Επειδή οι εξετάσεις των υποψηφίων ολοκληρώθηκαν, έχουμε πλέον τον χρόνο να σχολιάσουμε τις απαντήσεις που δόθηκαν από τους μαθητές και το αν, σε ορισμένες περιπτώσεις, πρέπει ή δεν πρέπει να αφαιρεθούν μονάδες.
Παράλληλα, επειδή η διόρθωση των γραπτών μόλις ξεκίνησε, θεωρώ ότι είναι σημαντικό να προστατευθεί και το σώμα των διορθωτών, ώστε η βαθμολόγηση να γίνει με ενιαίο, δίκαιο και μαθηματικά τεκμηριωμένο τρόπο.
Στο Θέμα Β των Πανελλαδικών Εξετάσεων 2026 δινόταν η συνάρτηση
\[ h(x)=\ln(x-2), \quad x\in(2,+\infty) \]και ζητούνταν από τους μαθητές να αποδείξουν ότι είναι \(1-1\) και να βρουν την αντίστροφή της.
Οι ενδεικτικές απαντήσεις που στάλθηκαν από την Κ.Ε.Ε. βρίσκουν το πεδίο ορισμού της αντίστροφης μέσω του συνόλου τιμών της \(h\). Κανένα πρόβλημα. Είναι μια απολύτως σωστή και πλήρης προσέγγιση.
Συγκεκριμένα, μπορεί κάποιος να δείξει ότι
\[ h((2,+\infty))=\mathbb{R}, \]οπότε
\[ D_{h^{-1}}=\mathbb{R}. \]Στη συνέχεια, λύνοντας τη σχέση
\[ y=\ln(x-2) \]ισοδύναμα ως προς \(x\), παίρνουμε
\[ x=e^y+2. \]Άρα
\[ h^{-1}(x)=e^x+2, \quad x\in\mathbb{R}. \]Αυτή είναι η προσέγγιση των ενδεικτικών απαντήσεων. Είναι σωστή, αλλά έχει περισσότερη εργασία για τον μαθητή, ειδικά σε ένα σημείο όπου το σύνολο τιμών είναι άμεσο και φανερό.
Έτσι, λογικά, οι 6 μονάδες του ερωτήματος Β2 μπορούν να «σπάσουν» σε 3 μονάδες για την εύρεση του πεδίου ορισμού της αντίστροφης, δηλαδή του συνόλου τιμών της \(h\), και 3 μονάδες για την εύρεση του τύπου της αντίστροφης.
Το ζήτημα όμως είναι άλλο.
Παρατηρήθηκε ότι κάποιοι συνάδελφοι υποστηρίζουν πως, αν ο υποψήφιος βρει τον τύπο της αντίστροφης μέσα από τις ισοδυναμίες
\[ y=h(x) \iff y=\ln(x-2) \iff x=e^y+2, \quad y\in\mathbb{R}, \]τότε πρέπει επιπλέον να γράψει ότι η τιμή του \(x\) που βρέθηκε ανήκει στο αρχικό πεδίο ορισμού, δηλαδή:
\[ x>2 \iff e^y+2>2 \iff e^y>0, \]που ισχύει για κάθε \(y\in\mathbb{R}\).
Αν δεν το γράψει, θεωρούν ότι πρέπει να αφαιρεθούν μονάδες.
Εδώ ακριβώς βρίσκεται το πρόβλημα.
Ας δούμε τι κάνει το σχολικό βιβλίο σε παρόμοια άσκηση. Στην Άσκηση 2(v), σελ. 38, δίνεται η συνάρτηση
\[ f(x)=\ln(1-x), \]με πεδίο ορισμού
\[ (-\infty,1). \]Το σχολικό βιβλίο, για να βρει την αντίστροφη, θέτει
\[ y=f(x) \]και λύνει ισοδύναμα ως προς \(x\):
\[ y=\ln(1-x) \iff 1-x=e^y \iff x=1-e^y. \]Στη συνέχεια καταλήγει ότι
\[ f^{-1}(x)=1-e^x, \quad x\in\mathbb{R}. \]Όμως το σχολικό βιβλίο δεν γράφει χωριστά ότι
\[ 1-e^y<1 -e="" e="" iff="" y="">0. \]Δεν κάνει, δηλαδή, πρόσθετη επαλήθευση ότι η τιμή του \(x\) που βρέθηκε ανήκει στο αρχικό πεδίο ορισμού της \(f\).
Και πολύ σωστά δεν το κάνει στην συγκεκριμένη άσκηση.
Διότι, λύνοντας ισοδύναμα τη σχέση
\[ y=f(x) \]ως προς \(x\), οι περιορισμοί που προκύπτουν κατά την επίλυση περιλαμβάνουν ήδη τις αναγκαίες πληροφορίες για το σύνολο τιμών της \(f\), άρα και για το πεδίο ορισμού της αντίστροφης.
Στην περίπτωση
\[ h(x)=\ln(x-2), \quad x>2, \]από τη σχέση
\[ y=\ln(x-2) \]παίρνουμε
\[ x-2=e^y. \]Επειδή
\[ e^y>0 \]για κάθε πραγματικό \(y\), προκύπτει αυτομάτως ότι
\[ x=2+e^y>2. \]Άρα η τιμή του \(x\) που βρέθηκε ανήκει πράγματι στο αρχικό πεδίο ορισμού. Δεν είναι αναγκαίο να γραφτεί ως ξεχωριστό βήμα, αρκεί βέβαια ο μαθητής να έχει καταλήξει σωστά στο πεδίο ορισμού της αντίστροφης και στον τύπο της.
Παρατηρήσεις
1. Στους μαθητές λέμε συχνά να βρίσκουν πρώτα το σύνολο τιμών της συνάρτησης.
Αυτό είναι σωστό και είναι η μέθοδος που ακολουθούν οι ενδεικτικές απαντήσεις της Κ.Ε.Ε.
Όμως, όταν στο σχολικό βιβλίο εισάγεται η έννοια της αντίστροφης συνάρτησης, το σύνολο τιμών δεν είναι πάντοτε ήδη γνωστό. Γι’ αυτό και το βιβλίο ακολουθεί τη μέθοδο της επίλυσης της σχέσης
\[ y=f(x) \]ισοδύναμα ως προς \(x\), βάζοντας περιορισμούς στο \(y\) κατά αυτή την επίλυση.
Επομένως, δεν μπορεί να θεωρηθεί λανθασμένη ή ελλιπής μια απάντηση που ακολουθεί ακριβώς τη μεθοδολογία του σχολικού βιβλίου.
2. Πρέπει οι μαθητές να κάνουν πρόσθετη επαλήθευση ότι το \(x\) που βρήκαν ανήκει στο αρχικό πεδίο ορισμού της συνάρτησης;
Στη συγκεκριμένη περίπτωση, όχι. Γενικά ναι! Δεν το απαιτεί το σχολικό βιβλίο σε ίδια ουσιαστικά περίπτωση. Στην άσκηση με
\[ f(x)=\ln(1-x), \quad x<1 p=""> το βιβλίο βρίσκει \[ x=1-e^y \]και δεν επαληθεύει χωριστά ότι
\[ 1-e^y<1 .="" p=""> Η επαλήθευση αυτή είναι αληθής, αλλά δεν παρουσιάζεται ως απαραίτητο βήμα.Θα είχε νόημα να ζητηθεί πιο ρητά μια τέτοια επαλήθευση σε περιπτώσεις όπου η συνάρτηση είναι περιορισμός μιας συνάρτησης και το πεδίο ορισμού της δεν είναι το φυσικό πεδίο ορισμού του τύπου της.
Για παράδειγμα, στη συνάρτηση
\[ f(x)=(x-1)^2-1, \quad x<1 p=""> το πεδίο ορισμού της διαφέρει από το φυσικό πεδίο ορισμού του τύπου. Επομένως, όταν λύσουμε ισοδύναμα ως προς \(x\), θα πρέπει να προσέξουμε για ποιες τιμές του \(y\) ικανοποιείται η σχέση \(x<1 p="">Δεν συμβαίνει κάτι αντίστοιχο στη συνάρτηση
\[ h(x)=\ln(x-2). \]Εδώ ο περιορισμός \(x>2\) είναι ήδη ενσωματωμένος στη σχέση
\[ x-2=e^y, \]αφού το δεξί μέλος είναι πάντοτε θετικό.
3. Στο θέμα δεν δινόταν ο τύπος της αντίστροφης συνάρτησης.
Ένα ακόμη σημείο που πρέπει να ληφθεί υπόψη είναι ότι στο συγκεκριμένο ερώτημα δεν δινόταν στους μαθητές ο τύπος της αντίστροφης μαζί με το πεδίο ορισμού της.
Άρα ο υποψήφιος δεν μπορούσε να «αντιγράψει» ή να «κλέψει» το πεδίο ορισμού της αντίστροφης από επόμενο ερώτημα ή από δοσμένο στοιχείο της εκφώνησης.
Επομένως, όταν ένας μαθητής γράφει ότι
\[ D_{h^{-1}}=\mathbb{R}, \]αυτό σημαίνει ότι έχει κατανοήσει πως το σύνολο τιμών της
\[ h(x)=\ln(x-2), \quad x>2, \]είναι το \(\mathbb{R}\).
Άρα η αναφορά του πεδίου ορισμού της αντίστροφης ως \(\mathbb{R}\) πρέπει να θεωρείται σωστή, ακόμη κι αν δεν έχει προηγηθεί η αναλυτική εύρεση του συνόλου τιμών με τον τρόπο που παρουσιάζεται στις ενδεικτικές απαντήσεις.
Με άλλα λόγια, αν ο υποψήφιος έγραψε σωστά
\[ h^{-1}(x)=e^x+2, \quad x\in\mathbb{R}, \]τότε έχει δώσει και τον σωστό τύπο και το σωστό πεδίο ορισμού της αντίστροφης. Δεν υπάρχει λόγος να θεωρηθεί ότι το πεδίο ορισμού γράφτηκε τυχαία ή αντιγράφηκε από κάπου, αφού δεν υπήρχε τέτοιο δεδομένο στην εκφώνηση.
4. Όταν λέμε ότι τα θέματα έχουν στροφή στο σχολικό βιβλίο, πρέπει να αποδεχόμαστε και τις λύσεις του σχολικού βιβλίου.
Δεν γίνεται να θεωρούμε το σχολικό βιβλίο κεντρικό σημείο αναφοράς για τη διδασκαλία και την εξέταση, αλλά στη βαθμολόγηση να απαιτούμε περισσότερα βήματα από αυτά που το ίδιο το βιβλίο θεωρεί επαρκή.
Αν ένας καθηγητής, για λόγους πληρότητας, διδάσκει στους μαθητές του να γράφουν και την επαλήθευση του αρχικού περιορισμού, πολύ καλά κάνει. Είναι μια καλή πρακτική.
Άλλο όμως η καλή πρακτική και άλλο το υποχρεωτικό βαθμολογικό κριτήριο.
Δεν μπορούμε να αφαιρούμε μονάδες από έναν υποψήφιο επειδή δεν έγραψε ένα επιπλέον βήμα που δεν απαιτείται ούτε από το σχολικό βιβλίο σε ανάλογη περίπτωση.
5. Η αφαίρεση 3 ή 4 μονάδων για αυτόν τον λόγο δεν είναι δίκαιη.
Αν ένας μαθητής:
\[ y=\ln(x-2) \iff x=e^y+2, \]καταλήξει σωστά ότι
\[ h^{-1}(x)=e^x+2 \]και δηλώσει σωστά ότι
\[ D_{h^{-1}}=\mathbb{R}, \]τότε έχει βρει σωστά την αντίστροφη συνάρτηση.
Η μη αναγραφή του ενδιάμεσου ελέγχου
\[ e^y+2>2 \]δεν αλλοιώνει τη λύση, δεν οδηγεί σε λανθασμένο πεδίο ορισμού, δεν οδηγεί σε λανθασμένο τύπο και δεν δείχνει άγνοια της έννοιας της αντίστροφης.
Επομένως, η αφαίρεση σημαντικού αριθμού μονάδων για αυτό το σημείο δεν είναι ούτε παιδαγωγικά ούτε μαθηματικά ορθή.
6. Στα πρώτα θέματα χρειάζεται μεγαλύτερη βαθμολογική ευελιξία.
Τέλος, θεωρώ ότι στα Θέματα Α και Β πρέπει να υπάρχει μεγαλύτερη ελαστικότητα στη βαθμολόγηση, όταν φυσικά η απάντηση είναι μαθηματικά σωστή και δείχνει κατανόηση της έννοιας.
Τα πρώτα θέματα έχουν κυρίως στόχο να ελέγξουν βασικές γνώσεις, βασικές τεχνικές και την ουσιαστική κατανόηση των εννοιών του σχολικού βιβλίου. Δεν είναι ο χώρος όπου πρέπει να εξαντλείται η αυστηρότητα σε δευτερεύοντα βήματα, ειδικά όταν αυτά δεν απαιτούνται ρητά ούτε από το σχολικό βιβλίο.
Όσο προχωράμε στα επόμενα θέματα, και ιδιαίτερα στα πιο σύνθετα ερωτήματα των Θεμάτων Γ και Δ, είναι λογικό να ζητείται μεγαλύτερη πληρότητα, αυστηρότερη αιτιολόγηση και πιο προσεκτική διαχείριση των περιορισμών.
Στο Θέμα Β, όμως, όταν ο μαθητής έχει βρει σωστά την αντίστροφη συνάρτηση, έχει δηλώσει σωστά το πεδίο ορισμού της και έχει ακολουθήσει μέθοδο συμβατή με το σχολικό βιβλίο, η βαθμολόγηση πρέπει να είναι δίκαιη και όχι τιμωρητική.
Συμπέρασμα
Δεν είναι σωστό να αφαιρεθούν μονάδες από μαθητή που ακολούθησε τη μέθοδο του σχολικού βιβλίου, έλυσε ισοδύναμα τη σχέση
\[ y=h(x), \]βρήκε σωστά τον τύπο της αντίστροφης
\[ h^{-1}(x)=e^x+2 \]και δήλωσε σωστά το πεδίο ορισμού της
\[ D_{h^{-1}}=\mathbb{R}. \]Η πρόσθετη επαλήθευση ότι
\[ e^y+2>2 \]μπορεί να θεωρηθεί μια καλή και πλήρης πρακτική. Δεν μπορεί όμως να αποτελέσει υποχρεωτικό βαθμολογικό κριτήριο, ιδίως όταν το ίδιο το σχολικό βιβλίο, σε παρόμοια άσκηση, δεν την πραγματοποιεί.
Επιπλέον, αφού ο τύπος και το πεδίο ορισμού της αντίστροφης δεν δίνονταν σε επόμενο ερώτημα, κάθε σωστή αναφορά στο
\[ D_{h^{-1}}=\mathbb{R} \]πρέπει να αξιολογείται ως μαθηματικά έγκυρη απάντηση και όχι ως τυχαία ή αντιγραμμένη πληροφορία.
Ας συμφωνήσουμε τουλάχιστον σε αυτό:
Οι απαντήσεις που είναι σύμφωνες με τη μεθοδολογία και το επίπεδο πληρότητας του σχολικού βιβλίου πρέπει να θεωρούνται αποδεκτές στις Πανελλαδικές Εξετάσεις, όσο και αν έχουμε τις προσωπικές μας απόψεις. Αυτές ας τις συζητήσουμε σε προσωπικό επίπεδο.
Ναι, αλλά αν είχαμε τη συνάρτηση f(x)=ln(x+3)-ln(x-1) που έχει ενσωματωμένο τον περιορισμό x>1 είμαστε υποχρεωμένοι να κάνουμε επαλήθευση, διότι διαφορετικά θα βρούμε λάθος πεδίο ορισμού της αντίστροφης (y διάφορο του 0, ενώ με την επαλήθευση προκύπτει το σωστό y>0). Θεωρώ ότι πρέπει πάντα να κάνουν επαλήθευση. Εκτός αν κάνω κάπου λάθος και δεν το βλέπω.
ΑπάντησηΔιαγραφήΑκριβώς το ίδιο θα έγραφα κι εγώ.
ΔιαγραφήΠαρότι η συνάρτηση που αναφέρετε είναι καλά ορισμένη και όχι σε υποσύνολο του πεδίου ορισμού της, αν δεν γίνει επαλήθευση με το πεδίο ορισμού της, δεν βγαίνει σωστό αποτέλεσμα...
Ας μην παραβλέπουμε το γεγονός ότι όταν εισάγετε η έννοια της αντίστροφης συνάρτησης, ο μαθητής δεν έχει τα εφόδια ώστε να βρεί σύνολο τιμών. Συνεπώς το παράδειγμα εύρεσης αντίστροφης πρέπει να συμβαδίζει με τις γνώσεις του μαθητή. Οι γνώσεις όμως εμπλουτίζονται και αντίστοιχα οι τεχνικές επίλυσης των ασκήσεων.
ΑπάντησηΔιαγραφήΓιαυτο το συνολο τιμων το βρισκουμε ΜΟΝΟ οπως το μαθαινουμε (μετα το Θ.ΒΟΛΖΑΝΟ) και την y=f(x) την λυνουμε ΜΟΝΟ για τον τυπο της αντιστροφης
ΑπάντησηΔιαγραφήΜελέτησα τα παραπάνω και οφείλω να πάρω θέση. Το σχολικό βιβλίο δεν το έχουν γράψει αυθεντίες. Αυτός είναι ο λόγος που στο βιβλίο των λύσεων υπάρχουν πάρα πολλά λάθη. Για παράδειγμα, στην παράγραφο 2,7 στη σελίδα 152 στο πρόβλημα με τους συμμετέχοντες στην εκδρομή, στο βιβλίο λύσεων δεν αναφέρει πουθενά το πεδίο ορισμού. Εδώ το λάθος είναι τεράστιο γιατί για το συγκεκριμένο πρόβλημα το πεδίο ορισμού είναι το σύνολο των φυσικών αριθμών (εκτός και αν υπάρχουν 2,45 άνθρωποι). Τι θα έπρεπε να ανέφερε το βιβλίο των λύσεων? "Θεωρούμε τη συνάρτηση f:(0,200)->R με f(x)=.... " και στη συνέχεια να παραγωγίσει (εκτός και αν αλλάξαν τα δεδομένα και μπορούμε να παραγωγίζουμε στους φυσικούς). Στο τέλος θα πρέπει να κρατήσουμε τον φυσικό εκείνο που έχουμε τα μέγιστα έσοδα. Τα λέω όλα αυτά γιατί δεν πρέπει να θεωρούμε apriori ότι το σχολικό τα λέει πάντα σωστά.
ΑπάντησηΔιαγραφήΑν ο μαθητής λύσει την εξίσωση y=f(x) και βρει: 1)τον τύπο της αντίστροφης και 2) το σύνολο τιμών παίρνοντας όλους τους απαραίτητους περιορισμούς, παίρνει όλες τις μονάδες. Αυτό συμφωνήσαμε και στη συνάντηση της πειραματικής βαθμολόγησης στο βαθμολογικό κέντρο.
ΑπάντησηΔιαγραφήΕύρεση τύπου συνάρτησης χωρίς π.ο. είναι λάθος. Το π.ο. είναι απαραίτητη προϋπόθεση για την εύρεση της συνάρτησης.
ΔιαγραφήΕννοείται και πεδίο ορισμού της αντίστροφης (που είναι το σύνολο τιμών της f).
ΔιαγραφήΑυτό το σχόλιο αφαιρέθηκε από τον συντάκτη.
ΑπάντησηΔιαγραφή