Παρουσιάζω διάφορα λάθη που συνηθίζουν οι καθηγητές (άρα και μαθητές) κυρίως από απροσεξία, αφού τα περισσότερα που θα δείξω δεν έχουν κάποια ιδιαίτερη δυσκολία.
Το πρώτο λάθος (7/7/2012) είναι στην μελέτη συνέχειας συναρτήσεων πολλαπλού τύπου. Δόθηκε απάντηση μετά από τις σωστές απαντήσεις των μελών μας (Μάνος, Τριαντάφυλλος, Γιώργος, Θοδωρής)
Σε μια πρόσφατη συνάντηση με ομάδα Μαθηματικών έθεσα την παρακάτω ερώτηση, διαπίστωσα ότι δεν είναι τόσο απλή όσο φαίνεται και εγκυμονεί κινδύνους για πολλές παρερμηνείες και λάθη. Στην ροή του λόγου έχω πιάσει και τον εαυτό μου να κάνει το λάθος αυτό.
Το δεύτερο λάθος (11/7/2012) που έχω δει να κάνουν πολλοί συνάδελφοι είναι στην σύνθεση συναρτήσεων. Δόθηκε απάντηση μετά τις σωστές απαντήσεις των μελών μας (Νίκος και nik).
Το τρίτο λάθος (16/7/2012) προέρχεται από μια γνωστή άσκηση στον Ολοκληρωτικό λογισμό, αποκτά ενδιαφέρον χωρίς να την δείτε αν αντιλαμβάνεστε που κρύβεται το λάθος. Δόθηκε απάντηση από τον Τριαντάφυλλο Πλιάτσιο.
Το τέταρτο λάθος (16/7/2012) προέρχεται από τις αρχικές συναρτήσεις Ολοκληρωτικού λογισμού (προφανώς προκύπτει και με γνώσεις Διαφορικού λογισμού). Δόθηκε απάντηση από τον Νίκο (Χαλκίδα).
Το πέμπτο και έκτο λάθος (17/7/2012) ανήκουν στο κεφάλαιο των μιγαδικών αριθμών.
Το έβδομο επικίνδυνο σημείο (17/7/2012) ανήκει στον διαφορικό λογισμό και αναδεικνύει ένα σημείο που είναι ξεχασμένο στην ύλη. Υπάρχει μια απόδειξη ενός μαθητή για μια πρόταση που το λάθος δεν είναι τόσο φανερό.
To όγδοο λάθος (20/8/12) είναι πάλι από τον διαφορικό λογισμό και την συνέχεια.
Το ένατο λάθος (20/8/12) είναι μια πρόταση ενός μαθητή που την έχει αποδείξει κιόλας!! Μπορείτε να εντοπίσετε που είναι το λάθος;
Το δέκατο λάθος (20/8/2012) είναι γεωμετρικοί τόποι μιγαδικών αριθμών. Ένα λάθος που γίνεται συχνά στους γεωμετρικούς τόπους των μιγαδικών αριθμών.
Μετά από ένα εύλογο χρονικό διάστημα θα δίνονται οι απαντήσεις.
Για απευθείας αποθήκευση πατήστε εδώ.
Το πρώτο λάθος (7/7/2012) είναι στην μελέτη συνέχειας συναρτήσεων πολλαπλού τύπου. Δόθηκε απάντηση μετά από τις σωστές απαντήσεις των μελών μας (Μάνος, Τριαντάφυλλος, Γιώργος, Θοδωρής)
Σε μια πρόσφατη συνάντηση με ομάδα Μαθηματικών έθεσα την παρακάτω ερώτηση, διαπίστωσα ότι δεν είναι τόσο απλή όσο φαίνεται και εγκυμονεί κινδύνους για πολλές παρερμηνείες και λάθη. Στην ροή του λόγου έχω πιάσει και τον εαυτό μου να κάνει το λάθος αυτό.
Το δεύτερο λάθος (11/7/2012) που έχω δει να κάνουν πολλοί συνάδελφοι είναι στην σύνθεση συναρτήσεων. Δόθηκε απάντηση μετά τις σωστές απαντήσεις των μελών μας (Νίκος και nik).
Το τρίτο λάθος (16/7/2012) προέρχεται από μια γνωστή άσκηση στον Ολοκληρωτικό λογισμό, αποκτά ενδιαφέρον χωρίς να την δείτε αν αντιλαμβάνεστε που κρύβεται το λάθος. Δόθηκε απάντηση από τον Τριαντάφυλλο Πλιάτσιο.
Το τέταρτο λάθος (16/7/2012) προέρχεται από τις αρχικές συναρτήσεις Ολοκληρωτικού λογισμού (προφανώς προκύπτει και με γνώσεις Διαφορικού λογισμού). Δόθηκε απάντηση από τον Νίκο (Χαλκίδα).
Το πέμπτο και έκτο λάθος (17/7/2012) ανήκουν στο κεφάλαιο των μιγαδικών αριθμών.
Το έβδομο επικίνδυνο σημείο (17/7/2012) ανήκει στον διαφορικό λογισμό και αναδεικνύει ένα σημείο που είναι ξεχασμένο στην ύλη. Υπάρχει μια απόδειξη ενός μαθητή για μια πρόταση που το λάθος δεν είναι τόσο φανερό.
To όγδοο λάθος (20/8/12) είναι πάλι από τον διαφορικό λογισμό και την συνέχεια.
Το ένατο λάθος (20/8/12) είναι μια πρόταση ενός μαθητή που την έχει αποδείξει κιόλας!! Μπορείτε να εντοπίσετε που είναι το λάθος;
Το δέκατο λάθος (20/8/2012) είναι γεωμετρικοί τόποι μιγαδικών αριθμών. Ένα λάθος που γίνεται συχνά στους γεωμετρικούς τόπους των μιγαδικών αριθμών.
Μετά από ένα εύλογο χρονικό διάστημα θα δίνονται οι απαντήσεις.
Για απευθείας αποθήκευση πατήστε εδώ.
Στο (5,+απειρο) είναι ως πολυωνυμική.
ΑπάντησηΔιαγραφήΣτο x0=5 με τον ορισμό της συνέχειας με τα πλευρικά όρια δεν είναι συνεχής, άρα είναι συνεχής μόνο στο (5,+απειρο)
Για πιο εύκολη επικοινωνία καλό θα ήταν να μου γράφετε κάποια αρχικά ή ψευδώνυμο και ποια ιδιότητα έχετε, καθηγητής ή μαθητής;
ΑπάντησηΔιαγραφήέιναι συνεχής στο [5,+00)εξαιτίας του ορισμού της συνέχειας σε κλειστό διάστημα που απαίτει το ένα μόνο πλευρικό όριο της f στο κλειστό άκρο.Ωστόσο δεν είναι συνεχής στο π.ο. κατά τα γνωστά.
ΑπάντησηΔιαγραφήΜάνος καθ.
Σωστά Μάνο!!
ΑπάντησηΔιαγραφήΤελικά στην αρχή γράφτηκε το λάθος που συνηθίζεται!! Ευχαριστώ πολύ τον φίλο που μας έδωσε την δυνατότητα να γράψει αυτό που εννοούσα!
Θα έχω αναλυτική απάντηση στο συνημμένο...
Στο (5,+απειρο) είναι ως πολυωνυμική.
ΑπάντησηΔιαγραφήΣτο x0=5 με τον ορισμό σελ 191 σχ βιβλιου limf(x) to x-->5 = f(5)=7
Τριανταφυλλος Κοζανη
Τριαντάφυλλε τελικά ποια είναι η απάντησή σου, είναι σωστό ή λάθος να πούμε ότι η συνάρτηση f είναι συνεχής στο [5, +00);
ΑπάντησηΔιαγραφήΚυριε μάκη πολύ εύστοχο το ερωτημά σας...
ΑπάντησηΔιαγραφήΕίμαι σιγουρος οτι κ στον α.σ.ε.π της π.ε-03 να έπεφτε σαν θέμα πολλοί συνάδελφοι δεν θα ήξεραν τι να απαντήσουν με σιγουριά!!! Γεωμετρικά από το [5,+00)η συνάρτηση είναι συνεχής.
Σύμφωνα με τον ορισμό του βιβλίου δεν υπαρχει το όριο, αφού το lim απο αριστερά κ δεξιά της συνάρτησης δεΝ υπάρχει...
Ομώς το βιβλίο αναφερεται σε συνέχεια που το χο βρισκεται ''ΜΕΣΑ'' σε ενα διάστημα ενω στο προβλημά σας εχετε παρεί το χο στο άκρο(οριακή περίπτωση)!!!
Επειδή αγαπάω την Γεωμετρία κ οχι μόνο πιστεύω οτι είναι συνεχής... Γιώργος ΚΑΘ.
Γεια σου Γιώργο! Είναι ερώτημα που την πατάς εύκολα να και είμαι σίγουρος ότι το γνωρίζουν όλοι και αν όχι όλοι, οι περισσότεροι που ασχολούνται στοιχειωδώς με τα Μαθηματικά.
ΑπάντησηΔιαγραφήΘα δώσω αναλυτική απάντηση σύντομα, αλλά επειδή βλέπω ενδιαφέρων δεν βιάζομαι...
Το βιβλίο αναφέρει ότι μια συνάρτηση είναι συνεχή σε κλειστό διάστημα [α,β] όταν είναι συνεχής σε κάθε σημείο του (α,β) και επιπλέον το όριο από δεξιά στο α ισούται με f(α) και το όριο από αριστερά στο β ισούται με f(β). Το σημαντικό είναι ότι αναφέρει πως ανάλογοι ορισμοί διατυπώνονται για διαστήματα της μορφής (α, β], [α, β). Σύμφωνα με το τελευταίο και αφού η f είναι συνεχής στο (5, +οο) ως πολυωνυμική και limx->5+=f(5)=7, η f είναι συνεχής στο [5, +οο).
ΑπάντησηΔιαγραφήΘοδωρής Κ. Μαθημ.
Καλημέρα σας, εγώ θεωρώ τη διατύπωση «προβοκατόρικη». Τι εννοώ; ότι έτσι όπως έχει δοθεί η συνάρτηση δεν είναι συνεχής στο αρχικό π.ο. όπως αυτό προκύπτει από τον ορισμό της. Όμως ρωτώντας την συνέχεια στο [5,+άπειρο) «αλλάζει» και ο τύπος της συνάρτησης, με την έννοια ότι ρωτάς τι γίνεται για την συνάρτηση με τύπο τάδε στο διάστημα [5,+άπειρο), άρα είτε δεν θα έβαζα ποτέ αυτό το ερώτημα είτε θα άλλαζα την ισότητα για να φανεί πιο ξεκάθαρα τι θέλω να ρωτήσω.
ΑπάντησηΔιαγραφήΓεια σου Γιάννη, πρέπει να πω και δημοσίως ότι κατέχει ένα πολύ όμορφο blog Μαθηματικών με γρίφους και ασκήσεις που αξίζει να το δει οποιοσδήποτε ασχολείται με τα Μαθηματικά.
ΑπάντησηΔιαγραφήΓια την άσκηση μας τώρα, δεν ήταν σκοπό μου να παγιδεύσω, αλλά να αναδείξω προβλήματα που κάνουμε όλοι μας.
Αρχικά δεν καταλαβαίνω τι εννοείς λέγοντας αρχικό πεδίο ορισμού συνάρτησης, μία είναι η συνάρτηση και ένα το πεδίο ορισμού της.
Τώρα αν παίρνεις το πάνω κλάδο ως τον περιορισμό της συνάρτησης, οπότε έχεις μια νέα συνάρτηση (άρα και ένα νέο πεδίο ορισμού) τότε το αντιλαμβάνομαι αλλά επειδή είναι εκτός ύλης, πιο πολύ θα μπερδέψουμε τον μαθητή παρά θα τον βοηθήσουμε.
Η απάντηση είναι μοναδική, ξεκάθαρη και προκύπτει με απλές γνώσεις του σχολικού βιβλίου όπως θα δείξω σύντομα.
Ευχαριστώ για την συμμετοχή σας.
Μετά την ολοκληρωμένη και σαφή απάντηση του Θοδωρή περνάμε στο δεύτερο πρόβλημα.
ΑπάντησηΔιαγραφήΜπράβο Θοδωρή, έτσι όπως τα λες είναι, η απάντησή μου δεν διαφέρει και σε πολλά από αυτά που έγραψες.
Η έκφραση βρείτε το λάθος (στο δεύτερο πρόβλημα) είναι υπερβολική. Πάντως το σκεπτικό είναι βρείτε που θα μπορούσε να υπάρχει πρόβλημα...
μιλάμε για πραγματικές συναρτήσεις πραγματικής μεταβλητής;Αν όχι, τότε θα μπορούσε να υπάρξει πρόβλημα στο lnx ε R
ΑπάντησηΔιαγραφήΚαλημέρα σε όλους.
ΑπάντησηΔιαγραφήΠρώτα απ'όλα θα ήθελα να σας συγχαρώ για την κίνηση να αναδεικνύετε σημεία που θέλουν ιδιαίτερη προσοχή, όπως τα συγκεκριμένα. Καλό θα ήταν να έχει και συνέχεια, γιατί τα λεπτά σημεία της θεωρίας, ειδικά των Μαθ.Κατ Γ' Λυκείου είναι πολλά.
Σχετικά με το πρώτο(αν και έχει ήδη απαντηθεί) να τονίσω κι εγώ πως το γεγονός ότι μία συνάρτηση είναι συνεχής σε διάστημα [α,β] ΔΕΝ σημαίνει απαραίτητα ότι είναι συνεχής στα άκρα του α και β. Χαρακτηριστικό είναι το παράδειγμα που δώσατε όπως και τα σχήματα στο κάτω μέρος της σελίδας 191 του σχολικού.
Σχετικά με το δεύτερο, δεν ξέρω αν φταίει ο καύσωνας( :p ) αλλά δεν βλέπω να υπάρχει λάθος.
Βλέπω όμως που θα μπορούσαν κάποιοι να την πατήσουν.
Παρασυρόμενοι από τον τύπο της fog να πουν ότι αυτή έχει πεδίο ορισμού το R. Αυτό βεβαίως θα ήταν λάθος, εξάλλου για αυτό το λόγο γίνεται και η εύρεση του πεδίου ορισμού της σύνθεσης πρώτα. (Γνωρίζω καθηγητή που επέμενε μάλιστα σε τάξη ότι το πεδίο ορισμού μιας αντίστοιχης fog είναι το R, αφού δεν έχει κανέναν περιορισμό στον τύπο της...)
Νίκος, καθ.
Ανώνυμος:
ΑπάντησηΔιαγραφήΜιλάμε για πραγματικές συναρτήσεις και πραγματικές μεταβλητές έτσι όπως ορίζονται στο βιβλίο της Γ΄ Λυκείου.
Το lnxεR ισχύει x >0, οπότε ικανοποιείται ο περιορισμός που έχουμε θέσει.
Δεν είναι εκεί το πρόβλημα, κάπου αλλού βρίσκεται...
Νικ:
Γεια σου Νίκο, νομίζω με την τοποθέτησή σου στο πρώτο ερώτημα ολοκληρώνεις το σκεπτικό και τα πράγματα είναι έτσι όπως τα λες!
Όσο για το δεύτερο πρόβλημα υπάρχει κάπου θέμα, δεν φαίνεται εύκολα αφού το λάθος, η παρατυπία αυτή, την κάνουμε συχνά χωρίς να το αντιλαμβανόμαστε.Η αλήθεια είναι ότι αν το πω θα καταλάβετε τι ψάχναμε ακριβώς... Κατά το βιβλίο πάντως η έκφραση που έγραψα την θεωρεί όχι ακριβείς!
Θα δώσω λίγο χρόνο ακόμα...
Σας ευχαριστώ για την συμμετοχή σας
Μηπως η παρατυπα ειναι οτι το χ ανηκει στο (0,+απειρο) θα επρεπε να τοποθετηθει οχι στο τελος αλλα πριν παρουμε το τυπο της συνθετης συναρτησης?????Με παιδευει ωρες το ερωτημα αλλα δν βρηκα αλλο λαθος!!!
ΑπάντησηΔιαγραφήΔεν έχεις άδικο σε αυτό, δηλαδή το σωστό και ακριβές ήταν να λέγαμε το εξής:
ΑπάντησηΔιαγραφή"...για κάθε x που ανήκει στο
(0, +00) (μόλις είχαμε βρει το πεδίο ορισμού της σύνθετης) έχουμε
(fog)(x)=... "
Αλλά δεν ήθελα αυτό, κάτι άλλο είναι που δεν είναι σωστό. Ποιο;
Χαίρομαι που σας προβληματίζω! Χαίρομαι που προσπαθείτε!
αγαπητέ Μάκη μας έσκασες!!Μάλλον το λάθος είναι το εξής:Λες ότι η συνάρτηση fog έχει πεδίο ορισμού... κτλ, ενώ θα έπρεπε να πεις ότι για να ορίζεται η παράσταση f(g(x)) θα πρέπει... κτλ!Δηλαδή την ορίζεις συνάρτηση χωρίς να ξέρεις εκ των προτέρων ότι είναι!!
ΑπάντησηΔιαγραφήΚαλησπέρα. Μία σκέψη (τραβηγμένη) που έκανα ξαναβλέποντας την άσκηση, είναι ότι αν θέλουμε να είμαστε 100% τυπικοί θα πρέπει μετά την εύρεση του πεδίου ορισμού της σύνθεσης να πούμε ότι επειδή το (0,+οο) είναι σύνολο διάφορο του κενού , επομένως ορίζεται η fog και στη συνέχεια να βρούμε τον τύπο της.
ΑπάντησηΔιαγραφήΠάντως, δεν νομίζω να υπάρχει βαθμολογητής που να έκοβε έστω και μισό μόριο από γραπτό, αν παρέλειπε την παραπάνω διευκρίνηση.
Νίκος
Έχουμε νικητή!Νίκο μπράβο, σε έσκασα αλλά τελικά είχαμε αποτέλεσμα!!
ΑπάντησηΔιαγραφήΝα το ξαναπούμε, γράφω ότι η συνάρτηση fog έχει πεδίο ορισμού κτλ, είναι λάθος να λέμε ότι είναι συνάρτηση χωρίς να έχουμε βρει πρώτα το πεδίο ορισμού της, θα μπορούσε να ήταν το κενό όπως πολύ καλά αναφέρει ο nik! Και το σχολικό βιβλίο τονίζει αυτή την λεπτομέρεια, ότι για να ορίζεται η σύνθεση δύο συναρτήσεων πρέπει το πεδίο ορισμού τους να διάφορο του κενού συνόλου (σελ. 143 πάνω από την "Προσοχή").
Άρα το ορθό που πρέπει να ακολουθούμε σε ανάλογες περιπτώσεις είναι,
"Για να ορίζεται η ΠΑΡΑΣΤΑΣΗ (και όχι συνάρτηση)(fog)(x)=f(g(x)) πρέπει .... "
Δείτε την εφαρμογή του βιβλίου σελ 144 δεύτερη γραμμή.
Καλό μεσημέρι (αν και με 40+ βαθμούς..:p)
ΑπάντησηΔιαγραφήΞεκινάω από το 4ο: Το λάθος που υπάρχει είναι ότι το θεώρημα στο οποίο στηρίζεται η απάντηση (το 2ο στις συνέπειες ΘΜΤ) δεν ισχύει σε ένωση διαστημάτων αλλά μόνο σε διάστημα.
Επομένως, θα πρέπει να εφαρμοστεί ξεχωριστά στο (0,+οο) και ξεχωριστά στο (-οο,0).
Δηλαδή η f είναι δίκλαδη με τύπο:
f(x)=ln(lxl)+c, αν χ>0 και
f(x)=ln(lxl)+c', αν χ<0
ΥΓ. Μπορούμε να προτείνουμε κι εμείς ανάλογα επικίνδυνα σημεία ; (αφού πρώτα βέβαια απαντηθούν τα ήδη δοσμένα)
Για το 3ο... . Αν f(x)<=g(x)για καθε χ ανηκει στο[α,β]. ακομη αν f,g συνεχεις στο [α,β] τοτε:ολοκληρωνουμε τις ανισοτητες
ΑπάντησηΔιαγραφήακομη μια παρατηρηση για το 3ο...θα πρεπει α<β...
ΑπάντησηΔιαγραφήnik και Τριαντάφυλλε σωστά!!
ΑπάντησηΔιαγραφήΠάμε για άλλα, θα ανεβάσω και άλλα σύντομα, τα έχω ήδη έτοιμα.
Εννοείται nik ότι μπορείτε να προτείνετε και εσείς!
Στείλτε με e-mail στο mac190604@gmail.com
εχουν πολυ ενδιαφερον ολα τα λαθη!!!περιμενουμε τα επομενα...
ΑπάντησηΔιαγραφήΑγαπητέ Μάκη,ξεκινάω ανάποδα:Για το 7:Για να εφαρμοστεί Del hospital θα πρέπει η συνάρτηση να είναι παραγωγίσιμη σε διάστημα, δεν αρκεί μόνο σε σημείο!
ΑπάντησηΔιαγραφήΓια το 6: Δεν παριστάνει έλλειψη διότι (Ε1Ε2)>3.Θα πρέπει δηλαδή η απόσταση των "εστιών" να είναι μικρότερη από το μήκος του μεγάλου άξονα
Για το 5: Προφανώς και δεν ισχύει πάντα
Αγαπητέ Νίκο (περιοχή να μην σε μπερδεύουμε με άλλο φίλο του blog) σε ευχαριστώ για το ενδιαφέρον και την συμμετοχή σου.
ΑπάντησηΔιαγραφήΓια το 7 έχουμε κυρίως ένα άλλο πρόβλημα εκτός από αυτό που αναφέρεις (θα μπορούσε να σου έδινα ότι η f είναι παραγωγίσιμη σε περιοχή του x_0, άρα σε διάστημα). Δηλαδή το διατυπώνω ως εξής: "αν η f είναι παραγωγίσιμη στο διάστημα (a, b) τότε θα είναι (πάντα) η f'και συνεχής σε αυτό".
Σωστό; Ο μαθητής υποστηρίζει ότι είναι σωστό και δίνει απόδειξη!!
Για το θέμα 6 είναι όπως ακριβώς τα λες.
Για το θέμα 5 έχεις δίκιο, απλά αναμένω να μου γράψουν μερικά σχόλια παραπάνω, είναι συχνό λάθος των μαθητών. Εδώ υπάρχει και μια οδηγία τι να πρέπει να κάνουν οι μαθητές ανάλογα αν έχουν εύρεση μέγιστου - ελάχιστου μέτρου μιγαδικού αριθμού.
Για το 7ο θέμα: Αν το τελευταιο όριο υπάρχει και ειναι πραγματικος,τοτε η αποδειξη ειναι σωστή!Δεν εξασφαλιζεται όμως η ύπαρξη του ορίου,ώστε να ισχύει ο Del hospital!Νικος Κάλυμνος
ΑπάντησηΔιαγραφήΝίκο έτσι όπως τα λες είναι! Δεν γνωρίζουμε την ύπαρξη του τελευταίου ορίου για να εφαρμόσουμε De L' Hospital, οπότε δεν υφίσταται κιόλας!
ΑπάντησηΔιαγραφήΚάλυμνο; Η πρώτη θέση μου μόλις διορίστηκα, αλλά την υπηρέτησα στην Ρόδο λόγω πληρότητας! Να σαι καλά!
Γειά σου Μάκη! Υπάρχουν συναρτήσεις που δεν είναι συνεχείς σε ένα διάστημα Δ αλλά έχουν παράγουσα σε αυτό π.χ.
ΑπάντησηΔιαγραφήf(x)= 2xημ(1/x)-συν(1/x) , x<>0
0 , x=0
η οποία δεν είναι συνεχής αλλά έχει παράγουσα στο |R την συνάρτηση
F(χ)= x^2ημ(1/x) , χ<>0
0 , χ=0
Παναγιώτης Καραγιώργος
Γεια σου Πάνο! Καλώς τον!Σε κινητοποίησε η αναφορά στο facebook!
ΑπάντησηΔιαγραφήΕννοείται και ισχύει αυτό που λες, αλλά σε τι έρχεται σε αντίθεση με αυτά που λέμε; Αναφέρεσαι στο 7ο θέμα;
Για το πέμπτο εξαρτάται απο το τι αναπαριστα ο μιγαδικου.
ΑπάντησηΔιαγραφήΓια το τρίτο υπάρχει αντίστοιχη άσκηση σελ 353 άσκηση 10i
Γιατι τέταρτο φαντάζομαι ότι εννοείς στο R^* άρα πρέπει να μελετηθεί σε δυο κλάδους.
Στο έκτο 2α=3 γ=2 άρα το β δεν έχει νόημα.
Για το έβδομο σελίδα 292 άσκηση 10 είναι ένα ωραίο αντί παράδειγμα .
Αγαπητέ Μάκη...!
ΑπάντησηΔιαγραφήΓια το 8ο: η παράγωγος της f ορίζεται και στο μηδέν,αφού με την βοήθεια του ορισμού, το όριο του λόγου μεταβολής όταν το χ→0 υπάρχει και ισούται με μηδέν.Η πρώτη παράγωγος είναι συνεχής στο μηδέν αφού υπάρχει το δεξί πλευρικό όριο και ισούται με το f΄(0)
Για το 9ο: το x1 του ΘΜΤ είναι x1(x),δηλαδή το h΄(x1) είναι συναρτήσει του x,άρα στο όριο μπορεί να υπάρξει απροσδιοριστία.Δεν μπορείς να πεις ότι απλά είναι θετικό.Ομοίως για το x2.
Για το 10ο :ο γεωμετρικός τόπος των εικόνων του z, δεν είναι όλα τα σημεία της μεσοκαθέτου άλλα μόνο αυτά που ικανοποιούν την αρχική σχέση!φαντάζομαι 21!!
ΝΙΚΟΣ ΚΑΛΥΜΝΟΣ
Νίκο πάρα πολύ σωστά!!
ΑπάντησηΔιαγραφήΤις ίδιες παρατηρήσεις έχω και εγώ!
οι απαντησεις εχουν αναρτηθει καπου για τα υπολοιπα ερωτηματα?ευχαριστω!
ΑπάντησηΔιαγραφή