Το παράδοξο των γενεθλίων!

Πηγή: http://mathhmagic.blogspot.gr

Το παράδοξο των γενεθλίων και η 27η αγωνιστική της Superleague !!

                                 

         "Ας δώσουμε περισσότερο χρόνο στο πιθανό και θα συμβεί!!!!"
                Ηρόδοτος

 

Πόσο συχνά δυο ποδοσφαιριστές που συμμετέχουν στον ίδιο ποδοσφαιρικό αγώνα  κάνουν κοινό πάρτι γενεθλίων; 

Πολύ πιο συχνά από ότι θα περίμενε κανείς , αποδεικνύεται ότι σε περισσότερους από τους μισούς ποδοσφαιρικούς  αγώνες   δυο τουλάχιστον  ποδοσφαιριστές που λαμβάνουν μέρος στον ίδιο αγώνα θα έχουν γενέθλια την ίδια μέρα του χρόνου. Σαν  αριθμητικό δεδομένο φαντάζει περίεργο  για αυτό φέρει το τίτλο του παραδόξου παρ ότι δεν είναι. Ας το δούμε αναλυτικότερα.

Το ερώτημα που τίθεται αρχικά είναι: 

Πόσοι άνθρωποι πρέπει να  βρίσκονται σε μια αίθουσα για να έχουμε πιθανότητα μεγαλύτερη από 50% τα γενέθλια τουλάχιστον δυο από αυτούς να συμπίπτουν; Θα το σκεφτούμε αντίστροφα θα υπολογίσουμε αρχικά την πιθανότητα όλοι οι άνθρωποι να έχουν διαφορετική  μέρα του χρόνου γενέθλια. Ας φανταστούμε τον πρώτο άνθρωπο να μπαίνει στην αίθουσα τότε η  πιθανότητα  η ημέρα των γενεθλίων του να διαφέρει από κάθε άλλου προσώπου στην αίθουσα είναι 1 ( δεν υπάρχει άλλο πρόσωπο) .Το γράφουμε σαν κλάσμα:

                                                       

με την έννοια ότι  από τις 365 δυνατές μέρες γενεθλίων όλες είναι διαφορετικές .

Όταν ένα δεύτερο πρόσωπο μπαίνει στην αίθουσα  τότε θέλουμε τα γενέθλια των δυο ανθρώπων   να διαφέρουν , αν ο ένας έχει γενέθλια μια μέρα του χρόνου ο άλλος έχει  364  επιλογές ημερών σε ένα σύνολο 365 ημερών του χρόνου .Άρα η πιθανότητα σε αυτήν την περίπτωση είναι :

                                           

Όταν ένα τρίτο πρόσωπο μπει στην αίθουσα τότε έχουμε αντίστοιχα 363 επιλογές  έτσι η πιθανότητα να έχουν οι τρεις άνθρωποι γενέθλια σε διαφορετικές ημέρες του χρόνου είναι :

                                       

Ανάλογα αν μπουν μέσα Κ άνθρωποι τότε η πιθανότητα  να έχουν και οι κ γενέθλια σε διαφορετική μέρα του χρόνου είναι:

                               

 (αν δεν καταλάβατε πως βγήκε ο τύπος ,ρίξτε μια ματιά ΕΔΩ )

 

Όταν   Κ=22 το κλάσμα ισούται με 0.524305 και όταν  Κ=23 η πιθανότητα ισούται με 0.492703 . Υπολογίσαμε την πιθανότητα του ενδεχόμενου και οι  Κ άνθρωποι να έχουν γενέθλια όλοι σε διαφορετικές ημέρες  ,αν  λοιπόν από το 1 αφαιρέσουμε αυτήν  την πιθανότητα θα πάρουμε την πιθανότητα τουλάχιστον δυο άνθρωποι να έχουν την ίδια μέρα του χρόνου γενέθλια. Δείτε τα νούμερο που προκύπτουν:

Για Κ=22   τότε 1-0.524305=0.475695  ή 47.5695 %

Για κ=23 τότε  1-0.492703=0.507297 ή 50.7297 %

 

Η τελευταία  σχέση εκφράζει αυτό ακριβώς που αποκαλείται  “παράδοξο των γενεθλίων” , δηλαδή σε κάθε συγκέντρωση 23 ανθρώπων η πιθανότητα τουλάχιστον δυο από αυτούς να έχουν την ίδια μέρα του χρόνου γενέθλια είναι μεγαλύτερη από 50% (50.7297 %)

 

Αν αυτό σας φαίνεται παράξενο το διαδίκτυο μας προσφέρει τα μέσα να κάνουμε το εξής πείραμα. Σκεφτείτε ότι σε  έναν οποιοδήποτε ποδοσφαιρικό αγώνα  έχουμε 22 ποδοσφαιριστές και τον διαιτητή (11+11+1=23)  σύμφωνα  με τα παραπάνω  η πιθανότητα να  κάνουν την ίδια μέρα πάρτι  γενεθλίων τουλάχιστον δυο από τους συμμετέχοντες (παίκτες , διαιτητής ) είναι πάνω από 50% .

 

Επιλέγουμε  στην τύχη μια αγωνιστική του superleague (ας πούμε  με ημερομηνία  01/04/2012 ) και  από τους αγώνες που διεξήχθησαν  επιλέγουμε δυο στην τύχη και διαπιστώνουμε  ότι:

 

1)Παναθηναϊκός - Άρης  ( καμιά σύμπτωση γενεθλίων).

2)Παναιτωλικός – Ολυμπιακός  ( εδώ  έχουμε δυο  ζεύγη παικτών με γενέθλια την ίδια μέρα (Γραμμόζης,- Μπάρκογλου 1978-07-08) και (Κλωναρίδης, Ιωάννου 1992-07-28 ).

 

Αν κάποιος έχει αρκετή υπομονή μπορεί να επιλέξει μια οποιαδήποτε αγωνιστική  και να ελέγξει τις ημερομηνίες γενεθλίων όλων των αγώνων θα διαπιστώσει και εμπειρικά το παράδοξο των γενεθλίων.

 

Το γεγονός  ότι είναι αναμενόμενο στους μισούς αγώνες  από όσους επιλέξουμε να συμβαίνει η σύμπτωση γενεθλίων  δεν σημαίνει ότι θα πραγματοποιηθεί  κιόλας. Είναι σαν σκεπτόμαστε ότι αν ρίξουμε ένα κέρμα  4 φορές το κέρμα οφείλει να έρθει 2 φορές κορώνα και 2 γράμματα (  πλάνη του τζογαδόρου   ).

Δείτε και ένα σχετικό βίντεο:
 http://mathhmagic.blogspot.com/2012/02/23-and-football-birthdays.html

Μάθημα 5 - Άλγεβρα Α΄ Λυκείου

Το "Μάθημα 5" περιέχει το κεφάλαιο 1.2 από την Άλγεβρα Α΄ Λυκείου. Είναι η διάταξη των πραγματικών αριθμών. Υπάρχουν 11 ερωτήσεις θεωρίας και 10 ασκήσεις με κενά για λύση.
Μάθημα 5ο

Εργασία 2η - Γεωμετρία Β΄ Λυκείου - Κεφάλαια 7 - 9

2η εργασία στο μάθημα της Γεωμετρίας για τα κεφάλαια 7 έως 9. Οι εργασίες αυτές δίνονται στο μάθημα συμπληρωματικά και καλύπτουν τις φιλοδοξίες και τις ορέξεις των μαθητών για επιπλέον μάθηση. Είναι προαιρετικές αλλά προφανώς λογίζονται θετικά για όποιον ασχολείται.
Εργασία 2η-Κεφάλαια 7-9

Βάλε μου ρεύμα να λύσω Μαθηματικά!

Μετά από μελέτη που πραγματοποιήθηκε στο Πανεπιστήμιο της Οξφόρδης, ανακαλύφθηκε ότι η διέγερση του εγκεφάλου με ένα πολύ χαμηλής ισχύος ηλεκτρικό ρεύμα μπορεί να βελτιώσει τις ικανότητες ενός ανθρώπου στα μαθηματικά και συγκεκριμένα για χρονικό διάστημα έξι μηνών.
Οι ερευνητές του Πανεπιστημίου, με επικεφαλής τον Δρ Ρόι Κοέν Καντός, που δημοσίευσαν τη σχετική μελέτη στο επιστημονικό έντυπο Current Biology, σύμφωνα με το BBC, το πρακτορείο Reuters, το Science, έκαναν πειράματα με 15 εθελοντές ηλικίας 20-21 ετών.
Επί έξι μέρες και για 20 λεπτά κάθε φορά, οι επιστήμονες διέγειραν ηλεκτρικά με ρεύμα, ενός μικρού μόνο κλάσματος του αμπέρ (1 milliamper), το βρεγματικό λοβό των εθελοντών από αριστερά προς τα δεξιά και αντίστροφα. Οι εθελοντές αισθάνονταν αμυδρά την διακρανιακή ηλεκτρική διέγερση μόνο στα αρχικά δευτερόλεπτα του πειράματος και κανείς δεν εμφάνισε κάποια παρενέργεια.
Τα μαθηματικά τεστ που ακολούθησαν, έδειξαν ότι όσοι νέοι είχαν μετάσχει στην ομάδα επέμβασης, τα κατάφεραν σαφώς καλύτερα και μάλιστα, η επανάληψη των τεστ μετά από έξι μήνες έδειξε ότι η βελτίωση των ικανοτήτων τους συνεχιζόταν.

Κάτι ανάλογο διαβάσαμε και στην Βρετανική εφημερίδα "Γκάρντιαν".

Ένα ηλεκτροσόκ στον εγκέφαλο δεν σε κάνει Αϊνστάιν, αλλά σε βοηθάει να μαθαίνεις πιο εύκολα τα μαθηματικά.
Πόσο κρατά η επιφοίτηση; Τουλάχιστον έξι μήνες.

Όπως έγραψε η βρετανική εφημερίδα «Γκάρντιαν», έρευνα φοιτητών έδειξε ότι μια ήπια διέγερση του πίσω μέρους του εγκεφάλου αύξησε την ικανότητα των φοιτητών να μαθαίνουν και να χρησιμοποιούν αριθμούς για έξι μήνες. Η έρευνα μπορεί να οδηγήσει σε νέες θεραπείες παιδιών και ενηλίκων που δεν τα καταφέρνουν στα μαθηματικά, λόγω μαθησιακών δυσκολιών ή εγκεφαλικών βλαβών που προκλήθηκαν από εγκεφαλικά επεισόδια ή νευροεκφυλιστικές ασθένειες. «Δεν λέμε στους ανθρώπους να αρχίσουν τα ηλεκτροσόκ, αλλά μας έχει πάρα πολύ συναρπάσει το τι μπορεί να κάνει αυτό που βρήκαμε», δήλωσε ο Ρόι Κόεν Καντός, νευροεπιστήμονας στο Πανεπιστήμιο της Οξφόρδης. Η ομάδα του Πανεπιστημίου, μαζί με ακόμη μία από το Univercirty College London πήρε 15 φοιτητές και τους μοίρασε σε 3 ομάδες. Κάθε μία πέρασε έξι μέρες μαθαίνοντας σειρά συμβόλων που ανταποκρίνονταν σε αριθμούς από το μηδέν ως το εννέα.
Οι εθελοντές υφίσταντο κάθε μέρα ηλεκτροσόκ με ηλεκτρόδια προσαρμοσμένα στο τριχωτό της κεφαλής τα οποία περνούσαν στον εγκέφαλο (πίσω και πάνω από τα αυτιά) συνεχές αδύναμο ηλεκτρικό ρεύμα. Στην ομάδα που το ρεύμα περνούσε από τα δεξιά προς τα αριστερά η επίδοση στα τεστ που ακολούθησαν ήταν καλύτερη των άλλων ομάδων. Το επόμενο στάδιο θα είναι το πείραμα να γίνει με νεαρότερα άτομα.

Τα μαθηματικά των Μινωιτών

Του ΠΑΝΑΓΙΩΤΗ ΓΕΩΡΓΟΥΔΗ

Σύνθετες και πολύπλοκες μαθηματικές πράξεις γνώριζαν να πραγματοποιούν οι Μινωίτες από τον 16ο αιώνα π.Χ. με κλάσματα και χρήση του δεκαδικού συστήματος, γεγονός το οποίο ανατρέπει πλήρως την εικόνα που έχουμε μέχρι τώρα για την επιστήμη και τις εφαρμογές της στον αρχαίο κόσμο και μάλιστα τόσο νωρίς.

Τη συγκλονιστική αυτή ανακάλυψη πραγματοποίησε ο ερευνητής αιγαιακών γραφών Μηνάς Τσικριτσής, σε πρωτότυπο μαθηματικό κείμενο που βρίσκεται χαραγμένο στον τοίχο του διαδρόμου της μινωικής έπαυλης της Αγίας Τριάδας που είναι πλησίον του ανακτόρου της Φαιστού. Το ίδιο κείμενο είχε εντοπίσει το 1965 ο Μ. Pope που δημοσίευσε στο περιοδικό BSA, όπως αναφέρει ο Μηνάς Τσικριτσής, λέγοντας πως πρόκειται για γεωμετρική πρόοδο, αλλά χωρίς κανέναν άλλο σχολιασμό. Μάλιστα ο Έλληνας ερευνητής τονίζει ότι αντίστοιχα μαθηματικά συναντώνται μόνο στον Ευκλείδη, δηλαδή 11 αιώνες αργότερα.

Η πρωτοποριακή αυτή ανακάλυψη έρχεται να δικαιολογήσει τη δημιουργία των αρχιτεκτονικά πολύπλοκων και πολυδαίδαλων μινωικών ανακτόρων για τα οποία χρειαζόταν ένα συγκροτημένο υπόβαθρο επιστημονικών και θεωρητικών γνώσεων σε διαφορετικά επιστημονικά αντικείμενα και όχι μόνο καλούς εμπειρικούς μαστόρους. Επίσης το ανεπτυγμένο μινωικό εμπόριο στη Μεσόγειο, η εξελιγμένη μικροτεχνία, η ανακάλυψη ολόκληρου οικισμού στον Ψηλορείτη στα 1.200 μέτρα υψόμετρο (Ζώμινθος) απαιτούσαν μια τεχνολογία αρκετά προωθημένη.

Ο ερευνητής Μηνάς Τσικριτσής, με τη χρήση μαθηματικού αλγόριθμου, έχει αναγνώσει τη Γραμμική Α' Γραφή, βρίσκοντας πως συγγενεύει με τη Γραμμική Β', ενώ το 70% των εγγράφων της Γραμμικής Α' είναι μία πρώιμη Αιολική Γραφή και το 30% είναι σε μία άγνωστη γραφή πιθανόν Λουβική. Τη μελέτη του εξέδωσαν οι εκδόσεις της Βικελαίας Βιβλιοθήκης του Δήμου Ηρακλείου.

Σύμφωνα με τον κ. Τσικριτσή, «Τα αριθμητικά σύμβολα που χρησιμοποιούνται στο δεκαδικό σύστημα της γραμμικής Α' είναι όμοια με εκείνα της γραμμικής Β':

* Η κάθετη γραμμή Ι για τη μονάδα Ι

* Η οριζόντια γραμμή - για τη δεκάδα -

* Η κουκκίδα ή κύκλος για την εκατοντάδα ο

* Το σύμβολο για τη χιλιάδα .ο+

π.χ. ο αριθμός 1224 γραφόταν ο+ ο ο =Ι Ι Ι Ι


Εκτός των ακεραίων αριθμητικών συμβόλων οι Μινωίτες καταγραφείς χρησιμοποιούσαν ένα πολύπλοκο σύστημα κλασματικών σημείων για τα μέτρα των στερεών και ρευστών προϊόντων.

Γι' αυτό το σύστημα ο ίδιος ερευνητής αναφέρει: «Χαρακτηριστικά ο υπάλληλος που απασχολείτο με διανομή των προϊόντων, αν ήθελε να αποδώσει 4 και 3/8 (δηλαδή 4 >7) μονάδες κρασιού, μετρούσε πρώτα 4 ολόκληρα μέτρα, έπειτα το 1/4 και τέλος το 1/8 του μέτρου.

Ο παρακάτω πίνακας περιέχει τα βασικά σύμβολα, όπως συναντώνται στις πινακίδες της γραμμικής Α', που δηλώνουν μεγέθη μέτρησης υγρών και στερεών. Τα περισσότερα έχουν συσχετισθεί, από τον Ε. Bennett και άλλους ερευνητές, με κλασματικά μεγέθη. Στις δύο τελευταίες γραμμές εμφανίζεται ο αντίστοιχος του κλασματικού μεγέθους όγκος σε λίτρα, με αναγωγή στη μονάδα των 144 λίτρων για τα στερεά και των 36 λίτρων για τα υγρά.

Κλασματικά μεγέθη με αναγωγή στη μονάδα μέτρησης

Σύμβολο 7 + > λ >7 < <7 τ <λ Κλάσμα 1/8 1/5 1/4 1/3 3/8 1/2 5/8 1/6 3/4 5/6 Στερεα 144 18 28,8 36 48 54 72 90 24 108 120 Υγρά 36 4,5 7,2 9 12 13,5 18 25 6 27 30 Για την πολυπλοκότητα των Μινωικών Ανακτόρων και τη χρήση των μαθηματικών, ο κ. Τσικριτσής, επισημαίνει τα εξής: «Στην αρχιτεκτονική κατασκευή των αυλαίων χώρων των ανακτόρων ο W. Graham προσδιόρισε έναν ιερό πόδα 36 εκατοστών (παρατήρησε στην Κνωσό η κεντρική αυλή να έχει διαστάσεις 180Χ90 πόδια, στα Μάλια και Φαιστό 170Χ80 πόδια ενώ στη Ζάκρο 100Χ60 πόδια). Είναι ενδιαφέρον ότι η υποδιαίρεση του ποδιού σε μονάδες (2, 3, 4, 6, 9, 12 και 18) βοηθούσε πιθανόν στις κλασματικές πράξεις». Μινωικά Μαθηματικά po-to ku-ro 400+50+2+0,5 ποσσόν ούλο 452,5 ku-ro 31+1 ούlo 31+1 ku-ro 65 ούlo 65 qo-to - ku-ro 97 ποσσόν ούlo 97 Αναλύοντας το σύστημα των Μινωικών Μαθηματικών, ο ίδιος ερευνητής τονίζει: «Σε 32 πινακίδες της γραμμικής Α' υπάρχει, στην τελευταία σειρά, η λέξη ku-ro=χουλο=ούλον, και ακολουθεί το αριθμητικό ποσό, που είναι το άθροισμα των μονάδων που αναγράφονται στις προηγούμενες σειρές. Σε δύο πινακίδες της Αγ. Τριάδας αναγράφεται μερικό άθροισμα με τη λέξη ούλο, και στο τέλος μια γραμμή με τη φράση po-to - ku-ro = po-(s)o- ku-lo, που ερμηνεύεται "ποσόν ούλον" και ακολουθεί το συνολικό άθροισμα των προηγηθέντων μερικών αθροισμάτων». 

Το συγκλονιστικό εύρημα Εκτός των παραπάνω καθημερινών τρόπων καταγραφής των μαθηματικών υπολογισμών των αναγκών της μινωικής γραφειοκρατίας, υπάρχει και ένα μοναδικό εύρημα στην Αγ. Τριάδα (έπαυλη πλησίον της Φαιστού). Στη βορεινή πλευρά του δωματίου, που είχε τοιχογραφίες με παραστάσεις κρίνων και αγριόγατων που κυνηγούν φασιανούς, μία σκάλα οδηγεί σε ένα διάδρομο με τρεις κολώνες. Ο τοίχος του διαδρόμου είχε επίχρισμα, που είχε 3 εγχάρακτες επιγραφές (graffiti). Οι δύο εγχάρακτες επιγραφές αναφέρουν σε γραμμική Α' τις φράσεις: «αισθάνομαι να με διατρέχει η σκέψη του Διός» και «θεραπεία η σκέψη του Διός». Το μεγαλύτερο ενδιαφέρον επικεντρώνεται στην τρίτη εγχάρακτη επιγραφή, η οποία φέρει με κλασματικά σύμβολα της γραμμικής Α' τους τέσσερις πρώτους όρους μιας γεωμετρικής προόδου. 

Το κείμενο της εγχάρακτης επιγραφής παρατηρούμε στην παρατιθέμενη εικόνα. Η μεταγραφή των αριθμητικών σημείων του κειμένου και η μετατροπή τους σε σύγχρονη μορφή είναι η εξής: 1 1½ 21/4 3 1/4 1/8 ta 3 1/6 1 3/2 9/4 27/8 στάν 19/6 Στους παραπάνω όρους της γεωμετρικής προόδου παρατηρούμε ότι επιλύεται ένα σύνθετο κλασματικό πρόβλημα: (1+3/2)+(9/4/27/8) = 19/6. Οπου τα αποτελέσματα των πράξεων αποδίδονται (αντί του=) με την λέξη ta= στάν (αναύξητος επικός τύπος αορίστου β' με σημασία στον Ομηρο ζυγίστηκαν).

Αντίστοιχη μορφή μαθηματικών παρατηρούμε την ίδια περίοδο του 16ου π.Χ. αιώνα στον αιγυπτιακό πάπυρο του Rhind. Το πρόβλημα που επιλύει είναι σχετικό με μια γεωμετρική πρόοδο με ακέραια πολλαπλάσια του 7 και στο τέλος ευρίσκει το άθροισμα των τεσσάρων πρώτων όρων. 
  
Το πρόβλημα είναι το εξής: σε 7 σπίτια (pr w) είναι 7 γάτες (myw w), που κάθε μια τρώει 7 ποντίκια (pnw w). Αν κάθε ποντίκι έτρωγε 7 στάχια σίτου (bd t), που αν τα έσπερνε κάποιος, θα παρήγαγαν 7πλάσια μονάδα Hekat, πόσο στάρι σώθηκε. Το αποτέλεσμα (dmd) των πράξεων παρατηρούμε από τον παρατιθέμενο πίνακα, που στο τέλος κάνει την πράξη: (7+49+343+2301+16807)=19607 

Το μαθηματικό πρόβλημα της γεωμετρικής προόδου παρατηρούμε ότι είναι γνωστό στους Αιγυπτίους από τον 16ο αιώνα π.Χ. με ακεραίους αριθμούς και συγκεκριμένα πολλαπλάσια του 7. Το πρωτότυπο που παρατηρούμε στο εγχάρακτο αριθμητικό κείμενο στον τοίχο του διαδρόμου της Αγ. Τριάδας είναι ότι: περίπου στο 1550 π.Χ. οι Μινωίτες καταγράφουν μία κλασματική γεωμετρική πρόοδο με λόγο 3/2 που σε κανέναν άλλο λαό δεν συναντάται, παρά μόνο ύστερα από 11 αιώνες στα μαθηματικά του Ευκλείδη. 

Παράλληλα δε επιλύουν ένα σύνθετο μαθηματικό κλασματικό πρόβλημα.Τη χρονική περίοδο, γύρω στο 16ο αι., οι Μινωίτες, όπως παρατηρούμε αφενός από το εγχάρακτο αριθμητικό κείμενο της Αγ. Τριάδας με την κλασματική γεωμετρική πρόοδο, και αφετέρου από τις λογιστικές πινακίδες με το άθροισμα των μερικών συνόλων προκύπτει ότι είχαν ανακαλύψει σύνθετες μαθηματικές πράξεις. Το φαινόμενο αυτό μπορεί να χαρακτηρισθεί πρωτοποριακό στην παγκόσμια ιστορία των μαθηματικών (τουλάχιστο με τις μέχρι σήμερα γνωστές γραπτές πηγές).
 
http://www.ellinikoarxeio.com

Πύλη Επαγγελματικού Προσανατολισμού (ΣΕΠ)

Μια σημαντική διεύθυνση για τους μαθητές της Γ΄ Λυκείου πριν συμπληρώσουν το μηχανογραφικό τους. Δίνει ενημέρωση για κάθε σχολή-τμήμα ξεχωριστά μέσα από μια λίστα επιλογών, χωρισμένα ανά πεδίο.
Για να επισκεφτείτε την ιστοσελίδα του ΣΕΠ πατήστε εδώ

Μια βραβευμένη παρουσίαση Γεωμετρίας για την Α΄ Γυμνασίου

Μια ενδιαφέρουσα παρουσίαση της Γεωμετρίας στην Α΄ Γυμνασίου, από την συνάδελφο ΑΝΝΑ ΖΟΥΡΝΑ από το Κολέγιο Θεσσαλονίκης.

Το έργο αυτό βραβεύτηκε το 2010 από το Υπουργείο Παιδείας στα "Αριστεία και καινοτομία στην εκπαίδευση"

(ανανέωση συνδέσμου 6/9/2015) Για απευθείας αποθήκευση πατήστε εδώ.