Ένα πρόβλημα για ταλαντούχα παιδιά από την Ιαπωνία

Το πρόβλημα που ακολουθεί δόθηκε σε ταλαντούχα παιδιά για να γίνουν δεκτά σε ένα ειδικό σχολείο στην πόλη Nagoya της Ιαπωνίας. Το 74% των παιδιών το έλυσαν. Λάβετε υπόψη σας - και είναι πολύ σημαντικό κατά τη λύση του προβλήματος - ότι τα παιδιά αυτά ήξεραν να μετρούν μόνο μέχρι το 10.

Υπόδειξη: Βάλτε την φαντασία σας να δουλέψει (παρά τις μαθηματικές σας γνώσεις!!!)

Αν:
8809 = 6
7111 = 0
2172 = 0
6666 = 4

Μα πάντα 1089 θα βγαίνει κύριε; Πως γίνεται;

Διάβασα πρόσφατα μια όμορφη δημοσίευση της φίλης και άξιας συναδέλφου Κατερίνας Καλφοπούλου, δείτε εδώ, για ένα βιβλίο το 1089 ΕΝΑ ΜΑΓΙΚΟ ΤΑΞΙΔΙ ΣΤΟΝ ΚΟΣΜΟ ΤΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ του David Acheson, ομότιμος καθηγητής Μαθηματικών στο Jesus College του Πανεπιστημίου της Οξφόρδης, με ενέπνευσε και το έψαξα λίγο παραπάνω... 

Δεν γνωρίζω αν η απόδειξη υπάρχει στο βιβλίο (δεν το έχω διαβάσει), παρόλα αυτά η ενασχόληση με το θέμα αυτό, με ενθουσίασε και την μοιράζομαι μαζί σας στο παρακάτω επισυναπτόμενο. 

Φυσικά το παραπάνω πρόβλημα γίνεται όμορφο παιχνίδι ακόμα και με τους μαθητές του Δημοτικού. Μπορούμε, μετά από εξοικείωση με το πρόβλημα, να τους δείξουμε τα βήματα απόδειξης για να αντιληφθούν ότι τα Μαθηματικά λύνουν πολλά  μαγικά! Τι λέτε, δεν θα τους κερδίσουμε, έστω και παροδικά;  

Συνοπτικός πίνακας της ανάπτυξης των Μαθηματικών

Η ιστορική εξέλιξη των μαθηματικών από την Χριστίνα Φίλη (Επίκουρη καθηγήτρια Ε.Μ.Π), μια όμορφη παρουσίαση που δείχνει εύκολα και ανά εποχή τι ανακαλύφθηκε στα Μαθηματικά.

                        3000-2000 π.Χ                   

Αίγυπτος	Εμφάνιση ιερογλυφικών αριθμών . Κατασκευή πυραμίδων .
Κίνα	Πραγματεία Μεταθέσεων (yang-ying ) . Πραγματεία αριθμητικής σε  9 κεφάλαια ( υπολογισμοί εμβαδών) . Προσέγγιση της τιμής του π .
Μεσοποταμία	Εμφάνιση σφηνοειδούς γραφής των αριθμών .

Αϊνστάιν - Καραθεοδωρής. Ένα άρθρο μου στην εφημερίδα του Πανεπιστημίου το 1998

Πολλά έχουν γραφτεί ως σήμερα για τον Καραθεοδωρή και άλλα τόσα για την σχέση ή μη με τον Φυσικό Αϊνστάιν.

Πρόσφατα βρήκα στο αρχείο μου, ένα άρθρο που είχα γράψει το 1998 στην Μαθηματική εφημερίδα του Πανεπιστημίου "Cοctail" για τον πασίγνωστο πλέον Μαθηματικό και την σχέση του με τον  διάσημο Φυσικό.

Παραθέτω συνδέσμους που δίνουν πληροφορίες για την σχέση Καραθεοδωρή - Αϊνστάιν, στο τέλος παραθέτω και την εφημερίδα που έχει αυτούσιο το άρθρο μου.

Χαμηλή επίδοση γυναικών στα μαθηματικά. Που οφείλεται; Διαφωνώ!!!

Ένα άρθρο της Ελένη Παπουτσή, Εκπαιδευτικός - Πολιτισμολόγος (Μ.ED) που δεν συμφωνώ καθόλου!

Το παραθέτω (μαζί με τα σχόλια μου, εντός παρενθέσεων με πράσινο χρώμα) για να ακούσω τις απόψεις σας. Διαβάστε και πείτε μου...

 

"Μέσα στο πλαίσιο της ανάπτυξης του γυναικείου κινήματος ανεπτύχθησαν έρευνες με στόχο την εξήγηση της  χαμηλής επίδοσης των γυναικών στα μαθηματικά τεστ και της χαμηλής συμμετοχής τους στα τμήματα μαθηματικών.(δηλαδή το έχουν αποδείξει ότι οι άντρες υπερτερούν από τις γυναίκες; Δηλαδή στον ίδιο αριθμό συμμετεχόντων αντρών και γυναικών, θα υπερτερούν πάντα οι άντρες; Πάντως θυμίζω ότι στο Μαθηματικό Αθήνας, εν έτη 2010, οι εγγραφόμενοι ήταν περίπου στο 50% άντρες και 50% γυναίκες. Φυσικά δεν συνέβαινε το ίδιο το 1912, όπως πολύ εύκολα αντιλαμβάνεστε. Επίσης να διαβάσετε ένα άρθρο που έχω στο blog με τους Πυθαγόρειους που αποτελούνταν κυρίως από γυναίκες)
 

Μελετήθηκαν εκτενώς και αυτό οδήγησε στο να διερευνηθούν οι παράγοντες που επηρεάζουν ώστε να δοθεί τουλάχιστον μια εξήγηση στους ισχυρισμούς για γυναικείο έλλειμμα στην επίδοση και τη συμμετοχή των μαθηματικών (για πότε μιλάμε; Για το 1900 που δεν επιτρεπόταν στην γυναίκα να πάει σχολείο ή να σπουδάσει;Την γυναίκα που δεν είχε θέση στην κοινωνία; Για την σημερινή γυναίκα σίγουρα δεν ισχύει ... )
 

Τεράστιο αρχείο ξενόγλωσσων Μαθηματικών βιβλίων και όχι μόνο

Μια καταπληκτική προσπάθεια συμμαζέματος και καταγραφή ξενόγλωσσων βιβλίων είναι το http://www.archive.org/.

Στις σελίδες http://www.archive.org/search.php?query=math&sort=-downloads θα δείτε τα καλύτερα Μαθηματικά βιβλία ή βίντεο.

Μπορείτε να αναζητήσετε ότι θέλετε, αξίζει ο κόπος.

14η άλυτη άσκηση: Βρείτε τις ηλικίες των παιδιών (ανανεωμένο)

Ένας πολύ ωραίος και πρωτότυπος γρίφος που τον θυμήθηκα πρόσφατα και τον είχα θέσει στο mathematica.gr. Η λύση προκύπτει με απλές γνώσεις Μαθηματικών (Δημοτικού).  

Περιμένω αναλυτική απάντηση! 


Α΄ εκδοχή
"Συναντιόνται δύο φίλοι ο Σωτήρης και ο Χρήστος και ακολουθεί ο παρακάτω διάλογος:
- Τι κάνεις Χρήστο; Πως είναι οι υιοί σου; Έχεις 3 γιους αν θυμάμαι καλά, όμως έχω ξεχάσει τις ηλικίες τους.
- Καλά είμαι Σωτήρη, ναι έχω τρεις γιους που το γινόμενο των ηλικιών τους είναι 36 και το άθροισμα των ηλικιών τους ισούται με το πλήθος των απέναντι παραθύρων της πολυκατοικίας.
- Ο Σωτήρης σκέπτεται και λέει: « Λυπάμαι δεν μπορώ να το βρω…»
- Με συγχωρείς λέει ο Χρήστος, ξέχασα να σου πω ότι ο μεγαλύτερος γιος μπαίνει κάθε μέρα στο lisari.blogspot.com.
- Τώρα εντάξει, μπορώ να βρω τις ηλικίες τους!"

Ποιες είναι τελικά οι ηλικίες των παιδιών του Χρήστου στην α΄ εκδοχή;

Η Εξεταστέα ύλη των Μαθηματικών Γ΄ Λυκείου ΓΕΛ 2011-2012

Και όμως βγήκε για πρώτη φορά τόσο γρήγορα η εξεταστέα ύλη για την νέα σχολική χρονιά 2011 - 12.

Το παράδοξο είναι κάποιες αποδείξεις που είναι εντός ύλης, στην παράγραφο του Διαφορικού Λογισμού (2.2 - αποδείξεις ημιτόνου, συνημιτόνου - σελ. 224 -225), οι τύποι που χρησιμοποιούνται έχουν εξαιρεθεί από την περσινή ύλη της Β Λυκείου. Δηλαδή με λίγα λόγια, οι μαθητές δεν μπορούν να την καταλάβουν, αφού έχουν μαθησιακό κενό! Ένα είναι σίγουρο, ότι αυτοί δεν φταίνε!

Πάντως δεν παρατηρείται καμία αλλαγή από την αντίστοιχη περσινή ύλη Γενικής και Κατεύθυνσης στα Μαθηματικά Γ Λυκείου. 

Άλγεβρα Α' δέσμης για το 1989 - Γνώσεις Γραμμικής Άλγεβρας

Ένα βιβλίο από τον Αιμίλιο Τσουλφανίδη, γραμμένο το 1989 για τις δέσμες. Παρουσιάζει ενδιαφέρον η ύλη, αφού τα περισσότερα από αυτά είναι τώρα εκτός ύλης. Έχουν μεταφερθεί στο πρώτο έτος Πανεπιστημίου Γραμμικής Άλγεβρας.

Συγγραφέας : Αιμίλιος Τσουλφανίδης
ΑΛΓΕΒΡΑ ΓΙΑ ΤΗΝ Α' ΔΕΣΜΗ

Στοιχεία θεωρίας - Μεθοδολογία 

600 Λυμένες Ασκήσεις

Ιστορικά βιβλία: Δύο βιβλία Ευκλείδειας Γεωμετρίας - Σπύρος Γ. Κανέλλος

Συνεχίζουμε με τα ιστορικά βιβλία που είναι ελεύθερα στο διαδίκτυο. Εδώ παρουσιάζουμε την αντίστοιχη Γεωμετρία του αείμνηστου Κανέλλου για την
Α' Λυκείου.


Ευκλείδειος Γεωμετρία Α΄ Λυκείου Θετικής Κατευθύνσεως
Τεύχος Πρώτον
Συγγραφέας: Σπ. Γ. Κανέλλος
Οργανισμός Εκδόσεων Διδακτικών Βιβλίων, έκδοση Α΄, 1976

Για την Β΄ και Γ΄ Λυκείου (τεύχος δεύτερο - ένα χρόνο μετά, το 1977) δείτε εδώ, ενώ για την Α΄ Λυκείου μπορείτε να το κατεβάσετε και από εδώ.

Αντικαταστάθηκαν οι υπερ-σύνδεσμοι: 24/11/2012

Ευκλείδεια Γεωμετρία - Σπύρος Κανέλλος : Ένα ιστορικό βιβλίο

Ένα από τα ιστορικά βιβλία της Γεωμετρίας είναι και το παρακάτω.Πρέπει να το έχουν όλοι, καθηγητές και μαθητές!


Συγγραφέας: Σπύρος Γ. Κανέλλος

ΟΕΔΒ, έκδοση Γ΄, 1977


ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ

«Χρυσός» Έλληνας στα Μαθηματικά

Ενημερωθήκαμε από την ΕΜΕ, το διαβάσαμε στο ΕΘΝΟΣ.gr και σε όλα τα εκπαιδευτικά site αλλά  όσες φορές και να το αναπαράγουμε είναι λίγο! 

Συγχαρητήρια στους συμμετέχοντες αλλά υποκλινόμαστε στα παιδιά που έφεραν τις επιτυχίες. Δείχνει κάτι να αλλάζει στους διαγωνισμούς της ΕΜΕ τον τελευταίο καιρό. Φίλε Κερασαρίδη μας είχες προετοιμάσει για τις νέες επιτυχίες που θα έρθουν, αλλά δεν τις περιμέναμε τόσο γρήγορα! Να είστε καλά όλοι, εκπαιδευτές και διοργανωτές, τιμάτε την Ελλάδα με την άρτια δουλειά σας. 

Το βιβλίο Γεωμετρίας Α΄ Λυκείου του Αντώνη Κυριακόπουλου

Το βιβλίο best seller Γεωμετρίας Α΄ Λυκείου (που έχει εξαντληθεί) του Αντώνη Κυριακόπουλου δίνεται μέσω του lisari δωρεάν. Με την άδεια και προσφορά του συγγραφέα, σας παρουσιάζουμε ένα βιβλίο που περιέχει πλούσιο υλικό με λυμένες και άλυτες ασκήσεις.

Περιέχονται
1. Πρώτες έννοιες
2. Ευθύγραμμα τμήματα
3. Κύκλος
4. Γωνίες
5. Τρίγωνα
6. Κάθετες ευθείες
7. Παράλληλες ευθείες - Άθροισμα γωνιών πολυγώνου
8. Παραλληλόγραμμα
9. Τραπέζια
10. Συμμετρία (αξονική - κεντρική)
11. Θεωρήματα σχετικά με τον κύκλο - Εγγεγραμμένες γωνίες
12. Αξιόλογα σημεία τριγώνου
13. Εγγράψιμα περιγράψιμα τετράπλευρα
14. Διάφορες ασκήσεις Επανάληψης

13η άλυτη άσκηση: Βρείτε τους φυσικούς αριθμούς

Να βρεθούν οι φυσικοί αριθμοί x, y που ικανοποιούν την εξίσωση:

2^x +  4^y  = 1025

Σημείωση:
1. Για να δείτε όλες τις ασκήσεις πατήστε στο φάκελο "Άλυτες ασκήσεις"
2. Εάν δεν έχει δοθεί απάντηση, θα γραφτεί η λύση μετά τις 15 Αυγούστου 2011
3. Θα παρακαλούσα να δώσουμε χρόνο για να απαντήσουν αρχικά οι μαθητές! Οι ασκήσεις είναι αποκλειστικά για τους μαθητές έως την χρονική περίοδο που ορίζει η κάθε άσκηση. Αν η άσκηση δεν απαντηθεί μέσα σε αυτό το διάστημα μπορεί να προσπαθήσει όποιος επιθυμεί! 
Σας ευχαριστώ για το ενδιαφέρον σας!

Το Θεώρημα της πίτσας!

Για κάποιους να κόβουν και να τρώνε πίτσα είναι μια απλή υπόθεση, αλλά για τους Μαθηματικούς Ρικ Μέιμπρι και τον Πολ Ντάιερμαν το ζήτημα δεν είναι απλό. 

Όταν έχουν στο τραπέζι τους μια πίτσα, αντιμετωπίζουν πολλά θέματα - προβλήματα όπως θα διαβάσετε παρακάτω.

Ένα από τα προβλήματά τους είναι, αν την κόψουν από διαφορετικό κέντρο από αυτό της πίτσας και φάνε τα κομμάτια εναλλάξ, ποιος έχει φάει περισσότερη ποσότητα;

Αναλυτικά, με παραδείγματα και σχήματα παρουσιάζουμε στο παρακάτω κείμενο! Είναι απολαυστικό και αξίζει να το διαβάσετε. Επίσης τίθενται θέματα προς απόδειξη.  Αυτά επαφίενται στους αναγνώστες, επιθυμούμε και παρακινούμε να συμμετέχουν!

5ο Μαθηματικό Καλοκαιρινό Σχολείο - Αγ. Νικόλαο Νάουσα

Επίσης ένα δεύτερο καλοκαιρινό σχολείο (31 Ιουλίου με 6 Αυγούστου)  για φέτος, εκτός αυτό της Κατερίνης, θα πραγματοποιηθεί και στον Αγ. Νικόλαο Νάουσα.

Η ανακοίνωση ΕΜΕ του παραρτήματος Ημαθίας αναφέρει:

"Το Παράρτημα Ημαθίας της Ε.Μ.Ε. διοργανώνει από Κυριακή 31 Ιουλίου έως και Σάββατο 6 Αυγούστου στον Άγιο Νικόλαο της Νάουσας το 5ο Μαθηματικό Καλοκαιρινό Σχολείο (5ο Μ.Κ.Σ.). Η επιτυχία της διοργάνωσης των προηγούμενων Μ.Κ.Σ. δημιούργησε την αναγκαιότητα της συνέχισης ενός θεσμού πλέον για τη χώρα μας που ξεκίνησε το 2007 από το Παράρτημά μας.

5ο Μαθηματικό Καλοκαιρινό Σχολείο - Λεπτοκαρυά Πιερίας (ανανεωμένο)

Όπως μας ενημερώνει το επίσημο site της ΕΜΕ, η διάρκεια του καλοκαιρινού σχολείου είναι από 24 Ιουλίου 2011 έως 30 Ιουλίου 2011 και οι εγγραφές έχουν τελειώσει.

Πρέπει να θυμίσουμε ότι τα καλοκαιρινά σχολεία ήταν μια ιδέα του Παπαδόπουλου Κωνσταντίνου που τελικά πραγματοποιήθηκε και πρόσφερε πολλά στους μαθητές και στην Ελληνική Μαθηματική Εταιρεία.

Το άρθρο την ΕΜΕ γράφει:

Η ιστορία της αριθμομηχανής

Ένα καλοκαιρινό θέμα, που μπορεί να διαβαστεί από όλους χωρίς να έχουν ιδιαίτερες γνώσεις Μαθηματικών, αφού αναφερόμαστε για ένα αντικείμενο που λίγο πολύ όλοι μας το έχουμε χρησιμοποιήσει!

Είναι η αριθμομηχανή ή αλλιώς κομπιουτεράκι όπως συνηθίζουμε να το λέμε.

Κύριε κύριε; Τι είναι τα Διακριτικά Μαθηματικά;

Μια έννοια που την έχουν ακούσει μερικοί μαθητές και τους κάνει εντύπωση. Η απλή, εύκολη και πρώτη απάντηση που δίνεται στο ερώτημα
"Κύριε κύριε; Τι είναι τα Διακριτικά Μαθηματικά;" 

είναι: Τα Διακριτικά Μαθηματικά είναι τα Μαθηματικά της Επιστήμης των Υπολογιστών. 


Φυσικά και αυτός δεν είναι σωστός ορισμός, αφού τα Διακριτά Μαθηματικά προϋπήρχαν των υπολογιστών, απλά τα εφαρμόσαμε πολύ μετά στους υπολογιστές και έτσι συνδέθηκε το όνομά τους. Στην ουσία τα διακριτά Μαθηματικά αποτελούν μέρος της θεμελίωσης της επιστήμης των υπολογιστών. 

 Και οι απορίες ξεκινούν:
" Δηλαδή κύριε, τι μαθηματικά χρειάζονται οι υπολογιστές για να λειτουργήσουν;"

Αρχικά πρέπει να δεχτούμε ότι και οι υπολογιστές χρειάζονται μαθηματικά για να λειτουργήσουν. Τώρα τι μαθηματικά χρειάζονται είναι ένα καλό ερώτημα! Μα φυσικά αριθμούς! Αριθμούς με διακριτές τιμές (άρα καταλάβατε από που πήρε και το όνομα του ο κλάδος των Μαθηματικών) δηλαδή μεμονωμένες τιμές, όπως είναι δηλαδή οι ακέραιοι αριθμοί. Στα Διακριτά Μαθηματικά δεν μελετάμε τους αριθμούς που μεταβάλλονται σε ένα διάστημα τιμών, δηλαδή οι τιμές τους είναι συνεχείς, όπως είναι άλλωστε και οι πραγματικοί αριθμοί. 

Στα Διακριτικά Μαθηματικά δεν χρησιμοποιούμε γνώσεις από Ανάλυση (όπως συνέχεια κτλ) αλλά το σκεπτικό ταιριάζει ποιο πολύ με τις ακολουθίες. 

Οι ερωτήσεις συνεχίζουν: 
"Κύριε για να καταλάβουμε, συγκεκριμένα οι υπολογιστές, που χρησιμοποιούν διακριτές τιμές; Δώστε μας παραδείγματα..."

Με μια πρώτη σκέψη μου ήρθε κατά νου τα εξής: Στον προγραμματισμό χρησιμοποιούμε διακριτά βήματα, επίσης αποθηκεύουμε τα δεδομένα σε διακριτά byte. 

Οι ερωτήσεις δεν τελειώνουν, όταν οι μαθητές έχουν ενδιαφέρον για νέες γνώσεις, αλλά συνήθως καταλήγουν ως εξής:
"Ωραία όλα αυτά, αλλά δώστε μας κύριε και άλλους κλάδους που χρειάζονται τα Διακριτά Μαθηματικά;"

Μάλιστα! Αρκεί να σκεφτούμε κλάδους που οι δομές τους να είναι διακριτές και όχι συνεχείς. Τέτοιοι κλάδοι είναι Λογική, Θεωρία Παιγνίων, Θεωρία Πιθανοτήτων, Συνόλων, Θεωρία Αριθμών, Συνδυαστική, Κρυπτογραφία κτλ... 

Για περισσότερες πληροφορίες δείτε στους παρακάτω συνδέσμους (προσθέστε και εσείς συνδέσμους και απόψεις): 
1. Βικιπαιδεία
2. Σημειώσεις από το Πανεπιστήμιο Πάτρας
3. Σημειώσεις και ασκήσεις από τους καθηγητές Φ. Αφράτη και Γ. Παπαγεωργίου
4. Ένα βιβλίο 248 σελίδων από τον Γεώργιο Βούρο

Πάτρα: Δραστηριότητες, που κάνουν τα μαθηματικά ελκυστικότερα

Δεκαπέντε εκπαιδευτικοί, που υπηρετούν σε σχολεία της Πάτρας, σχεδίασαν διδακτικές ενότητες και δραστηριότητες για τα μαθηματικά του δημοτικού, στο πλαίσιο εφαρμογής πιλοτικού προγράμματος Νέα μάθηση μέσω Σχεδιασμού που υλοποιείται από το Παιδαγωγικό Ινστιτούτο.

Βασικός στόχος του προγράμματος είναι η ενεργοποίηση των μαθητών που καλούνται μαζί με τους εκπαιδευτικούς τους, να μη διεκπεραιώνουν απλά τη μάθηση, αλλά να τη σχεδιάζουν μέσα από διάφορες δραστηριότητες.