lisari.blogspot.com

 Η αγαπητή φίλη και συνάδελφος Άννα Ρουμπέση μας προσφέρει ένα εκπαιδευτικό σενάριο για τους μαθητές της Β΄ Λυκείου στις προόδους (Κανονικότητα) από το νέο εκπαιδευτικό πρόγραμμα σπουδών.  Η ταυτότητα του αρχείου είναι η εξής:  Διδακτικές ώρες: 2 διδακτικές ώρες Θεματικό πεδίο ΠΣ: Άλγεβρα Θεματική Ενότητα ΠΣ: Κανονικότητα (Πρόοδοι) Προτεινόμενες διεπιστημονικές συγκλίσεις: Βιολογία: Αυξητικά μοτίβα στη φύση Οικονομία: Μοντελοποίηση σταθερών αποταμιεύσεων Για απευθείας αποθήκευση πατήστε εδώ.

  Η στήλη του math-iti επανέρχεται back to back με μια νέα ιδέα από τους τετραπέρατους μαθητές – αυτούς που μας κάνουν συνεχώς καλύτερους εκπαιδευτικούς και μας εκπλήσσουν με τη σκέψη τους μέσα στην τάξη. Ο Στέλιος Χαβιάρας από το Πρότυπο ΓΕΛ Βαρβακείου Σχολής παρουσιάζει μια αρκετά ευρηματική απόδειξη του αντιστρόφου του Πυθαγορείου Θεωρήματος, διαφορετική από εκείνη του σχολικού βιβλίου. Το «βάρος» της απόδειξης έγκειται κυρίως στον τρόπο κατασκευής. Για απευθείας αποθήκευση  πατήστε εδώ.

Η στήλη του math-iti επανέρχεται με νέες ιδέες από τους μαθητές μας – ιδέες που μας κατέπληξαν όταν τις ακούσαμε μέσα στην τάξη, στη διάρκεια της διδασκαλίας. Ο Στέλιος Χαβιάρας από το Πρότυπο ΓΕΛ Βαρβακείου Σχολής παρουσιάζει μια κλασική αλλά πολύ έξυπνη γεωμετρική κατασκευή για τον υπολογισμό των τριγωνομετρικών αριθμών της γωνίας 15 μοιρών χωρίς χρήση τύπων του τύπου ημ(α+β) ή συν(α+β) που είναι εκτός ύλης κτλ. Για απευθείας αποθήκευση πατήστε εδώ. 

Διαβάζουμε από το διαδίκτυο ότι: το «μαγικό τετράγωνο Dürer» αναφέρεται στο διάσημο μαγικό τετράγωνο 4x4 που περιλαμβάνεται στο χαρακτικό του Άλμπρεχτ Ντύρερ «Melencolia I» (Μελαγχολία) του 1514, όπου η μαγική σταθερά (άθροισμα γραμμών/στηλών/διαγωνίων) είναι 34, με τους αριθμούς 15 και 14 στην κάτω σειρά να δηλώνουν το έτος δημιουργίας του έργου. Το ερώτημα είναι το εξής:  "Μπορείτε να βρείτε πώς κατασκευάστηκε το παραπάνω μαγικό τετράγωνο με βάση το αρχικό τετράγωνο με άθροισμα 34;"  Η απάντηση δίνεται στο αρχείο με την Ιδιότητα του αριθμού 2026.  

 Οι ιδιότητες του αριθμού 2026. Properties of the number 2026 Τελευταία ενημέρωση: 28/12/2025 Αισίως θα ασχοληθούμε με τον αριθμό 2026! Το blog και οι αντοχές μας έχουν μετρήσει πάνω από δεκαέξι χρόνια συνεχούς παρουσίας στο διαδίκτυο και αυτό από μόνο του μας ωθεί να ανακαλύπτουμε νέα μονοπάτια. Μια ανάρτηση που με κεντρίζει, με αποτέλεσμα κάθε χρόνο να προσθέτω και κάτι διαφορετικό. Είναι μια συνήθεια που έχει ξεκινήσει εντατικά το 2014 και συνεχίζεται μέχρι και σήμερα! Αρχικά θα δούμε τις ιδιότητες και πώς μπορούμε να εισάγουμε τον αριθμό 2026 στις ασκήσεις μας, καθώς και μερικές ενδιαφέρουσες προτάσεις με τον αριθμό 2026. Μια συνήθεια που έγινε θεσμός! Επιμέλεια αρχείου Μάκης Χατζόπουλος και Γιώργος Χασάπης Δείτε τις ιδιότητες των προηγούμενων ετών:  2025 2024 , 2023 , 2022 , 2021 , 2020 , 2019 ,   2018 , 2017 ,   2016 ,   2015 ,   2014 . Αισίως το αρχείο βρίσκεται στην 3η έκδοση (edit)! Ξεκινήσαμε με το Γιώργο να το εμπλουτίζουμε λίγο πριν τη...

Με αφορμή τη σημερινή μέρα (5/12/25), το Webex είχε και πάλι την τιμητική του! Αν και μόλις χθες το απόγευμα ενημερωθήκαμε ότι σήμερα θα γίνει το μάθημα με τηλεκπαίδευση, πρόλαβα να ετοιμάσω ένα αρχείο για τους μαθητές της Β΄ Λυκείου. Κάτι ανάλογο είχα αναρτήσει και παλιότερα, αλλά μέσα από τον όγκο των αναρτήσεων δεν μπόρεσα να το εντοπίσω.  Μάθημα: Άλγεβρα Τμήμα: Β4 Ύλη: Τριγωνομετρία / Αναγωγή στο 1ο τεταρτημόριο  Το θέμα μας ήταν η επίλυση μιας απαιτητικής άσκησης, η οποία ανήκει σε μια χαρακτηριστική κατηγορία ασκήσεων, καθώς και η εκμάθηση της κατασκευής τέτοιου είδους ασκήσεων. Για απευθείας αποθήκευση πατήστε εδώ. Σχολικό έτος: 2025 - 26 Επιμέλεια: Μάκης Χατζόπουλος

Όλοι διδάσκουμε την πρόταση  σωστά;  Και κάνουμε τις αντίστοιχες ασκήσεις του σχολικού βιβλίου (ασκ. Β9 σελ. 122)  Σωστά; Τι δεν έχουμε προσέξει (αν όχι όλοι, οι περισσότεροι); Την υποσημείωση του σχολικού βιβλίου κάτω από την απόδειξη της πρότασης. Ποια είναι; Να δείξω ολόκληρη τη σελίδα του σχολικού βιβλίου για να αντιληφθούμε αυτό που αναφέρω:  Τι σημαίνει αυτό; Ότι γλυτώνουμε "κομμάτια" απόδειξης από την λύση της άσκησης 9 του ερωτήματος ii (και όχι ολόκληρη την απόδειξη ${f}'\left( 0 \right)=0$).  Επίσης, οποιαδήποτε συνάρτηση της μορφής $f\left( x \right)={{x}^{\alpha }},x\ge 0,\,\,\alpha >1$ είναι παραγωγίσιμη στο $\left[ 0,+\infty  \right)$ και θα παίρνουμε απευθείας και χωρίς απόδειξη ότι  ${f}'\left( 0 \right)=0$ λόγω της υποσημείωσης. Με ευκαιρία αυτής της υποσημείωσης έφτιαξα ένα αναλυτικό άρθρο που γράφει αναλυτικά την παραγώγιση της συνάρτησης όπου ορίζεται $f\left( x \right)=\sqrt[v]{{{x}^{\mu }}},\,\,\mu ,v\in \mathbb{N}\,\...

Ο αγαπητός φίλος και συνάδελφος Χρήστος Σίσκας από το Αριστοτέλειο Κολλέγιο Θεσσαλονίκης και μέλος της lisari team μας προσφέρει το πρώτο αρχείο για τη σχολική χρονιά 2025 - 26. Είναι καρτέλες θεωρίας Άλγεβρα Α΄ Λυκείου (σελ. 16). Περιέχει την ύλη της Άλγεβρας συνοπτικά μέσα από καρτέλες.  Υπάρχει και η δυνατότητα να μετατραπεί σε παιχνίδι μέσα στην τάξη! Περισσότερα θα μας πει ο Χρήστος μέσα από τα σχόλια της ανάρτησης.  Για απευθείας αποθήκευση πατήστε εδώ.

Ο αγαπητός φίλος και συνάδελφος Σωτήρης Κοντοστέργιος μας προσφέρει μια μοναδική δουλειά του πάνω στα online test μαθηματικών για την άρτια προετοιμασία των μαθητών της Γ΄ Λυκείου ενόψει των Πανελλαδικών Εξετάσεων.  Μια άριστη - άρτια δουλειά που πρέπει να την προωθήσουμε όλοι μας με τη σειρά μας στους μαθητές μας.  Επειδή νιώθω περήφανος με τα άτομα που συνεργάζομαι και προσφέρουν υλικό στο lisari, αποδεικνύοντας ότι το "lisari" είναι ένας κοινός τόπος για τους ανθρώπους που θέλουν να προσφέρουν και ενώσουν τις δυνάμεις τους, θα μεταφέρω αυτούσιο το μήνυμα του Σωτήρη έτσι όπως το έλαβα στο inbox μου για να αποδείξω το επίπεδο των ατόμων που προσφέρουν και βρίσκονται στο lisari.   Σωτήρη σε ευχαριστώ!  Καλημέρα Μάκη, Κάποτε σου είχα στείλει τεστάκια, για online εξάσκηση στα "αρχικά" της Γ Λυκείου. Επανέρχομαι με μια "πλήρη εκδοχή" όλων των Σ/Λ που έπεσαν στα χέρια μου (ή και σε Πανελλήνιες) και μέσω google forms (ΔΕΝ απαιτούν καταχώρηση e-mail) έφτιαξα κ...

  Για δωδέκατη χρονιά σας παρουσιάζουμε το πιο ενημερωμένο φυλλάδιο του διαδικτύου με τις ιδιότητες του έτους! Ξεκίνησα από το 2014 και πλέον τα τελευταία χρόνια έχω μαζί μου σε αυτή την προσπάθεια τον Γιώργο Χασάπη.  Δείτε τις ιδιότητες του αριθμού 2025, λυμένες ασκήσεις, άλυτες ασκήσεις που περιέχουν τον αριθμό 2025.  Επίσης, θα δείτε και όλα τα μαθηματικά δρώμενα για το έτος 2025. Η λίστα ανανεώνεται συνεχώς!  Τελευταία ενημέρωση: 29/12/2024 Για να αποθηκεύσετε το αρχείο πατήστε εδώ. 

Μια ιδέα που κυριολεκτικά προέκυψε - γεννήθηκε μέσα στην τάξη!  Αφορμή;  Οι τρεις ασκήσεις του σχολικού βιβλίου από την παράγραφο 1.3: Πολλαπλασιασμός αριθμού με διάνυσμα.  Σε ποιες ασκήσεις αναφέρομαι; Ας δούμε τις παρακάτω εικόνες:  Για απευθείας αποθήκευση πατήστε εδώ. Επιμέλεια: Μάκης Χατζόπουλος για το Πρότυπο ΓΕΛ Βαρβακείου Σχολής Σχολικό έτος: 2023 - 24

 H αγαπητή φίλη και συνάδελφος Βασιλάκογλου Μαρία από το 1ο ΓΕΛ Αγίου Αθανασίου, μας προσφέρει ένα παλιό αρχείο του lisari.blogspot.com ( Παπαμικρούλη - Στεργίου ) τη θεωρία του σχολικού βιβλίου Μαθηματικά Προσανατολισμού για τη Γ΄ Λυκείου.  Ένα ανοικτό αρχείο το επεξεργάστηκε και το εμπλούτισε η Μαρία και το προσφέρει σε όλους μας.  Για απευθείας αποθήκευση πατήστε word - pdf .  Επιμέλεια : Βασιλάκογλου Μαρία Σχολικό έτος : 2023 - 24

(edit 8/4/22) Πλέον στους μαθητές δίνω το αρχείο με την πρώτη σελίδα και το QR Code εκτυπωμένα για εξοικονόμηση πόρων.  Η αποδοχή είναι μεγάλη! Πριν λίγες ημέρες είχα αναρτήσει ένα συνοπτικό Τυπολόγιο στη Γεωμετρία της Α΄ Λυκείου με τις Ιδιότητες - Κριτήρια και τους Ορισμούς του Παρ/μου, Ορθογωνίου, Ρόμβου και Τετραγώνου.  Η ιδέα ήταν να πάμε ένα βήμα παρακάτω!  Να δώσουμε όλες τις απαντήσεις - αποδείξεις με ένα κλικ! Η βοήθεια ήρθε από τους μαθητές  του τμήματος Α1 από το 3ο ΓΕΛ Ν. Κηφισιάς .  Στο project συμμετείχαν, κατά αλφαβητική σειρά, οι εξής μαθητές : Αναστοπούλου Κάλλια  Αραποστάθη Θωμαΐς  Ευαγγελοπούλου Ηλιάνα  Καρακάσης Κλεάνθης  Για απευθείας αποθήκευση πατήστε εδώ!  Ας ενθαρρύνουμε τους μαθητές μας να εργαστούμε ομαδικά, υπάρχουν μαθητές που ενδιαφέρονται και θέλουν να ξεφύγουν από τα στεγανά της τάξης, αρκεί να τους δώσουμε τη δυνατότητα!  Εργασία τμήματος Α1 - Αποδείξεις Ιδ και Κρ - Ορισμοί from Μάκης Χατζόπου...

Πρέπει να αναγνωρίσουμε ότι φέτος οι μαθητές αλλά πολύ περισσότερο οι καθηγητές είναι μπροστά στην οθόνη πιο πολύ από κάθε άλλη χρονιά.  Ως επιμελητής του lisari έχω μειώσει το πλήθος των αναρτήσεων για να μειώσω την έκθεσή σας στο διαδίκτυο. Πρέπει να προστατευτούμε όλοι για να συνεχίσουμε να διασκεδάζουμε - ψυχαγωγούμαστε μέσα από τα εκπαιδευτικά site.  Αυτή η ανάρτηση έχει σκοπό να προσεγγίσει τους μαθητές, μα όλους τους μαθητές με απλό και ευχάριστο τρόπο! Αναζητούμε τους μαθητές που βρίσκονται από την Α΄ και Β Λυκείου περισσότερο και λιγότερο τη Γ Λυκείου που έχουν πλούσιο υλικό. Αρχικά δεν αναρτώ για το Γυμνάσιο - ΕΠΑΛ, αλλά αν δω ενδιαφέρον θα τις συμπεριλάβω και αυτές τις τάξεις. Μπορείτε να συμμετέχετε όλοι!   Στέλνετε τις εκφωνήσεις σας σε ένα αρχείο (word ή/και  pdf) σε μορφή όπως το   ΥΠΟΔΕΙΓΜΑ  στο email lisari.blogspot@gmail.com. Τελευταία ενημέρωση: 17/4/2021 ΛΥΚΕΙΟ (Πλήθος: 60) # Α΄ Λυκείου Άλγεβρα 15) Κεφάλαιο 6ο: Συναρτήσεις - Επαναληπτικ...

 Στη Γεωμετρία υπάρχει μια ολόκληρη κατηγορία ασκήσεων με εύρεση του μήκους πλευράς η οποία δεν είναι προσεγγίσιμη.  Για παράδειγμα:  1) Η απόσταση ενός πλοίου από την ακτή 2) Η απόσταση των όχθεων ενός φαραγγιού  3) Το πλάτος ενός ποταμού  4) Το πλάτος μιας πλαγιάς  5) Οι διαστάσεις ενός χωραφιού που δεν είναι προσβάσιμο λόγω κακοτράχαλου εδάφους  κτλ. Εγώ διάλεξα δύο εκδοχές να τεστάρω τους μαθητές Α΄ Λυκείου της Βαρβακείου Σχολής.  Η πρώτη εκδοχή που ζητήθηκε και στην τάξη είναι γνωστή από το Ιστορικό Σημείωμα της Γ΄ Γυμνασίου. Είναι η εύρεση της απόστασης του πλοίου από την ακτή!  Η επόμενη εκδοχή την πήγα λίγοοο παραπάνω όπως θα δείτε! 

 Οι μαθητές από το Πρότυπο ΓΕΛ Βαρβακείου Σχολής Γουρδουπάρη Νεφερτίτη, Καρπούζης Χρήστος, Βήτος Φώτης,  Βρόντος Δημήτρης   με υπεύθυνο προγράμματος τον Ζήνων Λυγάτσικα  ( Συντονιστής εκπαιδευτικού έργου Α΄ Αθηνών)  μας παρουσιάζουν την εργασία που κατέθεσαν στο EuroMath 2023 και αφορά ένα διάσημο άλυτο πρόβλημα των Μαθηματικών, την Εικασία Collatz (the collatz conjecture) ή αλλιώς την εικασία 3ν + 1. Σας θυμίζει κάτι; Μήπως κάποιο γνωστό λογοτεχνικό βιβλίο του Τεύκρου Μιχαηλίδη;  Για απευθείας αποθήκευση της εργασίας πατήστε εδώ (Αγγλική γλώσσα) Ας δούμε λίγα λόγια για την εικασία Η εικασία Collatz είναι ένα από τα πιο διάσημα άλυτα προβλήματα στα μαθηματικά . Η εικασία ρωτά αν η επανάληψη δύο απλών αριθμητικών πράξεων θα μετατρέψει τελικά κάθε θετικό ακέραιο σε 1. Αφορά ακολουθίες ακεραίων στις οποίες κάθε όρος λαμβάνεται από τον προηγούμενο όρο ως εξής:  "εάν ο προηγούμενος όρος είναι άρτιος , ο επόμενος όρος είναι το μισό του τον προηγούμενο όρο. ...

 Ο καταπληκτικός φίλος και συνάδελφος Χρήστος Μπέκας μας προσφέρει τις ανανεωμένες σημειώσεις του για αρκετές τάξεις Γυμνασίου και Λυκείου.  Δείτε 1.078 σελίδες για το σχολικό έτος 2023 - 24. Μια εργασία που βάζει πολύ ψηλά το πήχη.  Για απευθείας αποθήκευση πατήστε αντίστοιχα τα αρχεία:  1. Β΄ Γυμνασίου (σελ. 153) 2. Γ΄ Γυμνασίου (σελ. 167) 3. Α΄ Λυκείου Άλγεβρα (σελ. 175) 4. Β΄ Λυκείου Άλγεβρα (σελ. 217) 5. Β΄ Λυκείου Κατεύθυνση (σελ. 172) 6. Γ΄ ΕΠΑΛ (σελ. 194) Σχολικό έτος: 2023 - 24 Επιμέλεια: Χρήστος Μπέκας

Επειδή οι μαθητές μόλις ολοκληρώσουν την καλοκαιρινή προετοιμασία τους και ξεκινούν τις διακοπές, έχω κάθε χρόνο την ίδια αίσθηση «σε κάθε βουτιά που κάνουν στη θάλασσα, χάνουν και από μία γνώση»! Και τα άτιμα κάνουν πολλές βουτιές! Είναι υποχρεωτικό, κατά τη γνώμη μου, ο μαθητής να ασχοληθεί με τη γνώση που έλαβε τους καλοκαιρινούς μήνες. Πρέπει να έχει καθημερινή επαφή την περίοδο των διακοπών έστω και αν μιλάμε για λίγα λεπτά. Το φαινόμενο να επιστρέφουν οι μαθητές όπως ήταν πριν την καλοκαιρινή προετοιμασία τους είναι συχνό φαινόμενο και καθυστερεί αρκετά στην επανένταξή τους το Σεπτέμβριο. Το φυλλάδιο αυτό σκοπό έχει να εξετάσει τους μαθητές σε αρκετά σημεία που διδάχθηκαν το καλοκαίρι. Αρκετή θεωρία με λιγότερες σύνθετες ασκήσεις. Απλές ασκήσεις, βασικές ασκήσεις για να διαπιστώσουμε αν κατέχουν/θυμούνται τα κύρια σημεία. Δεν χρειάζεται να είναι Κριτήριο Αξιολόγησης, δεν χρειάζεται να το βαθμολογήσουμε αλλά να δώσουμε τη δυνατότητα στον ίδιο μαθητή να κάνει ένα αυτοέλεγχο και ...

Μια κλασική ερώτηση που κάνουν οι μαθητές όταν λύνουμε ασκήσεις από την παράγραφο 2.8: Κυρτότητα είναι η εξής: «Κύριε μπορούμε να ενώσουμε κυρτές ή κοίλες συναρτήσεις στα σημεία που η συνάρτηση είναι συνεχής;» Στην παρακάτω εργασία θα διαπιστώσετε εύκολα και γρήγορα αν γίνεται, πότε γίνεται και γιατί.  Για απευθείας αποθήκευση πατήστε εδώ.  Σχολικό έτος: 2022 - 23 Επιμέλεια : Μάκης Χατζόπουλος και Γιάννης Καρκαζής (Τρίπολη) 

Ο αγαπητός συνάδελφος και φίλος  Νίκος Κουτσουράδης  στα πλαίσια του συντονιστή μαθηματικών στο 2ο ΓΕΛ Χαλανδρίου και ξεκινώντας τις διδασκαλίες με ετεροπαρατήρηση από τους συναδέλφους, έκανε την αρχή με μάθημα σε ένα τμήμα προσανατολισμού με αντικείμενο την απόσταση σημείου από ευθεία και εμβαδόν τριγώνου υπό την παρουσία τριών συναδέλφων και του διευθυντή . Για απευθείας αποθήκευση πατήστε εδώ. Συμπληρωματικά μπορείτε να δείτε και ένα διαγώνισμα στην παράγραφο 2.3.  Για απευθείας αποθήκευση πατήστε εδώ. Επιμέλεια : Νίκος Κουτσουράδης  Σχολικό έτος: 2022 - 23