Εργασία μαθητών: Η εικασία Collatz ή αλλιώς 3ν + 1! Σας θυμίζει κάτι;

 Οι μαθητές από το Πρότυπο ΓΕΛ Βαρβακείου Σχολής

Γουρδουπάρη Νεφερτίτη, Καρπούζης Χρήστος, Βήτος Φώτης, 

Βρόντος Δημήτρης 

με υπεύθυνο προγράμματος τον Ζήνων Λυγάτσικα 

( Συντονιστής εκπαιδευτικού έργου Α΄ Αθηνών) 

μας παρουσιάζουν την εργασία που κατέθεσαν στο EuroMath 2023 και αφορά ένα διάσημο άλυτο πρόβλημα των Μαθηματικών, την Εικασία Collatz (the collatz conjecture) ή αλλιώς την εικασία 3ν + 1. Σας θυμίζει κάτι; Μήπως κάποιο γνωστό λογοτεχνικό βιβλίο του Τεύκρου Μιχαηλίδη; 

Για απευθείας αποθήκευση της εργασίας πατήστε εδώ (Αγγλική γλώσσα)

Ας δούμε λίγα λόγια για την εικασία

Η εικασία Collatz είναι ένα από τα πιο διάσημα άλυτα προβλήματα στα μαθηματικά . Η εικασία ρωτά αν η επανάληψη δύο απλών αριθμητικών πράξεων θα μετατρέψει τελικά κάθε θετικό ακέραιο σε 1. Αφορά ακολουθίες ακεραίων στις οποίες κάθε όρος λαμβάνεται από τον προηγούμενο όρο ως εξής: 

"εάν ο προηγούμενος όρος είναι άρτιος , ο επόμενος όρος είναι το μισό του τον προηγούμενο όρο. Εάν ο προηγούμενος όρος είναι περιττός, ο επόμενος όρος είναι 3 φορές ο προηγούμενος όρος συν 1." 

Η εικασία είναι ότι αυτές οι ακολουθίες φτάνουν πάντα το 1, ανεξάρτητα από το ποιος θετικός ακέραιος αριθμός επιλέγεται για την έναρξη της ακολουθίας.

Για παράδειγμα,

8, 4 , 2 , 1 (τέλος)

3, 10, 5, 16 , 8 , 4, 2, 1

37, 112, 56, 28, 14, 7, 22, 11, 34, 17, 52, 26, 13, 40, 20, 10, 5, 16, 8, 4, 2, 1

Πήρε το όνομά του από τον μαθηματικό Lothar Collatz , ο οποίος εισήγαγε την ιδέα το 1937, δύο χρόνια μετά τη λήψη του διδακτορικού του. 

Κατευθυνόμενο γράφημα που δείχνει τις τροχιές μικρών αριθμών κάτω από τον χάρτη Collatz, παρακάμπτοντας άρτιου αριθμούς. 

Η εικασία Collatz δηλώνει ότι όλα τα μονοπάτια οδηγούν τελικά στο 1. 

Πηγή: en.wikipedia.org

Θέματα Ανάλυσης για διδασκαλία στην τάξη (Διαφορικός και Ολοκληρωτικός Λογισμός

Οι μαθηματικές συναντήσεις του Δημήτρη Ντρίζου Σχολικού Συμβούλου Μαθηματικών
(drizosdim@yahoo.gr) μας προσφέρει ένα πλούσιο υλικό με 12 θέματα στον Διαφορικό και Ολοκληρωτικό Λογισμό!

Για απευθείας αποθήκευση πατήστε εδώ..

Για να παρακολουθείτε συγκεντρωτικά τα αρχεία της Α΄, Β΄ και Γ΄ Λυκείου

για το σχολικό έτος 2017 - 18 πατήστε εδώ.

Για αρχεία από τα προηγούμενα έτη πατήστε εδώ.

Θέματα Ανάλυσης για διδασκαλία στην τάξη (Διαφορικός και Ολοκληρωτικός Λογισμός from Μάκης Χατζόπουλος

Ενδιαφέρον αρχείο του Πρόδρομου Ελευθερίου στην ύλη της Γ Λυκείου

Ο αγαπητός συνάδελφος Πρόδρομος Ελευθερίου τ. (Επίτιμος Σχ. Σύμβουλος Μαθηματικών) μας έστειλε ένα πολύ ενδιαφέρον αρχείο το οποίο αναφέρεται στις εξής έννοιες:

1. Σύνθεση συναρτήσεων, 

2. Συναρτησιακές σχέσεις, 

3. Μονοτονία, 

4. Αντίστροφες συναρτήσεις, 

5. Συνέχεια και Παραγωγισιμότητα, 

6. Απαγωγή σε άτοπο και «λίγο» Θ.Μ.Τ. Τελικά όταν εφαρμόζουμε το Θ.Μ.Τ σε μεταβλητό διάστημα έχουμε ξ ή ξ(x);

Αρκετά "κομμάτια" έχουν παρουσιαστεί στην 6η και 8η Μαθηματική Εβδομάδα.

Πατήστε εδώ για απευθείας αποθήκευση (σελ. 31).

Χρήσιμα αρχεία στην Ανάλυση της Γ Λυκείου from Μάκης Χατζόπουλος

Γεωμετρικοί Μετασχηματισμοί - Γεώργιος Τσίντσιφας

Το βιβλίο αυτό είναι γραμμένο από τον σημαντικό ερευνητή και συγγραφέας Γιώργο Τσίντσιφα και αποτελεί μία ανιδιοτελή προσφορά του σε όσους ενδιαφέρονται για τη Γεωμετρία.

Είναι ιδιαίτερα χρήσιμο για αντιμετώπιση θεμάτων διαγωνιστικών Μαθηματικών και για την αυτομόρφωση των δασκάλων των Μαθηματικών.

Για απευθείας αποθήκευση πατήστε εδώ ή εδώ.

Πηγή: Από τον φίλο και Σχολικό Σύμβουλο Θεσσαλονίκης  Ανδρέα Πούλο.

Πειραματική διδασκαλία: Μέγιστα και Ελάχιστα, με τη μέθοδο συμπλήρωσης τετραγώνου

Ο σχολικός σύμβουλος Τρικάλων και Καρδίτσας, Δημήτρης Ντρίζος, συνεχίζει το Πρόγραμμα των Πειραματικών Διδασκαλιών σε συνεργασία με μαθηματικούς που διδάσκουν σε σχολεία της περιοχής του.

 

Μια τέτοια πειραματική διδασκαλία έχει προγραμματιστεί για την προσεχή Τρίτη 2 Απριλίου, στο 2ο Γενικό Λύκειο Τρικάλων σε συνεργασία με τον μαθηματικό Άρη Λυμπίκη, και θέμα: "Μέγιστα και Ελάχιστα, με τη μέθοδο συμπλήρωσης τετραγώνου".

 

 

 

Γεωμετρία των μιγαδικών αριθμών (ανανεωμένο)

Στο Α΄ μέρος παρουσιάζουμε ένα αρχείο από τον Σχολικό Σύμβουλο Μαθηματικών Δ. Ντρίζο για την Γεωμετρία των μιγαδικών αριθμών.

Περιέχονται

• 24 άλυτα θέματα
• Σχόλια και παρατηρήσεις 
• Λίγα λόγια για τις συναρτήσεις του Möbius (Moebius)

Για αποθήκευση πατήστε εδώ.

Επίσης δείτε παρακάτω τις

Μαθηματικές Συναντήσεις – Σημείωμα 1: Θέματα για διδασκαλία στην τάξη από τη Γεωμετρία των Μιγαδικών Αριθμών,

από τον εκλεκτό φίλο και Σχολικό Σύμβουλο Τρικάλων Δημήτρη Ντρίζο.  

Στο Β΄ μέρος παρουσιάζεται η Γεωμετρία στους μιγαδικούς αριθμούς από τον Ροδόλφο Μπόρις. Το αρχείο αυτό συμπληρώνεται από 3 ενδεικτικές αποδείξεις του αξιαγάπητου συναδέλφου Ρίζου Γιώργου και διάφορες εκφράσεις διάφορων συναδέλφων. Για το βιβλίο του Ροδόλφου Μπόρις Γεωμετρία και μιγαδικοί αριθμοί πατήστε εδώ.

Περιέχονται

• Τυπολόγιο από το βιβλίο του Μ. Radovanovic
• Ενδεικτικές λύσεις
• Γεωμετρικές εκφράσεις στους μιγαδικούς αριθμούς

Για αποθήκευση πατήστε εδώ.

Στο Γ΄ μέρος μπορείτε να δείτε μία σειρά παρουσιάσεων για τη γεωμετρία των μιγαδικών αριθμών που περιλαμβάνει τα απαραίτητα στοιχεία της θεωρίας για το μέτρο του μιγαδικού, το μέτρο της διαφοράς δύο μιγαδικών του βασικούς γεωμετρικούς τόπους στο μιγαδικό επίπεδο ( κύκλο, μεσοκάθετο ευθύγραμμου τμήματος, έλλειψη και υπερβολή) τον κανόνα του παραλληλογράμμου

Οι αποδείξεις όσων προτάσεων δε βρίσκονται στο σχολικό βιβλίο, μπορούν να γίνουν με τη βοήθεια των διανυσμάτων.
Δείτε τα από την ιστοσελίδα www.mathnet.gr (μέρος 1)

μέρος 2

Η δεύτερη παρουσίαση για τη γεωμετρία των μιγαδικών αριθμών που περιλαμβάνει προτάσεις και απαραίτητα στοιχεία της θεωρίας για συνευθειακά σημεία - καθετότητα, ισοσκελή , ισόπλευρα και ορθογώνια τρίγωνα, παραλληλόγραμμα.

μέρος 3 - 4

Η τρίτη και τη τέταρτη παρουσίαση για τη γεωμετρία των μιγαδικών αριθμών που περιλαμβάνει γεωμετρικούς τόπους και ασκήσεις όπου ζητείται η εύρεση της μέγιστης και της ελάχιστης τιμής του μέτρου.

Την προηγούμενη δημοσίευση την είχαμε δει και εδώ.

Στο Δ΄ μέρος, κάντε κλικ εδώ, για να δείτε το πλούσιο υλικό από το φόρουμ του mathematica. Το επιμελήθηκε το μέλος του φόρουμ Atemlos.

Στο Ε΄ μέρος δείτε το σχετικό βιβλίο του Κ. Καραθεοδωρή, "Η Γεωμετρία των μιγαδικών αριθμών".

Τέλος στο Στ΄ μέρος υπάρχει μια ανάλογη διπλωματική εργασία της Βασιλάκης Μαρίας, πατήστε εδώ.

Η Αλγεβρική συμμετρία από τον Δημήτρη Ντρίζο (πρώτο και δεύτερο μέρος)

Ένα κατατοπιστικό και ενδιαφέρον άρθρο από τον αγαπητό Σχολικό Σύμβουλο Μαθηματικών , Ντρίζο Δημήτρη.

Το άρθρο αναφέρεται στην

"Η ΑΛΓΕΒΡΙΚΗ ΣΥΜΜΕΤΡΙΑ (ΜΕΡΟΣ ΔΕΥΤΕΡΟ*)

ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΜΗ ΓΡΑΜΜΙΚΩΝ ΕΞΙΣΩΣΕΩΝ"

* Για να βρείτε το πρώτο μέρος της "Αλγεβρικής Συμμετρίας" πατήστε εδώ. 

** Για να δείτε το άρθρο "ΜΙΑ ΠΡΟΤΑΣΗ ΘΕΜΑΤΩΝ ΓΙΑ ΤΗ ΔΙΔΑΣΚΑΛΙΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ

ΠΟΥ ΠΕΡΙΕΧΟΥΝ ΚΑΙ ΜΗ ΓΡΑΜΜΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ" πατήστε εδώ.

 

Μέγιστα και ελάχιστα ως εφαρμογή της μεθόδου συπλήρωσης τετραγώνου

Ένα ενδιαφέρον άρθρο από τον σχολικό σύμβουλο Τρικάλων Δημήτρη Ντρίζο.

Το άρθρο περιλαμβάνει:

1. Εισαγωγή
2. Προαπαιτούμενες γνώσεις
3. Δέκα λυμένα παραδείγματα

Το παραπάνω άρθρο γράφτηκε με στόχο να υποστηρίξει μια 1ωρη ή 2ωρη διδασκαλία των εννοιών της ελάχιστης και της μέγιστης τιμής συνάρτησης, στο πλαίσιο της Άλγεβρας Β΄ τάξης Γενικού Λυκείου.

Τράπεζα θεμάτων Λυκείων του Ν. Δωδεκανήσου σχ.έτους 2011-2012 (σε word)

Δείτε την τράπεζα θεμάτων των μαθηματικών όλων των τάξεων του Λυκείου από Λύκεια του Νομού Δωδεκανήσου. Ένα πλούσιο υλικό 200 σελίδων με θέματα του σχολικού έτους 2011-2012.

Τα θέματα που δεν ήταν δυνατόν να τεθούν σε επεξεργασία θα δημοσιευτούν αργότερα σε μορφή συμπιεσμένου αρχείου. Στα περιεχόμενα των αρχείων των θεμάτων δεν έγινε καμία παρέμβαση και είναι ακριβώς όπως τέθηκαν από τους εισηγητές.

Θέματα εξετάσεων Γυμνασίων Ν.Δωδεκανήσου σχ.έτους 2011-2012 στα μαθηματικά

Δείτε την τράπεζα θεμάτων των μαθηματικών όλων των τάξεων του Γυμνασίου από Γυμνάσια του Νομού Δωδεκανήσου . Η τράπεζα αυτή δημιουργήθηκε με βάση τα θέματα του σχολικού έτους 2011-2012 σε όσα αρχεία θεμάτων ήταν δυνατόν να υποστούν επεξεργασία. Τα θέματα που δεν ήταν δυνατόν να τεθούν σε επεξεργασία θα δημοσιευτούν αργότερα σε μορφή συμπιεσμένου αρχείου. Στα περιεχόμενα των αρχείων των θεμάτων δεν έγινε καμία παρέμβαση και είναι ακριβώς όπως τέθηκαν από τους εισηγητές.

Την επιμέλεια της έκδοσης αυτής είχε ο Σχολικός Σύμβουλος Ν. Δωδεκανήσου Γιάννης Καραγιάννης που τον ευχαριστούμε πολύ για την προσφορά του. Θα ακολουθήσουν τα θέματα των Λυκείων και των ΕΠΑ.Λ. Τα θέματα δημοσιεύονται σε όλες τις μορφές για να μπορούν οι συνάδελφοι να τα χρησιμοποιούν και να τα επεξεργάζονται.

Κάντε κλικ στον παρακάτω σύνδεσμο: ΘΕΜΑΤΑ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΓΥΜΝΑΣΙΩΝ 2011-2012 (WORD)

Άρθρο Δ. Ντρίζου: Το θεώρημα Μέσης Τιμής του Διαφορικού Λογισμού για συναρτήσεις μίας ή περισσοτέρων μεταβλητών,στο πλαίσιο της γεωμετρικής εποπτείας

Μέσα στην καλοκαιρινή ραστώνη βρήκαμε ένα αξιόλογο άρθρο από τον επίσης αξιόλογο φίλο, μαθηματικό και σχολικό σύμβουλο Τρικάλων, τον Δημήτρη Ντρίζο. 

Μέσα στο άρθρο θα βρείτε:

α) Το Θ.Μ.Τ και την διατύπωσή του
β) Γεωμετρική ερμηνεία και ιδέα της απόδειξης
γ) Δεύτερη γεωμετρική προσέγγιση
δ) Τρίτη γεωμετρική προσέγγιση
ε) Μια τέταρτη ιδέα για την απόδειξη του ΘΜΤ
στ) Γενίκευση του ΘΜΤ με πολλές μεταβλητές
ζ) Γεωμετρική προσέγγιση και απόδειξη
η) Μια δεύτερη ιδέα για την απόδειξη της γενίκευσης του ΘΜΤ

Τελικές προαγωγικές εξετάσεις σχολείων για την Α΄ - Β΄ Λυκείου

Εδώ τοποθετούμε τα τελικά θέματα των προαγωγικών εξετάσεων που δόθηκαν σε διάφορα σχολεία της χώρας, φέτος και πέρυσι (αποκλειστικά).

Ότι υπάρχει στο διαδίκτυο και ότι μας στείλετε θα το προσθέσουμε. Θα υπάρχουν δύο παρόμοια θέματα, το ένα για Γυμνάσιο και το άλλο για Λύκειο.

Ενισχύστε την προσπάθεια, βοηθάτε όλους τους συναδέλφους. Ανανεώνονται συνέχεια τα αρχεία.

Τελικές προαγωγικές εξετάσεις Γυμνασίου στα Μαθηματικά

Εδώ τοποθετούμε τα τελικά θέματα των προαγωγικών εξετάσεων που δόθηκαν σε διάφορα σχολεία της χώρας, φέτος και πέρυσι (αποκλειστικά).

Ότι υπάρχει στο διαδίκτυο και ότι μας στείλετε θα το προσθέσουμε. Θα υπάρχουν δύο παρόμοια θέματα, το ένα για Γυμνάσιο και το άλλο για Λύκειο.

Ενισχύστε την προσπάθεια, βοηθάτε όλους τους συναδέλφους. Ανανεώνονται συνεχώς τα αρχεία.

Μια διάλεξη από το συνέδριο της Ε.Μ.Ε. στην Αθήνα

Είναι μια προσφορά της εκλεκτής φίλης και συνάδελφου Κατερίνας Καλφοπούλου και αφορά την παρουσίαση που έκανε στο 28ο Πανελλήνιο Συνέδριο της Ε.Μ.Ε., που πραγματοποιήθηκε στην Αθήνα, 11 - 13 Νοεμβρίου 2011, μαζί με τον εξαίρετο Σχολικό Σύμβουλο Δυτικής Θεσαλλονίκης Θωμαΐδη Γιάννη.

Εν΄ολίγοις αφορά την ανάλυση και την διδακτική προσέγγιση ενός δύσκολου προβλήματος στην Άλγεβρα της Α΄ Λυκείου. Για όποιο επιθυμεί δίνουμε την άσκηση που δόθηκε στους μαθητές του 2 ΓΕ.Λ Αγ. Αθανασίου Θεσσαλονίκης. 

Να λυθεί η εξίσωση: ${\left( {{x^2} - 5x + 5} \right)^{{x^2} - 9x + 20}} = 1$

Ιστοσελίδες με Μαθηματικό και Εκπαιδευτικό ενδιαφέρον από τον Σχολικό Σύμβουλο Μαθηματικών Δημήτρη Ντρίζο

Κωνικές τομές και Ευκλείδεια Γεωμετρία

Κωνικές τομές. Πηγή έμπνευσης για την κατασκευή προβλημάτων της Ευκλείδειας Γεωμετρίας.

Στους απόηχους του συνεδρίου της ΕΜΕ μια παρουσίαση των συναδέλφων: Σπύρος Παναγιωτόπουλος και Μιχαήλ Τζούμας.

Περίληψη

Μια μαθηματική δραστηριότητα αποτελείται από δύο σκέλη: την κατασκευή και τη λύση ενός προβλήματος. Δυστυχώς, οι μαθηματικοί δάσκαλοι, μέχρι σήμερα, εστιάζουν στο σκέλος της λύσης του προβλήματος και παραβλέπουν εκείνο της κατασκευής. Όμως, προκειμένου να αναπτύξουν οι μαθητές μας διερευνητικό προσανατολισμό, αλλά και θετική στάση απέναντι στα Μαθηματικά, θα πρέπει να πάψουμε να αγνοούμε το σκέλος της κατασκευής προβλήματος. Για την κατασκευή προβλημάτων υψηλής ποιότητας προσφέρεται η Ευκλείδεια Γεωμετρία και ιδιαίτερα οι Κωνικές Τομές(κ.τ.), λόγω του πλήθους των ιδιοτήτων που έχουν. Η χρήση επιπλέον της σύγχρονης τεχνολογίας δίνει τη δυνατότητα στους μαθητές να πειραματιστούν, να εικάσουν, αλλά και να προβληματιστούν και να συμπεράνουν.

107 Θέματα Μαθηματικών εξετάσεων Ιουνίου για την Β΄ Γυμνασίου

Ένα πλούσιο αρχείο με θέματα τελικών εξετάσεων από διάφορα σχολεία της Αττικής.

Επιμέλεια θεμάτων: Βασιλάς Νίκος, Σχολικός Σύμβουλος

Σημείωση: Τα θέματα ανήκουν από το προηγούμενο σχολικό βιβλίο, οπότε πρέπει να γίνεται μια αναπροσαρμογή.

Περιέχονται: 107 (περίπου) θέματα εξετάσεων Μαθηματικών για την Β΄ Γυμνασίου

112 Θέματα Μαθηματικών εξετάσεων Ιουνίου για την Α΄ Γυμνασίου

Ένα πλούσιο αρχείο με θέματα από τις τελικές εξετάσεις του Ιουνίου.

Επιμέλεια θεμάτων: Βασιλάς Νίκος, Σχολικός Σύμβουλος

Περιέχονται: 112 (περίπου) θέματα εξετάσεων Μαθηματικών για την Α΄ Γυμνασίου από διάφορα σχολεία της Αττικής.

Επίσης ερωτήσεις θεωρίας της Α΄ Γυμνασίου σε όλο το κεφάλαιο (από το παλιό σχολικό βιβλίο) δείτε εδώ ενώ για ασκήσεις από το 1ο κεφάλαιο (θεωρία και ασκήσεις) δείτε εδώ

 Ανανέωση: 4/1/2013 (Προστέθηκαν δοκιμασίες στην τάξη, ερωτήσεις επαναληπτικές και αντικαταστάθηκαν οι σύνδεσμοι παραπομπής).

Για απευθείας αποθήκευση του αρχείου πατήστε εδώ.

Σημείωση: Τα θέματα ανήκουν από το προηγούμενο σχολικό βιβλίο, οπότε πρέπει να γίνεται μια αναπροσαρμογή.

Θέματα εξετάσεων Ιουνίου Γεωμετρίας Β΄ Λυκείου

Συνεχίζουμε με το εκπληκτικό αρχείο του Σχολικού Σύμβουλου Βασιλά Νίκου, με θέματα εξετάσεων στην Γεωμετρίας Β΄ Λυκείου.

Περιέχονται: 15 θέματα εξετάσεων Ιουνίου σε 16 σελίδες

Για απευθείας αποθήκευση πατήστε εδώ.

18 διαγωνίσματα εξετάσεων Ιουνίου Άλγεβρας Β΄ Λυκείου

Μετά από την Άλγεβρα - Γεωμετρία της Α΄ Λυκείου συνεχίζουμε με το εκπληκτικό αρχείο του Σχολικού Σύμβουλου Βασιλά Νίκου.

18 διαγωνίσματα από εξετάσεις Άλγεβρας της Β΄ Λυκείου. 

Για απευθείας αποθήκευση πατήστε εδώ.

Σημείωση: Τα θέματα είναι παλιά και αρκετά από αυτά είναι εκτός ύλης. Οπότε προσοχή στην επιλογή των θεμάτων...