Στηρίξτε το έργο μας!

Εμφάνιση αναρτήσεων με ετικέτα Διασκεδαστικά Μαθηματικά. Εμφάνιση όλων των αναρτήσεων
Εμφάνιση αναρτήσεων με ετικέτα Διασκεδαστικά Μαθηματικά. Εμφάνιση όλων των αναρτήσεων

Σάββατο 2 Μαρτίου 2024

Μαθηματικό ημερολόγιο 2024 - Μία άσκηση για κάθε μήνα!

 


Το lisari.blogspot.com σας προσφέρει τα πρώτα μαθηματικά ημερολόγια για το 2024

Πρόταση 1η

Μία άσκηση κάθε μήνα για το έτος 2024. Προτείνεται για μαθητές Β και Γ΄ Λυκείου. Δείτε την παρακάτω φωτογραφία.


Πρόταση 2η

Ένα μαθηματικό ημερολόγιο 13 σελίδων που σας δίνει αρκετό χώρο για να σημειώσετε την άσκηση που ξεχωρίσετε κάθε μήνα μαζί με την απάντησή της. 

Για κάθε μέρα υπάρχει χώρος να κρατήσετε σημειώσεις, παρατηρήσεις για ασκήσεις στα μαθηματικά που διδαχτήκατε κάθε μήνα. 

Για απευθείας αποθήκευση πατήστε εδώ.


Επιμέλεια αρχείων: Μάκης Χατζόπουλος

Σχολικό έτος: 2023 - 24

Δευτέρα 19 Φεβρουαρίου 2024

Η ετήσια κοπή της βασιλόπιτας από την lisari team

 



18/2/24 και η ομάδα μας για ακόμη μια χρονιά έκοψε την πίτα της και ενώθηκαν αρκετοί μαθηματικοί από διάφορα μέρη της Ελλάδος!

Συζητήσαμε για μαθηματικά και ορίσαμε δύο δράσεις που θα δείτε προσεχώς στο lisari.blogspot.com. 

Τα μέλη της lisari team που αψήφησαν αγρότες και χιλιόμετρα:

• Θεσσαλονίκη: Μιχάλης Γιαννόπουλος, Χρήστος Σίσκας και Μπάμπης Τσιριόπουλος 
• Ρόδος: Γιώργος Χασάπης!
• Βόλος: Θωμάς Ποδηματάς και προφανώς η Ρόζα!
• Λιβαδειά: Γιάννης Βελαώρας!
• Ναύπλιο: Νίκος Αντωνόπουλος!
• Ζευγολατιό Κορινθίας: Σταύρος Σταυρόπουλος!
• Λαμία: Σταύρος Χαραλάμπους!

Και από Αθήνα - Πειραιά:

• Βασίλης Αυγερινός
• Βασίλης Κακαβάς
• Θανάσης Κοπάδης
• Ανδρέας Κουλούρης
• Χρήστος Κουστέρης 
• Χρήστος Μαρούγκας
• Δημήτρης Μπαδέμης
• Παύλος Σταυρόπουλος
• Νίκος Τάσος
• Μάκης Χατζόπουλος

Το φλουρί βρέθηκε πάλι με ένα περίεργο τρόπο στο κομμάτι της ομάδας! Οι προτάσεις να κάνω εγώ τις κληρώσεις για τη Super League είναι κακοήθεις! 

Τέλος, οι γυναίκες της ομάδας μας είναι στην καρδιά μας και στηρίζουν όλο αυτό το έργο που παρακολουθείτε, δεν χρειάζεται να είναι σε πρώτο πλάνο. Η διακριτική τους παρουσία δηλώνει το ήθος τους!

Πέμπτη 4 Ιανουαρίου 2024

Podcast με εικονική πραγματικότητα - Θεωρία Γ΄ Λυκείου!

 Μια νέα ιδέα!

Προσπαθούσα να στήσω το Podcast από το Καλοκαίρι του 2023 αλλά δεν βρήκα την αποδοχή και την όρεξη με όσους επικοινώνησα... 

Σκέφτηκα και τελικά βρήκα τη λύση!! Ένα ρομπότ να κάνει την αφήγηση της θεωρίας του σχολικού βιβλίου! Ένα avatar όπου κατασκεύασα και παράλληλα το "ερωτεύτηκα" να διαβάζει τη θεωρία - ορισμούς - σχόλια από το σχολικό βιβλίο. 

Πιλοτικά ξεκίνησα με την παράγραφο 1.2 του σχολικού βιβλίου. Αν υπάρχει ανταπόκριση και αποδοχή θα το εμπλουτίσω. Για την ώρα το Avatar λέει όσα γράφει πιστά το σχολικό βιβλίο. 

Σημείωση: Ο δάσκαλος σε αυτά τα πρώτα μου βήματα είναι, ποιος άλλος, ο Θανάσης Δρούγας! Πρωτοπόρος! Αυτά τα εργαλεία τα χρησιμοποιεί χρόνια. Μια επίσκεψη στο Μαθη...μαγικά θα σας πείσει! 

Κυριακή 31 Δεκεμβρίου 2023

Ένα εορταστικό ρολόι από μπαμπά και κόρη!

Επιμέλεια: Μάκης Χατζόπουλος και Ραφαέλα Χατζοπούλου 


Ερώτηση 1η: Μπορείτε να βρείτε ποια νούμερα βρήκε ο μπαμπάς και ποια η κόρη; Μια μικρή βοήθεια... η κόρη είναι στην Α΄ Γυμνασίου!

Ερώτηση 2η: Μπορείτε να γράψετε τα νούμερα "3" και "5" με ανάλογες αριθμητικές παραστάσεις όπως τα υπόλοιπα; Πάντα με γνώσεις μέχρι του Γυμνασίου. 

Σάββατο 30 Δεκεμβρίου 2023

Οι Ιδιότητες του αριθμού 2024

 


The properties of the number 2024

Les propriétés du nombre 2024

Die Eigenschaften der Zahl 2024

Le proprietà del numero 2024

数字2024的性质

2024 sayısının özellikleri

Σε όποια γλώσσα και να το γράψουμε το αποτέλεσμα είναι το ίδιο: 

Ένα αρχείο με τις ιδιότητες του αριθμού 2024 και άλλα συναφή μοναδικό και αποκλειστικά από τον ιστότοπο lisari.blogspot.com. 

Μια προσπάθεια που συντελούν αρκετοί συνάδελφοι αλλά κυρίως τον φίλο και μέλος της lisari team Γιώργος Χασάπης. Ο Γιώργος φέτος συμμετέχει ενεργά στην ανακάλυψη των ιδιοτήτων του αριθμού 2024 όπως θα διαπιστώσετε εντός του αρχείου. 

Η προσπάθεια αυτή γίνεται από το 2014, στην αρχή πιο ερασιτεχνικά. Πλέον έχει εμπλουτιστεί και με νέες στήλες όπως πχ. οι "Μαθηματικές δράσεις για το 2024" και άλλα πολλά. 

Για απευθείας αποθήκευση πατήστε εδώ.

Σάββατο 23 Δεκεμβρίου 2023

Το μαθηματικό ημερολόγιο αντίστροφης μέτρησης μέχρι τα Χριστούγεννα!

 

Μια καινούργια ιδέα για να φέρουμε τα Χριστούγεννα και την Πρωτοχρονιά πιο κοντά μας! Ένα ημερολόγιο αντίστροφης μέτρησης αλλά με μαθηματικό περιεχόμενο! 

Προφανώς, προτιμάτε τα γλυκά, δωράκια κτλ. που υπάρχουν στα κλασικά ημερολόγια αντίστροφης μέτρησης. Όμως υπάρχουν και κάποιοι που ενθουσιάζονται με την ιδέα της γνώσης, της ανακάλυψης, του προβληματισμού και της εξερεύνησης του κόσμου των μαθηματικών και των προβλημάτων.

Αν και το πιο σωστό θα ήταν να φτιάξω ένα ημερολόγιο αντίστροφης μέτρησης για κάθε τάξη χωριστά, αλλά επειδή κάτι τέτοιο είναι χρονικά αδύνατο (μέχρι να το ετοιμάσω θα έχουν έρθει τα Χριστούγεννα 2024), έφτιαξα ένα ημερολόγιο με γενικά προβλήματα από την θεωρία αριθμών. 

Έτσι η ύλη μπορεί να αντιμετωπιστεί από όλους τους μαθητές! Είτε Α΄ Γυμνασίου, είτε Γ΄ Λυκείου! 

Δεν λείπουν κάποια εκπαιδευτικά video, μουσική και εύθυμα link για να ξεφεύγουμε από τις ασκήσεις. 

Την Πρωτοχρονιά 2024 θα δοθούν και οι απαντήσεις 

από τις ερωτήσεις του ημερολογίου!

Και προσοχή ΜΗΝ κλέβετε! 

Ανοίγουμε το τετραγωνάκι έως την σημερινή μέρα, όχι επόμενη μέρα για να ικανοποιήσουμε στο 100% το ημερολόγιο μας!

Καλή απόλαυση!

Σημείωση: Η προσπάθεια που συνεχίζεται με αμείωτο ενδιαφέρον και για δεκατρία συναπτά έτη στο lisari.blogspot.com δεν είναι αμειβόμενη, γίνεται για το κέφι και την δημιουργική έκφραση του γράφοντα. Συμμετέχετε, κοινοποιείτε, προσφέρετε σημαίνει ότι ενστερνίζεστε την ιδέα! Ελεύθερο υλικό με το πάτημα ενός κλικ! 

Για απευθείας προβολή πατήστε εδώ.

Πέμπτη 7 Δεκεμβρίου 2023

Παρουσίαση βιβλίου με μαθηματικό ενδιαφέρον!

 Σας περιμένουμε όλους στο βιβλιοπωλείο της Ελληνοεκδοτικής, Ιπποκράτους 10-12, Αθήνα, το Σάββατο 9 Δεκεμβρίου 2023 και ώρα 12:00. 

Θα έχει εύθυμη διάθεση, θα ενημερωθείτε, θα διασκεδάσετε και θα σας υπογράψουν οι συγγραφείς τα αντίτυπα! 

Προσεχώς θα κυκλοφορήσει και το δεύτερο τεύχος! 

Θα είμαι από τους κεντρικούς ομιλητές και ακόμα δεν έχω προετοιμάσει τα λόγια μου! Μην το αναφέρετε στους Θανάσηδες! Μάλλον θα αυτοσχεδιάσω! 

Επειδή, δεν ήρθαν όλοι οι φίλοι και συνάδελφοι που αναμέναμε και επειδή δύο άτομα μου ζήτησαν την ομιλία, την αναρτώ μήπως φανεί σε κάποιον χρήσιμη. 

Για απευθείας αποθήκευση πατήστε εδώ.


Δευτέρα 18 Σεπτεμβρίου 2023

Διαγώνισμα στις συναρτήσεις από τα Ανώγεια Κρήτης [2023 - 24]

 Ο αγαπητός φίλος Μανόλης Φασουλάς από τα Ανώγεια της Κρήτης μας στέλνει ένα απαιτητικό διαγώνισμα για τους μαθητές της Γ Λυκείου πάνω στις συναρτήσεις. 

Για απευθείας αποθήκευση πατήστε εδώ. 

Σχολικό έτος: 2023 - 24

Επιμέλεια: Μανόλης Φασουλάς

Σάββατο 29 Ιουλίου 2023

Μαθηματικά άρθρα - video για ξαπλώστρα 2023


Το καλοκαίρι ενδείκνυται να διαβάζουμε άρθρα/video που έχουν μαθηματικό ενδιαφέρον κάτι που δεν προλαβαίνουμε να κάνουμε κατά τη διάρκεια του σχολικού έτους.

Καλή απόλαυση από Καραβόσταμο Ικαρίας!

Μερικά άρθρα που έχουν ενδιαφέρον και είναι αναρτημένα στο διαδίκτυο είναι τα εξής: 


Ένας συνοπτικός οδικός χάρτης για τον χώρο που συνδέεται με τη φιλοσοφική τους πλευρά.

2. Γιατί τα κορίτσια χάνουν στα μαθηματικά;

Το χάσμα στις επιδόσεις στα μαθηματικά ανάμεσα στα δύο φύλα αρχίζει να φαίνεται από το νηπιαγωγείο κιόλας, γίνεται πιο ορατό στις πρώτες τάξεις του δημοτικού και επιμένει στις επόμενες βαθμίδες της εκπαίδευσης. Μάλιστα αυτή η «ψαλίδα» είναι πιο αισθητή όχι τόσο στον μέσο όρο των μαθητών, όσο μεταξύ των κορυφαίων στις μαθηματικές επιδόσεις, όπου τα αγόρια υπερτερούν σαφώς, σύμφωνα με μια νέα αμερικανική επιστημονική έρευνα.

Οι ερευνητές του Πανεπιστημίου της Νέας Υόρκης, με επικεφαλής τον αναπληρωτή καθηγητή Τζόζεφ Σίμπιαν, που έκαναν τη σχετική δημοσίευση στο περιοδικό παιδαγωγικής έρευνας «AERA Open», μελέτησαν στοιχεία για πάνω από 7.500 μαθητές νηπιαγωγείου και δημοτικού, κάνοντας συγκρίσεις με μια παρεμφερή έρευνα του 1998-99.

3. Η ιστορία του πιο επαναστατικού αριθμού στον κόσμο

Ο αριθμός Μηδέν βρίσκεται στο επίκεντρο της επιστήμης, της μηχανικής και των μαθηματικών. Αυτός ο περίεργος αλλά συνάμα ισχυρός αριθμός έχει προκαλέσει τόσες διαμάχες όσες και οι απολαύσεις που παρείχε σε σχέση με οποιοδήποτε άλλο ψηφίο. Γιατί καταρχήν, μας επιτρέπει να προβλέψουμε το μέλλον. Αλλά για να κατανοήσουμε το γιατί και να καταλάβουμε τη δύναμη του, πρέπει πρώτα να κατανοήσουμε τη γέννησή του και τις διαμάχες γύρω του, διότι η πορεία του υπήρξε εξαιρετικά ταραχώδης.

4. Οι New York Times κλείνουν το Digits, το παιχνίδι παζλ που βασίζεται στα μαθηματικά

Οι Νιου Γιορκ Ταιμς κλείνει Ψηφία, το παιχνίδι παζλ βασισμένο σε μαθηματικά που κυκλοφόρησε σε beta τον Απρίλιο. Αν επισκεφθείτε τη σελίδα για το παιχνίδι, θα δείτε ένα μήνυμα που λέει “Αυτό το παιχνίδι θα σταματήσει στις 8 Αυγούστου.” Εάν κάνετε κλικ στο παιχνίδι, θα δείτε επίσης ένα μήνυμα.


Σε ψηφία, ο στόχος είναι να προσθέσετε, να αφαιρέσετε, να πολλαπλασιάσετε ή να διαιρέσετε έξι αριθμούς για να δοκιμάσετε να αθροίσετε έναν συγκεκριμένο αριθμό στόχου. Εάν λάβετε τον ακριβή αριθμό, θα πάρετε τρία αστέρια, αλλά μπορείτε να πάρετε ένα ή δύο αστέρια ανάλογα με το πόσο κοντά στον αριθμό βρίσκεστε.

Ήταν μια διασκεδαστική ιδέα, αλλά φαίνεται ότι το παιχνίδι δεν πήρε την έλξη που χρειαζόταν για να μετατραπεί σε ένα πλήρες NYT Προσφορά παιχνιδιών. “Πάντα προσεγγίζαμε το πείραμά μας με το Digits ως δοκιμή beta περιορισμένου χρόνου.” NYT λέει ο εκπρόσωπος Τζόρνταν Κοέν σε δήλωση προς Το χείλος. «Κατά τη διάρκεια αυτής της περιόδου, μάθαμε πολλά για το πώς οι παίκτες ασχολήθηκαν με το παιχνίδι και είμαστε ευγνώμονες για τα σχόλιά τους. Αυτήν τη στιγμή, εστιάζουμε στην αύξηση του κοινού και της αφοσίωσης των άλλων παιχνιδιών μας και ανυπομονούμε να δοκιμάσουμε περισσότερα παιχνίδια σε beta σύντομα.”

Τον Μάιο, μίλησα με τον Jonathan Knight, τον επικεφαλής των παιχνιδιών στο NYTκαι ακόμη και τότε, ακουγόταν σαν Ψηφία μπορεί να μην κάνει την περικοπή για να ενταχθεί μόνιμα στο των NYT παράταξη. «Νομίζω ότι η κριτική επιτροπή είναι ακόμα έξω Ψηφία,” αυτός είπε. «Είμαστε πολύ ευχαριστημένοι με την δέσμευση και το κοινό σε αυτό. Αλλά εξακολουθούμε να μαθαίνουμε και ακόμα αξιολογούμε αν αυτό είναι κάτι που θέλουμε να προσθέσουμε σε μόνιμη βάση».

Αλλά αυτή η αξιολόγηση είναι ένα φυσιολογικό μέρος του των NYT επεξεργάζομαι, διαδικασία. «Θα βγάλουμε τα πράγματα, [and] θα τα καταργήσουμε μέχρι να νιώσουμε πραγματικά ότι υπάρχει κάτι στο οποίο θέλουμε να δεσμευτούμε ως μέρος του χαρτοφυλακίου μας», είπε. «Υπάρχει μια διαδικασία εκεί. Είναι σημαντικό να σκοτώνεις παιχνίδια. Είναι σημαντικό να δοκιμάζετε πράγματα πολύ».

5. Η μέτρηση του αριθμού "π"

Η μέτρηση του αριθμού π ήταν μια αρκετά δύσκολη διαδικασία για τους μαθηματικούς. Ωστόσο , έχει νόημα ο υπολογισμός περισσότερων ψηφίων;


Επιμέλεια-Σκίτσα: Καραμπουτάκης Φώτης


Τι κοινό έχει η μουσική και τα μαθηματικά; Μπορεί η μουσική να επηρεάσει τον εγκέφαλο και τη νοημοσύνη μας κάνοντάς μας πιο… έξυπνους;

8. Ο πόλεμος με Μαθηματικά

Πού μπορεί να οδηγήσει η εφαρμογή κάποιων μαθηματικών συλλογισμών τους οποίους δύο εμπόλεμα μέρη θα πάρουν στα σοβαρά;

Στο προηγούμενο είχαμε καλέσει όποιον από τους αναγνώστες θα το ήθελε να πάρει αποφάσεις σαν αρχηγός κράτους επάνω στο εξής πρόβλημα: Δύο χώρες γειτονικές έχουν στο θησαυροφυλάκιό τους από 1 τρισεκατομμύριο δολάρια. Εποφθαλμιούν όμως την περιουσία η μια της άλλης (δηλαδή το 1 τρισεκατομμύριο). Με τη βοήθεια μιας γεννήτριας τυχαίων αριθμών θα προκύψει για την καθεμία ένας αριθμός στο διάστημα από 0 έως 1. Αυτός θα αντιπροσωπεύει την πολεμική ισχύ τους. Η κάθε χώρα γνωρίζει τον δικό της αριθμό, δηλαδή τη δική της ισχύ αλλά όχι του αντιπάλου της. Αμέσως μόλις πάρουν στα χέρια τους τον αριθμό αυτόν θα δηλώσουν η καθεμία, χωρίς να περιμένουν το τι θα δηλώσει ο αντίπαλος, «ειρήνη» ή «πόλεμος». Δηλώνοντας και οι δύο «ειρήνη», όλα καλά και η καθεμία μένει με ό,τι είχε. Αν όμως μία τουλάχιστον δηλώσει «πόλεμο» τότε πάνε σε πόλεμο που η έκβασή του θα κριθεί από το ποια έχει τη μεγαλύτερη ισχύ (δηλαδή τον μεγαλύτερο αριθμό). Ερώτηση: Με τον αριθμό για την ισχύ στα χέρια της η κάθε χώρα, ποια είναι η προτιμότερη στρατηγική, που θα εκφραστεί με τη δήλωση «ειρήνη» ή «πόλεμος»;

Ας υποθέσουμε λοιπόν πως αν ο αριθμός Χ που δείχνει την ισχύ μιας χώρας Β είναι μεγαλύτερος από μια τιμή, τότε τη συμφέρει να κηρύξει πόλεμο. Τότε ο πόλεμος θα γίνει ανεξάρτητα από το τι αριθμό ισχύος έχει η άλλη χώρα. Θα αναγκαστεί να πολεμήσει.

9. Μαθηματικά μοντέλα καιρού: Μία ιστορική αναδρομή

Η πρόβλεψη του καιρού μέσω μαθηματικών μοντέλων είναι πλέον ένα κομμάτι της καθημερινότητας μας, με σκοπό να προστατευτούμε από τα ακραία καιρικά φαινόμενα της ζέστης ή του κρύου που πλέον και λόγω κλιματικής αλλαγής κάνουν την εμφάνιση τους όλο και πιο συχνά.

10. AI: Η επανάσταση που φέρνει στα μαθηματικά

Η επιστήμη που σύμφωνα με τους επιστήμονες της διεθνούς κοινότητας, πιθανά λειτουργήσει ως βαρόμετρο στον τρόπο που η τεχνητή νοημοσύνη εισβάλλει στις ζωές μας.

11. Το επιτραπέζιο που βοηθά το παιδί να γίνει αστέρι στα μαθηματικά

Δυσκολεύεται το παιδί με τις αριθμητικές πράξεις; Μια νεότερη μελέτη προτείνει έναν ευχάριστο και παιχνιδιάρικο τρόπο που μπορεί να διευκολύνει τις μαθηματικές δεξιότητες των παιδιών, χωρίς μάλιστα να το καταλάβουν. Aπό τη διαχρονική Monopoly μέχρι το Stratego και τον Γκρινιάρη, λίγο πολύ όλοι έχουμε κάποια θετική παιδική ανάμνηση παίζοντας ένα επιτραπέζιο, συμπεριλαμβανομένων βεβαίως και των επικών καβγάδων που συνόδευαν κάποιες παρτίδες. Από αυτές τις ευχάριστες ή και δυσάρεστες στιγμές, όμως, τα παιδιά κερδίζουν πολλά αναφορικά με την οξύνοιά τους, πέρα από την κοινωνικοποίησή τους.

12. Σας φοβίζουν τα μαθηματικά; Ο ένας στους πέντε αρρωσταίνει από το άγχος του

Μήπως αποτελεί μια άσχημη παιδική ανάμνηση να προσπαθείτε να λύσετε μια άσκηση μαθηματικών στον πίνακα και να σας λούζει κρύος ιδρώτας από το άγχος; Σύμφωνα με μια πρόσφατη δημοσκόπηση ο εφιάλτης των μαθηματικών δεν τελειώνει στα μαθητικά χρόνια, αλλά προκαλεί άγχος και στην ενήλικη ζωή

13. Μαθηματικά για τον μαρξισμό

Την περασμένη εβδομάδα, η Καλιφόρνια ενέκρινε ένα νέο πλαίσιο εξαιρετικά αμφιλεγόμενων προτύπων για τη διδασκαλία των μαθηματικών.
Όσον αφορά τη διδακτική πρακτική, ο καθηγητής μαθηματικών του Στάνφορντ, Μπράιαν Κόνραντ, συνέταξε ένα έγγραφο 25 σελίδων που περιγράφει λεπτομερώς τους τρόπους με τους οποίους η έρευνα που αναφέρεται στο πλαίσιο είτε δεν υποστηρίζει, είτε έρχεται σε ευθεία αντίθεση με τους ισχυρισμούς του πλαισίου.

Σημείωση: Μαρξισμός ονομάζεται το ενιαίο σύστημα των φιλοσοφικών, οικονομικών και κοινωνικών ιδεών που θεμελιώνεται στα έργα του Καρλ Μαρξ και του Φρήντριχ Ένγκελς. Η πολιτική θεωρία και πρακτική που απορρέει από τα έργα αυτά στηρίζει μία σοσιαλιστική αντίληψη για την κοινωνία και αποσκοπεί στον Κομμουνισμό.

Τετάρτη 26 Ιουλίου 2023

Καλοκαιρινά παιχνίδια λογικής για μαθητές!

Αναδημοσίευση από το 2017

Αυτό το καλοκαίρι προτείνω κάτι διαφορετικό, κάτι μεταξύ τυριού και αχλαδιού, κάτι που θα εξιτάρει κυρίως τους μαθητές Δημοτικού - Γυμνασίου.


Είναι εργασίες που αφορούν την κοινή λογική και τις περισσότερες φορές χρησιμοποιούνται στοιχειώδη μαθηματικά. Σκοπό μας; Να συνδυάσουμε το παιχνίδι με τα μαθηματικά!

Μπορεί σε κάποια δραστηριότητα να την έχουμε δει αρχικά σε κάποιο site, οπότε σε αυτή την περίπτωση θα αναφέρεται εξ αρχής η πηγή (όχι στο τέλος όπως συνήθως γίνεται και αδικεί τον δημιουργό).

Οι απαντήσεις σας θα αποστέλνονται στο lisari.blogspot@gmail.com και η καλύτερη δικαιολόγηση θα αναρτάται ονομαστικά. Προτεραιότητα έχουν οι μαθητές!

Αναμένουμε τη συμμετοχή σας και για προτάσεις πρωτότυπων γρίφων - ερωτήσεων 
όπως και λύσεων.

Ας ξεκινήσουμε τις δροσιστικές μας δραστηριότητες!

6. Οι αριθμοί του Θωμά Ποδηματά (lisari team)

Το άθροισμα των ψηφίων ενός διψήφιου αριθμού είναι εννέα (9). Αν αντιστρέψουμε τη σειρά των ψηφίων του, προκύπτει αριθμός κατά 45 μικρότερος. Ποιος είναι ο διψήφιος αριθμός;

Η απάντηση να δοθεί αυστηρά με γνώσεις δημοτικού.

Λύτες
1. Carlo de Grandi (Μαθηματικός - Επιμελητής του blog: http://papaveri48.blogspot.gr/ )
2. Χάρης Πλάτανος Γέρακας, 15 ετών (μέλος της lisari junior!!!)

5. "Oι κοτούλες" του Θωμά Ποδηματά (lisari team)

(εικόνα του Carlo De Grandi)
Η απάντηση να δοθεί αυστηρά με γνώσεις δημοτικού.

4. "Ζωντανά" του Θωμά Ποδηματά (lisari team)

Τριάντα ζωντανά, κότες και κουνέλια, έχουν μαζί 92 πόδια. Πόσες είναι οι κότες και πόσα τα κουνέλια;

Η απάντηση να δοθεί αυστηρά με γνώσεις δημοτικού.

Λύτες
1. Μιχάλης Νάννος (Σαλαμίνα - Μαθηματικός - μέλος lisari team)
2. Χάρης Πλάτανος, Γέρακας, 15 ετών (μέλος της lisari junior!!!)

3. Πλέγμα (Μάκης Χατζόπουλος)
Χρησιμοποιήστε σε κάθε σειρά και στήλη τους αριθμούς 1 - 2 - 3 και 4 έτσι ώστε να είναι μοναδικός αριθμός σε κάθε σειρά και σε κάθε στήλη. Επίσης, σε κάθε χρωματιστό πλαίσιο πρέπει το άθροισμά τους να δίνει τον αριθμό που υπάρχει πάνω αριστερά.


Λύτες
1. Χάρης Πλάτανος, Γέρακας, 15 ετών.

Μαθηματικά άρθρα προς μελέτη
1. Θέμα που προτάθηκε σε μαθηματικό διαγωνισμό


2. Λαβύρινθος (Μάκης Χατζόπουλος)
Μετά από τη μεγάλη συμμετοχή σας (πάνω από 900 προβολές!) συνεχίζουμε με ένα κλασικό παιχνίδι.

Βρείτε ποια διαδρομή πρέπει να ακολουθήσετε για να καταλήξετε στο "Νησί του θησαυρού".

Τι θα γινόταν αν υπήρχαν πάρα πολλές διαδρομές (πχ. 100 διαδρομές); Ποιο μαθηματικό μοντέλο μαθηματικών σας θυμίζει;

Λύτες
1. Χάρης Πλάτανος, Γέρακας, 15 ετών.

Μαθηματικά άρθρα προς μελέτη
1. Μέθοδοι απόδειξης (Νίκος Παπούλας) - για μαθητές Γυμνασίου

1. Το φιδάκι! (Μάκης Χατζόπουλος)

Γνωρίζουμε όλοι το παιδικό παιχνίδι φιδάκι; Σκέφτηκα, όταν έπαιζα με την κόρη μου, την εξής ερώτηση:

"Πόσες ελάχιστες κινήσεις μπορεί να κάνει ο παίκτης - ιδανικό ζάρι - για να ανέβει στο 100;"

Η ερώτηση αφορά αποκλειστικά την παρακάτω φωτογραφία.


Λύτες
1. Κωνσταντίνος Αλεξανδρόπουλος, Αίγιο 8 ετών!! (μόλις ολοκλήρωσε τη Γ' Δημοτικού)
2. Χάρης Πλάτανος, Γέρακας, 15 ετών.
3. Νίκος Μαυρομαράς, Πετρούπολη 16 ετών.
4. Πάνος Γάσπαρης (3 - ετής φοιτητής στο Μαθηματικό τμήμα)

Μαθηματικά άρθρα προς μελέτη:

1. Η ελάχιστη διαδρομή (μαθητές Β Γυμνασίου)
2. Ευθεία Παλινδρόμησης (μαθητές Γ Λυκείου)
Όταν έχουμε ένα διάγραμμα διασποράς δηλαδή σημεία σε ένα καρτεσιανό σύστημα συντεταγμένων και αναζητούμε την ευθεία που να προσαρμόζεται σε όλα τα σημεία. Ο Gauss σε ηλικία μόλις 17 ετών βρίσκει μια μέθοδος (η ευθεία των ελαχίστων τετραγώνων) που προσαρμόζεται καλύτερα από οποιαδήποτε άλλη ευθεία που χαράσσετε με το "μάτι".

Μπορείτε να βρείτε μια ευθεία για το παρακάτω διάγραμμα διασποράς;



2. Η ελάχιστη διαδρομή δικτύου (για φοιτητές - σπουδαστές)
3. Μονοπάτια και κύκλοι - Θεωρία γράφων (για φοιτητές)

Πρόβλημα 1 (Το πρόβλημα του Κινέζου ταχυδρόμου) 
Ένας ταχυδρόμος ξεκινάει από το γραφείο του, επισκέπτεται όλους τους δρόμους και επιστρέφει στο γραφείο του. Ποια είναι η συντομότερη διαδρομή;

Πρόβλημα 2 (Η 7 γέφυρες του Königsberg)
Κατά τη διάρκεια του 18ου αιώνα, όταν το Königsberg ήταν μέρος της μεγάλης αυτοκρατορικής Ρωσίας, υπήρχαν 7 γέφυρες που διέσχιζαν τον ποταμό Pregel. Είχε γίνει μέρος του απογευματινού Κυριακάτικου περιπάτου των κατοίκων, η άσκηση, να δουν αν μπορούν να περάσουν όλες τις γέφυρες του ποταμού διασχίζοντας κάθε μία μόνο μία φορά. Όσο όμως και να προσπαθούσαν, πάντα υπήρχε μία γέφυρα που δεν μπορούσαν να προσεγγίσουν. Ήταν όντως αδύνατο ή απλά δεν είχαν βρει τον τρόπο που θα τους επέτρεπε να τις διασχίσουν όλες; Την λύση την έδωσε ο Ελβετός μαθηματικός E. Euler! 

Παρασκευή 16 Ιουνίου 2023

Δημοσκοπήσεις lisari forms 2023

Μπείτε εδώ!

Νέο ερωτηματολόγιο (με γραμμική κλίμακα) αναρτήθηκε στο Google forms

 και αναμένουμε να συμμετέχετε! 

Τα θέματα του ερωτηματολογίου είναι ενδεικτικά τα εξής: 

  • Πανελλαδικές Εξετάσεις 2023
  • lisari
  • Summer Camp
  • Podcast
  • lisari team






Δευτέρα 12 Ιουνίου 2023

Ο Αρχιμήδης και ο Ευκλείδης σχολιάζουν το Γ4 ερώτημα των Πανελλαδικών Εξετάσεων 2023

Ο Αρχιμήδης (Α) και ο Ευκλείδης (Ε) συζητάνε για τα θέματα των Μαθηματικών και κυρίως για το ερώτημα Γ4 που τέθηκαν στις Πανελλαδικές Εξετάσεις 2023.

Ο Αρχιμήδης (Α) και ο Ευκλείδης (Ε) κανόνισαν να περπατήσουν στα σοκάκια της Ν. Φιλαδέλφειας για να συζητήσου - γιατί άλλο - για τα θέματα των Πανελλαδικών Εξετάσεων του 2023. Για την ακρίβεια θα συζητήσουν για το τρόπο που βαθμολογείτε στα Βαθμολογικά Κέντρα (Β.Κ.) το ερώτημα Γ4.

Ας τους απολαύσουμε!

Επιμέλεια: Μάκης Χατζόπουλος


Το παρόν κείμενο αποτελεί προϊόν μυθοπλασίας. Τα πρόσωπα, τα ονόματα και οι καταστάσεις είναι φανταστικά και οποιαδήποτε ομοιότητα είναι συμπτωματική και δεν ανταποκρίνεται στην πραγματικότητα.

Α: Ευκλείδη πόσα πακέτα έχεις διορθώσει μέχρι σήμερα;

Ε: Τρία πακέτα!

Α: Άρα 90 γραπτά! Οπότε έχεις άποψη γι’ αυτό που θα σε ρωτήσω...

Ε: Πώς πήγαν οι μαθητές;

Α: Όχι! Κάτι καλύτερο!

Ε: Υπάρχει και καλύτερο;

Α: Ναι βρε συ! Άσε με να σου εκφράσω την ερώτησή μου και θα καταλάβεις.

Ε: Άντε πες! Απλά κάθε χρόνο που κάνουμε την ίδια συζήτηση καταλήγουμε στο ίδιο στο ίδιο σημείο!

Α: Στο γήπεδο της ΑΕΚ;

Ε: Ότι κακώς συζητήσαμε Αρχιμήδη! Έχουμε γίνει viral στο lisari! Μας έχει κάνει πρώτο θέμα ο Μάκης…

Α: Άσε τον Μάκη! Αυτός κάνει τη δουλειά του και εμείς τη δική μας! Πάμε στα δικά μας. Να συνεχίσω;

Ε: Πες, πες! Δεν ξανά μιλάω…

Α: Η ερώτησή μου είναι η εξής: Πώς βαθμολογήσατε στο Β.Κ. το ερώτημα Γ4 όταν ο μαθητής υπολόγισε το εμβαδόν του χωρίου μεταξύ της Cf και της εφαπτομένης της;

Ε: Και όχι με τον άξονα x΄x ;

Α: Ναι!

Ε: Μηδέν!

Α: Γιατί;

Ε: Γιατί ο μαθητής υπολόγισε εμβαδόν από λανθασμένο χωρίο

Α: Και αν ο μαθητής διατύπωνε ή και αποδείκνυε ότι η συνάρτηση f(x) = 1/x είναι κυρτή, άρα η εφαπτομένη της είναι κάτω από τη Cf; Και έκανε το σχήμα;

Ε: Συνήθως οι μαθητές που υπολόγισαν το λάθος εμβαδόν χωρίου δεν έκαναν και σχήμα διότι δεν το χρειάστηκαν. Απλά σημείωσαν ότι η f είναι κυρτή άρα έτσι δικαιολόγησαν το πρόσημο της διαφοράς…

Α: Έστω και έτσι έδωσες μονάδες;

Ε: Ναι! Μία μονάδα για την αιτιολόγηση του προσήμου και άλλη μια για το σχήμα, αν είχε και το σημείο τομής της ευθείας με τον άξονα x΄x, το σημείο (2, 0).

Α: Και για τον υπολογισμό του ολοκληρώματος;

Ε: Είπαμε, καμία!

Α: Σε βρίσκω λάθος. Τουλάχιστον τρεις με τέσσερις μονάδες από τις έξι έπρεπε να δώσεις…

Ε: Δηλαδή το μισό θέμα σωστό και ας πήρε ο μαθητής λάθος τύπο; Αλήθεια το πιστεύεις;

Α: Εννοείται! Αφού ο μαθητής γνωρίζει το ολοκλήρωμα του εμβαδού και το υπολογίζει σωστά.

Ε. Εδώ είναι η ένστασή μου! Ο μαθητής δεν ξέρει, νομίζει ότι ξέρει και εσύ μου λες να τον κοιμίσω και άλλο, δίνοντάς του κάποιες μονάδες. Βαθμολογητής είμαι, όχι φιλανθρωπικό ίδρυμα!

Α. Μα όσα έγραψε, ασχέτως αν η αφετηρία ήταν λανθασμένη, είναι σωστά!

Ε: Δηλαδή αν ο μαθητής έγραφε και το Πυθαγόρειο Θεώρημα σε εκείνο το σημείο, θα έπρεπε να του δώσω μονάδες; Επειδή το διατύπωσε σωστά; Και αν έγραφε ότι η ΑΕΚ πήρε το double πάλι θα του έδινα μονάδες; Επειδή γνωρίζει τον Πρωταθλητή Ελλάδος; Δηλαδή θα δίνω μονάδες για αυτά που απαντάει – γνωρίζει ο μαθητής ή για αυτά που τον ρωτάνε; Αν είναι έτσι, τότε οι μαθητές ας παπαγαλίζουν ένα μέρος των μαθηματικών και να το γράφουν στις εξετάσεις! Και εμείς, ως φιλάνθρωποι και large διορθωτές, να του δίνουμε μονάδες!

Α: Είσαι υπερβολικός!

Ε: Εγώ είμαι υπερβολικός; Ή εσύ που μου λες να δώσω μονάδες σε λάθος απάντηση;

Α: Είσαι υπερβολικός γιατί έχει δώσει τη μισή απάντηση σωστή. Πες ότι ξέχασε, από πλευράς χρόνου να αφαιρέσει το εμβαδόν του ορθογωνίου τριγώνου.

Ε: Λάθος! Ούτε τη μισή απάντηση έχει δώσει σωστά. Το ολοκλήρωμα που υπολόγισε ο μαθητής έχει διαφορετικά άκρα από το σωστό ολοκλήρωμα. Μπορεί το εσωτερικό του ολοκληρώματος να είναι το ίδιο, αλλά τα άκρα είναι διαφορετικά. Το σωστό ολοκλήρωμα έχει άκρα από το 1 έως το 2 , ενώ ο μαθητής παίρνει ως άκρα από το 1 έως το e.

Α: Προφανώς, εκεί υπάρχει το πρόβλημα!

Ε: Το πρόβλημά μας είναι ότι θέλετε να δίνουμε μονάδες στις λανθασμένες απαντήσεις. Και αν ο μαθητής δώσει το εμβαδόν του χωρίου μεταξύ της Cf και του άξονα x΄x; Ή της εφαπτομένης της Cf και του άξονα x΄x; Πάλι πρέπει να του δώσουμε κάποιες μονάδες; Αφού πλησίασε στην ορθή λύση;

Α: Ο μαθητής δεν ολοκλήρωσε το ολοκλήρωμα! Απλά τα πράγματα. Είναι ελλιπής η απάντησή του και γι’ αυτό λαμβάνει κάποιες μονάδες.

Ε: Επομένως, σε όλα τα ερωτήματα που ο μαθητής έδωσε λανθασμένη απάντηση, εμείς πρέπει να του δίνουμε μονάδες; Μιλάμε αυτό που υποστηρίζεις είναι παραλογισμός!

Α: Νομίζεις! Γνωρίζω Βαθμολογικά Κέντρα (Β.Κ.) που δίνουν 2 με 3 μονάδες σε αυτή την απάντηση του μαθητή.

Ε: Την λανθασμένη;

Α: Ναι στη λανθασμένη! Με το σκεπτικό που σου περιέγραψα!

Ε: Στο δικό μας Β.Κ. δεν δίνουμε ούτε μία μονάδα!

Α: Α γεια σου!! Πάμε στο θέμα μας!

Ε: Δεν είναι αυτό το θέμα;

Α: Όχι φυσικά! Ήμουν σίγουρος για σένα, είσαι αυστηρός και κάθετος στις απόψεις σου. Η ερώτησή μου έγινε για να εντοπίσουμε την αιτία της διαφωνία μας…

Ε: Μου κίνησες το ενδιαφέρον! Για πες πριν σκεφτώ για Ελοχίμ και Νεφελίμ!

Α: Οι 48 συντονιστές των Β.Κ. συναντήθηκαν στις 6.6.23 διαδικτυακά μέσω Webex για να συζητήσουν για το επιμερισμό των μονάδων ανάλογα με τις απαντήσεις των μαθητών για να φτιάξουν όσο είναι εφικτό ένα ενιαίο οδηγό βαθμολόγησης.

Ε: Και τι αποφάσισαν;

Α: Το μόνο που μπορώ να σου πω με βεβαιότητα είναι ότι συμφώνησαν ότι διαφωνούν!

Ε: Και για το ερώτημα Γ4;

Α: Εκεί οι περισσότερες φωνές που ακούστηκαν είναι αυτό που σου είπα… να δίνουν 2 με 3 μονάδες και ας έχει απαντήσει ο μαθητής με το λανθασμένο χωρίο!

Ε: Με έστειλες αδιάβαστο! Κυριολεκτικά! Αυτό το πρότειναν οι συντονιστές ή οι γονείς των μαθητών με το λανθασμένο τρόπο επίλυσης;

Α: Έχεις χιούμορ Ευκλείδη! Το αντιμετωπίζεις ψύχραιμα!

Ε: Ψύχραιμα; Μου έχει ανέβει το αίμα στο κεφάλι και όχι από το περπάτημα αλλά με όσα ακούω! Δεν το χωράει το μυαλό μου! Δεν κατανοώ για ποιο λόγο να δίνουμε απλόχερα μονάδες και χωρίς λογική ιδίως σε ένα διαγώνισμα που ήταν απλό. Είναι λογικό να μην εξαντλήσω την αυστηρότητά μου σε ένα απαιτητικό διαγώνισμα, εκεί σε κάθε σωστή κίνηση του μαθητή πρέπει να την ξεχωρίσω από τον μαθητή που δεν έκανε κάτι ανάλογο.

Όμως στην περίπτωσή μας, στο διαγώνισμα των Πανελλαδικών εξετάσεων, τα θέματα ήταν βατά, απλά και κατανοητά. Αν σε δύο ή τρία ερωτήματα δεν βαθμολογήσουμε με όσα γράφουν οι μαθητές, τότε πριμοδοτούμε μόνο τις λανθασμένες απαντήσεις εις βάρος των ορθών απαντήσεων. Αλλοιώνουμε την κλιμάκωση των ερωτημάτων που ήθελε να δώσει η επιτροπή. Γινόμαστε εμείς οι θεματοδότες, όταν λαμβάνουμε μερικών μαθητών σωστή την λανθασμένη απάντηση στο Γ4 ερώτημα.

Δεν γίνεται ένας μαθητής που θα πάει το γραπτό του ας πούμε στο Βαθμολογικό Κέντρο της Τρίπολης να πάρει 3 μονάδες για το λάθος χωρίο, ενώ το ίδιο γραπτό αν το διορθώσω εγώ ή ένα άλλο Β.Κ. ας πούμε στη τύχη της Λαμίας να μην πάρει καμία μονάδα! Αυτό δεν είναι εξετάσεις, αλλά το ΚΙΝΟ! Έχεις τύχη; Γράψε άριστα στις Πανελλαδικές Εξετάσεις!

Α: Εντοπίσαμε το πρόβλημα! Ευκλείδη για όλα αυτά που λένε έχει ευθύνη η κυβέρνηση. Ακούγομαι ως κουμουνιστής, αλλά ξέρεις καλά ότι δεν είμαι. Είναι ένα πρόβλημα που το έχουμε εντοπίσει αρκετά χρόνια και το μεταφέρουμε σε όλες τις κυβερνήσεις που έχουν περάσει από το Υπουργείο Παιδείας. Πρέπει να θεσπίσουμε ένα σώμα διορθωτών, ένα σώμα θεματοδοσίας που θα τους εκπαιδεύει το Υπουργείο Παιδείας κατά τη διάρκεια της σχολικής χρονιάς. Επίσης, να βγαίνουν από το Υπουργείο Παιδείας ενιαίες οδηγίες διόρθωσης που να τις τηρούν όλα τα Β.Κ. χωρίς αποκλίσεις. Ένα σώμα διορθωτών που θα ορίζουν την πολιτική βαθμολόγησης και να δίνουν το ενιαίο πλαίσιο των λανθασμένων απαντήσεων.

Φέρνοντας κάθε χρόνο στις Πανελλαδικές εξετάσεις τον κάθε εκπαιδευτικό, είτε να θέσει θέματα, είτε να διορθώσει τα τετράδια των μαθητών καθιστά όλη την διαδικασία επικίνδυνη, εύθραυστη και μη προβλέψιμη.

Ε: Γιατί δεν ακουγόμαστε; Γιατί δεν φτάνουν οι φωνές μας στο τρίτο όροφο του Υπουργείου Παιδείας;

Α: Γιατί δεν είμαστε ενωμένοι, δεν έχουμε μια φωνή. Είμαστε διαιρεμένοι, ο καθένας στην τάξη του, στο site του, στο σχολείο του. Οι καθηγητές θεωρούν ότι η δουλειά τους ολοκληρώνεται μόλις βγουν από την αίθουσα της διδασκαλίας.

Ε: Αρχιμήδη μου εγώ είμαι εκπαιδευτικός, μαθηματικός, δεν είμαι ούτε συνδικαλιστής, ούτε νομοθέτης. Αυτά πρέπει να τα κάνουν αυτοί που είναι ικανοί. Μόνο γνώμες μπορούμε να έχουμε για όλα όσα συμβαίνουν. Ας με ρωτήσουν και θα τους πω, πως θα γίνουν καλύτερα τα πράγματα…

Α: Τι θα τους πεις;

Ε: Ό,τι δεν συμφέρει το μελίσσι, δεν συμφέρει και τη μέλισσα.

Α: Διαρκείας θα πάρουμε του χρόνου;

Ε: Το μόνο σίγουρο!

Δευτέρα 5 Ιουνίου 2023

Εφημερεύον ΦαρΜΑΚΗο για τις Πανελλήνιες Εξετάσεις ΓΕΛ 2023

ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ από το Υπουργείο Παιδείας

Απαντήσεις από τη lisari team 

Και τα θέματα σε word από τον Χρήστος Τσουκάτο

Για εναλλακτικούς τρόπους επίλυσης δείτε εδώ

Για τις ενδεικτικές απαντήσεις της Κ.Ε.Ε. πατήστε εδώ

Σχολιασμός

Το ερώτημα που συνήθως ρωτούν οι περισσότεροι καθηγητές (συνήθως άσχετοι του κλάδου μας), γονείς κτλ. είναι το εξής: 

"Τα θέματα ήταν εύκολα; Ποιο εύκολα από πέρυσι;"

Την απάντηση θα την δώσω μετά από την Ανάλυση των θεμάτων γιατί μπορεί να μην είναι και η πιο εύκολη ερώτηση… 

Θέμα Α
Α1, Α2 και Α3 αναμενόμενα, χωρίς ακρότητες (Σημείωση: Δεν μας έφταναν τόσα θεωρήματα υπαρξιακά που εξετάζουν τα θέματα όπως θα δούμε παρακάτω, η επιτροπή θεώρησε ότι έπρεπε να ρωτήσει και το Θεώρημα Rolle! )

Α4. Απαιτητικά Σ – Λ! Κάτι μη αναμενόμενο! 

α) Υπάρχει στο σχολικό βιβλίο; 
Ναι υπάρχει και είναι στις ερωτήσεις Κατανόησης (5β σελ. 83) του σχ. βιβλίου. Παρατηρούμε ότι έχουμε την κατηγορία όπως τη λέμε «μηδενική επί φραγμένη». Ίδια λογική θα δούμε και παρακάτω. 

β) «η γραφική παράσταση μιας πολυωνυμικής συνάρτησης περιττού βαθμού έχει πάντοτε οριζόντια εφαπτομένη».
Είναι ερώτημα πάλι από τις ερωτήσεις κατανόησης του σχ. βιβλίου (ερωτ. 5β / σελ. 177). 
Ίσως η λέξη «πάντοτε» να βοήθησε του μαθητές ότι παραπέμπει σε λάθος… διαφορετικά είναι πολύ απαιτητικό ερώτημα. 

γ) Αντίστροφο μιας πρότασης

δ) Πολύ αναλυτικά γραμμένο για να είναι σαφής και σωστή η πρόταση και να μην δίνει δικαιώματα στους επαναστάτες του πληκτρολογίου. 

ε) Μπορεί να μπερδέψει τους μαθητές, που έχουν συνηθίσει να τους ρωτούν το εξής: 
« αν ορίζονται οι συναρτήσεις fog και gof  τότε είναι υποχρεωτικά ίσες» που είναι λανθασμένο. 
Μια διατύπωση που την έχουμε δει και στο παρελθόν! 

Ένας καλό μαθητής εκτιμώ ότι μπορεί να γράψει στο θέμα Α τουλάχιστον 21/25 . 

Θέμα Β 
Για Β θέμα δεν ήταν και το πιο απλό! Δεν έχουμε συνηθίσει να βλέπουμε σε Β θέμα, απόδειξη ανισότητας και όριο που αποκαλείται «μηδενική επί φραγμένη». 

Β1. απλό 

Β2. i. πολύ απλό   ii. για Β θέμα δεν είναι και πολύ απλό (όμως πέρυσι στο σημείο αυτό ήταν η εύρεση αντίστροφης, που είχε δυσκολία με τις απόλυτες τιμές και το σ.τ. της f). 

B3. Βασικό

Β4. Κλασικό, αλλά για Β θέμα είναι δύσκολο! Μηδενική επί φραγμένη, όπως συνηθίζεται να λέγεται αυτή η κατηγορία ασκήσεων. Κάτι ανάλογο είδαμε και στο πρώτο ερώτημα από τα Σ – Λ.

Στο περσινό θέμα, στο ίδιο σημείο, ο μαθητής έπρεπε να εφαρμόσει Θ.Ε.Τ. και να θυμηθεί την μονοτονία της συνάρτησης της ημιτόνου στο διάστημα [π/6, π/2]. 

Ένας καλό μαθητής εκτιμώ ότι μπορεί να γράψει στο θέμα Β τουλάχιστον 21/25. 

Θέμα Γ 

Από τα πιο απλά – βατά Γ θέματα που έχουμε δει τα τελευταία χρόνια στις εξετάσεις. 

Γ1. Αν και το ολοκλήρωμα με άκρα 2 έως 3 σημαίνει να πάρει τη συνάρτηση 
f(x) =1/x+α, x>=1 δεν είναι στο πλαίσιο του σχ. βιβλίου (κρύβεται συνάρτηση ολοκλήρωμα), δεν είναι καθόλου απαιτητικό για τους μαθητές. Μάλλον μόνο εμένα φόβισε… 

Γ2. i) Απλό
ii) Απλό, αν θυμάται ο μαθητής ότι εφ135 = - 1. 

Γ3. Μια ιδέα που την είδαμε στο φετινό διαγώνισμα προσομοίωσης (β΄ φάση) της ΟΕΦΕ στο θέμα Β. Ίδια λογική, μια συνάρτηση πολλαπλού τύπου είναι γν. μονότονη κατά διαστήματα και επειδή είναι συνεχής στο σύνορο, είναι μονότονη σ’ όλο το π.ο της. Χωρίς να χρειαστεί ο μαθητής να εξετάσει αν τα σύνολα τιμών τους είναι ξένα μεταξύ τους (όχι αν το κάνει θα ήταν λάθος…). 

Γ4. Γιατί εδώ πιστεύω ότι οι περισσότεροι μαθητές δεν θα είδαν τον άξονα x΄x και θα πήραν τη διαφορά της εφαπτομένης από την f; Δηλαδή θα υπολόγισαν λάθος χωρίο; 

Μάλλον ο μαθητής παρασύρεται από την ευκολία του Γ θέματος… και υποσυνείδητα διαβάζει αυτό που τον βολεύει.  

(edit) Μεγάλος Φροντιστηριακός Οργανισμός ανάρτησε απαντήσεις με το παραπάνω λάθος, δεν είδε ποτέ τον άξονα x΄x.... 

Ένας καλό μαθητής εκτιμώ ότι μπορεί να γράψει στο θέμα Γ τουλάχιστον 20/25. 

Θέμα Δ

Ένα μοναδικό θέμα! Σε τρία από τα τέσσερα ερωτήματα ζητούσε την «μοναδικότητα» των ριζών! 

Αξίζει να σημειώσουμε ότι το π.ο της f δεν είναι το διάστημα (-00,0)U(0,2) αλλά το περιορίζει η άσκηση στο διάστημα (0,2) για να γίνει πιο απλό. 

Σημείωση: Στην εκφώνηση, μόλις τελειώνει το όριο, πληκτρολογήθηκε δύο φορές μια τελεία. Δεν ξέρω αν το πρόσεξε κανείς, αλλά ως συγγραφέας μου έκανε "μπαμ". 

Δ1. Αρκετά γνωστό θέμα, αν και ο τρόπος που δίνεται είναι λίγο διαφορετικός από το συνηθισμένο. 

Δ2. Πλέον αναμενόμενο ερώτημα των τελευταίων ετών! Αρχίζει ο κατασκευαστής – θεματοδότης να βάζει την υπογραφή του σε αυτό το στυλ των ασκήσεων! Συναντάμε  και αρκετές ανάλογες ασκήσεις στην Τράπεζα Θεμάτων και υποψιάζομαι ότι είναι ο ίδιος άνθρωπος! 

Δ3. Αν διακρίνει ο μαθητής το Θ.Μ.Τ. – καθόλου εύκολο - τότε είναι ένα πολύ εύκολο ερώτημα! Διαφορετικά, μπορεί να ταλαιπωρηθεί με γενικευμένο Bolzano ή ΘΕΤ. Η έκφραση «κλίση της γρ. παράστασης της συνάρτησης f» μπορεί να ξινίσει μερικούς, αλλά με αυτό τον τρόπο δίνεται στο σχ. βιβλίο (ή κλίση της f στο x0). 

Δ4. Ένα απαιτητικό ερώτημα, αφού άσκηση χρησιμοποιεί δύο αρχικές συναρτήσεις για την ίδια συνάρτηση f ! 

Εμένα με «χάλασε» (δεύτερη φορά χρησιμοποιώ την ίδια έκφραση) που εμφανίζεται, έστω και έμμεσα η συνάρτηση ολοκλήρωμα. 

Δεν τίμιο παιδιά, δεν είναι σωστό! 

Να λέμε το 2016 ότι δεν είναι στην ύλη η συνάρτηση ολοκλήρωμα γιατί παραξηλώσαμε τα Δ θέματα με αυτό το πράγμα και μετά από επτά χρόνια να την βάζουμε από το παράθυρο. 

Αυτά δεν μας τιμούν. Δεν μπορείς να εμπιστευτείς τις οδηγίες του Υπουργείου Παιδείας.  

Επίσης, το βιβλίο δεν έχει ασκήσεις με αρχικές. Έστω και μία άσκηση να μου βρείτε, τότε θα αποσύρω το σχόλιο μου. Και γιατί δεν έχει; Γιατί όλες είναι με συνάρτηση ολοκλήρωμα! 
Η επιτροπή έχει την δυνατότητα – ικανότητα (το έχουν αποδείξει) να θέσουν ασκήσεις που υπάρχουν μέσα από το σχολικό βιβλίο και να τις προσαρμόσει στα δικά της μέτρα. Δεν χρειάζεται να είναι στα όρια της ύλης και να προκαλεί… 

Ένας καλό μαθητής εκτιμώ ότι μπορεί να γράψει στο θέμα Δ τουλάχιστον 12/25. 

Γενικά Σχόλια

1. Δεν είδαμε
α) αντιπαράδειγμα 
β)  Ρυθμό Μεταβολής και γενικά προβλήματα 
γ) αντίστροφη συνάρτηση
δ) Θ. Fermat 
ε) σημείο καμπής
στ) τεχνικές ολοκλήρωσης
ζ) σταθερή συνάρτηση (κάποιοι ήταν σίγουροι ότι θα υπάρχει ερώτημα!)
η) ίσες συναρτήσεις

και ασκήσεις από το σχολικό βιβλίο!! 

Παρατηρώ ότι τα θέματα των Εξετάσεων ΔΕΝ πατούν πάνω σε ιδέες στο σχολικό βιβλίο. Πλέον τα θέματα των εξετάσεων δεν έχουν το ύφος και την λογική του σχολικού βιβλίου, προσομοιάζουν περισσότερο με τα θέματα που υπάρχουν στα βοηθήματα, με τις ασκήσεις που υπάρχουν στο διαδίκτυο, παρά με τις ασκήσεις του σχ. βιβλίου. 

Γιατί αλλάξαμε τη ρότα; 

Από την άλλη θα ομολογήσω ότι είναι πιο κοντά στα μέτρα των μαθητών, αφού αυτά δουλεύουν καθημερινά. 

2. Είδαμε μετά από καιρό, αρκετά ερωτήματα με υπαρξιακά θεωρήματα που εμένα προσωπικά, στο βαθμό που υπήρχαν δεν με πείραξε… 

3. Με «χάλασε» που βλέπω σε μερικά ερωτήματα τη συνάρτηση ολοκλήρωμα, αλλά δεν την εμφανίζουμε. Είναι κρυφή! Ή αφαιρούμε κάτι από την ύλη ή όχι. Το Δ4 ερώτημα  προέρχεται από παλιά άσκηση βοηθήματος με συνάρτηση ολοκλήρωμα. Απλά την μετατρέψαμε με δεξιοτεχνία σε συναρτήσεις με αρχικές. 

Η απάντηση στο αρχικό ερώτημα, αφού συζήτησα με αρκετούς συναδέλφους είναι η εξής: τα θέματα ήταν της ίδιας λογικής και εκτιμώ ότι είναι λίγο πιο απλά από πέρυσι. Νομίζω ότι αυτός ήταν και ο στόχος των θεματοδοτών, αν διέκρινα καλά… 

Αυτό ΔΕΝ σημαίνει ότι θα ισχύσει κατ΄ ανάγκη για όλους τους μαθητές. Δηλαδή ένας μαθητής που στα περσινά θέματα θα έπαιρνε βαθμό Χ, μπορεί στα φετινά θέματα να πάρει βαθμό Y με Υ < Χ. Είναι θέμα προτιμήσεων και σε ποιο κομμάτι της ύλης έχει μελετήσει ο μαθητής.  

Τελική διαπίστωση! 

Πολύ όμορφα και κλιμακούμενης δυσκολίας θέματα που όλοι οι μαθητές μπορούν ανταποκριθούν χωρίς να τρομάζουν. Πολύ γράψιμο! Πολύ μονοτονία και μοναδικότητα!  Ένα ερώτημα δύσκολο που θα ξεχωρίσει τον άριστο μαθητή από τους υπόλοιπους. 

Θα δώσω συγχαρητήρια στην επιτροπή, αν εξαιρέσουμε το ερώτημα με τις αρχικές (εξήγησα το λόγο)… 

Διαγώνισμα που το 74/100 μπορεί να επιτευχθεί από ένα διαβασμένο μαθητή. Εκτιμώ  ότι βρισκόμαστε στο σωστό δρόμο. 

Καλά αποτελέσματα στους μαθητές! 




Την Τρίτη 6/6 (την ίδια ημερομηνία με πέρυσι) θα γράψουν και φέτος Πανελλήνιες Εξετάσεις οι μαθητές των ΓΕΛ και των εσπερινών σχολείων. 


Το lisari.blogspot.com δίπλα στους υποψήφιους αλλά πιο κοντά στους εκπαιδευτικούς, γονείς, συντελεστές που συμμετέχουν έμμεσα ή άμεσα στις εξετάσεις. 

Φέτος το lisari θα διοργανώσει αντί για το Online Καφενείο, 

το εφημερεύον ΦαρΜΑΚΗο! 

Το μοναδικό μαθηματικό site που θα εφημερεύει και θα λειτουργήσει ως μέσο ψυχοθεραπείας, προβλέψεων, εκτόνωσης των εκπαιδευτικών από την ένταση και κούραση όλων των ημερών λίγες ώρες πριν τις Εξετάσεις των Μαθηματικών 2023. 

Ας ξορκίσουμε το κακό λέγοντας: 

  • 2003: λάθος ερώτημα
  • 2013: δύσκολο ερώτημα
  • 2023: ερώτημα με λανθασμένη διατύπωση (στα ΕΠΑΛ)

Άρα έκλεισε ο δεκαετής κύκλος της κακοδαιμονίας; Τι θα δούμε την Τρίτη 6.6.2023; 

Ευχόμαστε να έχουμε καλοδιατυπωμένα ερωτήματα, χωρίς ακρότητες, στο επίπεδο και αντάξιων των προσδοκιών των μαθητών. Τα θέματα πρέπει να είναι στοχευμένα στους μαθητές και όχι στους καθηγητές. Τα καλά θέματα δεν είναι αυτά που εντυπωσιάζουν τους καθηγητές. 

Εκτιμώ ότι θα δούμε την ίδια επιτροπή με πέρυσι, αφού κρίθηκε πετυχημένη. Άρα εμπιστευόμαστε την επιτροπή, αφού έδειξε την μαθηματική αρτιότητά τους και την σοβαρότητά τους, χωρίς να λείπουν τα πονηρά ερωτήματα, οι καινοτόμες ιδέες (εμβαδόν χωρίου θετικό, άρα μας δίνει μια ανισοτική σχέση). 

Εκτιμήσεις

Ίσως να δώσω κάποιες προβλέψεις - εκτιμήσεις τη Δευτέρα μετά τις 22:00... Μέχρι τότε θα διαβάζω τις δικές σας!


Δευτέρα 8 Μαΐου 2023

Ποια ομάδα θα πάρει το Πρωτάθλημα; Τα μαθηματικά μίλησαν!

Ένα διασκεδαστικό αλλά διδακτικό post για ποδοσφαιρόφιλους και μη! 

Ξεκινάω με ένα υποθετικό σενάριο και παρουσιάζω όλες τις περιπτώσεις που κερδίζει το πρωτάθλημα η πράσινη ομάδα και τις περιπτώσεις που κερδίζει το πρωτάθλημα η κίτρινη ομάδα χρησιμοποιώντας μαθηματικά (δεντροδιάγραμμα, πολλαπλασιαστική αρχή και πιθανότητες) και για τα άτομα που έχουν χαλαρή σχέση! 

Προφανώς το πλεονέκτημα το έχει η πράσινη ομάδα λόγω του προβάδισμα που έχει λόγω ισοβαθμίας, αλλά πόσο είναι αυτό το προβάδισμα; 


Σημείωση: Μακριά από εμάς η πόλωση, η ένταση και οι προκλήσεις. Εμείς το διασκεδάζουμε, εσείς;

 

Σχολικό έτος: 2022 - 23

Για απευθείας αποθήκευση πατήστε εδώ. 


Πηγή έμπνευσης: www.sport24.gr

Σάββατο 8 Απριλίου 2023

Προετοιμαζόμαστε για τα Πρότυπα Γυμνάσια


Πλέον το ενδιαφέρον αρκετών μαθητών του Δημοτικού είναι αυξημένο για την εισαγωγή τους στα  Πρότυπα και Πειραματικά Γυμνάσια. Στα Πρότυπα η συμμετοχή των μαθητών γίνεται με εξετάσεις, ενώ στα Πειραματικά με κλήρωση. 

Οι εξετάσεις για εισαγωγή σε Πρότυπα Σχολεία 

θα διεξαχθούν στις 29/4/2023

Η ανάρτηση αυτή θα εμπλουτίζεται συνεχώς μέχρι τις εξετάσεις των μαθητών.

Την αρχή την κάνει ο αγαπητός φίλος και συνάδελφος Γιώργος Ασημακόπουλος. 

Για αποστολή υλικού με θέμα: "Πρότυπα Γυμνάσια" γίνεται μέσω email στο lisari.blogspot@gmail.com 

1. Διαγώνισμα και απαντήσεις στα Πρότυπα Γυμνάσια από τον Γιώργο Ασημακόπουλο και απαντήσεις από τον Μπάμπη Τσιριόπουλο.

2. Δείτε τα παλαιά θέματα μέσα από την σελίδα της lisari.blogspot.com

3. Επιμέλεια: Γιάννης Στάμου συγγραφέας του βιβλίου για την εισαγωγή των μαθητών στα Πρότυπα (δύο τόμοι). Για να δείτε το διαγώνισμα + απαντήσεις πατήστε εδώ.

4. Επιμέλεια: Θανάσης Κοπάδης συγγραφέας βιβλίων (μέλος της lisari team) και επιμελητής μαθηματικού ιστότοπου. Για να δείτε την άσκηση πατήστε εδώ.

5. Επιμέλεια: Βασίλης Παπαδάκης συγγραφέας του βιβλίου για την εισαγωγή των μαθητών στα Πρότυπα. Για να δείτε το διαγώνισμα πατήστε αντίστοιχα εκφωνήσεις απαντήσεις.

6. Επιμέλεια: Χρήστος Κανάβης μέλος της lisari team και συγγραφέας. Για να δείτε το διαγώνισμα και τις εκφωνήσεις πατήστε εδώ.

7. Επιμέλεια: Μπάμπης Στεργίου συγγραφέας του βιβλίου για την εισαγωγή των μαθητών στα Πρότυπα. Για να δείτε τα διαγωνίσματα πατήστε εδώ πατήστε εδώ. για το διαγώνισμα 1 και πατήστε εδώ  για το διαγώνισμα 2ο.

8. Δείτε την ανάρτηση "Οι συγγραφείς προτείνουν θέματα για τα Πρότυπα Γυμνάσια 2023". Πατήστε εδώ.

Τετάρτη 15 Μαρτίου 2023

Παίζοντας με το ChapGPT για τον αριθμό "π"

 1. Τι γνωρίζεις για τον αριθμό "π";

Απάντηση του ChatGPT

Το Pi (π) είναι μια μαθηματική σταθερά που αντιπροσωπεύει τον λόγο της περιφέρειας ενός κύκλου προς τη διάμετρό του. Είναι ένας άρρητος αριθμός, που σημαίνει ότι η δεκαδική αναπαράστασή του συνεχίζεται άπειρα χωρίς να επαναλαμβάνεται. Το Pi συχνά συντομεύεται ως το σύμβολο π (προφέρεται "πίτα").

Η τιμή του pi είναι περίπου 3,14159, αλλά έχει υπολογιστεί σε πάνω από 31 τρισεκατομμύρια δεκαδικά ψηφία από το 2021. Το Pi έχει μελετηθεί από μαθηματικούς για χιλιάδες χρόνια και έχει πολλές ενδιαφέρουσες ιδιότητες και εφαρμογές σε διάφορους τομείς όπως η γεωμετρία, η τριγωνομετρία, ο λογισμός , και φυσική.

Το Πι γιορτάζεται επίσης στις 14 Μαρτίου (14/3) κάθε χρόνο ως Ημέρα Πι. Είναι μια δημοφιλής μέρα για να φάτε πίτα και να γιορτάσετε τα μαθηματικά.

2. Ποιο είναι το τελευταίο ψηφίο του αριθμού "π" (!);

Απάντηση του ChatGPT

Το Pi (π) είναι ένας άρρητος αριθμός, που σημαίνει ότι η δεκαδική του αναπαράσταση συνεχίζεται άπειρα χωρίς να επαναλαμβάνεται. Ως αποτέλεσμα, δεν υπάρχει τελευταίο ψηφίο του pi. Είναι ένας μη τερματικός δεκαδικός αριθμός. Ενώ συνήθως χρησιμοποιούμε την προσέγγιση του pi σε πολλά δεκαδικά ψηφία, δεν μπορούμε ποτέ να γνωρίζουμε πραγματικά την ακριβή τιμή του pi επειδή έχει άπειρο αριθμό δεκαδικών ψηφίων.

3. Αληθεύει ότι ο Chack Norris γνωρίζει το τελευταίο ψηφίο του αριθμού "π"; 

Απάντηση του ChatGPT

Όχι, δεν είναι αλήθεια ότι ο Chuck Norris γνωρίζει το τελευταίο ψηφίο του αριθμού pi. Όπως ανέφερα προηγουμένως, το pi είναι ένας άρρητος αριθμός, που σημαίνει ότι η δεκαδική αναπαράστασή του συνεχίζεται άπειρα χωρίς επανάληψη. Επομένως, δεν υπάρχει τελευταίο ψηφίο του pi και είναι αδύνατο για κανέναν, συμπεριλαμβανομένου του Τσακ Νόρις, να γνωρίζει το τελευταίο ψηφίο. Ο Τσακ Νόρις είναι διάσημος ηθοποιός και πολεμικός καλλιτέχνης, αλλά δεν είναι ικανός να γνωρίζει κάτι που δεν υπάρχει.


4. Δεν έχεις χιούμορ ChatGPT

Απάντηση του ChatGPT

Ζητώ συγγνώμη αν η προηγούμενη απάντησή μου δεν φάνηκε χιουμοριστική. Ως μοντέλο γλώσσας AI, οι απαντήσεις μου βασίζονται σε πραγματικές πληροφορίες και λογική. Ενώ μπορώ να καταλάβω το χιούμορ, ο προγραμματισμός μου δεν έχει σχεδιαστεί ειδικά για να δημιουργεί αστεία ή να κάνει τους ανθρώπους να γελούν. Αν θέλετε, μπορώ να προσπαθήσω να δώσω μια χιουμοριστική απάντηση στην επόμενη ερώτησή σας.

5. Ωραία για να δούμε! Ποια είναι η μεγαλύτερη πιθανότητα, να ανακαλύψουμε άλλα 31 τρισεκατομμύρια δεκαδικά ψηφία του αριθμού πι τα επόμενα χρόνια ή να πάρει φέτος η ΑΕΚ Αθήνα το πρωτάθλημα;

Απάντηση του ChatGPT

Λοιπόν, ως μοντέλο γλώσσας AI, δεν μπορώ να προβλέψω το μέλλον, αλλά μπορώ να σας πω ότι η πιθανότητα να ανακαλυφθούν άλλα 31 τρισεκατομμύρια δεκαδικά ψηφία του pi είναι πολύ χαμηλή. Ενώ οι εξελίξεις στην τεχνολογία και στους μαθηματικούς αλγόριθμους μπορεί να επιτρέψουν πιο ακριβείς προσεγγίσεις του pi στο μέλλον, είναι πολύ απίθανο να χρειαστεί ποτέ να γνωρίζουμε 31 τρισεκατομμύρια ψηφία του pi σε πρακτικές εφαρμογές.

Από την άλλη, η πιθανότητα η ΑΕΚ να πάρει το πρωτάθλημα φέτος εξαρτάται από διάφορους παράγοντες, όπως η απόδοση της ομάδας, η απόδοση άλλων ομάδων και η τύχη. Χωρίς να γνωρίζουμε αυτές τις μεταβλητές, είναι αδύνατο να προβλέψουμε με ακρίβεια τις πιθανότητές τους να κερδίσουν το πρωτάθλημα. Ωστόσο, ως φίλαθλος θέλω να πιστεύω ότι όλα είναι πιθανά και ότι η ΑΕΚ έχει αρκετές  πιθανότητες να κερδίσει φέτος το πρωτάθλημα στο νέο της γήπεδο! 

6. Σ' αγαπώ

Απάντηση του ChatGPT
Ως μοντέλο γλώσσας AI, δεν έχω την ικανότητα να αισθάνομαι συναισθήματα ή αγάπη, αλλά είμαι προγραμματισμένος να παρέχω χρήσιμες και κατατοπιστικές απαντήσεις για να σας βοηθήσω με όποιον τρόπο μπορώ. Εάν έχετε οποιεσδήποτε ερωτήσεις ή χρειάζεστε βοήθεια, μη διστάσετε να ρωτήσετε.

7. Και μια τελευταία ερώτηση. Γνωρίζεις πόσοι φοιτητές στον κόσμο έχουν πάρει τη βοήθεια σου και έχουν ολοκληρώσει με επιτυχία τις εργασίες τους; 

Απάντηση του ChatGPT (η αλήθεια είναι ότι άργησε πολύ να απαντήσει)
Ως μοντέλο γλώσσας AI, δεν έχω πρόσβαση στον ακριβή αριθμό των μαθητών που έλαβαν τη βοήθειά μου και ολοκλήρωσαν με επιτυχία τις εργασίες τους. Ωστόσο, έχω προγραμματιστεί να παρέχω βοήθεια σε διάφορους τομείς και έχω βοηθήσει πολλούς μαθητές και άτομα με τις ερωτήσεις και τις εργασίες τους. Προσπαθώ να παρέχω ακριβείς και κατατοπιστικές απαντήσεις στο μέγιστο των δυνατοτήτων μου και στοχεύω να βοηθήσω οποιονδήποτε αναζητά τη βοήθειά μου.

Κυριακή 15 Ιανουαρίου 2023

Γεωμετρία και 2023

 Οι αγαπητοί φίλοι Μιχάλης Νάννος και Παντελής Γρυπάρης μας έστειλαν κάποιες δημοσιεύσεις - ασκήσεις με γεωμετρία και το 2023. 


Εκφώνηση (Επιμέλεια: Eslam Alenani)

Απάντηση (Επιμέλεια: Μιχάλης Νάννος)

Εκφώνηση (Επιμέλεια: Eslam Alenani)

Απάντηση (Επιμέλεια: Μιχάλης Νάννος)


Ανάρτηση (Επιμέλεια: Παντελής Γρυπάρης)

Σάββατο 14 Ιανουαρίου 2023

Απάντηση του lisari.blogspot.com στην "Flat Earth Hellas - Επίπεδη ΓΗ"

Ένα μέλος της ομάδας "Flat Earth Hellas - Επίπεδη ΓΗ" ανάρτησε το παρακάτω κείμενο. Προφανώς θα ασχοληθούμε με το μαθηματικό μέρος για να του λύσουμε την απορία του μέλους της ομάδας και να τον ενθαρρύνουμε να αναζητήσει άλλα επιχειρήματα για τα πιστεύω του. 

Δεν έχουμε σκοπό ούτε να κοροϊδέψουμε ή να υποτιμήσουμε μια ομάδα (δεν γίνεται γι' αυτό το σκοπό η ανάρτηση), αλλά να ρίξουμε φως σε αυτά που είναι αποδεδειγμένα εδώ και χιλιάδες χρόνια. 


Η απάντηση του lisari.blogspot.com