑ 1ο α) Πότε δύο κλάσματα λέγονται ισοδύναμα; Να αναφέρετε δυο τρόπους
δημιουργίας ισοδύναμων κλασμάτων. Δώστε ένα παράδειγμα για τον καθένα.
β) Ποιο είναι μεγαλύτερο από δύο ομώνυμα κλάσματα; Δώστε ένα
παράδειγμα. Ποιο είναι μεγαλύτερο από δύο κλάσματα με τον ίδιο αριθμητή; Δώστε
ένα παράδειγμα.
ΘΕΜΑ 2ο α) Να αναφέρετε τα είδη των τριγώνων ως προς τις πλευρές.
β) Να αναφέρετε τα είδη των τριγώνων ως προς τις γωνίες.
γ) Ποιες γωνίες λέγονται κατακορυφήν, ποια σχέση τις συνδέει;

ΘΕΜΑΤΑ
ΘΕΩΡΙΑ
1. Α. i) Τι ονομάζουμε παραλληλόγραμμο;
ii) Ποιες είναι οι ιδιότητες του παραλληλογράμμου;
Β. Με τι ισούται το εμβαδό:
i) ενός τριγώνου;
ii) ενός παραλληλογράμμου;
iii) ενός τραπεζίου;

2. Α. i) Ποιες γωνίες λέγονται εφεξής; (Να κάνετε σχήμα)
ii) Ποιες γωνίες λέγονται κατακορυφήν και ποια σχέση τις συνδέει;

Β. i) Πότε δύο γωνίες ονομάζονται παραπληρωματικές; (Να κάνετε σχήμα)

ii) Με τι ισούται το άθροισμα των γωνιών ενός τριγώνο

ΘΕΩΡΙΑ 1
α. Ποιοι αριθμοί είναι πρώτοι;
β. Πότε ένας αριθμός διαιρείται με το 3;
γ. Ποιος είναι ο Μ.Κ.Δ δύο αριθμών;

ΘΕΩΡΙΑ 2
α. (ι) Πότε ένα τετράπλευρο είναι τραπέζιο;
(ιι) Πότε ένα τετράπλευρο λέγεται παραλληλόγραμμο;
β. Ποιες είναι οι ιδιότητες του παραλληλογράμμου;

ΘΕΜΑ 1ο

1. Πότε ένα τρίγωνο λέγεται:
• Ισόπλευρο
• Ισοσκελές
• Σκαληνό
2. Σχεδιάστε ένα τρίγωνο
• Ισόπλευρο
• Ισοσκελές
• Σκαληνό

ΘΕΜΑ 2ο

1. Πότε δυο γωνίες λέγονται:
• Εφεξής
• Παραπληρωματικές
• Κατακορυφήν
2. Σχεδιάστε
• ∆υο εφεξής και παραπληρωματικές γωνίες
• ∆υο Κατακορυφήν γωνίες

Για την Β' Γυμνασίου:

1. Να γράψετε το πυθαγόρειο θεώρημα και να κάνετε σχήμα.

2. Να γράψετε το αντίστροφο του πυθαγορείου θεωρήματος.

3. Α. Τι ονομάζουμε επίκεντρη και τι εγγεγραμμένη γωνία; Ποια σχέση τις συνδέει;

4. Πότε ένα πολύγωνο λέγεται κανονικό; Ποιος είναι ο τύπος υπολογισμού της
κεντρικής του γωνίας;

5. Σε ένα ορθογώνιο τρίγωνο, αν ω είναι μια οξεία γωνία του να δώσετε τους
ορισμούς ημω, συνω και εφω .
6. Πως μεταβάλλεται το ημίτονο και το συνημίτονο όταν μεταβάλλεται η γωνία;
7. να υπολογίσετε την τιμή της παράστασης (άσκηση σχολικού βιβλίου)
8. Πότε δύο ποσά λέγονται ανάλογα;
9. Να υπολογίσετε:
(α) Το μήκος του τόξου ΒΓ
(β) Το εμβαδόν του κυκλικού δίσκου.
(γ) Το εμβαδόν του χωρίου εντός του κυκλικού δίσκου και
εκτός του τριγώνου. (άσκηση σχολικού βιβλίου)

10. Να λύσετε την εξίσωση: (άσκηση σχολικού βιβλίου)

Για την Γ' Γυμνασίου:
Θέμα 1ο : Διατυπώστε τα κριτήρια ισότητας δύο τριγώνων.
Θέμα 2ο : α) Τι λέγεται ταυτότητα;
β) Να συμπληρώσετε και να αποδείξετε τις ταυτότητες:

(α+β)2=……………………………….(α-β)2=……………………………….

(α+β)3=……………………………….(α-β)3=……………………………….

γ) Να αποδείξετε την ταυτότητα: α2-β2=(α-β)(α+β)

Θέμα 4ο: Τί καλείται μονώνυμο, κύριο μέρος μονωνύμου και συντελεστής μονωνύμου. Να αναφέρετε παραδείγματα

Θέμα 5ο: Να αναφέρετε τα τρία κριτήρια ισότητας ορθογωνίων τριγώνων.

Θέμα 3ο. Να γράψετε το θεώρημα του Θαλή. Να κάνετε σχήμα.

Πανρωσική Μαθηματική Ολυμπιάδα 1963

Από το site του συνάδελφου Σπύρου Γιαννακόπουλου βρήκα αυτό,

ΠΑΝΡΩΣΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΟΛΥΜΠΙΑΔΑ 1963

για όσους ενδιαφέρονται για Ολυμπιάδες νομίζω ότι θα φανεί χρήσιμο αρχείο...

Δημήτρης Χριστοδούλου - Καθηγητής του Πολυτεχνείου της Ζυρίχης

Πολύ πιστεύουμε ότι μεγάλοι Μαθηματικοί υπήρχαν μόνο στην αρχαιότητα, ενώ στις μέρες μας λείπουν τα διάσημα μυαλά που θα οδηγήσουν την επιστήμη των Μαθηματικών ένα σκαλί πιο πέρα... 

Δεν είναι λίγοι αυτοί που υποστηρίζουν ότι τα Μαθηματικά είναι ένας κορεσμένος κλάδος και ότι ανακαλύψεις που έχουμε μπροστά μας δεν είναι πολλές και ενδιαφέρουσες για το ευρύ κοινό...
Επίσης όλοι μας είμαστε σίγουροι ότι δύσκολες και ακατανόητες έννοιες όπως χώροι Riemann, χωρόχρονος κ.τ.λ είναι δυσνόητα και ακαταλαβίστικα...

Νομίζω ότι αν παρακολουθήσετε την συνέντευξη του Δημήτρη Χριστοδούλου στην ΕΤ3 θα αλλάξετε γνώμη για όλα τα παραπάνω!

Αναφέρω εν τάχει τι είχε γράψει η καθημερινή εκείνο τον καιρό για την εν λόγω συνέντευξη

Πως λέγεται η μητέρα στα Μαθηματικά ;

Υπάρχει λάθος στη λύση της άσκησης; Ασκήσεις στη Γ' Λυκείου

Που είναι το λάθος;

Επειδή η χρησιμοποίηση των Θεωρημάτων, πολλές φορές γίνεται μηχανικά και χωρίς να λαμβάνονται υπ' όψη οι αναγκαίες για την εφαρμογή τους υποθέσεις. Συνέπεια της επιπόλαιης χρήσης των Θεωρημάτων, εμφανίζονται φαινομενικά ορισμένα «παράδοξα».
    Στα επόμενα παρουσιάζονται διάφορα θέματα της Γ΄ Λυκείου, τα οποία καταλήγουν σε «παράδοξα» συμπεράσματα, μετά από λανθασμένη εφαρμογή Μαθηματικών Προτάσεων.
    Ο προσεκτικός αναγνώστης, πρέπει να εντοπίσει το λάθος και να δώσει τις σωστές απαντήσεις.

Θέμα 1 
Θέμα 2
Θέμα 3  
Θέμα 4  
Θέμα 5
Θέμα 6
Σωστές Λύσεις

Μαθηματικά παράδοξα

1. Ονομασία: Επιμενίδης ο Κρης.
------------------------------------------------------------------------------------
Θέση: Επιμενίδης : «Όλοι οι Κρητικοί ψεύδονται».
Η παραπάνω δήλωση είναι αληθινή;
Σημείωση: Ο Επιμενίδης ήταν Κρητικός
Παράδοξο: Αν ναι, τότε όλοι οι Κρητικοί είναι ψεύτες άρα και ο Επιμενίδης, που
ήταν Κρητικός. Αν όμως είπε ψέματα τότε οι Κρητικοί είναι φιλαλήθεις,
και συνεπώς ο Επιμενίδης είπε αλήθεια. Πώς ειναι δυνατόν ενας άνθρωπος
να λέει ταυτόχρονα αλήθεια και ψέματα;

2. Ονομασία: Παράδοξο αληθούς τιμής.
------------------------------------------------------------------------------------
Θέση: Τρεις από τις ακόλουθες προτάσεις είναι ψευδείς.Εντοπίστε τις!
1. 2+2=4
2. 3 x 7=23
3. 9/3=3
4. 12-4=5
5. 3+8=11

Παράδοξο : Μόνο οι προτάσεις 2 και 4 είναι ψευδείς. Συνεπώς είναι
ψευδείς η βεβαίωση ότι οι ψευδείς είναι τρεις, πράγμα που κάνει
αυτή τη δήλωση μια τρίτη ψευδή πρόταση. Ή μήπως όχι;


3. Ονομασία: Το δίλλημα του κροκοδείλου.
------------------------------------------------------------------------------------
Η ιστορία ενός κροκοδείλου που άρπαξε ένα μωρό από τη μητέρα του.
Κροκόδειλος : Τι λες, θα φάω το παιδί σου ;
Απάντησε σωστά και θα σου το επιστρέψω απείραχτο.
Μητέρα : Αλίμονό μου, θα καταβροχθίσεις το παιδί μου.
Κροκόδειλος : Χμ. Τι θα κάνω τώρα ; Αν σου δώσω πίσω το μωρό σου
θα έχεις απαντήσει λάθος. Συνεπώς θα πρέπει να το φάω... Γι' αυτό και
δεν σου το επιστρέφω.
Μητέρα : Μα πρέπει να μου το δώσεις. Αν φας το παιδί μου σημαίνει
ότι απάντησα σωστά και οφείλεις να τηρήσεις το λόγο σου.
Ο καημένος ο κροκόδειλος σάστισε τόσο που άφησε το μωρό ελεύθερο.
Κροκόδειλος : Ουφ! Μόνο αν έλεγε ότι θα 'δινα πίσω το μωρό, θα
έκανα ένα απολαυστικό γεύμα.
Γιατί;;

4. Το περίφημο παράδοξο του αξύριστου κουρέα
(με την υπογραφή του Μπέρτραντ Ράσσελ, συγγραφέα του Principia Mathematica)
------------------------------------------------------------------------------------
Είναι λοιπόν ένας μπαρμπέρης σε ένα χωριό ο οποίος έξω από το
κουρείο του έχει κρεμασμένη μια πινακίδα που γράφει το εξής :
Ξυρίζω αυτούς και μόνον αυτούς που δεν ξυρίζονται μόνοι τους.
Το ερώτημα είναι, ποιος ξυρίζει τον κουρέα ;
Παράδοξο: Αν ξυρίζει τον εαυτό του σημαίνει ότι ανήκει σε εκείνους που
ξυρίζονται μόνοι τους. Η πινακίδα του όμως λέει ότι δεν ξυρίζει
κανέναν απ' αυτούς. Συνεπώς δεν μπορεί να ξυριστεί μόνος του.
Αν κάποιος άλλος ξυρίσει τον κουρέα, τότε θα είναι ένας απ' αυτούς
που δεν ξυρίζονται μόνοι τους. Αλλά η πινακίδα του λέει ότι ξυρίζει
όλους τους άντρες που δεν ξυρίζονται μόνοι τους. Έτσι λοιπόν κανένας
άλλος δεν μπορεί να ξυρίσει τον κουρέα. Και τι θα γίνει ο κουρέας;
Θα μείνει αξύριστος και θα αλλάξει επάγγελμα και θα γίνει παπάς ;

Σημείωση: Μην το ψάχνετε και πολύ αυτό το παράδοξο εκτός και αν μπορείτε να
δώσετε τον ορισμό του Συνόλου!

5. Το παράδοξο της ψηφοφορίας.
------------------------------------------------------------------------------------
Ας υποθέσουμε ότι ο Σημίτης, ο Καραμανλής και η Παπαρήγα θέτουν
υποψηφιότητα για πρωθυπουργοί...
Η καταμέτρηση των ψήφων έδειξε ότι τα 2/3 των ψηφοφόρων προτιμούν
τον Σημίτη από τον Καραμανλή και τα 2/3 προτίμησαν τον Καραμανλή
από την Παπαρήγα. Άρα οι περισσότεροι ψηφοφόροι προτιμούν τον
Σημίτη από την Παπαρήγα ;

Όχι αναγκαστικά !
1/3 : Α Β Γ
1/3 : Β Γ Α
1/3 : Γ Α Β
Αν οι ψηφοφόροι κατέταξαν με την ψήφο τους υποψηφίους όπως
φαίνεται παραπάνω, τότε έχουμε ένα καταπληκτικό παράδοξο. Ας
αφήσουμε τους υποψηφίους να το εξηγήσουν :
Σημίτης : Τα 2/3 των ψηφοφόρων προτιμούν εμένα από τον
Καραμανλή.
Καραμανλής : Τα 2/3 των ψηφοφόρων προτιμούν εμένα από την
Παπαρήγα.
Παπαρήγα : Τα 2/3 των ψηφοφόρων προτιμούν εμένα από τον
Σημίτη.
Σημείωση: Το παράδοξο δείχνει ότι δεν ισχύει πάντα η μεταβατική σχέση: χRψ και ψRz τότε χRz
Το άπειρο και τα παράδοξα του Ζήνωνα
Η έννοια του απείρου είναι τόσο αρχαία όσο και η Ιόνιος Φιλοσοφία με το οποίο ασχολήθηκε πρώτη. Το “άπειρο” ανέκαθεν προξενούσε και προξενεί αρκετές δυσκολίες και προβλήματα στον καθορισμό του όπως και στην κατανόησή του. Με την έννοια “άπειρο” εννοούμε συνήθως κάτι το οποίο αντίκειται στο πεπερασμένο, κάτι χωρίς πέρας, κάτι έξω από το οποίο δεν υπάρχει τίποτα, κάτι το οποίο δεν επιδέχεται περαιτέρω αύξηση. Το άπειρο προκάλεσε από την αρχή διαφορές, αντινομίες, πολλές από τις οποίες αποτελούν μέχρι σήμερα αντικείμενο μελέτης. Θα αρκεστούμε στα 4 γνωστά σοφίσματα του Ζήνωνα του Ελεάτη (496-429 π.Χ.). Αυτά σήμερα έχουν ιστορική μόνο σημασία.

6. Το Παράδοξο της Διχοτομίας
Το συγκεκριμένο Παράδοξο καταλήγει στο συμπέρασμα ότι “ η κίνηση είναι αδύνατη “διότι ό,τι κινείται, πριν φτάσει στο τέρμα του πρέπει να φτάσει στη μέση της πορείας του.
Ο Ζήνωνας λέει ότι για να μεταβεί ένα σώμα από μια θέση Α σε μια θέση Β οφείλει να διανύσει το μισό της απόστασης ΑΒ. Στη συνέχεια το μισό του υπολοίπου, ακολούθως το μισό του νέου υπολοίπου και ούτω καθ’ εξής.Οι αποστάσεις αυτές γίνονται συνεχώς μικρότερες, αλλά απαιτείται για κάθε μια απ’ αυτές ένας ορισμένος χρόνος για να διανυθεί. Και έτσι συμπέρανε ότι “το άθροισμα ενός απείρου αριθμού ορισμένων χρονικών διαστημάτων οφείλει να είναι άπειρο”.Κατά συνέπεια η πραγματικότητα της κίνησης και ακριβέστερα της έκτασης είναι αδύνατη.
Γι’ αυτή την αντινομία έχουν προταθεί αρκετές λύσεις. Μια από αυτές θεωρεί ότι το λάθος του συλλογισμού έγκειται στην αληθοφανή πρόταση “το άθροισμα ενός απείρου αριθμού ορισμένων χρονικών διαστημάτων είναι άπειρο”. Αυτή η πρόταση ισχύει αλλά όχι πάντα.
Ας υποθέσουμε για παράδειγμα ότι (ΑΒ) = 2 Κm και η ταχύτητα του κινητού είναι u = 1 Km/min. Τότε το μισό της απόστασης έστω (ΑΜ1) θα διανυθεί σε χρόνο t1 = 1 min ,το μισό του υπολοίπου απόστασης το (Μ1Μ2) σε χρόνο t2 = 1/2 ,το μισό του υπολοίπου, δηλ. το (Μ2Μ3) σε χρόνο t3 = 1/4 min, κ.τ.λ. Έτσι ο χρόνος t που απαιτείται για να διανυθεί η απόσταση (ΑΒ) δίνεται από τη σειρά t=t1+t2+.....+tn+... , δηλαδή t = 1+1/2 +1/4 +...+1/2ν+...
Το άθροισμα, όμως , δεν είναι άπειρο. Ισχύει ότι t® 2,αλλά ποτέ δεν το υπερβαίνει. Κατά συνέπεια ο χρόνος είναι t = 2 min και όχι άπειρος. Έτσι, απορρίπτεται το συμπέρασμα του Ζήνωνα ότι η κίνηση είναι αδύνατη.

7. Το Παράδοξο του Αχιλλέα και της Χελώνας.
Το συγκεκριμένο παράδειγμα καταλήγει στο συμπέρασμα ότι “ο βραδύτερος ουδέποτε θα προσπεραστεί από τον ταχύτερο’’.
Για να παρουσιαστεί αυτή η αντινομία πιο κατανοητή ας υποθέσουμε ότι η χελώνα προσπερνά τον Αχιλλέα 100 m και ότι η ταχύτητα uA του Αχιλλέα είναι uA=10 m/sec και της χελώνας, ux, είναι ux=1 m/sec. Τότε ο Αχιλλέας σε χρόνο t1=10 sec θα διανύσει την απόσταση (ΑΧ1)=100 m, την οποία τον προσπερνούσε η χελώνα. Κατά τη διάρκεια αυτού του χρόνου t1 η χελώνα θα διανύσει το διάστημα (x1x2) =10 m. Στη συνέχεια για να διατρέξει αυτή την απόσταση ο Αχιλλέας θα χρειαστεί χρόνο t2 =1 sec. Κατά το χρόνο t2 η χελώνα θα διανύσει το διάστημα (x2x3) =1 m και ο Αχιλλέας θα το διατρέξει σε χρόνο t3 =1/10 sec.Η κίνηση αυτή θα συνεχίζεται επ’ άπειρο. Έτσι κατέληξε ο Ζήνων, ότι ο Αχιλλέας δε θα φτάσει ποτέ τη χελώνα.
Όμως και η αντινομία αυτή αίρεται όπως και η προηγούμενη. Έτσι ο χρόνος t θα δίνεται από τη σχέσηt=t1+t2+.....+tn ή t=10+1+1/10+...+1/10ν. Όμως και αυτή η σειρά έχει πεπερασμένο άθροισμα και είναι ίσο με t=111/9 sec.

8. Το Παράδοξο του “πετώντος βέλους”.
Το παράδοξο αυτό καταλήγει στο συμπέρασμα ότι ”αν κάτι είναι σε ηρεμία ή κίνηση σε χώρο ίσο με τον εαυτό του και αν ο,τι κινείται θεωρείται πάντοτε στιγμιαίως, τότε το βέλος στο πέταγμά του είναι ακίνητο ”.
Ας δεχτούμε ότι ένα βέλος τίθεται σε κίνηση ανάμεσα σε δύο σημεία Σ1 και Σ2 και μεταξύ των χρόνων t1 και t2.Ανάμεσα σ’ αυτά υπάρχουν πολλά σημεία Σn και αντίστοιχα κατά την κίνηση πολλά χρονικά σημεία tn με n=1,2,3,...
Το σύνολο των χωρικών σημείων που καταλαμβάνει το βέλος είναι ο χώρος που ισούται προς τις διαστάσεις αυτού του αντικειμένου. Αν λοιπόν φανταστούμε κατά συστοιχία σύνολα αντιληπτικών χωρικών σημείων, απ’ αυτά που το σύνολό τους ισούται προς το διάστημα το οποίο διανύει το κινούμενο αντικείμενο και ανάλογα αν φανταστούμε κατά συστοιχία σύνολα αντιληπτικών χρονικών σημείων της διάρκειας της κίνησής του , τότε τα σημεία του αντικειμένου παρουσιάζονται ακίνητα μέσα στα χωροχρονικά αυτά σημεία. Έτσι όλη η κίνηση του αντικειμένου, η οποία προϋποτίθεται στην εμπειρία μας ως συνεχής, δεν είναι παρά μια εικόνα που συντίθεται από ασυνεχείς φάσεις, δηλαδή μια “κινηματογραφική” και όχι φυσική κίνηση.
9. Το Παράδοξο του Σταδίου.
Ας φανταστούμε τρείς παράλληλες σειρές σημείων Α,Β,Γ από τις οποίες η σειρά Α μένει ακίνητη και οι άλλες δύο κινούνται με ίση ταχύτητα προς αντίθετες κατευθύνσεις μπροστά από τη σειρά Α. Τα σημεία Β κινούνται προς τα δεξιά ενώ συγχρόνως τα σημεία Γ κινούνται προς την αντίθετη κατεύθυνση με την ίδια ταχύτητα και ρυθμό με το Β.
Έτσι, κάποια ορισμένη στιγμή το Β1, το Α3 και το Γ1 βρίσκονται όλα στο ίδιο ύψος. Στη συνέχεια το Β1 θα είναι απέναντι από το Α4, το Γ1 απέναντι από το Α2 και το Β3 απέναντι από το Α2. Δηλαδή το Γ1 είχε ευθυγραμμιστεί με το Β2 πριν ευθυγραμμιστεί με το Β3. Αυτό, όμως ,σημαίνει ότι η κίνηση θα μπορούσε να θεωρηθεί ότι συντελείται συνεχώς δια μέσου των διαδοχικά διαιρετών μερών της χωροχρονικής έκτασης.
Η αντινομική μορφή των επιχειρημάτων αυτών οργανώνεται γύρω από τη θέση ότι η πορεία διαίρεσης και σύνθεσης της χωρικής και χρονικής έκτασης οδηγεί στο άπειρο.
Η πραγματικότητα του απείρου υπήρξε η πηγή πολλών διαφωνιών και αντιθέσεων μεταξύ των φιλοσόφων και μεταξύ των μαθηματικών σε όλους τους αιώνες. Γι’ αυτό αρκετοί φιλόσοφοι και μαθηματικοί κατά καιρούς αναγκάστηκαν να το αρνηθούν για να αποφύγουν τις δυσκολίες και τα παράδοξά του. Έτσι, ο Αμερικανός E.Northrop πιστεύει ότι “το άπειρο είναι ένας από τους καθαρούς εχθρούς της ησυχίας του πνεύματος των μαθηματικών”. Πράγματι, το άπειρο απασχολεί συνεχώς από την ανακάλυψή του το ανθρώπινο πνεύμα και είναι η αιτία αρκετών από τα μαθηματικά σοφίσματα, παράδοξα, και αντινομίες, δεν είναι όμως, μαθηματικά παράλογα.

Καραγιάννη Άννα

Βιβλιογραφία: Το παραπάνω κείμενο είναι απόσπασμα της διάλεξης του κ. Γ.Κ.Μαυρικάκη: ”Οι σύγχρονες απόψεις περί του απείρου” στην Ε.Μ.Ε. έτους 1964 καθώς και του περιοδικού Δευκαλίων, τεύχος 11ο, “Προσωκρατική φιλοσοφία”.

Μαθηματικά και αριστερόχειρες!

Βρήκα μια ενδιαφέρουσα διπλωματική εργασία του Δεληκανλή Παναγιώτη που κατέθεσε στο μεταπτυχιακό πρόγραμμα σπουδών διδακτικής και μεθοδολογίας των Μαθηματικών.

Μου έκανε εντύπωση το θέμα το οποίο διαπραγματεύεται και είναι το εξής:

ΕΓΚΕΦΑΛΟΣ

ΣΥΜΜΕΤΡΊΑ

ΜΆΘΗΣΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΏΝ 

Γνωστικές διαφορές μεταξύ δεξιόχειρων και αριστερόχειρων μαθητών κατά την αντιμετώπιση μαθηματικών εννοιών και δεξιοτήτων

Η διδασκαλία των εννοιών: οριζόντια, κατακόρυφη διεύθυνση, σύστημα συντεταγμένων είναι μια πορεία αφαιρετικής διαδικασίας κατά την οποία τα αντικείμενα αφαιρούνται από το χώρο ώστε να επιτευχθεί μια οργάνωση του χώρου.

Η Εικόνα 2 έχει σχεδιαστεί από την Μαρία δεξιόχειρο κορίτσι της Β΄ Γυμνασίου 

Εικόνα 2 : Ένας άνθρωπος στην αριστερή πλευρά ενός βουνού και ένας άλλος στην δεξιά πλευρά του βουνού περπατούν πηγαίνοντας προς την κορυφή

Μαθηματικά παιχνίδια! Για Δημοτικό και Γυμνάσιο

Ένα καλό site που βρήκα και έχει πολλά παιχνίδια με Μαθηματικά για μαθητές Δημοτικού-Γυμνασίου είναι το http://sites.google.com/site/mathfungames/

ΠΕΡΙΓΡΑΦΗ:  Περιέχει συνδέσμους για ασκήσεις και παιχνίδια Μαθηματικών σύμφωνα με τα Σχολικά Βιβλία του Γυμνασίου. Ιδανική σελίδα για επανάληψη και συνδυασμό διαφορετικών εννοιών, ενοτήτων. Ταιριάζει και για τις τελευταίες τάξεις του Δημοτικού. Με σκοπό να μπορούν οι μαθητές να εξασκούνται στα Μαθηματικά αντιμετωπίζοντάς τα και ως παιχνίδι.

Πρακτικά 26ου Συνέδριου της Ε.Μ.Ε Νοεμβρίου 2009

Ημερομηνία: 13, 14 και 15 Νοεμβρίου

Περιοχή: Θεσσαλονίκη.

Τοποθεσία : Εναρκτήρια Τελετή στην αίθουσα Grand Pietra του Ξενοδοχείου Porto Palace και

Χώρος διεξαγωγής του συνεδρίου το Porto Palace Hotel.

Διοργανωτής: Ε.Μ.Ε Παράρτημα Κεντρικής Μακεδονίας

Σύνδεσμοι για τα πρακτικά:
1. mathematica
Παρουσιάσεις:

• Συγκελάκης Α.  Θέμα: "Τύποι Παραγωγής Πρώτων Αριθμών", 
• Μαρίνης Σ.   Θέμα:

-->"Προβλήματα καθημερινότητας: Επιζήμια ως στόχος, χρήσιμα ως μέσο της διδασκαλίας των Μαθηματικών" , 

Κυριακόπουλος Α.  Θέμα:« ΑΠΟΔΕΙΞΗ ΣΥΝΕΠΑΓΩΓΗΣ. Η ΙΣΟΔΥΝΑΜΙΑ»

2. Επίσης στην ιστοσελίδα  μπορείτε να δείτε την Eργασία των συναδέλφων Βασίλη Γιαννογλούδη και Ιωάννη Τζήκα με τίτλο "Παρουσίαση Επέκτασης Σχήματος Horner"

3. Ακόμα διαβάζουμε τους συναδέλφους Ζάφειρας Παναγιώτης - Βροντάκης Εμμανουήλ - Γκόρου Παγώνα, που με αφορμή "λάθος" εκφώνησης σε μια άσκηση από το Βιβλίο της Γεωμετρίας της Β΄ Λυκείου, τους οδήγησε σ΄ αυτό το σενάριο. ΤΟ   ΛΑΘΟΣ   ΕΙΝΑΙ  ΑΝΩΤΕΡΟ  ΤΗΣ  ΤΕΧΝΗΣ

Πρακτικά από το 2ο Πανελλήνιο Εκπαιδευτικό Συνέδριο Ημαθίας 2010

"Ψηφιακές και Διαδικτυακές εφαρμογές στην εκπαίδευση"

Υπό την αιγίδα του Υπουργείου Παιδείας, Δια Βίου Μάθησης και Θρησκευμάτων και της Νομαρχιακής Αυτοδιοίκησης Ημαθίας

Στην σελίδα http://www.ekped.gr/praktika10/math.htm υπάρχουν οι Εισηγήσεις των Μαθηματικών

• 
  
  Σ. Πιπίνος, Γ. Σάββας,
  «Οι Ενήλικοι Μαθητές στο Σχολείο Δεύτερης Ευκαιρίας προτείνουν Μαθηματικά Προβλήματα της Καθημερινότητάς τους, τα οποία επιλύονται μέσα στην τάξη με τη χρήση των ΤΠΕ» (σσ 854-867)
• 
  
  Γ. Μπολοτάκης,
  «Διδάσκοντας Μαθηματικά με Τ.Π.Ε – “Εισαγωγή στον Τριγωνομετρικό Κύκλο”» (σσ 868-878)
  [Συνοδευτικά αρχεία]
• 
  
  Μ. Μπουζάλης, Ν. Ωρολογάς,
  «Η κληρονομιά δύο αδελφών ή Το ορισμένο ολοκλήρωμα με τις Τ.Π.Ε.» (σσ 879-890)
  [Συνοδευτικά αρχεία]
• 
  
  Ι. Πλατάρος,
  «Μια Γεωμετρική εφαρμογή Μεγίστου κι Ελάχιστου με χρόνο, μέσω Δυναμικού Λογισμικού, ως Διδακτική Πρόταση» (σσ 891-899)
• 
  
  Γρ. Δελιγκάς, Χρ. Τίκβα,
  «Μια διδακτική προσέγγιση της γραμμικής συνάρτησης μέσω επίλυσης προβλήματος συνεργατικά και με τη χρήση του εκπαιδευτικού λογισμικού Function Probe» (σσ 900-907)
• 
  
  Στ. Δημητρακοπούλου, Ν. Σολδάτος,
  «M a t h G a m e  “Διαδραστικό παιχνίδι γνώσεων στα Μαθηματικά της Γ΄ Γυμνασίου”» (σσ 908-919)
• 
  
  Σ. Πιπίνος, Στ. Κοκκαλίδης, Χρ. Ηρακλείδης, [εργαστηριακή εισήγηση]
  «Διδακτικό Σενάριο: Προσεγγίζοντας Κωνικές Τομές με τη βοήθεια της Μεσοκαθέτου στο Δυναμικό Περιβάλλον του Geometer’s Sketchpad» (σσ 920-932)
  [Συνοδευτικά αρχεία]
• 
  
  Δ.  Σκλαβάκης, Ι. Ρεφανίδης, [εργαστηριακή εισήγηση]
  «ΜΑΘΗΣΙΣ: Μία Ευφυής Διαδικτυακή Τάξη Άλγεβρας» (σσ 933-938)
  [Συνοδευτικά αρχεία]

Οι Σχολικοί Σύμβουλοι ΠΕ:03

Οι 47 Σχολικοί Σύμβουλοι ΠΕ:03 σύμφωνα με τα στοιχεία της ΠΕΣΣ είναι:

1.     ΑΓΡΑΦΙΩΤΟΥ    ΞΑΝΘΙΠΠΗ    Κ. ΜΑΚΕΔΟΝΙΑΣ    ΒΕΡΟΙΑ

2.     ΑΛΕΞΑΝΔΡΟΥ    ΣΜΑΡΩ    ΑΝ. ΜΑΚ. & ΘΡΑΚΗΣ  ΑΛΕΞΑΝΔΡΟΥΠΟΛΗ

3.     ΑΡΓΥΡΟΠΟΥΛΟΣ    ΗΛΙΑΣ    ΣΤ. ΕΛΛΑΔΑΣ    ΛΑΜΙΑ

4.     ΑΦΡΑΤΗΣ     ΓΕΩΡΓΙΟΣ    ΔΥΤ. ΕΛΛΑΔΑΣ    ΠΥΡΓΟΣ

5.     ΒΑΣΑΚΟΣ    ΘΩΜΑΣ    Κ. ΜΑΚΕΔΟΝΙΑΣ    ΚΙΛΚΙΣ

6.     ΒΑΣΙΛΑΣ    ΝΙΚΟΛΑΟΣ    ΑΤΤΙΚΗΣ    ΝΕΑ ΣΜΥΡΝΗ

7.     ΒΕΡΓΙΔΗΣ    ΘΕΟΔΩΡΟΣ    ΑΝ. ΜΑΚ. & ΘΡΑΚΗΣ    ΚΑΒΑΛΑ

8.     ΒΕΡΥΚΙΟΣ    ΠΕΤΡΟΣ    ΑΤΤΙΚΗΣ    ΓΕΡΑΚΑΣ

9.     ΒΛΑΧΟΣ    ΙΩΑΝΝΗΣ    ΗΠΕΙΡΟΥ    ΙΩΑΝΝΙΝΑ

10.  ΓΑΡΔΕΛΗ    ΣΟΦΙΑ    ΣΤ. ΕΛΛΑΔΑΣ    ΧΑΛΚΙΔΑ

11.   ΓΚΙΝΗΣ    ΔΗΜΗΤΡΙΟΣ    ΑΤΤΙΚΗΣ    Β' ΑΘΗΝΑΣ

12.   ΔΗΜΑΡΑΚΗΣ    ΙΩΑΝΝΗΣ    ΠΕΛΟΠΟΝΝΗΣΟΥ    ΚΟΡΙΝΘΟΣ

13.  ΔΗΜΗΤΡΙΑΔΟΥ    ΕΛΕΝΗ    Κ. ΜΑΚΕΔΟΝΙΑΣ    ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗ

14.  ΔΟΡΤΣΙΟΣ    ΚΩΝΣΤΑΝΤΙΝΟΣ    ΔΥΤ. ΜΑΚΕΔΟΝΙΑΣ    ΚΟΖΑΝΗ

15.  ΕΛΕΥΘΕΡΙΟΥ    ΠΡΟΔΡΟΜΟΣ    Β. ΑΙΓΑΙΟΥ    ΜΥΤΙΛΗΝΗ

16.    ΘΕΟΔΩΡΟΠΟΥΛΟΣ    ΠΑΝΑΓΙΩΤΗΣ    ΠΕΛΟΠΟΝΝΗΣΟΥ    ΤΡΙΠΟΛΗ

17.    ΚΑΖΟΥΡΑΣ    ΔΗΜΗΤΡΙΟΣ    ΚΡΗΤΗΣ    ΧΑΝΙΑ

18.   ΚΑΜΠΑΝΗ-ΠΟΤΟΥΡΙΔΟΥ    ΕΛΙΣΣΑΒΕΤ    ΑΤΤΙΚΗΣ    ΑΙΓΑΛΕΩ

19.    ΚΑΝΕΛΛΟΣ    ΙΩΑΝΝΗΣ    ΚΡΗΤΗΣ    ΗΡΑΚΛΕΙΟ

20.    ΚΑΤΣΙΑΡΗΣ    ΔΗΜΟΣΘΕΝΗΣ    Κ. ΜΑΚΕΔΟΝΙΑΣ    ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗ

21.     ΚΟΝΤΟΓΙΑΝΝΗΣ    ΙΩΑΝΝΗΣ    Ν. ΑΙΓΑΙΟΥ    ΕΡΜΟΥΠΟΛΗ

22.     ΚΟΡΔΑΚΗ    ΜΑΡΙΑ    ΔΥΤ. ΕΛΛΑΔΑΣ    ΠΑΤΡΑ

23.      ΚΟΥΦΟΣ    ΘΕΟΔΩΡΟΣ    Κ. ΜΑΚΕΔΟΝΙΑΣ    ΚΑΤΕΡΙΝΗ

24.       ΛΟΥΒΗΣ    ΗΛΙΑΣ    Ν. ΑΙΓΑΙΟΥ    ΡΟΔΟΣ

25.      ΜΑΝΩΛΟΠΟΥΛΟΣ    ΜΙΧΑΗΛ    ΣΤ. ΕΛΛΑΔΑΣ    ΛΙΒΑΔΕΙΑ

26.     ΜΕΛΕΤΗ – ΚΛΟΥΒΑΤΟΥ    ΒΑΣΙΛΙΚΗ     ΑΤΤΙΚΗΣ    ΕΛΕΥΣΙΝΑ

27.     ΜΗΛΙΩΝΗΣ    ΧΡΙΣΤΟΣ    ΠΕΛΟΠΟΝΝΗΣΟΥ    ΚΑΛΑΜΑΤΑ

28.    ΜΗΤΡΟΓΙΑΝΝΟΠΟΥΛΟΥ    ΑΓΓΕΛΙΚΗ    ΑΤΤΙΚΗΣ    ΑΘΗΝΑ

29.    ΜΠΑΡΑΛΟΣ    ΓΕΩΡΓΙΟΣ    ΑΤΤΙΚΗΣ    ΠΕΙΡΑΙΑΣ

30.      ΜΠΙΤΣΗΣ    ΔΗΜΗΤΡΙΟΣ    ΑΝ. ΜΑΚ. & ΘΡΑΚΗΣ    ΚΟΜΟΤΗΝΗ

31.   ΜΠΟΥΝΑΚΗΣ    ΔΗΜΗΤΡΙΟΣ    ΚΡΗΤΗΣ    ΗΡΑΚΛΕΙΟ

32.    ΝΑΚΟΣ    ΚΩΝΣΤΑΝΤΙΝΟΣ    ΗΠΕΙΡΟΥ    ΠΡΕΒΕΖΑ

33.   ΝΤΡΙΖΟΣ    ΔΗΜΗΤΡΙΟΣ    ΘΕΣΣΑΛΙΑΣ    ΤΡΙΚΑΛΑ

34.     ΠΑΠΑΒΛΑΣΟΠΟΥΛΟΣ    ΣΩΖΩΝ    ΙΟΝΙΩΝ ΝΗΣΩΝ    ΚΕΡΚΥΡΑ

35.     ΠΙΤΕΡΗ    ΣΟΦΙΑ    ΑΤΤΙΚΗΣ    Β' ΑΘΗΝΑΣ

36.      ΠΡΙΜΕΡΑΚΗΣ    ΓΕΩΡΓΙΟΣ    Κ. ΜΑΚΕΔΟΝΙΑΣ    ΣΕΡΡΕΣ

37.    ΣΑΛΙΧΟΣ    ΜΙΧΑΗΛ    ΑΤΤΙΚΗΣ    ΠΕΙΡΑΙΑΣ

38.   ΣΟΥΡΛΑΣ    ΚΩΝΣΤΑΝΤΙΝΟΣ    Β. ΑΙΓΑΙΟΥ    ΣΑΜΟΣ

39.  ΣΤΑΤΕΡΑΣ    ΧΡΗΣΤΟΣ    ΑΤΤΙΚΗΣ    ΑΘΗΝΑ

40.    ΣΤΑΦΥΛΙΔΟΥ    ΣΤΑΜΑΤΙΑ    Κ. ΜΑΚΕΔΟΝΙΑΣ    ΠΟΛΥΓΥΡΟΣ

41.   ΤΖΟΥΜΑΣ    ΜΙΧΑΗΛ    ΔΥΤ. ΕΛΛΑΔΑΣ    ΜΕΣΟΛΟΓΓΙ

42.   ΤΟΥΜΑΣΗΣ    ΧΑΡΑΛΑΜΠΟΣ    ΔΥΤ. ΕΛΛΑΔΑΣ    ΠΑΤΡΑ

43.      ΤΡΙΑΝΤΑΦΥΛΛΟΥ    ΑΘΑΝΑΣΙΟΣ    ΘΕΣΣΑΛΙΑΣ    ΛΑΡΙΣΑ

44.     ΤΣΩΝΗΣ    ΑΘΑΝΑΣΙΟΣ    ΘΕΣΣΑΛΙΑΣ    ΒΟΛΟΣ

45.    ΦΕΡΕΝΤΙΝΟΣ    ΣΠΥΡΙΔΩΝ    ΑΤΤΙΚΗΣ    ΑΙΓΑΛΕΩ

46.   ΧΑΛΚΟΥ    ΜΑΡΙΑ    ΑΤΤΙΚΗΣ    ΑΘΗΝΑ

47.   ΧΡΥΣΟΒΕΡΓΗΣ    ΜΙΧΑΗΛ    ΑΤΤΙΚΗΣ    ΑΘΗΝΑ

Σημειώσεις:

1. Όποιος Σχολικός Σύμβουλος (Σ.Σ.) ΠΕ:03 έχει ιστοσελίδα και ενδιαφέρεται να φαίνεται στο blog μου, μπορεί με ένα προσωπικό μήνυμα στο mac190604@gmail.com να μου το γνωστοποιεί και εγώ με την σειρά μου θα την αναρτώ στα site των Σχολικών Συμβούλων ΠΕ:03.
   Με αυτό τον τρόπο βοηθάμε στη καλύτερη ενημέρωση των Εκπαιδευτικών.

2.  Επειδή γνωρίζω την δουλειά πολλών Σ.Σ., προτείνω στους συναδέλφους (κυρίως νέους) να αναζητούν και να ζητάνε το υλικό που έχουν διαθέσιμο, έχω δει καταπληκτικές δουλειές που μπορεί να μας βοηθήσει στο έργο μας μέσα στην τάξη.

Θέματα ΚΕΕ Λυκείου, για τον μαθητή και τον καθηγητή

Τα βιβλία του Κέντρου Εκπαιδευτικής Έρευνας (ΚΕΕ) για την αξιολόγηση των μαθητών

• Για το υλικό των βιβλίων κλικ στο σύνδεσμο: http://www.kee.gr/html/themata_main.php

• Για τους συγγραφείς κλικ στο σύνδεσμο: http://www.kee.gr/attachments/file/2364.pdf

Μαθηματικά και GPS

Τα μαθηματικά στο Global Positioning System (GPS)

Για να ξεφύγουμε λίγο από την παράνοια των θεωρητικών μαθηματικών, από τα 1 + 1 = 0 και από την ισοδυναμία ή όχι δυο απειροσυνόλων, ας μιλήσουμε για κάτι πρακτικό και εφαρμόσιμο, βλέποντας πως τα μαθηματικά χρησιμεύουν στην τεχνολογία.


Το σύστημα GPS
Είναι γνωστό ότι τα διάφορα ηλεκτρονικά μέσα, και κυρίως οι διάφοροι δορυφόροι που περιφέρονται γύρω από τη Γη χρησιμοποιούνται, μεταξύ άλλων, και για τον εντοπισμό διαφόρων αντικειμένων ή και ανθρώπων πάνω στην επιφάνεια της Γης. Η διαδικασία είναι γνωστή σας GPS (Global Positioning System), και χρησιμοποιείται κατά κύριο λόγο για στρατιωτικούς σκοπούς.
Οι 24 δορυφόροι, που χρησιμοποιούνται για το σύστημα GPS, τέθηκαν σε τροχιά γύρω από τη Γη σε ύψος 20000 χιλιομέτρων από την επιφάνειά της, κατά το χρονικό διάστημα από το 1978 έως το 1994. Εκτελούν δυο πλήρεις περιστροφές σε λιγότερο από 24 ώρες, και κινούνται με ταχύτητα περίπου 11000 χιλιόμετρα την ώρα. Σαν κινητήριο δύναμη έχουν την ηλιακή ενέργεια, χωρίς να τους λείπει η εφεδρική μπαταρία σε περίπτωση έκλειψης ηλίου. Τα επίπεδα των τροχιών των δορυφόρων έχουν επιλεγεί κατά τέτοιο τρόπο, ώστε ανά πάσα στιγμή να είναι ορατοί τουλάχιστον πέντε έως οκτώ δορυφόροι από κάθε σημείο της επιφάνειας της Γης.

Για να γίνει κατανοητό το σύστημα GPS, υποθέτουμε ότι έχουμε ένα σύστημα συντεταγμένων Οxyz, του οποίου η αρχή Ο βρίσκεται στο κέντρο της Γης, και ο άξονας Οz περνά από το Βόρειο Πόλο. Υποθέτουμε επίσης, ότι η μονάδα μήκους είναι η ακτίνα της Γης, και ότι ο χρόνος μετράται σε εκατοστά του δευτερολέπτου από τα μεσάνυχτα.
Έστω ότι ένα πλοίο βρίσκεται σε κάποιο άγνωστο σημείο της επιφάνειας της Γης, του οποίου οι συντεταγμένες είναι (x,y,z) που πρέπει να προσδιορίσουμε. Το γεγονός ότι η μονάδα μήκους είναι η ακτίνα της Γης σημαίνει ότι, οι συντεταγμένες (x,y,z) κάθε σημείου της επιφανείας της Γης ικανοποιούν τη σχέση

Η απόσταση του πλοίου από ένα δορυφόρο προσδιορίζεται, αν ο δορυφόρος στείλει ένα σήμα στο πλοίο. Το σήμα κινείται με την ταχύτητα του φωτός, που είναι περίπου 0,469(t-to).

Aν ο δορυφόρος στείλει ταυτόχρονα και τις συντεταγμένες του (Xo,Yo,Zo), τότε η απόσταση του δορυφόρου από το πλοίο θα δίνεται και από τη σχέση

Από τις δυο τελευταίες σχέσεις προκύπτει η εξίσωση

η οποία, μετά τη στρογγυλοποίηση σε τρία δεκαδικά ψηφία μας δίνει

Από την εξίσωση αυτή ο δορυφόρος γνωρίζει τη θέση του και το χρόνο αποστολής του σήματος, δηλαδή γνωρίζει τα Xo, Yo, Zo, to. Επομένως έχουμε 4 αγνώστους x,y,z,t. Αυτός είναι και ο λόγος για τον οποίο χρειαζόμαστε μετρήσεις από 4 διαφορετικούς δορυφόρους για να προσδιορίσουμε τη θέση (x,y,z) του πλοίου.

Οι εξισώσεις που προκύπτουν λύνονται με μεθόδους γραμμικής άλγεβρας, ένας από τους πιο εφαρμόσιμους κλάδους των μαθηματικών. Σίγουρα υπάρχουν και άλλες μέθοδοι, πολλές περισσότερο αποτελεσματικές, αλλά πάντα μαθηματικές!

Η σχέση Πλάτωνα και Αριστοτέλη με τα Μαθηματικά

Η σχέση Πλάτωνα και Αριστοτέλη με τα Μαθηματικά

Τα μαθηματικά και η φιλοσοφία γεννήθηκαν στην αρχαία Ελλάδα, ως αποτέλεσμα της αγάπης των αρχαίων ελλήνων στην ακριβολόγηση και την απόδειξη. Μια ιστορική επομένως ανασκόπηση της φιλοσοφίας των μαθηματικών είναι φυσιολογικό να αρχίζει από εκεί.
Σύμφωνα με τον Thomas Kuhn για να κατανοήσουμε παλαιότερες εργασίες οφείλουμε να ξεχάσουμε την τρέχουσα επιστήμη και να εμβαπτισθούμε στην ανατραπείσα θεωρία, της οποίας τμήματα είναι οι προαναφερθείσες εργασίες.Ένας όμως σύγχρονος μαθηματικός δεν χρειάζεται να αναδιοργανώσει τη σκέψη του για να μελετήσει τα Στοιχεία του Ευκλείδη, τα οποία μοιάζουν με τις σύγχρονες εργασίες. Σήμερα είναι παραδεκτό πως τα Στοιχεία είναι το αποτέλεσμα μιας διαδικασίας που ξεκίνησε κατά τη διάρκεια της ζωής του Πλάτωνα.Ο Κόσμος του Είναι είναι μια σύντομη περιγραφή της θεωρίας των Ιδεών του Πλάτωνα. Έχουμε πχ εικόνες του ωραίου' παρόλα αυτά τίποτα δεν είναι απολύτως ωραίο. Ο υλικός κόσμος έχει ψεγάδια. Υπάρχει όμως ο κόσμος των Μορφών (Ιδεών), αιώνιος και αναλλοίωτος στον οποίο υπάρχει η «όντως Ομορφιά», η «Όντως Δικαιοσύνη» κλπ. Οι ιδέες είναι οντολογικά υπαρκτές, όχι νοητικά κατασκευάσματα.

Έτσι ο Πλάτων δεν θα συμφωνούσε με την άποψη ότι η ομορφιά ή δικαιοσύνη κλπ βρίσκονται στο τρόπο που βλέπει κανείς τα πράγματα. Ο φυσικός κόσμος ονομάζεται κόσμος του γίγνεσθαι, γιατί υπόκειται σε αλλαγή και στη φθορά, κατανοείται δε με τις αισθήσεις.
Πώς κατά τον Πλάτωνα αντιλαμβανόμαστε τις Μορφές, δηλ. ποια είναι η επιστημολογία του; Τις αντιλαμβανόμαστε μέσω της νόησης. Στον έργο του «Μένων», ο Πλάτωνας υποστηρίζει ότι η «μάθηση» στην πραγματικότητα είναι ανάμνηση από τη ζωή της ψυχής στον κόσμο της Αληθείας, πριν εισέλθει στο σώμα.Τα μαθηματικά κατά τον Πλάτωνα είναι ένα μέσο για να εξυψωθεί το πνεύμα πέρα από τον υλικό κόσμο στον αιώνιο κόσμο του Είναι.

Ο Πλάτωνας για τα Μαθηματικά
Η γεωμετρία αποτελεί κατά τον Πλάτωνα ένα παράδειγμα του κόσμου των Ιδεών και της σχέσης του με τον φυσικό κόσμο. Ο τελευταίος δεν περιέχει τέλειους κύκλους ευθείες ή σημεία, σε αντίθεση με τον πρώτο. Τα γεωμετρικά αντικείμενα ως αιώνια και αναλλοίωτα δεν υπάρχουν στον φυσικό κόσμο. Τοιουτοτρόπως τα θεωρήματα της γεωμετρίας είναι αντικειμενικά αληθή ανεξάρτητα από τον νου την γλώσσα, ή άλλα χαρακτηριστικά του
μαθηματικού. Πρόκειται για ένα ρεαλισμό ως προς την τιμή αληθείας, που φθάνει μέχρι τον ρεαλισμό στην οντολογία.

Η γεωμετρική γνώση αποκτάται με καθαρή σκέψη, ή με ανάμνηση της ψυχής από την ύπαρξή της στον κόσμο του Είναι, πριν εισέλθει στο σώμα.
Η δυναμική γλώσσα στη γεωμετρία (πχ
κατασκευές) έφερε σε δύσκολη θέση πολλούς από την Ακαδημία του Πλάτωνα, αφού δεν συμβιβάζεται με το αναλλοίωτο και αιώνιο των γεωμετρικών αντικειμένων.
Το γεωμετρικό σχήμα κατά τον Πλάτωνα βοηθά τον νου να συλλάβει τον αιώνιο και αναλλοίωτο κόσμο της γεωμετρίας. Πώς γίνεται όμως αυτό αφού ο κόσμος του Είναι είναι προσεγγίσιμος μόνο μέσω του νου και όχι των αισθήσεων;
Οι συνεχιστές των θεωριών του Πλάτωνα, αν και εγκατέλειψαν κάποιες μυστικιστικές απόψεις του σχετικά με την επιστημολογία. Διατήρησαν όμως, την άποψη ότι η γεωμετρική γνώση είναι a priori, ανεξάρτητη από την αισθητηριακή εμπειρία. Ένα εγειρόμενο ερώτημα που ζητά απάντηση είναι το πώς η γεωμετρία έχει εφαρμογές στο φυσικό κόσμο.
Τις ίδιες απόψεις του ρεαλισμού ως προς την τιμή αληθείας, και ως προς την οντολογία έχει ο Πλάτων και για την αριθμητική και την άλγεβρα. Ισχύουν προσεγγιστικά στο φυσικό κόσμο, ενώ ισχύουν ακριβώς και αυστηρώς στον κόσμο του Είναι.
Η θεωρία των αριθμών στη αρχαία Ελλάδα ονομαζόταν αριθμητική, ενώ η πρακτική αριθμητική λογιστική. Και η λογιστική και η αριθμητική κατά τον Πλάτωνα ανήκουν στον κόσμο των Ιδεών. Η αριθμητική ασχολείται με τους φυσικούς αριθμούς και η λογιστική ασχολείται με την σχέση μεταξύ των αριθμών. Και οι δύο βοηθούν το πνεύμα να συλλάβει τη φύση του αριθμού καθεαυτή.

Ο Σωκράτης και Πλάτωνας για τα Μαθηματικά
Ο Πλάτωνας θαύμαζε τα επιτεύγματα των μαθηματικών. Δεν ήταν όμως ίδια η στάση του
Σωκράτη. Ο Σωκράτης ενδιαφερόταν για την πολιτική και ηθική και όχι για την επιστήμη. Συζητούσε με τον καθένα που ήθελε και αυτό το έπραττε σε καθημερινή βάση. Στη συζήτηση προχωρούσε προσεκτικά, εκμαιεύοντας το πιστεύω του συνομιλητή του και κατόπιν προχωρούσε σε απροσδόκητες και ανεπιθύμητες συνέπειες αυτού του πιστεύω. Η όλη συζήτηση βοηθούσε στο ξεκαθάρισμα των αντιλήψεων.
Αντίθετα ο ώριμος Πλάτων, ενδιαφέρεται για τα μαθηματικά και διατείνεται ότι είναι το πρώτο πράγμα που πρέπει να μάθει κάποιος, αφού είναι χρήσιμα σε όλες τις τέχνες, αλλά και σε κάθε μορφή γνώσης και διανοητικής λειτουργίας. Υποστήριζε ότι με τα μαθηματικά μπορούσε να περάσει κάποιος την πύλη που οδηγεί στο όντως Είναι. Με τα μαθηματικά οι άρχοντες θα περάσουν από τον κόσμο του γίγνεσθαι στον κόσμο του Είναι. Γι' αυτό συνιστούσε πολύχρονη μελέτη των μαθηματικών, των οποίων η γνώση αποτελεί προϋπόθεση για την ενασχόληση με την φιλοσοφία.
Ο Πλάτωνας δεν πιστεύει ότι η φιλοσοφία είναι για τον οποιονδήποτε. Στην ιδανική του πολιτεία, ελάχιστοι συμμετέχουν στον φιλοσοφικό στοχασμό, ενώ η συντριπτική πλειοψηφία παίρνει τις οδηγίες από αυτούς, κοιτώντας την δουλειά της. Έφθανε στο σημείο να υποστηρίξει ότι η φιλοσοφία είναι ακόμη και επικίνδυνη για τις μάζες.
Τα μαθηματικά προχωρούν με την μέθοδο της αποδείξεως, ενώ η Σωκρατική μεθοδολογία προχωρά με την μέθοδο της δοκιμής και του λάθους. Έτσι, με το πέρασμα του χρόνου η μέθοδος του Σωκράτη εγκαταλείπεται από τον Πλάτωνα, ο οποίος θέλγεται από την χωρίς περιπλοκές μαθηματική μεθοδολογία, την οποία θέλει να εφαρμόσει σε όλη την γνώση. Μετά τις σπουδές στα μαθηματικά και την φιλοσοφία κάποιοι θα συναντήσουν και κατανοήσουν τις Μορφές, ανεξάρτητα από παραδείγματα του υλικού κόσμου, φθάνοντας σε μη υποθετικές πρώτες αρχές.

Αριστοτέλης, ο Αντίπαλος του Πλάτωνα

Οι θέσεις του Αριστοτέλη για τα μαθηματικά είναι κυρίως μια πολεμική των θέσεων του Πλάτωνα. Η φιλοσοφία του Αριστοτέλη
περιέχει σπέρματα εμπειρισμού.
Ο Αριστοτέλης απέρριπτε τον κόσμο του Είναι. Δεχόταν όμως την ύπαρξη των Μορφών όχι όμως ως μέλη κάποιου ξεχωριστού κόσμου. Η Ομορφιά για παράδειγμα είναι το κοινό που υπάρχει στα όμορφα αντικείμενα, όταν όμως αυτά
καταστραφούν παύει να υπάρχει και η
Ομορφιά. Ο Αριστοτέλης δίνει σημασία όχι στο ερώτημα αν υπάρχουν τα μαθηματικά
αντικείμενα, αλλά με ποιο τρόπο υπάρχουν. Γιατί χρειαζόμαστε τα μαθηματικά αντικείμενα και σε ποιου πράγματος την εξήγηση βοηθούν; Όσον αφορά στην ύπαρξη των μαθηματικών αντικειμένων, αυτά ενυπάρχουν στα αισθητά αντικείμενα και όχι έξω από αυτά. Φαίνεται πως ο Αριστοτέλης υπονοούσε κάποια νοητική ικανότητα αφαίρεσης, με τη βοήθεια της οποίας για παράδειγμα αν επικεντρωθούμε στην επιφάνεια μιας από τις πλευρές ενός κύβου από πάγο, αποκτούμε την έννοια του επιπέδου. Αντίστοιχα οι φυσικοί αριθμοί κατακτώνται μέσω αφαιρέσεως, από συλλογές φυσικών αντικειμένων. Αυτό που μένει είναι μια εξήγηση της λειτουργίας της
αφαίρεσης.
Η αφαίρεση έτσι όπως τουλάχιστον την χρησιμοποιεί ο Αριστοτέλης έχει επικριθεί αρκετά συχνά, όπως τον 20ο αιώνα από τον λογικολόγο Gottlob Frege.
Μια δεύτερη ερμηνεία των θέσεων του Αριστοτέλη απορρίπτει την οντολογική αφαίρεση. Αν παραλείψουμε κάποιες ιδιότητες πχ μιας σφαίρας από ορείχαλκο, για να μελετήσουμε κάποιες ιδιότητες της σφαίρας δεν δημιουργούμε κάποιο καινούργιο αντικείμενο, μελετάμε συγκεκριμένες όψεις αυτού του φυσικού αντικειμένου. Παρόλα αυτά ο Αριστοτέλης θεωρούσε αβλαβές να προσποιηθούμε ότι το γεωμετρικό στερεό σφαίρα είναι ένα ξεχωριστό αντικείμενο.

Τελικά κατά τον Αριστοτέλη ο μαθηματικός μελετά πραγματικές ιδιότητες πραγματικών φυσικών αντικειμένων, δεν υπάρχουν δύο κόσμοι ο φυσικός και ο μαθηματικός.
Μια άλλη διαφορά μεταξύ Αριστοτέλη και Πλάτωνα είναι ότι για τον πρώτο έχει νόημα η δυναμική γλώσσα της γεωμετρίας αφού η μετακίνηση ο τετραγωνισμός η επίθεση η
πρόσθεση κλπ αφορά φυσικά αντικείμενα.
Υπάρχει και η άποψη πως η συνεχής αφαίρεση από τα πραγματικά αντικείμενα, όπως η αφαίρεση των ατελειών αλλά και του υλικού από το οποίο αποτελούνται, οδηγούν από την
πίσω πόρτα σε ένα κόσμο ιδεών σαν και αυτό του Πλάτωνα.

Συμπεράσματα

Η μεγάλη σημασία που δίνεται στον Πλάτωνα είναι δικαιολογημένη. Κατά τον Gödel ο πλατωνισμός είναι η μόνη ολοκληρωμένη απάντηση στο μεταφυσικό πρόβλημα της ύπαρξης ή μη των μαθηματικών οντοτήτων. Από ψυχολογική άποψη ο πλατωνισμός είναι κοντύτερα στον μαθηματικό, παρά σε οποιονδήποτε άλλο επιστήμονα των φυσικών επιστημών, αφού το αντικείμενο του πρώτου δεν έχει τον υλικό χαρακτήρα των υπό εξέταση αντικειμένων των δευτέρων.
Τέλος υπάρχει μια αισθητή διαφορά στην αντιμετώπιση των μαθηματικών από τον Πλάτωνα και τον Αριστοτέλη. Ο Αριστοτέλης σε αντίθεση με τον Πλάτωνα πίστευε ότι τα μαθηματικά δεν έχουν ηθικό περιεχόμενο, γιατί δεν αναφέρονται σε πράξεις που γίνονται με ελεύθερη επιλογή.

Μιχαήλ Μανωλόπουλος
Σχ. Σύμβουλος ΠΕ: 03

Πλήρες το κείμενο το διαβάζεται εδώ

Το παραπάνω άρθρο το βρήκαμε στην ιστοσελίδα, http://filosofiatheoritikis.blogspot.com/2010/07/blog-post_21.html που αναρτήθηκε από την Σοφία Κανιάκα.

Συμπερασματική λογική

Το διάβασα στο demelene.blogspot.com και μου άρεσε η συνεπεγωγική, συμπερασματική, επαγωγική λογική,  παρακολουθήστε την, αξίζει!!

Πρόταση 1. Περί έρωτα

Έξυπνος άνδρας + έξυπνη γυναίκα = ειδύλλιο
Έξυπνος άνδρας + χαζή γυναίκα = δεσμός
Χαζός άνδρας + έξυπνη γυναίκα = γάμος
Χαζός άνδρας + χαζή γυναίκα = εγκυμοσύνη

Πρόταση 2.  Περί εργασίας
Έξυπνο αφεντικό + έξυπνος υπάλληλος = προκοπή
Έξυπνο αφεντικό + χαζός υπάλληλος = παραγωγή
Χαζό αφεντικό + έξυπνος υπάλληλος = προαγωγή
Χαζό αφεντικό + χαζός υπάλληλος = υπερωρίες

Πρόταση 3. Περί αγοράς
Ένας άνδρας πληρώνει 2 ευρώ για
ένα αντικείμενο που χρειάζεται και κοστίζει 1 ευρώ.
Μια γυναίκα πληρώνει 1 ευρώ για
ένα αντικείμενο που δε χρειάζεται και κοστίζει 2 ευρώ.

Πόρισμα στις σχέσεις φύλων :
Μια γυναίκα ανησυχεί για το μέλλον μέχρι να βρει σύζυγο.
Ένας άντρας ποτέ δεν ανησυχεί για το μέλλον ,
παρά μόνο όταν βρει σύζυγο .

Γενίκευση :
Επιτυχημένος άνδρας είναι εκείνος που βγάζει, περισσότερα απ' όσα μπορεί να ξοδέψει η γυναίκα του. Επιτυχημένη γυναίκα είναι κάποια που μπορεί να βρει έναν τέτοιο άντρα!

Πρόταση 4. Περί ευτυχίας
Για να είσαι ευτυχισμένη μ' έναν άντρα, πρέπει να τον καταλαβαίνεις
πολύ και να τον αγαπάς λίγο.
Για να είσαι ευτυχισμένος με μια γυναίκα, πρέπει να την αγαπάς πολύ
και να μην προσπαθείς να την καταλάβεις καθόλου.

Πρόταση 5. Περί ανθεκτικότητας
Οι παντρεμένοι άντρες ζουν περισσότερο από τους ανύπαντρους , αλλά είναι πιο πρόθυμοι να πεθάνουν νωρίτερα!

Πρόταση 6. Περί αλλαγών
Μια γυναίκα παντρεύεται κάποιον ελπίζοντας πως θα τον αλλάξει , αλλά αυτός δεν αλλάζει .
Ένας άντρας παντρεύεται μια γυναίκα ελπίζοντας πως αυτή δε θ ' αλλάξει , αλλά , διάολε , αλλάζει !

Πρόταση 7. Περί διαλόγων
Μια γυναίκα έχει την τελευταία λέξη στον καυγά.

Γενίκευση : Ότι μιλήσει ένας άνδρας μετά την τελευταία λέξη της γυναίκας , είναι η αρχή ενός νέου καυγά .

Άσκηση:
Πώς μπορείτε να ταπώσετε αυτούς που θέλουν να σας παντρέψουν ;

Υπόδειξη {λίγο μακάβρια} :
Οι συγγενείς μου σε όποιο γάμο κι αν πήγαινα μου λέγανε : ' Έλα , τώρα η σειρά σου '. Σταμάτησαν να το κάνουν μόνο όταν εγώ άρχισα να τους λέω το ίδιο στις κηδείες ..