Νέο βιβλίο μιγαδικών από τον Ροδόλφο Μπόρης

Ο αγαπητός συνάδελφος Ροδόλφος Μπόρης μας πρόσφερε κατά αποκλειστικότητα το βιβλίο του στους μιγαδικούς αριθμούς που καλύπτει ένα ευρύ φάσμα γνώσεων όπως θα δείτε παρακάτω.

 Για απευθείας αποθήκευση πατήστε εδώ.

Ανανεώθηκε: 8/4/2013 ώρα 21:00

Για αντίστοιχη δημοσίευση "Μιγαδικοί και Γεωμετρία"

πατήστε εδώ.

Για σχόλια για το παρόν σύγγραμμα δείτε στο mathematica.gr.



Ο πρόλογος είναι ο εξής: 

Οι παρακάτω σημειώσεις αφορούν την ύλη της Γ΄ Λυκείου στο κεφάλαιο των μιγαδικών αριθμών (μέχρι και το μέτρο μιγαδικού).

Παρόλο που στην ύλη δεν υπάρχει η τριγωνομετρική μορφή μιγαδικού, η οποία είναι απαραίτητη για την εισαγωγή των «πολικών συντεταγμένων», ώστε να αποκαλύπτεται το πλούσιο γεωμετρικό περιεχόμενο των μιγαδικών στο επίπεδο, έγινε προσπάθεια να καταδειχθεί αυτό το περιεχόμενο, παρά την έλλειψη. Όσο λοιπόν, στάθηκε δυνατόν τονίζεται η γεωμετρική εικόνα των μιγαδικών.

Αναπτύσσεται αρχικά η θεωρία με συνοπτικό τρόπο.

1 . ΠΕΡΙΓΡΑΦΗ ΤΟΥ ΣΥΝΟΛΟΥ C ΤΩΝ ΜΙΓΑΔΙΚΩΝ ΑΡΙΘΜΩΝ. 7

2 . ΟΝΟΜΑΣΙΕΣ ΚΑΙ ΣΥΜΒΟΛΙΣΜΟΙ.7

3 . ΑΝΑΠΑΡΑΣΤΑΣΕΙΣ.7

4 . ΙΣΟΤΗΤΑ ΚΑΙ ΔΙΑΤΑΞΗ.8

5 . ΠΡΑΞΕΙΣ.9

6 . ΔΥΝΑΜΕΙΣ ΜΙΓΑΔΙΚΩΝ.9

7 . ΣΥΖΥΓΕΙΣ ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ.10

8 . Η ΕΞΙΣΩΣΗ az²+bz+c=0 ,a,b,c πραγματικοί αριθμοί.11

9 . ΜΕΤΡΟ ΜΙΓΑΔΙΚΟΥ.13

10 . ΓΕΩΜΕΤΡΙΚΕΣ ΕΡΜΗΝΕΙΕΣ ΚΑΙ ΑΝΑΠΑΡΑΣΤΑΣΕΙΣ.13

 Στη συνέχεια ακολουθεί μια σειρά από λυμένες ασκήσεις που συνοδεύεται από σχόλια σε όποιο σημείο χρειάζεται, καθώς και σύντομες περιλήψεις όπου κρίνεται σκόπιμο, προκειμένου να χρησιμεύσουν σε μια γρήγορη επανάληψη.

Τέλος, υπάρχει και ένα σύνολο από άλυτες ασκήσεις οι οποίες συνοδεύονται από κάποιες υποδείξεις για την λύση τους, χωρίς όμως να είναι δεσμευτικές, γιατί μπορεί να υπάρξουν πολλοί τρόποι λύσης σε μια άσκηση.

Το επίπεδο μερικών ασκήσεων είναι λίγο πιο υψηλό από αυτό των θεμάτων των πανελληνίων εξετάσεων, αλλά κατ’ αυτόν τον τρόπο διαφαίνεται καλύτερα το γεωμετρικό περιεχόμενο των αλγεβρικών σχέσεων.

Έτσι οι ασκήσεις αυξημένης δυσκολίας σημειώνονται στο τέλος με (*).

Οι ασκήσεις είναι ταξινομημένες σύμφωνα με το περιεχόμενό τους όπως παρακάτω:

                                                                                           

Α. ΑΠΛΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ.19

Β. ΤΑΥΤΌΤΗΤΕΣ-ΠΡΑΞΕΙΣ.24

Γ. ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΟΙ – ΦΑΝΤΑΣΤΙΚΟΙ.26

Δ. ΓΕΩΜΕΤΡΙΚΟΙ ΤΟΠΟΙ.30

Ε. ΑΝΙΣΟΤΗΤΕΣ.36

ΣΤ. ΜΕΓΙΣΤΑ – ΕΛΑΧΙΣΤΑ.39

Ζ. ΓΕΩΜΕΤΡΙΚΕΣ.43

       

Ελπίζω οι σημειώσεις αυτές να φανούν χρήσιμες σε όποιον ενδιαφέρεται γι’ αυτό το τμήμα των μαθηματικών και ειδικά των μαθητών που δίνουν εξετάσεις.

Μέχρι εδώ τα πράγματα ήταν εντός ύλης . Ακολουθήσαμε το ίδιο μοτίβο και στα επόμενα θέματα αφού κλείσαμε το θέμα της ύλης συμπληρώνοντας το με μια συλλογή επαναληπτικών ασκήσεων από το forum mathematica.gr (65) . Έπονται λοιπόν τα

11 .ΟΡΙΣΜΑ ΜΙΓΑΔΙΚΟΥ.71

12 .ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΚΗ ΜΟΡΦΗ.72

13.Ισότητα μιγαδικών σε τριγωνομετρική μορφή.73

14.Πράξεις με τριγωνομετρική μορφή .74

15. ΤΥΠΟΣ de moIVRE.76

16.ΝΙΟΣΤΕΣ  ΡΙΖΕΣ της ΜΟΝΑΔΑΣ.76

17.Η εξίσωση zⁿ=a.78

ΥΠΟΔΕΙΓΜΑΤΙΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ.81

.Σχέσεις με ορίσματα.81

.Εξισώσεις.84

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΓΙΑ ΛΥΣΗ.89

18. ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΣΤΗΝ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ.93

19 .Είδη τριγώνων-τετραπλεύρων-κύκλοι.103

20 .ΧαρακτηριστικΑ σημεία και ευθεΙες τριγώνου.105

δόθηκε ειδική προσοχή στο θέμα της γεωμετρικής ερμηνείας και στις εφαρμογές των μιγαδικών στην γεωμετρία. Για τον λόγο αυτό μετά την απαραίτητη θεωρία ακολουθεί μια σειρά λυμένων εφαρμογών με γεωμετρική εκφώνηση (109) ή λύση (131) κλπ (155) που καταδεικνύει την χρησιμότητα των μιγαδικών, περισσότερο μάλιστα της τριγωνομετρικής μορφής, στην γεωμετρία και κάνει το κεφάλαιο των μιγαδικών τουλάχιστο γοητευτικότερο! Τέλος εκτός Λυκείου ακολουθούν οι μετασχηματισμοί Mobius. Από εδώ και πέρα βγαίνουμε εκτός Λυκείου.Γιατί επέλεξα τους μετασχηματισμούς Mοebius είναι σχεδόν φανερό.

Διότι έχουν πλούσιο γεωμετρικό περιεχόμενο και πιστεύω ότι με ελάχιστες προσθήκες μπορεί να διδαχθούν στο Λύκειο βεβαίως εκτός ύλης εξετάσεων πχ με την προσθήκη του επ’ άπειρο σημείου και μια καλή αναφορά στους στοιχειώδεις γεωμετρικούς μετασχηματισμούς τα πράγματα γίνονται πολύ πιο απλά . Έτσι αναπτύσσουμε τους Mobius μετ/μούς κατά τρόπο που βοηθά τις ασκήσεις περισσότερο παρά την θεωρία και δίνουμε και μια σειρά λυμένων εφαρμογών στο τέλος για καλύτερη εμπέδωσή τους.