Άσκηση 5η (αθροίσματα Gauss)
Βρείτε ένα εύκολο και γρήγορο τρόπο υπολογισμού των παρακάτω αθροισμάτων:
a) 1 + 2 + 3 + 4 + …….. + 97 + 98 + 99 + 100 = ;
b) 1 + 2 + 3 + 4 + …….. + 997 + 998 + 999 + 1000 = ;
c) Γενίκευση: 1 + 2 + 3 + 4 + …….. + ν – 1 + ν = ; ,όπου ν φυσικός αριθμός
Σημείωση: Τα παραπάνω αθροίσματα τα υπολόγισε ο Gauss δια μνήμης, σε ηλικία 10 ετών! Ο παραπάνω τρόπος επίλυσης, ήταν η αιτία εύρεσης ενός νέου κεφαλαίου στα Μαθηματικά, τις «Προόδους» που μέχρι σήμερα τις συναντάνε οι μαθητές στην Άλγεβρα της Β΄ Λυκείου (από την σχολική χρονιά 2011 – 2012, το κεφάλαιο αυτό μεταφέρετε στην Άλγεβρα της Α΄ Λυκείου)
Σημείωση:
1. Για να δείτε όλες τις ασκήσεις πατήστε στο φάκελο "Άλυτες ασκήσεις"
2. Εάν δεν έχει δοθεί απάντηση, θα γραφτεί η λύση μετά τις 1 Ιουλίου 2011
3. Θα παρακαλούσα να δώσουμε χρόνο για να απαντήσουν αρχικά οι μαθητές! Οι ασκήσεις είναι αποκλειστικά για τους μαθητές έως την χρονική περίοδο που ορίζει η κάθε άσκηση. Αν η άσκηση δεν απαντηθεί μέσα σε αυτό το διάστημα μπορεί να προσπαθήσει όποιος επιθυμεί! Σας ευχαριστώ για το ενδιαφέρον σας!
1+2+3+...+(v-1)+v=v(v+1)/2
ΑπάντησηΔιαγραφήH απόδειξη γίνεται με μαθηματική επαγωγή.
Βέβαια ο τρόπος του Gauss ήταν ο:
1+2+3+...+100=(1+100)+(2+99)+(3+98)+....(50+51)=
101*50=5.050
Προσπαθώ να θέτω ασκήσεις που να μην χρειάζονται εξειδικευμένες γνώσεις Μαθηματικών αφού απευθύνομαι και σε μαθητές Γυμνασίου.
ΑπάντησηΔιαγραφήΟ τρόπος που περιγράφεις (Μαθηματική επαγωγή σίγουρα είναι ο ορθός) αλλά ζητάμε την αρχική σκέψη του Gauss που μας την περιγράφεις και αυτή.
Οι ασκήσεις απευθύνονται σε μαθητές...
Σε ευχαριστώ
sorry, δεν ειχα δει πως οι ασκησεις είνια για να τις προσπαθησουν μαθητες...
ΑπάντησηΔιαγραφήΔες φταις εσύ, εγώ δεν το διευκρίνηση ακριβώς. Τώρα έβαλα και την τρίτη σημείωση που ξεκαθαρίζει την κατάσταση. Ας δώσουμε βήμα αρχικά στους μαθητές και μετά λέμε τις απόψεις μας.
ΑπάντησηΔιαγραφήΘα συμπεριλάβω ασκήσεις που σίγουρα θα θέλουμε την γνώμη σου και όχι μόνο.
παρατηρουμε οτι εχουμε 0 + 100 = 1 + 99 = 2+98 = 3 + 97 ...=49+ 51 =100
ΑπάντησηΔιαγραφήκαι περισσευει ενα 50
αρα εχουμε 100/2 αθροισματα που εχουν αποτελεσμα το 50 + το 50 που υπολειπεται αρα (100/2)*50 + 50 =5050