Ένα θέμα το ανάδειξαν οι αγαπητοί φίλοι Παναγιώτης Λώλας και Χρήστος Πατήλας από τα Τρίκαλα και αναφέρθηκε την επόμενη ημέρα στο forum του mathematica.gr.
Στη συνέχεια δείτε διαφορετικές λύσεις που δώθηκαν από συναδέλφους.
Επίσης στα σχόλια της ανάρτησης παρακολουθήστε τον διάλογο που κάνουν αγαπητοί συνάδελφοι με αφορμή το Δ θέμα.
Δείτε το επισυναπτόμενο αρχείο.
Κυριακή 1 Ιουνίου 2014
16 σχόλια:
Εκτιμάμε τους ανθρώπους που σέβονται τους συνομιλητές τους και διδάσκουν ήθος από τα πληκτρολόγιά τους.
Το lisari είναι χώρος που ενώνει φωνές, κάνει τις διαφορετικές δυνάμεις ομόρροπες.
Είναι εδώ για να ενώσει τους μαθηματικούς και να εκφραστούν μέσα από ένα μέσο. Επομένως, οι αντεγκλήσεις και οι προσβολές δεν μας τιμούν και δεν βοηθούν το σκοπό του εγχειρήματος.
Σας ευχαριστούμε για τη συμμετοχή και το ήθος σας!
Μάκης Χατζόπουλος
Εγγραφή σε:
Σχόλια ανάρτησης (Atom)
Και τώρα;Δεν φαντάζομαι να έχουμε τα ίδια με τη Φυσική το 2011.Θα υπάρξουν επιπτώσεις;
ΑπάντησηΔιαγραφήΚαμία επίπτωση... όλα καλά!
ΑπάντησηΔιαγραφήΟνομάζομαι Ριζόπουλος Γιώργος. Δεν είμαι επαγγελματίας μαθηματικός. Αλλά μού αρέσουν τα Μαθηματικά (είμαι Δρ.Πολιτικός Μηχανικός) και η Φιλοσοφία τους ,και τα τυπικά παλιόχαρτα, μού επιτρέπουν να εκφέρω μια άποψη.
ΑπάντησηΔιαγραφή(Μάκη, συγγνώμη για την κάπως γελοία αυτοπαρουσίαση, εσύ με ξέρεις, αλλά το έκανα για όποιον τρίτο ενδιαφέρεται,χωρίς να σημαίνει πως το οτιδήποτε λέει κάποιος, εμού συμπεριλαμβανομένου, νομιμοποιείται και καθίσταται έγκυρο από τα όποια " τυπικά προσόντα",παρά μόνον από την κρινόμενη αλήθεια τους. Κρινόμενη ασφαλώς με βάση αυστηρά και πανανθρώπινα επιστημονικά κριτήρια.)
Το θέμα Δ είναι απλά και ξεκάθαρα ,και χωρίς καμία αμφιβολία ή φιοριτούρα, ΛΑΘΟΣ.
Η ανισότητα Βhatia-Davis η οποία αναφέρεται στο κείμενο(μεταξύ άλλων ωραίων αποδείξεων) το βεβαιώνει. Αλλά ακόμη κι αν αυτή μπορεί να θεωρηθεί "εξεζητημένη" ,υπάρχει και η πασίγνωστη ανισότητα Τσεμπύσεφ: http://en.wikipedia.org/wiki/Chebyshev's_inequality την οποία οποιοσδήποτε που έχει μια θέση ευθύνης ως θεματοθέτης Πιθανοτήτων-Στατιστικής ΟΦΕΙΛΕΙ να την ξέρει όπως την τσέπη του. Μη τρελαθούμε και τελείως δηλαδή!
Θα ήθελα να σχολιάσω με παρρησία και τη θέση πως δεν καταλαβαίνουμε (τόσοι Μαθηματικοί και μη μαθηματικοί επιστήμονες..) τη "φιλοσοφία" των Μαθηματικών ως προς τα αξιώματα και τι και πώς αυτά συνεπάγονται ,με βάση την Τυπική Λογική των Μαθηματικών. Το ότι ένας λογικός συμπερασμός και η όλη σχετική του διαδικασία μπορεί να είναι έγκυρη ΔΕΝ νομιμοποιεί την λάθος υπόθεση! Έλεος δηλαδή!
Εδώ μιλούμε για συγκεκριμένο πρόβλημα με διακριτά αριθμητικά δεδομένα.
Δηλαδή για να καταλάβω , αν πω:
2=-2 ----> 2^2=(-2)^2 ----> 4=4 O.K κατέληξα σε αληθές, άρα η "υπόθεσή" μου είναι εντάξει! ΠΏΣ θα σας φαινόταν. Θα ήμουν φιλοσοφικά ορθός;
Καλύτερα λοιπόν, αντί να προσπαθεί ο οποιοσδήποτε να μας βγάλει αμόρφωτους και "αφιλοσόφητους" να υπήρχε μια απλή και ντόμπρα παραδοχή "Κάναμε ένα λάθος ρε παιδιά!"
Όσο χοντρό και νάναι αυτό το λάθος, είναι καλύτερη η τίμια παραδοχή του από την άρνησή του και μάλιστα βγαίνοντας "κι από πάνω"...
Μετά Τιμής,
Γιώργος Ριζόπουλος
Λεμεσός
Και για να ξεκαθαρίζουν και κάποια "φιλοσοφικά" πράγματα και να μη μένουν λανθασμένες εντυπώσεις, καθόλου δεν δικαιολογείται η πατάτα με τον -άκουσον! άκουσον!- "κακό" Γκαίντελ. Eντάξει, είναι μάλλον το πιο πολυβασανισμένο και παρερμηνευμένο και ταλαιπωρημένο μαθηματικό θεώρημα ,άλλο ένα χτύπημα δεν τρέχει και τίποτα!, αλλά επειδή υπάρχουν ακόμα κάποιοι που καταλαβαίνουν δυο τρία πράγματα, το μόνο σχετικό με το θέμα Δ που μας λέει αυτό το θεώρημα και γενικότερα η αξιωματική θεώρηση και γενικά η μαθηματική Λογική είναι πως θα μπορούσε κάλλιστα να πει κάποιος "αφού λοιπόν μια πιθανοτική κατανομή με ΣΥΓΚΕΚΡΙΜΕΝΟ μέσο όρο και τυπική απόκλιση μπορεί να έχει διάσπαρτες τις τιμές της ΟΠΩΣ κυριολεκτικά μάς γουστάρει (όπως ας πούμε πέρσι-γιατί "φιλοσοφικά" ιδωμένο ειναι ακριβώς το ίδιο!- τα τετράγωνα 3 θετικών μικρότερων της μονάδας είχαν άθροισμα 6 ή ό,τι άλλο μας γουστάρει) ισχύει ΟΧΙ ΜΟΝΟ αυτό που ζητάει η άσκηση να δειχτεί ,αλλά και το ότι είμαι μια ροζ πεταλούδα με μακριά αυτιά. Καθότι ένα ΜΗ ΣΥΝΕΠΕΣ σύστημα είναι όντως πλήρες και σε ένα πλήρες σύστημα ΚΑΘΕ πρόταση είναι θεώρημα. Aν 0=1 ή 2=-2 τότε ΝΑΙ μια κανονική κατανομή έχει τα δεδομένα της ,όχι εντός εύρους +-3σ ,που ξέραμε οι αδαείς μέχρι σήμερα, αλλά εντός όποιου εύρους γουστάρουμε.
ΑπάντησηΔιαγραφήΤο ότι δεν πρέπει να επηρεάσει την αξιολόγηση των μαθητών είναι σαφές. Και τι άλλο δηλαδή μπορεί να γίνει πρακτικά; Αλλά άλλης τάξης θέμα αυτό, κι άλλη τάξης η προχειρότητα στα θέματα (το λέω όσο πιο ευγενικά γίνεται το "προχειρότητα"...)
Γιώργο εγώ σε γνωρίζω, όπως πολύ σωστά αναφέρεις, και στο μυαλό μου είσαι ως ένας καταξιωμένος Μαθηματικός, ασχέτως αν έχεις μια άλλη ειδικότητα.
ΑπάντησηΔιαγραφήΣτο θέμα μας τώρα, θα συμφωνήσω μαζί σου Γιώργο, το γνωρίζει ο Αντώνης, είχαμε και ανάλογη συζήτηση, αλλά θέλω να υπάρχουν όλες οι απόψεις, αφού η κάθε μία κρύβει μια αλήθεια.
Δεν μου αρέσουν ούτε μένα τα προβλήματα με ψευδείς υποθέσεις πχ. "Αν 0<α<β<γ<1 και α^2+β^2+γ^2=6 τότε να δείξετε ότι ...." θέμα εξετάσεων που είδαμε πέρυσι... είναι αποκρουστικό, είναι θέμα γούστου.
Θα τονίσω και εγώ ότι δεν πρέπει να επηρεάσει την αξιολόγηση των μαθητών, ότι λέμε, το λέμε για χάριν της συζήτησης και να βάλουμε σε μια τάξη μερικά θέματα.
Φίλτατε Μάκη, έτσι είναι. Καταλαβαίνεις νομίζω τι με πείραξε και με έθιξε -προσωπικά, τρόπον τινά, σαν μέλος της "συλλογικότητας" που επεσήμανε το λάθος- στο κείμενο. Ο καταληκτικός αφορισμός περί "όσων δεν έχουν καταλάβει τη Φιλοσοφία των Μαθηματικών"
ΑπάντησηΔιαγραφήΑσφαλώς κάθε τεκμηριωμένη άποψη είναι σεβαστή, αλλά δεν προσφέρει νομίζω τίποτε η αυτοεπιβεβαίωση και η απόδοση "κατανόησης" ή όποιου άλλου χαρακτηρισμού στους έχοντες μια άλλη άποψη. Στα Μαθηματικά , ευτυχώς!, δεν υπάρχει τεκμηρίωση ex cathedra, υπάρχουν κουκιά μετρημένα που όλοι μπορούν να πιστοποιήσουν τη μέτρησή τους. Ενα θέμα ,είναι το θέμα ουσίας. Aς μείνει και κάτι σ'αυτόν τον τόπο που δεν είναι "έλα μωρε! σιγά τα ωά" και στο ΠΕΡΙΠΟΥ, αλλά ΑΚΡΙΒΩΣ. Aς υπάρχει και κάτι που δεν θα επηρεάζει "ΟΥΔΟΛΩΣ" αλλά έστω ΕΛΑΧΙΣΤΑ. Κι ας είναι αυτό τα Μαθηματικά και ο προσεκτικός χειρισμός τους. Δεν το συζητώ πως η κατάσταση είναι απείρως καλύτερη στους μαθηματικούς από άλλους γνωσιολογικούς τομείς, αλλά δεν πειράζει να επισημαίνονται κάποια πράγματα. Tουλάχιστον η όποια δική μου παρέμβαση δεν έχει δασκαλίστικο στυλ, ούτε έχω κάποιο άμεσο ή έμμεσο όφελος, απλά αγαπώ βαθιά τη μαθηματική σκέψη. Ξέρω επίσης και κατανοώ πολυ καλά πως "απέξω απ'το χορό..." αλλά αν δεν ψάξουμε την αλήθεια έστω στα Μαθηματικά , πού θα την ψάξουμε στη φαιδρή μας χώρα;
Τέλος πάντων ,μακρυγόρησα και απολογούμαι αν καταχράστηκα το χώρο σου.
Φιλικά και με σέβας στην εξαιρετική δουλειά σου και σε όλους τους λειτουργούς της μαθηματικής παιδείας.
Γράφω την απάντηση του Αντώνη έτσι όπως μας την έστειλε
ΑπάντησηΔιαγραφήΚύριε Ριζόπουλε.
Το ότι δεν είστε μαθηματικός φαίνεται από το γεγονός ότι δεν γνωρίζετε από την Μαθηματική Λογική ( η οποία δεν ταυτίζεται πάντοτε με την κοινή λογική), ότι η πρόταση: «Αν -2=2, τότε 4=4» είναι αληθής, ακριβώς επειδή η πρόταση -2=2 είναι ψευδής. Και το σπουδαιότερο δεν γνωρίζετε ότι αν μια συνεπαγωγή: «Αν p, τότε q» είναι αληθής, και η πρόταση q είναι αληθής, δεν μπορούμε να συμπεράνουμε ότι και η πρόταση q είναι αληθής. Για παράδειγμα, η πρόταση: « Αν πέσω στη θάλασσα, τότε θα βραχώ» είναι αληθής. Τώρα, αν βραχώ, εσείς βγάνετε το συμπέρασμα ότι έπεσα στη θάλασσα!!!, ενώ θα μπορούσα να είχα βραχεί με έναν άλλο τρόπο.
Υπάρχει βέβαια ένας άλλος βασικός νόμος της Λογικής που ονομάζεται νόμος αποσπάσεως ή modus ponens, που λέει τα εξής:
•Αν η συνεπαγωγή: «Αν p, τότε q» είναι αληθής, και η πρόταση p είναι αληθής, τότε και η πρόταση q είναι αληθής.
Κύριε Ριζόπουλε.
Τα Μαθηματικά δεν είναι πειραματική επιστήμη και αυτά που ισχυρίζονται ότι ισχύουν δεν είναι αποτελέσματα πειραμάτων, αλλά λογικές συνέπειες αξιωμάτων ( των οποίων δεν υπάρχει δυνατότητα να ελέγξουμε την ορθότητά τους, βλ. Βιβλίο μου μαθηματική λογική, σελίδα 11, βιβλίο αυτό το έχει αναρτήσει ο Μάκης) .
Κύριε Ριζόπουλε.
Εγώ δεν θα τολμούσα να σας κάνω κριτική σε ένα άρθρο σας που θα αφορούσε την επιστήμη σας, για παράδειγμα σε ένα άρθρο σας που θα αφορούσε την αντισεισμικότητα των κτιρίων. Έχω μάθει στη ζωή μου να ακολουθώ την ρήση:
« Πρώτα γνώση και μετά γνώμη». Αν σας απαντώ είναι γιατί σας συμπαθώ ακριβώς επειδή αγαπάτε τα μαθηματικά.
Αντώνης Κυριακόπουλος 5-6-2014
Απάντηση στον Αντώνη Κυριακόπουλο για την άποψή του επί του θέματος Δ των Πανελλαδικών Εξετάσεων 2014 των Μαθηματικών Γενικής Παιδείας.
ΑπάντησηΔιαγραφήΥΠΟΔΕΙΓΜΑΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΑΣΚΗΣΕΩΝ
1) Για τους πραγματικούς αριθμούς α,β ισχύει ότι το άθροισμα των τετραγώνων τους είναι -3 και αβ=2. Να αποδείξετε ότι α+β=1
2) Δίνεται τρίγωνο ΑΒΓ με πλευρές ΑΒ=50, ΑΓ=5 και ΒΓ=3. Να αποδείξετε ότι η διάμεσος ΑΜ είναι ΑΜ=35,5
3) Δίνετε ορθογώνιο τρίγωνο ΑΒΓ με κάθετες πλευρές ΑΒ=30 και ΑΓ=40. Αν η υποτείνουσα είναι ΒΓ=1 να υπολογίσετε τα: i) ημΒ ii) συνΒ iii) ημΓ iv) συνΓ
ΔΙΔΑΣΚΑΛΙΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ
Από δω και στο εξής θέλω να διδάσκω τέτοια θέματα. Τα σχόλια ορισμένων συναδέλφων μαθηματικών και των μαθητών μας δε με αφορούν καθόλου. Απλά, αυτοί δεν έχουν καταλάβει τη «φιλοσοφία» των μαθηματικών, όπως αναφέρει ο κ. Αντώνης Κυριακόπουλος.
Έχω όμως ένα σοβαρό πρόβλημα. Τέτοια θέματα είναι δύσκολο να κατασκευάσω μόνος μου σε μεγάλη κλίμακα και σε όλες τις ενότητες ώστε, να κάνω «σωστά» τη δουλειά μου. Έψαξα να βρω κάτι σχετικό στα σχολικά βιβλία της δημόσιας εκπαίδευσης, αλλά δεν βρήκα. Έψαξα επίσης και στα βοηθήματα της εμπορικής εκπαίδευσης, αν και δεν το συνηθίζω, αλλά ούτε εκεί βρήκα. Στη συνέχεια έψαξα σε σχολικά βιβλία άλλων χωρών αλλά μάταια. Έψαξα και σε πανεπιστημιακά συγγράμματα αλλά δεν βρήκα κάτι σχετικό. Έψαξα και στο Google αλλά βρήκα μόνο κάτι ψήγματα από κάτι θέματα για εξετάσεις. Απελπισμένος πήρα τα βιβλία αυτών που παρουσιάζουν το θεώρημα του Godel εκλαϊκευμένα. Ξέρετε, ο θείος Πέτρος και η εικασία του Γκόλντμπαχ, Logicomix του Απόστολου Δοξιάδη κ.τ.λ., αλλά τίποτα. Στη συνέχεια προμηθεύτηκα ένα αντίγραφο από την εργασία του Godel που αφορά το θεώρημα της μη πληρότητας, μήπως, μετά την απόδειξη του θεωρήματος, βρω κάποια παραδείγματα σχετικά με το θέμα που με ενδιαφέρει, αλλά δεν βρήκα.
Ένα βράδυ, μέσα στην απελπισία μου μετά από τις άκαρπες παραπάνω προσπάθειες, πήρα σβάρνα όλες τις συνοικίες και διαπίστωσα ότι οι πολίτες και η κοινωνία έχουν πολλά προβλήματα που αναζητούν τη λύση τους. Κράτησα όσα περισσότερα στοιχεία μπορούσα και το πρωί όταν επέστρεψα στο γραφείο μου μοντελοποίησα πολλά από αυτά. Κανένα μοντέλο όμως δεν κατέληξε σε ένα μαθηματικό πρόβλημα με τα χαρακτηριστικά των παραπάνω θεμάτων. Βέβαια να πω την αμαρτία μου δεν έφτιαξα δικό μου σύστημα αξιωμάτων, αλλά υιοθέτησα αυτά τα γνωστά της Άλγεβρας και της Γεωμετρίας που έχει αποδεχθεί η μαθηματική κοινότητα εδώ και εκατοντάδες χρόνια. Όχι διότι πιστεύω στη αλήθεια τους, πιστεύω όμως ότι είναι βολικά και έχουμε όλοι οι επιστήμονες έναν κοινό προσανατολισμό. Έτσι κι’ αλλιώς η αλλαγή του συστήματος αξιωμάτων έχει σημασία όση ακριβώς σημασία έχει και η αλλαγή της μονάδας μέτρησης του βάρους ενός παχύσαρκου. Αρκεί βέβαια το σύστημα να είναι συνεπές.
Στην προσπάθειά μου λοιπόν να εμπλουτίσω το «ρεπερτόριό» μου με θέματα τέτοιας «συνέπειας», σας παρακαλώ να με βοηθήσετε. Όσοι τουλάχιστον από εσάς έχετε καταλάβει τη «φιλοσοφία» των Μαθηματικών όπως την ορίζει ο κ. Κυριακόπουλος. Περιμένω με ανυπομονησία τις εργασίες σας.
Δ. Σπαθάρας
Μαθηματικός
Να ενημερώσω για όσους δεν ξέρουν ότι ο Δημήτρης Σπαθάρας είναι Σχολικός Σύμβουλος Μαθηματικών, Φθιώτιδας, Ευρυτανίας και Φωκίδας.
ΑπάντησηΔιαγραφήΧαράς και τιμή μας να σας έχουμε στην παρέα μας.
Υ.Γ: Να ενημερώσω ότι σβήνω τα σχετικά σχόλια στην ανάρτηση "Πανελλαδικές Εξετάσεις 2014- Οnline ενημέρωση - Μαθηματικά Γενικής Παιδείας" και αφήνω μόνο αυτά, αφού σ' αυτή την ανάρτηση έχουν κατατεθεί όλες οι απόψεις, του Αντώνη, του Γιώργου και σήμερα του Δημήτρη.
Aξιότιμε κύριε Κυριακόπουλε,
ΑπάντησηΔιαγραφήΚαταρχάς είναι ευχάριστο πως με συμπαθείτε. Δυστυχώς δεν μπορώ να πω το ίδιο, καθότι ούτε συμπαθώ ούτε αντιπαθώ τον οποιονδήποτε δεν γνωρίζω δια ζώσης. Συμπαθώ ή αντιπαθώ απόψεις που καταθέτουν οι διαδικτυακές περσόνες όλων μας.
Συνεχίζετε, όπως και στο καταληκτικό σας σχόλιο στο αρχικό σας κείμενο και το οποίο ήταν η αιτία να σχολιάσω στη φιλόξενη γωνιά του Μάκη, να αυθαιρετείτε και ως προς την κριτική σας στην «άλλη» θέση και κυρίως να εκτοξεύεται χαρακτηρισμούς και δοκησίσοφους αφορισμούς «Πρώτα γνώση και μετά γνώμη» κ.λ.π
Δεν πρόκειται να μπω στη διαδικασία να σας δώσω αναφορά και διαπιστευτήρια, μού αρκεί πως γνωρίζω και έχω διδαχτεί και μαθηματική Λογική ,μεταξύ πολλών άλλων, από κολοσσούς των Μαθηματικών και της Επιστήμης ,οι οποίοι είχαν τη σεμνότητα να μην επιδεικνύουν την αυθεντία τους και «τα γαλόνια τους»(αν και θα μπορούσαν κάλλιστα να το κάνουν) αλλά να χρησιμοποιούν πάντα το επιχείρημα, και οι οποίοι μού υποδείκνυαν πάντα πως πρέπει να μένουμε στην ουσία και όχι το φαίνεσθαι αυτών των επιχειρημάτων.
Ας πάρω λοιπόν όσα λέτε με μαθηματική αυστηρότητα από την αρχή.
«Το ότι δεν είστε μαθηματικός φαίνεται από το γεγονός ότι δεν γνωρίζετε από την Μαθηματική Λογική ( η οποία δεν ταυτίζεται πάντοτε με την κοινή λογική), ότι η πρόταση: «Αν -2=2, τότε 4=4» είναι αληθής, ακριβώς επειδή η πρόταση -2=2 είναι ψευδής.» «Και το σπουδαιότερο δεν γνωρίζετε ότι αν μια συνεπαγωγή: «Αν p, τότε q» είναι αληθής, και η πρόταση q είναι αληθής, δεν μπορούμε να συμπεράνουμε ότι και η πρόταση q είναι αληθής. Για παράδειγμα, η πρόταση: « Αν πέσω στη θάλασσα, τότε θα βραχώ» είναι αληθής. Τώρα, αν βραχώ, εσείς βγάνετε το συμπέρασμα ότι έπεσα στη θάλασσα!!!, ενώ θα μπορούσα να είχα βραχεί με έναν άλλο τρόπο.»
Για πείτε μου αγαπητέ, από ΠΟΎ ακριβώς βγάζετε αυτό το συμπέρασμά σας; Aυτό ακριβώς για το οποίο με κατηγορείτε είναι που ΔΕΝ λέω. H “φιλοσοφία» σας, με βάση την οποία αξιολογήσατε το θέμα ως ΣΩΣΤΟ, είναι απολύτως κατανοητή. Εφόσον η διαδικασία λογικής επαγωγής είναι σωστή και συμβατή με τους μαθηματικούς κανόνες της Τυπικής Λογικής και καταλήγω στο "συνεπές"/"ορθό" ζητούμενο ,ούτε γάτα ούτε ζημιά! Aυτό μας λέτε αγαπητέ και έχει γίνει απολύτως κατανοητό ήδη! Και με βάση αυτό θα αξιολογηθούν και τα γραπτά. Ναι, καμιά αντίρρηση. ΑΛΛΑ αυτό δεν άρει τις αμαρτίες του θέματος κύριε ,του οποίου βέβαια το ΛΑΘΟΣ ουδεμία σχέση με Τυπική Λογική και Αξιωματική συνέπεια έχει, αλλά γι’αυτά, παρακάτω.
(συνεχίζεται…)
(συνέχεια)
ΑπάντησηΔιαγραφή«Υπάρχει βέβαια ένας άλλος βασικός νόμος της Λογικής που ονομάζεται νόμος αποσπάσεως ή modus ponens, που λέει τα εξής:
•Αν η συνεπαγωγή: «Αν p, τότε q» είναι αληθής, και η πρόταση p είναι αληθής, τότε και η πρόταση q είναι αληθής.»
Μάθετε αγαπητέ πως γνωρίζω πολύ καλά και το modus tolens ή modus tollendo tolens (o τρόπος του αναιρείν (που αναιρεί)) και που είναι η μόνη βάσιμη συνεπαγωγή των φυσικών επιστημών, και το modus ponens/ “τρόπος του θέτειν” ,δηλαδή ο τρόπος που ευθέως επιβεβαιώνει, που συνίσταται στην εξαγωγή συμπεράσματος από τη συνεπαγωγή, αλλά δεν έχει καμία σχέση η γνώση μου αυτή και κατά συνέπεια η δήλωσή σας με το ζήτημα. Πομφόλυγες! Το θέμα αγαπητέ είναι ακριβώς πως η p στην περίπτωσή μας είναι ψευδότατη! Προσπαθείτε ,με ad hominem επιχειρήματα να πείσετε πως τα «αξιώματα» είναι αυθαίρετα και αρκεί η «συνεπής» λογική διαδικασία. Για ποια αξιώματα μιλάτε αγαπητέ; Είναι αξίωμα (και σε ποιο αξιωματικό σύστημα ανήκει, για πέστε μας) το ότι μια πιθανοτική κατανομή με ΣΥΓΚΕΚΡΙΜΕΝΟ μέσο όρο και τυπική απόκλιση να έχει τις τιμές της εκτός ΑΠΟΔΕΔΕΙΓΜΕΝΑ προβλεπόμενου εύρους; Είναι απλά μια ΛΑΘΟΣ ΠΡΟΤΑΣΗ/ΘΕΩΡΗΜΑ.
Θα μας τρελάνετε αγαπητέ; Μήπως νομίζετε πως απευθύνεστε σε τίποτα αδαή παιδαρέλια που θα εντυπωσιαστούν από το…modus ponendo ponens;
«Τα Μαθηματικά δεν είναι πειραματική επιστήμη και αυτά που ισχυρίζονται ότι ισχύουν δεν είναι αποτελέσματα πειραμάτων, αλλά λογικές συνέπειες αξιωμάτων ( των οποίων δεν υπάρχει δυνατότητα να ελέγξουμε την ορθότητά τους, βλ. Βιβλίο μου...»
Μα ποια ορθότητα «δεν υπάρχει δυνατότητα να ελέγξουμε» κύριε; Την ορθότητα του αν π.χ. μια κανονική κατανομή έχει τα δεδομένα της εντός εύρους +-3σ από το μ; YΠΑΡΧΕΙ και παραυπάρχει, εδώ και πολλά χρόνια η δυνατότητα και την παρέθεσαν με τους διάφορους τρόπους ΑΠΟΔΕΙΞΗΣ της ΑΝΟΗΣΙΑΣ της εκφώνησης ,πλείστοι όσοι. Eκτός πια, αν οι «μεγάλοι γνώστες» διδάσκονται Θεωρία Πιθανοτήτων από κάποιο δυστυχώς άγνωστο σε μένα τον αδαή εκπαιδευτικό ίδρυμα ή εγχειρίδιο…
Αυτά τα ολίγα, και ασφαλώς προσωπικά δεν πρόκειται να επανέλθω για ένα ζήτημα προφανέστατα λελυμένο (για οποιονδήποτε διαθέτει στοιχειώδη κοινή και μη κοινή λογική και κρίση) γιατί μάλλον αρκετά γέλασε ο κόσμος μαζί μας. Αν εσάς που έχετε «τα γένια και τα χτένια» σάς ικανοποιεί αυτό το επίπεδο θεμάτων και τα θεωρείτε αρκούντως συμβατά με τα «φιλοσοφικά» σας μαθηματικά πρότυπα, εμένα μού περισσεύουν. Kαλό πάντως θα είναι, και αυτό ισχύει για όλους μας, όσοι έχουν κάποια υπεύθυνη θέση κυρίως έναντι της νεολαίας, να μην θεωρούμε τα χτένια μας «μαγικά».
Μετά τιμής.
Θέλω να σχολιάσω και κάτι ακόμα γενικότερο και μου δίνεται μια θαυμάσια πάσα με το δυστυχώς ολόσωστο και αληθέστατο του κειμένου του κυρίου Kυριακόπουλου «Και κάτι τελευταίο με το θέμα Δ. Σπατάλησε κανένας μαθητής χρόνο για να ερευνήσει αν οι υποθέσεις είναι συμβιβαστές ή όχι; Ασφαλώς όχι! ( και πολύ καλά έκανε). Μπορεί να ισχυριστεί κάποιος μαθητής ότι δεν έλυσε την άσκηση επειδή οι υποθέσεις δεν είναι συμβιβαστές; Ασφαλώς όχι! Έτσι, λοιπόν, μόνο σαν δικαιολογία μπορεί κάποιος να επικαλεστεί το γεγονός αυτό!!!»
ΑπάντησηΔιαγραφήΤώρα πραγματικά τα είπε ΟΛΑ! Προσπερνώ εντελώς το «επειδή οι υποθέσεις ΔΕΝ είναι συμβιβαστές ..» που είναι μια ομολογία του προβλήματος του θέματος . Προσπερνώ ακόμη το επιχείρημα πως το ότι κάποιος μαθητής μπορεί να «λύσει» το θέμα χωρίς να «σπαταλήσει» χρόνο(!) ή θα το επέκτεινα περισσότερο ακόμη και στο «το γράφει έτσι αυτολεξεί το σχολικό βιβλίο!»(ακούστηκε αλλού κι αυτό το επιχείρημα..) είναι κάποιου είδους επιστημονικό θέσφατο ,ως προς την εγκυρότητα του θέματος. Τα προσπερνάω αυτά γιατί δυστυχώς η μεγάλη ουσία είναι ακριβώς πως μαθαίνουμε στα παιδιά μας να μην έχουν ΚΑΤΑΝΟΗΣΗ αληθινή για το τι κάνουν ! Δεν είναι μόνο αυτή η άσκηση, αλίμονο! Aυτή έτυχε να…ατυχήσει (ως προς τη μη συμβατότητα των αριθμητικών δεδομένων της). Είναι μια πληθώρα πανηλίθιων ΤΥΦΛΟΣΟΥΡΤΩΝ ειδικά στα θέματα Στατιστικής και Πιθανοτήτων .
Ας μού επιτραπεί και μένα μια φιλοσοφική διάλεξη , κυρίως γιατί οι Πιθανότητες και η Στατιστική είναι το κυρίως γνωστικό μου αντικείμενο (Nαι! Yπάρχει και ζωή έξω από τα «μπετά» και τα «αντισεισμικά» παραδόξως..ουσιαστικά το ερευνητικό μου παρελθόν (σε μια άλλη ζωή..) είναι καθαρά μαθηματικό)
Οι πιθανότητες και η στατιστική είναι αναμφισβήτητα (μαζί με τον απειροστικό λογισμό και κυρίως τις διαφορικές εξισώσεις) ο πιο σημαντικός κλάδος των «Εφαρμοσμένων Μαθηματικών» και αποτελεί τον καλύτερο σύμβουλο όταν καλούμαστε να πάρουμε αποφάσεις καθώς βρισκόμαστε αντιμέτωποι με την αβεβαιότητα, δηλαδή σχεδόν πάντα! Καλώς ή κακώς ,η ζωή μας δεν είναι –κατά κανόνα- ντετερμινιστική, αν και όπως έλεγε ο Κολμογκόροφ η μεγάλη επιστημολογική αξία των πιθανοτικών και εν γένει στοχαστικών διαδικασιών είναι οι κανονικότητες (δηλαδή πρακτικά «βεβαιότητες») που δημιουργούν σε «μακροσκοπική» κλίμακα. (ή κάπως έτσι το έλεγε τέλος πάντων..).
Τα θέματα της Στατιστικής (φετινά και παλιότερα που έχω δει) είναι πραγματικά απογοητευτικά όσον αφορά τη ρηχότητά τους και την –πώς να το πώ δόκιμα ,δεν ξέρω- ικανότητά τους να αφήσουν «παραμένουσες παραστάσεις» που θα είναι δυνατές και χρήσιμες στα παιδιά.
ΑπάντησηΔιαγραφήΕννοώ ,πως είναι θέματα που δεν αποτυπώνουν και εμπεδώνουν στο μυαλό κυρίαρχες έννοιες και κατανόηση, αλλά βλακώδεις τυφλοσούρτες (ανακατωμένοι με ψευτοαλγεβρικά «κολπάκια»-τρικ) .
Δεν ξέρω ειλικρινά πού οφείλεται αυτό, αν και υποπτεύομαι …αλλά ας μην επεκταθώ σ’αυτό.
Πρακτικά, τα διάφορα μέτρα διασποράς είναι από τα σπουδαιότερα πράγματα στη στατιστική και φορείς παρανοήσεων και μεγάλων δολιοτήτων στην κοινωνία (από γνώστες δηλαδή που κάνουν χειραγώγηση(manipulation) ή (συχνότερα) από ημιμαθείς). Γνωστό το τι δράματα δημιουργεί το να επιχειρείς να εξαγάγεις πληροφορία μόνο από μέσους όρους χωρίς να λαμβάνεις υπόψι την μεταβλητότητα των δεδομένων.
Ένας φίλος μου απ’τα παλιά (Στατιστικολόγος Μαθηματικός,ερευνητής στο Πολυτεχνείο της Καταλονίας στη Βαρκελώνη) χρησιμοποιούσε το «Τεστ της Αγελάδας» ( έτσι το έλεγε) για να διαπιστώσει χοντρικά το επίπεδο κατανόησης των φοιτητών του πάνω στα κεντρικά όρια και τα μέτρα διασποράς και το συντελεστή διακύμανσης (τυπική απόκλιση διά μέσο όρο). Το παραθέτω γιατί έχει σχέση με τα Θέματα των πανελληνίων και με το γιατί αυτά τα πράγματα είναι σημαντικά κι όχι «ΥΠΟΘΕΣΕΙΣ» ή «ΑΞΙΩΜΑΤΑ»
Ρωτούσε λοιπόν ο Pere: Ας υποθέσουμε ότι το μέσο βάρος από γάτες είναι 4 κιλά ,με το 95% των βαρών να είναι μεταξύ 3 και 5 κιλών, και ότι οι αγελάδες μιας συγκεκριμένης ράτσας έχουν βάρος μεταξύ 480 και 500 κιλών, επίσης σε ποσοστό 95%.
Ποιο από τα δύο παρουσιάζει τη μεγαλύτερη διακύμανση; Το βάρος της αγελάδας ή το βάρος της γάτας;
Αν παρατηρούσαμε μια ομάδα από γάτες ,θα βλέπαμε μεγάλη μεταβλητότητα ως προς το βάρος (κάποιες έχουν σχεδόν διπλάσιο βάρος από κάποιες άλλες), ενώ τις αγελάδες τις βλέπουμε σχεδόν όλες ίδιες (ισοβαρείς). Παρολαυτά, η τυπική απόκλιση του βάρους των γατών κυμαίνεται γύρω στα 0,5 κιλά (σύμφωνα με το μοτίβο μεταβλητότητας, το 95% των ατόμων βρίσκεται εντός του διαστήματος
«μ +- 2τυπικές αποκλίσεις» , ενώ στην περίπτωση των αγελάδων είναι 5 κιλά. 10 φορές (!) περισσότερο, παρότι έχουμε μικρότερη μεταβλητότητα. Το «παράδοξο» που προκύπτει όταν συγκρίνουμε διαφορετικά «επίπεδα μεταβλητότητας» επιλύεται –όπως ξέρετε φαντάζομαι- ορίζοντας τον ήδη αναφερθέντα στην διερεύνηση των κυρίων Πατήλα και Λώλα «συντελεστή διακύμανσης» CV, δηλαδή το λόγο τυπικής απόκλισης ως προς το μέσο όρο.
Στο παράδειγμα, για τις γάτες είναι 0,125 και για τις αγελάδες 0,01. Μπίνγκο!
Η ουσία είναι πως πρέπει να υπάρχει κατανόηση για τα μέτρα θέσης και πού και πότε χρησιμοποιούνται αυτά. Δεν είδα σχεδόν καμία αναφορά στο σχολικό βιβλίο (μπορεί όμως να μου ξέφυγαν απλώς, δεν είμαι απόλυτος) ότι υπάρχουν ευρέως χρησιμοποιούμενα μέτρα θέσης που δεν είναι ούτε κεντρικής τάσης ,ούτε διασποράς.
Σίγουρα η διακύμανση και η τυπική απόκλιση κατέχουν κομβικό ρόλο στη στατιστική θεωρία, αλλά δεν πρέπει να αποσιωπάται το μειονέκτημά τους , και που θα όφειλε να γίνεται ξεκάθαρο στους μαθητές .
Μπορούμε να πούμε πως πρακτικά βρισκόμαστε πάντα μπροστά σε δύο περιπτώσεις.
1. Τα δεδομένα που διαθέτουμε («παρατηρήσεις» που λέει η άσκηση) είναι το αντικείμενο της μελέτης μας. Αναζητούμε το μέσο όρο ή την τυπική απόκλιση των δεδομένων τα οποία είναι αυτό που καλούμε «πληθυσμό»
2. Τα δεδομένα που έχουμε είναι ΜΟΝΟ ένα δείγμα από τον πληθυσμό που αποτελεί το αντικείμενο μελέτης. Τότε βέβαια (κι αυτό ΠΡΕΠΕΙ να γίνεται απόλυτα σαφές στους διδασκόμενους) δεν μας ενδιαφέρει τόσο να μάθουμε το xμέσο και το s των δεδομένων που διαθέτουμε, ΟΣΟ να εκτιμήσουμε τα εν λόγω μεγέθη (μ και σ) για ΟΛΟΝ τον πληθυσμό.
Αν μας ενδιαφέρει ο μέσος όρος, δεν έχει σημασία αν είμαστε στην 1. ή στη 2. περίπτωση.
Ο τύπος είναι ο ίδιος, μιας και η καλύτερη δυνατή προσέγγιση για το μέσο όρο ένός πληθυσμού είναι ο μέσος όρος του δείγματος .(ΑΡΚΕΙ βεβαίως το δείγμα να είναι ΑΝΤΙΠΡΟΣΩΠΕΥΤΙΚΟ, αλλιώς δεν έχει νόημα η εξαγωγή στατιστ. συμπεράσματος).
Ενώ στην περίπτωση της διακύμανσης, τα πράγματα κάπως διαφοροποιούνται!
ΑπάντησηΔιαγραφήΑν αυτό που έχουμε είναι ο πληθυσμός, ο εφαρμόσιμος τύπος είναι η θετική τετραγωνική ρίζα του
Σ(από 1 ως Ν) (xi –μ)^2/Ν, αλλά αν διαθέτουμε ένα δείγμα, και μας ενδιαφέρει να εκτιμήσουμε τη διακύμανση του πληθυσμού, ο τύπος αλλάζει σε s^2= Σ(1 ως ν) (xi –x περίοδο)^2/ν-1.
Για το γνωστό λόγο ότι το όταν δουλεύουμε με δείγματα , η μεταβλητότητα υπολογίζεται γύρω από το μέσο όρο του δείγματος μας (και ΟΧΙ γύρω από τον αντίστοιχο του πληθυσμού, ο οποίος και μας ενδιαφέρει) οπότε διορθώνουμε διαιρώντας με n-1. Έχει διαφορά το να διαιρώ με to 4 απότι με το 3, αλλά μικρή η διαφορά όταν αντί με το 100 διαιρείς με το 99.
Στην πράξη βεβαίως, όταν το δείγμα είναι μεγάλο, αυτή η συζήτηση παύει να έχει σημασία…
Για το CV ,το σχολικό βιβλίο έχει 1 1/2 σελίδα “θεωρίας” . Αμφιβάλλω σοβαρά για το αν κάνει τη μισή έστω δουλειά (ως προς την κατανόηση) από τα γατογέλαδα.
ΓΙ ΑΥΤΟ και ένας μαθητής δεν θα «Σπαταλούσε χρόνο..» κι γι’αυτό δεν πρόκειται να του μείνει ΤΙΠΟΤΑ χρήσιμο ή μάλλον θα του μείνει Ημιμάθεια.
Εδώ είναι θεωρώ το πρόβλημα. Σίγουρα ο οποιοσδήποτε σχεδόν υποψήφιος κατεύθυνσης στα Μαθημ. των Πανελλαδικών μπορεί να σου δώσει τον ορισμό της διάμεσης τιμής ενός συνόλου τιμών, αλλά αύριο θα αποφοιτήσει και θα λέει είμαι “υψηλά αμοιβόμενος” κοιτώντας τη μέση τιμή των μισθών στην εταιρία του, αντί για την διάμεσο τιμή…
Ας συνεχίσουμε λοιπόν να μας ενδιαφέρει η «διαδικασία» και όχι η ουσία κι ας συνεχίσουμε να βγάζουμε , σαν γραμμή παραγωγής εργοστασίου, στρατιές «χρησίμων ηλιθίων» που «δεν σπαταλούν χρόνο» σε έλεγχο υποθέσεων….
Για να χαλαρώσουμε και λίγο χιουμοριστικά, παίρνω το θάρρος του κοντοχωριανού (αν κατάγεται δηλαδή από τα μέρη που έχει στην δικαιοδοσία του ως σύμβουλος, καθότι δεν γνωριζόμαστε) απέναντι στις εξαιρετικές προτάσεις για μελλοντικά θέματα του κυρίου Σπαθάρα :-) και θα ήθελα να προτείνω και μια πρόσθετη /εναλλακτική οπτική.
ΑπάντησηΔιαγραφήΑς πούμε το εξαίρετο θέμα 3) μπορεί να αξιολογηθεί «κλιμακούμενο» ως εξής:
Καταρχάς , όσοι μαθητές χρησιμοποιήσουν την υπόθεση και βρουν τις τιμές των τριγωνομετρικών συναρτήσεων που ζητούνται ,δηλαδή sinΒ=30/1=30 κ.λ.π. δικαιούνται ασφαλώς να πάρουν τουλάχιστον τη βάση και κάτι παραπάνω! Aν μη τι άλλο, χρησιμοποίησαν , χωρίς καμία «σπατάλη» χρόνου! Σημαντικό αυτό!, τα δεδομένα και κατέληξαν με βάση γνωστές σχέσεις σε σαφή αριθμητικά αποτελέσματα.
Mήπως οι «υπολογισμοί» και οι «αξιολογήσεις» μέχρι και σε επίπεδο υπουργών και διοικητών μεγάλων διεθνών οικονομικών οργανισμών, γίνεται καλύτερα; Mπαα..
Από κει και πέρα, όποιος μαθητής μπει στην χρονοβόρα διαδικασία να διαπιστώσει πως «ρε παιδιά ,μπορεί ένα ημίτονο να είναι μεγαλύτερο από τη μονάδα; Μήπως κάτι δεν πάει καλά;» θα πρέπει να αμειφτεί με κάποιον έξτρα βαθμό μεν, αλλά θα πρέπει ταυτοχρόνως και να τιμωρηθεί για την περιέργεια που σκοτώνει τη γάτα, οπότε μία ή άλλη. Βάση κι αυτός.
Όποιος τώρα φτάσει τη σκέψη του στα αίτια της ασυμβατότητας της υπόθεσης και αρχίσει να αναρωτιέται για το Ευκλείδειο αξιωματικό σύστημα, για τις μετρικές ,για το «κι αν υπάρχει τέτοιο τρίγωνο»; Όποιος μπορέσει να προχωρήσει τη διερευνητική και φιλοσοφική του ματιά μέχρι του σημείου να αναρωτηθεί για την εγκυρότητα και την εφαρμοσιμότητα των αξιωμάτων, όποιος καταλάβει πως το ιερό τοτέμ είναι το περίφημο 5ο αίτημα του Ευκλείδου ,όποιος φτάσει στο βάθος σκέψης ενός Λομπατσέφσκι και ενός Ρίμαν και αναρωτηθεί περί της υπάρξεως ή μη και άλλων εναλλακτικών αξιωμάτων και γεωμετριών ….Ε! αυτός πια θα ξέρουμε τουλάχιστον πως δεν είναι από τους μέλλοντες επιτυχημένους «μάνατζερς» και μπορούμε κάλλιστα να τον στείλουμε χωρίς τύψεις μιας και είναι άξιος της μοίρας του να εισαχθεί στο Μαθηματικό ή σε κάποια άλλη τέτοια ανθυποσχολή, των αποφοίτων με τις τρεις κι εξήντα …
Και κάτι τελευταίο Μάκη από μένα και συγγνώμη και πάλι για την τυχόν κατάχρηση του χώρου, αλλά νομίζω πως τελικά κάτι εποικοδομητικό μπορεί να βγει απ 'αυτον το διάλογο.
ΑπάντησηΔιαγραφήΓια να μην μένει λοιπόν καμία λανθασμένη εντύπωση ,και επειδή έχω μάθει να υπερασπίζομαι τον εαυτό μου ,ειδικά όταν του αποδίδονται άδικοι χαρακτηρισμοί και κρίσεις και βεβαίως επειδη αυτοί προέρχονται όχι απο κανεναν τυχάρπαστο (δεν θα ασχολιόμουν καν τότε), αλλά από ένα σεβαστό και γνωστό μαθηματικό, να ξεκαθαρίσω εντελώς και το τελευταίο ίσως σκοτεινό σημείο απ'το "κατηγορητήριο".
Βεβαίως και ο λογικός συμπερασμός "Το έδαφος είναι μουσκεμένο άρα έβρεξε" είναι λανθασμένος (παρότι μοιάζει φυσικός) με βάση την μαθηματική λογική καθώς όπως πολύ σωστά ειπώθηκε μπορεί απλά να πέρασε η υδροφόρα του Δήμου.
Βεβαίως επίσης και ο λογικός συμπερασμός
"Ολοι οι άνθρωποι μπορούν να πετάξουν
Ο Ίκαρος είναι άνθρωπος
Αρα ο Ικαρος μπορεί να πετάξει" είναι εγκυρότατος και ορθότατος ,όσο τερατώδης κι αν ακούγεται σε σχέση με την κοινη λογική.
Εδώ έγκειται και αυτό που προείπα (και είναι διαπίστωση του Καρλ Ποπερ) σε άλλο σχόλιο πως ο μοναδικός έγκυρος συμπερασμός των Φυσικών επιστημών (Όχι των Μαθηματικών) είναι το modus tolens.
Είναι γνωστή η ιστορία με το αξίωμα "Όλοι οι κύκνοι είναι λευκοί" Για να διαπιστώσουμε την εγκυρότητά του θα έπρεπε να εξετάσουμε όλους τους κύκνους έναν προς έναν παγκοσμίως. Αλλά αρκεί να βρεθεί ένας μαύρος κύκνος (όπως συνέβη στους πρωτους εξερευνητές/αποίκους στην Αυστραλία) για να καταστεί άκυρη η υπόθεση.
Αλλά εδώ, στο modus ponens μας(του θέματος Δ) δεν μπορεί να θεωρηθεί αξίωμα (όπως μπορεί να θεωρηθεί το "Όλοι οι άνθρωποι μπορούν να πετάξουν" κι αυτό γιατί καθαρώς μαθηματικά ιδωμένο δεν "νομιμοποιείται" η προυπάρχουσα γνώση μας πως έχει ήδη βρεθεί τουλάχιστον ένας άνθρωπος που δεν μπορεί να πετάξει!) το "η τάδε κατανομή έχει αυτο το σ ,αυτό το μ ΚΑΙ αυτό το εύρος τιμών", καθότι αυτά αποτελούν διαπίστωση ,πρόταση (το εύρος τιμών συνδέεται με σχέση αιτίου και αιτιατού με το σ και το μ !) που μπορεί να είναι αληθής ή ψευδής και στηρίζεται (η ορθότητά της η μή) σε προυπάρχοντα αξιώματα (στην περίπτωσή μας τα αξιώματα της αριθμητικής του Πεάνο) καθολικώς τηρούμενα. (προς το παρόν,τουλάχιστον..)