lisari.blogspot.com: Πρωτότυπα Προβλήματα Μαθηματικών Πανεπιστημίου

Πρόσφατα βρήκα ένα πολύ όμορφο blog και θα το μοιραστώ μαζί σας. Το βρίσκετε στην ιστοσελίδα http://kolount.wordpress.com/ και
Περιέχει προβλήματα μαθηματικών που είναι όμορφα και πρωτότυπα, δηλαδή δεν ανήκουν στα συνηθισμένα προβλήματα που αντιμετωπίζουμε στα βιβλία που κυκλοφορούν ευρέως. Τα πιο πολλά από αυτά δεν είναι τελείως στοιχειώδη και, κατά κανόνα, απαιτούν κάποιες γνώσεις μαθηματικών που αποκτά κανείς στο Πανεπιστήμιο (ή τουλάχιστον θα έπρεπε ...).
Νομίζω ότι όσοι βαρεθήκαν τα στοιχειώδη προβλήματα μαθηματικών του Πανεπιστημίου και αναζητούν κάτι ποιο ενδιαφέρον, θα πρέπει να μπουν οπωσδήποτε στον παραπάνω σύνδεσμο, την συστήνουμε ανεπιφύλακτα!!
 Ποιοί συνεισφέρουν προβλήματα:

 Κατηγορίες

Ενδεικτικά αναφέρω δέκα προβλήματα που μου άρεσαν!

Πρόβλημα 1

Πτώση μέχρι καταστροφής

Μια εταιρεία παραγωγής μαγικών ειδών σας ζητάει να εκτιμήσετε την ποιότητα της νέας γυάλινης σφαίρας που έχει κατασκευάσει, και ειδικότερα σας ζητάει να αποφασίσετε από ποιον όροφο του 36-όροφου κτηρίου της πρέπει να πέσει για να σπάσει.

Για το σκοπό αυτό σας διαθέτει ακριβώς δύο πανομοιότυπες γυάλινες σφαίρες.

Εσείς πρέπει λοιπόν να αποφασίσετε ποιο είναι το ελάχιστο $n\ge 1$ τέτοιο ώστε αν η γυάλινη σφαίρα πέσει από τον $n$ -οστό όροφο σπάει αλλά αν πέσει από τον $(n-1)$ -όροφο τότε δε σπάει.
Ένας προφανής τρόπος να το κάνετε αυτό χρησιμοποιώντας μάλιστα μόνο τη μια σφαίρα είναι να ανεβαίνετε τους ορόφους έναν-έναν και από κάθε όροφο να ρίχνετε τη σφαίρα μέχρι να σπάσει.
Όμως αυτός ο όροφος παίρνει εν γένει πολλές δοκιμές.
Προσπαθείστε να το κάνετε με όσο λιγότερες δοκιμές μπορείτε.

Πρόβλημα 2

Τυχαίοι φορολογικοί έλεγχοι

Εργάζεστε στο Υπουργείο Οικονομικών και παίρνετε εντολή να επιλέξετε ένα τυχαίο δείγμα επαγγελματιών για φορολογικό έλεγχο. Ο προϊστάμενός σας έχει θέσει αυστηρές προδιαγραφές:

Κάθε επαγγελματίας θα πρέπει να ελεγχθεί με πιθανότητα $p=1/10000=10^{-4}$ .
Η πιθανότητα που έχει κάθε ένας να ελεγχθεί δεν εξαρτάται από το αν κάποιοι άλλοι θα ελεγχθούν ή όχι (σε πιο μαθηματική γλώσσα, τα ενδεχόμενα ελέγχου των επαγγελματιών είναι ανεξάρτητα).

Βλέπετε ότι υπάρχουν $N=10^6$ επαγγελματίες. Κατ’ αρχήν λοιπόν σκέφτεστε να βάλετε τον υπολογιστή σας να κάνει $N$ τυχαίες και ανεξάρτητες επιλογές και έτσι να επιλέξετε το δείγμα σας. Ο υπολογιστής σας μπορεί φυσικά εύκολα να το κάνει αυτό: είναι εφοδιασμένος με ένα υποπρόγραμμα το οποίο, κάθε φορά που καλείται, επιστρέφει ένα αριθμό $X$ ομοιόμορφα κατανεμημένο στο διάστημα $[0,1]$ . Καλείτε λοιπόν αυτό το υποπρόγραμμα $N$ φορές και, κάθε φορά, αν το $X$ πέσει στο διάστημα $[0,p]$ τότε ο “τυχερός” επαγγελματίας επιλέγεται για έλεγχο.
Όμως, σας λέει ο έμπειρος προϊστάμενός σας (ο οποίος μόλις είχε πάρει μεταγραφή στο Υπουργείο Οικονομικών από τη Στατιστική Υπηρεσία, η οποία εκείνη την εποχή υπόκειτο σε ανακατατάξεις και δικαστικούς ελέγχους), υπάρχει και η εξής παράμετρος: το σύστημα επιλογής σας υπόκειται σε δικαστικό έλεγχο. Και είναι γνωστό ότι οι υπολογιστές είναι ντετερμινιστικά μηχανήματα και τίποτα από αυτά που κάνουν δεν είναι τυχαίο. Η υπορουτίνα τυχαίων αριθμών που χρησιμοποιείτε δεν παράγει πραγματικά τυχαίους αριθμούς· αυτό όλοι το γνωρίζουν. Πώς μπορεί λοιπόν να σταθεί στο δικαστήριο η μέθοδός σας;
Η μόνη λύση που σας έρχεται στο μυαλό είναι να χρησιμοποιήσετε γεννήτρια τυχαίων αριθμών εκτός του υπολογιστή σας. Ένας τρόπος π.χ. να το κάνετε αυτό είναι να παράγετε πολλά ανεξάρτητα τυχαία νούμερα ομοιόμορφα στο $[0,1]$ (π.χ. χρησιμοποιώντας κάτι σα ρουλέτα στην οποία μετράτε κάθε φορά τη γωνία με την οποία περιστράφηκε και διαιρείτε διά $2\pi$ ) και να τα καταχωρήσετε σε ένα αρχείο του υπολογιστή σας. Όποτε το πρόγραμμά σας χρειάζεται ένα τυχαίο αριθμό απλά θα παίρνει τον επόμενο απο αυτό το αρχείο.
Ο προιστάμενός σας είναι ευχαριστημένος: η μέθοδός σας σίγουρα περνάει κάθε νομικό έλεγχο.
Όμως μετά από λίγο καταλαβαίνετε ότι το να παράγετε $10^6$ τυχαίους αριθμούς με μηχανικό τρόπο θα πάρει πολύ χρόνο και χρήμα. Είναι πρακτικά αδύνατο.
Πρέπει να βρείτε ένα τρόπο να παράγετε αυτό το τυχαίο δείγμα (κατά μέσο όρο θα έχει μέγεθος 100) χρησιμοποιώντας πολύ λιγότερους τυχαίους αριθμούς.
Προτείνετε λύσεις.

Πρόβλημα 3

Γραμμικοί συνδυασμοί με φυσικούς ως συντελεστές ΙΙ

Είδαμε στο πρόβλημα “Γραμμικοί συνδυασμοί με φυσικούς αριθμούς ως συντελεστές” ότι αν $a,b$ είναι σχετικά πρώτοι τότε υπάρχει πεπερασμένο πλήθος φυσικών αριθμών $n$ που δεν μπορούν να γραφούν ως $n=xa+yb$ με $x,y$ φυσικούς.
Μπορείτε να υπολογίσετε πόσοι είναι αυτοί οι αριθμοί;

Πρόβλημα 4

Χωριστά συνεχής

Έστω $f:\mathbb R^2\to\mathbb R$ μια συνάρτηση η οποία είναι συνεχής σε κάθε μεταβλητή. Δηλαδή για κάθε σταθεροποιημένο $x$ , η $f(x,y)$ είναι συνεχής σαν συνάρτηση τού $y$ , και ανάλογα για κάθε σταθεροποιημένο $y$ η $f(x,y)$ είναι συνεχής σαν συνάρτηση τού $x$ . Δεν είναι αλήθεια ότι μια τέτοια $f$ είναι συνεχής σαν συνάρτηση και των δύο μεταβλητών. Παράδειγμα
$\displaystyle f(x,y)=\begin{cases}\dfrac{xy}{x^2+y^2},\ &(x,y)\ne(0,0)\\ 0,\ &(x,y)=(0,0)\end{cases}.$
Δείξτε παρ’ όλα αυτά ότι μια τέτοια συνάρτηση έχει πάντα τουλάχιστο ένα σημείο συνέχειας.

Πρόβλημα 5 Σημεία και ευθείες

Δίδεται ένα πεπερασμένο σύνολο σημείων στο επίπεδο που δεν είναι όλα συνευθειακά. Δείξτε ότι υπάρχει μια ευθεία που περιέχει ακριβώς δύο από τα σημεία αυτά.

Πρόβλημα 6

Είναι η ταυτοτική;

Έστω $f:\mathbb R\to\mathbb R$ μια συνάρτηση τέτοια ώστε $f(1)=1$ και $f(x+y)=f(x)+f(y)$ για κάθε $x,y$ . Τι μπορείτε να πείτε για την $f$ ;
Υπάρχει μια προφανής $f$ με αυτές τις ιδιότητες. Είναι η μοναδική;
Προσέξτε ότι δεν κάνουμε καμία άλλη υπόθεση για την $f$ . Επομένως θα πρέπει εσείς να μαντέψετε τους ασθενέστερους δυνατούς περιορισμούς ώστε το πρόβλημα να έχει απάντηση (αν φυσικά πιστεύετε ότι χρειάζονται κάποιοι περιορισμοί)

Πρόβλημα 7

Μονομαχία

Κατηγορίες: Λυμένα Προβλήματα — Michalis Loulakis @ 11:01 πμ

Ένας μαθηματικός, ένας αριστοκράτης κι ένας κυνηγός αποφασίζουν να μονομαχήσουν για την αγάπη μιας γυναίκας. Ο κανόνας της μονομαχίας είναι ότι οι τρεις άνδρες πυροβολούν διαδοχικά μέχρι (μακάβριο…) να απομείνει ένας μόνο ζωντανός. Μετά από κλήρωση πρώτος πυροβολεί ο μαθηματικός, δεύτερος ο κυνηγός και τρίτος ο αριστοκράτης.
Ο μαθηματικός που δεν σκαμπάζει πολύ από όπλα έχει πιθανότητα 0,3 να πετύχει το στόχο του κάθε φορά που σκοπεύει, ο αριστοκράτης έχει πιθανότητα 0,5 και ο κυνηγός δεν αστοχεί ποτέ. Τι πρέπει να κάνει ο μαθηματικός μας;

Πρόβλημα 8

Εξίσωση 5ου βαθμού

Δύο από τις λύσεις της εξίσωσης
$\displaystyle x^5+x^4-2x^3-2x^2-2x+1=0$
είναι αντίστροφοι αριθμοί. Βρείτε όλες τις λύσεις της.

Πρόβλημα 9

Αεροδρόμιο στη στέπα

Τρεις πόλεις είναι χτισμένες στη στέπα και η κυβέρνηση της χώρας αποφάσισε επιτέλους να φτιάξει ένα αεροδρόμιο που να τις εξυπηρετεί. Οι πόλεις θα συνδεθούν με το αεροδρόμιο με αυτοκινητοδρόμους. Οι δρόμοι όμως κοστίζουν και η κυβέρνηση χρήματα πολλά δεν θέλει να διαθέσει. Σας προσλαμβάνει λοιπόν για να γνωμοδοτήσετε που πρέπει να χτιστεί το αεροδρόμιο ώστε το κόστος κατασκευής των τριών αυτοκινητοδρόμων να είναι ελάχιστο. Μάλιστα, το μόνο που προτίθεται να σας δώσει είναι ένας χάρτης της περιοχής, ένας κανόνας κι ένας διαβήτης. Πώς θα υποδείξετε το καταλληλότερο σημείο;

Πρόβλημα 10

Κέντρο βάρους (παραμένει άλυτο ακόμα!!)

Δείξτε πρώτα ότι το κέντρο βάρους των κορυφών ενός τριγώνου συμπίπτει πάντα με το κέντρο βάρους του τριγώνου. Στη συνέχεια δείξτε ότι το κέντρο βάρους των κορυφών ενός τετραπλέυρου συμπίπτει με το κέντρο βάρους του τετραπλεύρου αν και μόνο αν το τετράπλευρο είναι παραλληλόγραμμο.
Υπενθυμίζεται ότι το κέντρο βάρους των κορυφών ενός $\nu$ -γώνου με κορυφές $(x_1,y_1),...,(x_\nu,y_\nu)$ είναι το κέντρο βάρους $\nu$ ίσων μαζών τοποθετημένων στις κορυφές του και έχει συντεταγμένες

$\displaystyle \bar{x}=\frac{x_1+\cdots+x_\nu}{\nu}\qquad \bar{y}=\frac{y_1+\cdots+y_\nu}{\nu}.$

Οι συντεταγμένες του κέντρου βάρους ενός πολυγώνου Π (που είναι το κέντρο βάρους μιας μάζας κατανεμημένης ομοιόμορφα στην επιφάνεια του πολυγώνου) δίνονται από τις σχέσεις

$\displaystyle x_G=\frac{\iint_{\Pi} xdxdy}{\iint_{\Pi} dxdy} \qquad y_G=\frac{\iint_{\Pi} ydxdy}{\iint_{\Pi} dxdy}$

και μπορείτε να τις βρείτε στο παλιό και αγαπημένο πρόβλημα “Τύπος για Εμβαδό Πολυγώνου“

Δεν υπάρχουν σχόλια:

Δημοσίευση σχολίου

Εκτιμάμε τους ανθρώπους που σέβονται τους συνομιλητές τους και διδάσκουν ήθος από τα πληκτρολόγιά τους.

Το lisari είναι χώρος που ενώνει φωνές, κάνει τις διαφορετικές δυνάμεις ομόρροπες.

Είναι εδώ για να ενώσει τους μαθηματικούς και να εκφραστούν μέσα από ένα μέσο. Επομένως, οι αντεγκλήσεις και οι προσβολές δεν μας τιμούν και δεν βοηθούν το σκοπό του εγχειρήματος.

Σας ευχαριστούμε για τη συμμετοχή και το ήθος σας!

Μάκης Χατζόπουλος

Σελίδες

Μια σύντομη περιήγηση στο lisari.blogspot.com

Googlisari

Πέμπτη 19 Αυγούστου 2010

Πρωτότυπα Προβλήματα Μαθηματικών Πανεπιστημίου