Διασκεδαστικά Μαθηματικά - Part IIΙ

Πρόβλημα 1
Οι αξία των τεσσάρων ζώων (πρόβατο, κόκκορας, πουλί, αγγελάδα) σε ένα χωριό της Νάξου, δίνεται από τις παρακάτω ισότητες (όπως φαίνεται στο σχήμα). Βρείτε τη σχέση που υπάρχει το πουλί (Σπίνος) με την αγελάδα.

Διασκεδαστικά Μαθηματικά - Part II

Μαθηματικές ατάκες

Η επιστήμη είναι υπέροχο πράγμα, αν δεν χρειάζεται να βγάλεις το ψωμί σου από αυτήν - A. Einstein

Παράδοση μαθήματος είναι η διαδικασία κατά την οποία οι σημειώσεις του καθηγητή μετατρέπονται σε σημειώσεις του μαθητή χωρίς να περάσουν απο το μυαλό κανενός εκ των δύο - R.K. Rathban

"Η αυστηρότητα είναι για τα Μαθηματικά ό,τι το ήθος για τον άνθρωπο" Αντρέ Βέιλ

Ένας μέτριος μαθηματικός είναι μια ζωντανή περιφερόμενη τραγωδία

Ο Αρχιμήδης θα μνημονεύεται όταν ο Αισχύλος θα έχει ξεχαστεί,γιατί ενώ οι γλώσσες πεθαίνουν,οι μαθηματικές ιδέες είναι αθάνατες.Ίσως η αθανασία είναι μια ανόητη λέξη,αλλά μάλλον ο μαθηματικός έχει την καλύτερη τύχη, ό,τι και αν αυτό σημαίνει. G.H.HARDY

Ανέκδοτα με Μαθηματικά

1. Ένας μαθηματικός στέλνει το παρακάτω γράμμα στην σύζυγό του:

Αγαπητή μου σύζυγε,
όπως ξέρεις είσαι 54 ετών και έχω ανάγκες που δεν μπορείς
να μου καλύψεις. Κατά τα άλλα χαίρομαι που σε έχω σύζυγο.
Ελπίζω να μην σε πειράξει, αλλά την ώρα που θα λάβεις
αυτό το γράμμα εγώ θα είμαι στο χλιδάτο ξενοδοχείο "Όλυμπος"
με την 18-χρονη βοηθό μου. Σπίτι θα έρθω μετά τα μεσάνυκτα.
Ο σύζυγός σου

Πηγαίνοντας στο ξενοδοχείο βρήκε ένα fax:

Αγαπητέ μου σύζυγε,
όπως ξέρεις και εσύ είσαι 54 χρονών και την ώρα που
θα λάβεις αυτό το γράμμα εγώ θα είμαι στο χλιδάτο ξενοδοχείο
"Αστέρια" με τον 18-χρονο νεαρό που καθαρίζει την πισίνα.
Όπως ξέρεις σαν μαθηματικός που είσαι, το 18 μπαίνει
στο 54 πιό πολλές φορές από όσες το 54 στο 18.
Λοιπόν μην με περιμένεις.

2. Ένας γιατρός, ένας δικηγόρος και ένας μαθηματικός συζητάν για το αν είναι καλύτερο να έχεις γυναίκα ή ερωμένη.

Λέει ο γιατρός: "είναι καλύτερα να έχεις γυναίκα. γιατί έτσι έχεις τη σταθερότητα και την ηρεμία που χρειάζεσαι για να μπορείς να χαλαρώνεις μετά από μια κουραστική μέρα στη δουλειά."

"διαφωνώ," λέει ο δικηγόρος, "καλύτερα είναι να έχεις ερωμένη. γιατί, αν είσαι παντρεμένος και θέλεις να χωρίσεις, η γραφειοκρατία για το διαζύγιο είναι τρομερή."

Και απαντάει ο μαθηματικός (μετά από λίγη ώρα): "είναι καλύτερα να έχεις και γυναίκα και ερωμένη. γιατί όταν η γυναίκα σου νομίζει ότι είσαι με την ερωμένη και η ερωμένη νομίζει ότι είσαι με τη γυναίκα σου, έχεις λίγο ελεύθερο χρόνο να κάνεις μαθηματικά!"

3. Ο Χριστός απευθύνεται στον Πέτρο
-Πέτρο ;
-Ναι κύριε
-y=x²
-Tι είναι αυτό κύριε ;
-Παραβολή Πέτρο

4. Είναι δυο μαθηματικοί σε ένα εστιατόριο. Ο ένας υποστηρίζει ότι η πλειοψηφία του λαοί γνωρίζει μαθηματικά ενώ ο άλλος ότι στην πλειονότητα τους είναι άσχετοι. Κάπουα στιγμή ο δεύτερος σηκώνεται να πάει στην τουαλέτα, όποτε ο άλλος φωνάζει μια γκαρσόνα, της δίνει 50 ευρώ και της λέει :

-"Σε λίγο που θα γυρίσει ο φίλος μου, θα σε φωνάξω και θα σου κάνω μια ερώτηση. Δεν έχει σημασία τι θα σε ρωτήσω, εσύ πρέπει να μου απαντήσεις χι στον κύβο δια τρία. Κατάλαβες;"

- "Χιστοκι... τι πράγμα;"

-"ΧΙ ΣΤΟΝ ΚΥΒΟ ΔΙΑ ΤΡΙΑ. Εντάξει;"

-"Εντάξει". Και φεύγει μουρμουρίζοντας "Χι στον κύβο δια τρία, χι στον κύβο δια τρία..."

Γυρίζει ο άλλος και ο φίλος του του λέει : "Θα σου αποδείξω πως έχω δίκιο. Θα φωνάξω τη γκαρσόνα και θα τη ρωτήσω ποιο είναι το ολοκλήρωμα του χ^2. Θα δεις ότι θα το ξέρει."

Τη φωνάζει λοιπόν και της λέει : "Σε παρακαλώ, μπορείς να μου πεις το ολοκλήρωμα του χ^2;"

Εκείνη απαντάει : "Χ στον κύβο δια τρία."

"Ευχαριστώ, μπορείς να πηγαίνεις." λέει ο μαθηματικός με θριαμβευτικό ύφος.

Η γκαρσόνα κάνει μερικά βήματα, ξαφνικά ξαναγυρίζει και του λέει :

"Συν μια σταθερά."

5. Έστω ε<0....!!!

6. Πως λέγεται η παρθένα συνάρτηση? Κάτω φραγμένη!

7. Ένας Μαθηματικός, ένας Φυσικός και ένας Μηχανικός διανυκτερεύουν σ΄ ένα ξενοδοχείο. Ο Μηχανικός κάποια στιγμή ξυπνάει και μυρίζει καπνό. Σηκώνεται πάει στην πόρτα και βλέπει πως υπάρχει φωτιά στον διάδρομο. Τότε παίρνει έναν κουβά που είχε στο δωμάτιό του για τα σκουπίδια τον γεμίζει νερό, καταβρέχει την φωτιά και επιστρέφει ήσυχος στο δωμάτιό του. Μετά από λίγη ώρα η φωτιά αναζωπυρώνεται.
Ξυπνάει αυτή τη φορά ο Φυσικός, μυρίζει καπνό, οπότε ανοίγει την πόρτα του δωματίου του και βλέπει τη φωτιά στον διάδρομο. Πλησιάζει με προσοχή, βγάζει το κομπιουτεράκι απ' την τσέπη του και αφού υπολογίσει την ταχύτητα των φλογών, την απόσταση, την πίεση του νερού, την τροχιά κλπ σβήνει την φωτιά με την ελάχιστη ποσότητα νερού και ενέργειας που απαιτείται. Κατόπιν γυρνάει ήσυχος στο δωμάτιό του και συνεχίζει τον ύπνο του. Η φωτιά παρολ΄ αυτά αναζωπυρώνεται ξανά.
Τέλος ξυπνάει ο Μαθηματικός μυρίζεται καπνό και κατευθύνεται στον διάδρομο. Εκεί βλέπει την φωτιά, βλέπει τον πυροσβεστήρα πιο δίπλα οπότε σκέφτεται και λέει "α…. υπάρχει λύση!" γυρνάει στο δωμάτιό του και συνεχίζει τον ύπνο.

8. Μοιράστε 14 κύβους ζάχαρης σε 3 φλιτζάνια καφέ, ώστε όλα τα φλιτζάνια να έχουν περιττό αριθμό κύβων. "Εύκολο: 1, 1 και 12" "Μα το 12 δεν είναι περιττός" "Τι λες, 12 κύβοι ζάχαρη σε έναν καφέ, είναι περιττό".

9. Ο Θεός δημιούργησε τα μαθηματικά και την γυναίκα και είπε:
- Η γυναίκα θα είναι η πρόσθεση τον ηδονών, ο πολλαπλασιασμός των προβλημάτων και η αφαίρεση των φίλων ...

Διασκεδαστικά Μαθηματικά

1. Μαθηματικά - Θρησκεία

α) Τα μαθηματικά είναι η γλώσσα με την οποία ο Θεός έγραψε το σύμπαν (?!?!?!)


β) Όταν ρωτήθηκε αν πιστεύει σε έναν Θεό, ένας μαθηματικός απάντησε : "Αμέ, μέχρι ισομορφισμού"


γ) Ο καλός Χριστιανός πρέπει να προσέχει τους μαθηματικούς και τους άλλους που λένε κενές προφητείες. Είναι υπαρκτός ο κίνδυνος οι μαθηματικοί να έχουν κάνει συμφωνία με το διάβολο για να σκοτίσουν το πνεύμα και να περιορίσουν τον άνθρωπο στα δεσμά της κολάσεως. (Αγιος Αυγουστίνος)

δ) Οι φυσικοί λογοδοτούν στους μαθηματικούς, οι μαθηματικοί μόνο στο Θεό


2. Ερμηνεία λέξεων που θα ακούσετε σε ένα αμφιθέατρο μαθηματικού τμήματος :

ΠΡΟΦΑΝΩΣ = Έχει 7 πίνακες απόδειξη και βαριέμαι να τη γράψω

ΤΕΤΡΙΜΜΕΝΟ = Άμα δεν ξέρεις να το βγάζεις αυτό, είσαι σε λάθος τμήμα

ΧΩΡΙΣ ΒΛΑΒΗ ΤΗΣ ΓΕΝΙΚΟΤΗΤΑΣ = Τώρα σιγά μην κάθομαι να σου εξηγώ τα πάντα, βρές τα υπόλοιπα και τις συνέπειες μόνος σου

ΜΠΟΡΟΥΜΕ ΕΥΚΟΛΑ ΝΑ ΔΕΙΞΟΥΜΕ= ...αλλά θα μας πάρει περίπου δυό βδομάδες και -παλι- βαριέμαι

ΑΥΤΟ ΕΛΕΓΞΤΕ ΤΟ ΜΟΝΟΙ ΣΑΣ = Ρε πόσο μα πόσο βαριέμαι. Άσε που δεν είμαι σίγουρος για το τι θα βγεί..

ΚΟΜΨΗ ΑΠΟΔΕΙΞΗ = Αυτός που τη σκέφτηκε έκανε ένα λογικό άλμα ίσα από δω μέχρι την Αυστραλία, είχε τρελλή φαντασία και κατάφερε να αποδείξει αυτό το απίστευτο πράμα σε λιγότερο από 10 γραμμές

Η ΑΠΟΔΕΙΞΗ ΠΑΡΑΛΕΙΠΕΤΑΙ = Εκτός του ότι δεν είμαι σίγουρος πως τη θυμάμαι απ έξω, βαριέμαι κιόλας.


3. "Θεωρήματα"


α. Όλοι οι θετικοί ακέραιοι είναι ενδιαφέροντες

Απόδειξη : Έστω ότι ισχύει το αντίθετο. Τότε υπάρχει ένας ελάχιστος μη ενδιαφέρων θετικός ακέραιος. Ουάοου, αυτό είναι ενδιαφέρον! Αντίφαση! => Ο.Ε.Δ

β.Το θεώρημα της γάτας : Οι γάτες έχουν 9 ουρές

Απόδειξη : Καμία γάτα δεν έχει 8 ουρές. Μια γάτα έχει μια περισσότερη ουρά από καμία γάτα. Ο.Ε.Δ

γ. Το θεώρημα του μισθού :Όσο λιγότερα ξέρεις, τόσα περισσότερα κερδίζεις

Απόδειξη : Έστω οτι η γνώση είναι δύναμη (1)και ο χρόνος χρήμα(2) .

Γνωρίζουμε ότι Δύναμη = Έργο/Χρόνο. άρα από 1 και 2 Γνώση=Έργο/Χρήμα.

Λύνοντας ώς προς το χρήμα βρίσκουμε ότι Χρήμα=Έργο/Γνώση. Έτσι είναι προφανές ότι Χρήμα=Έργο/Γνώση. Έτσι είναι προφανές ότι Χρήμα -->+οο όταν Γνώση->0!!

4. Γενικές ατάκες

α) Στην τοπολογική κόλαση οι μπύρες είναι μέσα σε φιάλες του Klein

β) Γιατί πέρασε ένα κοτόπουλο τη λωρίδα του Moebius; Για να πάει στην άλλη εχμ..εεε..

γ) Μοιράστε 14 κύβους ζάχαρης σε 3 φλιτζάνια καφέ, ώστε όλα τα φλιτζάνια να έχουν περιττό αριθμό κύβων. "Εύκολο: 1, 1 και 12" "Μα το 12 δεν είναι περιττός" "Τι λες, 12 κύβοι ζάχαρη σε έναν καφέ, είναι περιττό".

δ) Ένας στατιστικός μπορεί να έχει τα πόδια σε φούρνο και το κεφάλι σε ψυγείο και να ισχυρίζεται ότι κατά μέσο όρο αισθάνεται μια χαρά

ε) Τι είναι μια πολική αρκούδα; Μια τετράγωνη αρκούδα μετά από μετασχηματισμό.

Άλυτα μαθηματικά προβλήματα

 Τον τελευταίο καιρό είδαμε να λύνονται δύο δύσκολα μαθηματικά προβλήματα άλυτα για δεκάδες χρόνια. Το ένα είναι η Εικασία του Poincare που θεωρείται πλέον επαληθευμένη από τον Ρώσο Grigori Perelman (που αρνήθηκε το χρηματικό έπαθλο των 1.000.000 $ και δήλωσε ότι δεν γνωρίζει μαθηματικά και ότι θα τα παρατήσει!!). Το άλλο είναι η απεικόνιση μιας τεράστιας και πολύπλοκης μαθηματικής δομής, που έχει 248 διαστάσεις και αποκαλείται Ε8, από μια διεθνή ομάδα μαθηματικών. Και τα δύο είχαν μείνει αναπάντητα εδώ και έναν αιώνα περίπου. Πατήστε εδώ για περισσότερες λεπτομέρειες...

 Λίγα λόγια για την "Υπόθεση του Πουανκαρέ"

Το πρόβλημα που διατύπωσε το 1904 ο Γάλλος επιστήμονας Ανρί Πουανκαρέ αφορά την Τοπολογία, ένα κλάδο των Μαθηματικών που δεν ενδιαφέρεται για το ακριβές σχήμα των στερεών σωμάτων (σφαίρα, κύβος, πυραμίδα κ.λπ.), αλλά για τα ποιοτικά χαρακτηριστικά τους, π.χ. αν είναι συμπαγή ή αν έχουν τρύπες. Οι εφαρμογές αυτού του σχετικά νέου κλάδου των Μαθηματικών είναι εξαιρετικά σημαντικές σε τομείς όπως τα δίκτυα υπολογιστών και συγκοινωνιών, όπου δεν μας ενδιαφέρουν τα ακριβή σχήματα, αλλά οι «κόμβοι» και οι διασυνδέσεις (σκεφθείτε, για παράδειγμα, το λειτουργικό διάγραμμα του μετρό, που δεν απεικονίζει ακριβώς τη γεωγραφία της πόλης, αλλά μας επιτρέπει εύκολα να βρούμε τον δρόμο μας).
Σε χοντρικές γραμμές, η υπόθεση Πουανκαρέ καθορίζει ποια στερεά σώματα (ή «πολλαπλότητες» σε αφηρημένους μαθηματικούς χώρους άνω των τριών διαστάσεων) είναι ισοδύναμα, από τοπολογική άποψη με μια σφαίρα και ποια όχι. Π.χ., ένας κύβος από πλαστελίνη είναι ισοδύναμος με σφαίρα, αφού μπορούμε να τον «πλάσουμε» σε στυλ σφαίρας, ενώ ένα ντόνατ δεν είναι, γιατί έχει τρύπα στη μέση.
Φαντασθείτε ότι έχετε ένα λάστιχο, ένα μήλο και ένα ντόνατ με τρύπα στη μέση. Αν τραβήξετε το λάστιχο και το τοποθετήσετε περιμετρικά γύρω από το μήλο, θα μπορείτε να μετακινήσετε το λάστιχο από τον «ισημερινό» στον «πόλο» του μήλου, χωρίς να σκίσετε το λάστιχο και χωρίς να εγκαταλείψετε την επιφάνεια του μήλου.
Αν, όμως, το λάστιχο τοποθετηθεί πάνω στην επιφάνεια του ντόνατ, τότε δεν υπάρχει τρόπος να μετακινήσουμε το λάστιχο σε όλη την επιφάνεια του ντόνατ, χωρίς να σκίσουμε ή το ένα ή το άλλο. Ο Πουανκαρέ υπέθεσε ότι κάτι ανάλογο συμβαίνει και στον τετραδιάστατο χώρο, ενώ σύγχρονοι μαθηματικοί απέδειξαν ότι κάτι τέτοιο συμβαίνει και σε χώρο περισσότερων των τεσσάρων διαστάσεων. Αγνωστο παρέμενε, όμως, μέχρι την εμφάνιση του Πέρελμαν στη σκηνή, εάν η αρχική Υπόθεση του Πουενκαρέ ισχύει. Αν η απόδειξη του Ρώσου μαθηματικού στέκει (που στέκει...), τότε θα έχει σημαντικές πρακτικές εφαρμογές στον τομέα του σχεδιασμού και της κατασκευής ηλεκτρονικών κυκλωμάτων, αλλά και συγκοινωνιακών δικτύων.
O Πουανκαρέ χαρακτηρίσθηκε ως «ο τελευταίος αναγεννησιακός άνθρωπος», ένας μαθηματικός που αισθανόταν άνετα σε κάθε τομέα των Μαθηματικών, όπως την ανάλυση, την άλγεβρα, την τοπολογία, την αστρονομία και τη θεωρητική φυσική. Ο Γάλλος μαθηματικός ήταν μεγάλος οραματιστής και πρώτος εξέφρασε τη βασική αρχή της Θεωρίας του Χάους, ότι δηλαδή «μικρές διαφορές στις αρχικές συνθήκες προκαλούν μεγάλες διαφορές στο τελικό αποτέλεσμα».

O μεγαλύτερος πρώτος αριθμός έως τώρα (2010)!!

Ο μεγαλύτερος πρώτος αριθμός (που έχει βρεθεί ως σήμερα) έχει μήκος... 12 εκατομμύρια ψηφία και είναι το αποτέλεσμα της ερευνητικής προσπάθειας μαθηματικών στο Πανεπιστήμιο του Λος Άντζελες (γνωστό και ως UCLA). Ο πιο σύντομος τρόπος εμφάνισης του αριθμού είναι (2^42643801)-1 και για τον εντοπισμό του χρειάστηκε να αναπτυχθεί ειδικό λογισμικό τη συντήρηση και λειτουργία του οποίου ανέλαβε ο καθηγητής Edson Smith και πολυπληθής ομάδα εθελοντών.

Η ανακάλυψη θέτει τους ερευνητές υποψήφιους για το βραβείο των 100.000 δολαρίων που έχει υποσχεθεί το Electronic Frontier Foundation πως θα απονείμει σε όποιον εντοπίσει έναν πρώτο αριθμό μήκους άνω των 10 εκατ. ψηφίων.
 
Οι πρώτοι αριθμοί διαιρούνται μόνο με το 1 και τον εαυτό τους, αν θέλετε να τον διαβάσετε δεν έχετε παρά να επισκεφθείτε τη σελίδα... τέρας που έχει μέγεθος 16,5 ΜΒ και βρίσκεται στη διεύθυνση http://www.isthe.com/chongo/tech/math/prime/m21701.html

Σχόλια:

• Ο αριθμός είναι τόσο μεγάλος που περιέχεται σε ένα απλό αρχείο κειμένου που έχει μέγεθος... 16,5 ΜΒ !!

• Αν γράψουμε μία λωρίδα με όλα αυτά τα ψηφία και ένα νούμερο αντιστοιχεί σε 1 εκατοστό, τότε η λωρίδα θα έχει μήκος 120 χιλιόμετρα!  

• Φυσικά οι πρώτοι αριθμοί είναι άπειροι (πανέμορφη απόδειξη από τον Ευκλείδη) άρα ο τίτλος "Ο μεγαλύτερος πρώτος αριθμός" ίσως είναι ατυχές και παραπλανητικός.   

• Πρέπει να σημειώσουμε ότι οι πρώτοι αριθμοί, και ειδικότερα οι μεγάλοι πρώτοι αριθμοί, είναι κεντρικής σημασίας στους αλγόριθμους κρυπτογράφησης. Ακριβώς λόγω της σημασίας τους αυτής, αποτελούν εμπορεύσιμα αγαθά μεγάλης αξίας. Έτσι ανακάλυψή τους, εκτός από το ότι κάνει την ηλεκτρονική και διαδικτυακή μας δραστηριότητα ασφαλέστερη, αποτελεί και μια οικονομικά επικερδή ενασχόληση. Υπάρχουν δε, βραβεία και έπαθλα αν παραγοντοποιήσουν ένα μεγάλο αριθμό!

• Για το μεγαλύτερο πρώτο αριθμό έλεγε το βιβλίο "Το εκκρεμές του Φουκώ"

Μαθηματικά + Κινηματογράφος

1. «Ο ξεχωριστός Γουίλ Χάντινγκ»
Ενας νεαρός από υποβαθμισμένη περιοχή των ΗΠΑ διαθέτει τρομερό ταλέντο στα μαθηματικά, αλλά δυσκολεύεται να προσαρμοστεί στη ζωή τού Πανεπιστημίου. Αγαπημένος του δάσκαλος ο Ρόμπιν Ουίλιαμς, μαθητής ο Ματ Ντέιμον, που μαζί με τον Μπεν Αφλεκ κέρδισαν εκείνη τη χρονιά (1997) το Οσκαρ σεναρίου.

2. «Ένα υπέροχο μυαλό»
Η συνύπαρξη ευφυΐας και τρέλας στο μυαλό του Τζον Νας, τιμημένου με Νόμπελ μαθηματικού για τη δουλειά του στη θεωρία των παιγνίων (βλ. «Θεωρία παιγνίων», εκδ. Ευρασία). Στον ρόλο του Νας, ο Ράσελ Κρόου.

3. «Proof»
Βασισμένο στο τιμημένο με Πούλιτζερ ομώνυμο θεατρικό έργο του Ντέιβιντ Ομπερν, το φιλμ εστιάζει στην αγωνία μιας νεαρής κοπέλας, που φροντίζει τον ιδιοφυή μαθηματικό πατέρα της, ο οποίος ζει τα τελευταία χρόνια της ζωής του στην τρέλα. Η βεβαιότητα της επιστήμης συγκρούεται με την αβεβαιότητα της ζωής. (βλ. «Παίζει ο Θεός ζάρια;», εκδ. Τραυλός).

4. «Π»

Ο ήρωας του «Π», του Ντάρεν Αρονόφσκι, ζει σε ένα διαμέρισμα της Νέας Υόρκης μέσα σε μια «ζούγκλα» καλωδίων, που τροφοδοτούν τον «Ευκλείδη», τον υπερυπολογιστή του, και μελετά μαθηματικά. Σκοπός του είναι να αποδείξει πως υπάρχει μια μαθηματική λογική πίσω από κάθε πολύπλοκο σύστημα και προσπαθεί να αναπτύξει μια τέλεια μέθοδο πρόβλεψης της συμπεριφοράς του Χρηματιστηρίου. Αυτό τον κάνει στόχο των ανθρώπων της Γουόλ Στριτ, καθώς και ραβίνων που, μέσα από τα μαθηματικά, ελπίζουν να επικοινωνήσουν με τον Θεό.

5. «Numbers - t.v. series»


Πολύ επιτυχημένη σειρά της βρετανικής τηλεόρασης. Πρωταγωνιστής ένας μαθηματικός, που κατορθώνει να διαλευκάνει διάφορα εγκλήματα χάρη στις λογικές του ικανότητες.

6. «Drowned by numbers»

Ενδιαφέρουσα ταινία του Πίτερ Γκριναγουέι. Μια γυναίκα που αντιμετωπίζει προβλήματα σκληρής συμπεριφοράς από τον άνδρα της τον πνίγει, αλλά και οι δυο της κόρες αντιμετωπίζουν στη συνέχεια παρόμοια προβλήματα με τους δικούς τους άνδρες. Καθώς η πλοκή εξελίσσεται, νούμερα από το 1-100 εμφανίζονται στο φιλμ και παίζουν τον ιδιαίτερο ρόλο τους.

7. «Cube» (1-2-3)

Ο «Κύβος» είναι ένα καναδικό φιλμ του 1997, κάτι ανάμεσα σε θρίλερ και επιστημονική φαντασία, από τον Βιτσέντζο Νατάλι. Επτά -ξένοι αναμεταξύ τους- άνθρωποι ξυπνούν και διαπιστώνουν ότι είναι παγιδευμένοι σε έναν κύβο. Πρέπει να συνεργαστούν και να εκτελέσουν πολύπλοκους μαθηματικούς υπολογισμούς για να δραπετεύσουν. Καφκική ατμόσφαιρα και απρόσμενη επιτυχία για μια ταινία low-budget.

 8. «Κωδικός Αίνιγμα»

Ένας νεαρός, μαθηματική ιδιοφυΐα, προσπαθεί να σπάσει τον κώδικα του εχθρού και να σώσει τη γυναίκα που αγαπάει. Ταινία βασισμένη στο ομώνυμο μυθιστόρημα του Ρόμπερτ Χάρις, με πολλές αναφορές στον Αλαν Τιούρινγκ και το σπάσιμο του κωδικού Enigma των ναζί.

9.  «Ο άνθρωπος της βροχής»

Ο Ντάστιν Χόφμαν στο ρόλο του αυτιστικού αδελφού του Τομ Κρουζ, που έχει τη δυνατότητα να απομνημονεύει νούμερα και να εκτελεί από μνήμης πολύπλοκες αριθμητικές πράξεις.

10. «Επαφή»

Εξωγήινοι χρησιμοποιούν τους πρώτους αριθμούς (αυτούς που διαιρούνται μόνο με τον εαυτό τους και τη μονάδα) για να προσελκύσουν την προσοχή της ερευνήτριας Τζόντι Φόστερ. Βασισμένο στο ομώνυμο βιβλίο του Καρλ Σαγκάν.

11."Η ακουλουθία της Οξφόρδης"

Που είναι κ βιβλίο, συμπαθητική ταινία, με φόνους και μαθηματικά (τι πρωτότυπο!!)...


12. Το δωμάτιο του Fermat (2007)

Το “Το δωμάτιο του Fermat” ή αλλιώς “Fermat’s room” ή αλλιώς “La habitacion de Fermat” είναι ένα Ισπανικό μαθηματικό θρίλερ του 2007.

Τέσσερις μαθηματικοί καταφέρνουν να λύσουν έναν γρίφο γεγονός που τους επιτρέπει να λάβουν μέρος σε μία μυστική συνάντηση ώστε να λύσουν ένα μεγάλο μαθηματικό πρόβλημα. Οι μαθηματικοί είναι πολύ ενθουσιασμένοι καθώς αυτές οι συναντήσεις είναι πολύ σημαντικές, πολύ σπάνιες και αν έχουν αποτέλεσμα τότε θα είναι πραγματικός θρίαμβος. Έτσι, μαζεύονται όλοι σε ένα δωμάτιο αλλά αντί για την επίλυση ενός μεγάλου μαθηματικού προβλήματος επιδίδονται στην λύση γρίφων προκειμένου να κρατηθούν εν ζωή!

Δεν θα πω περισσότερα για την ιστορία της ταινίας γιατί ενδεχομένως να θέλετε να την δείτε. Θα ασχοληθώ όμως λιγάκι με τους γρίφους που απασχόλησαν τους πρωταγωνιστές. Αρχικά απογοητεύτηκα λιγάκι γιατί πρόκειται για κοινός γρίφους που τους λύναμε για πλάκα στο σχολείο. Γρίφοι όπως το κλειστό δωμάτιο με την λάμπα και τους τρεις διακόπτες, ο γρίφος με τις λάθος ετικέτες στα κουτιά ή αυτός που ένας έχει τρία παιδιά και ο άλλος για να βρει τις ηλικίες του χρειάζεται την πληροφορία ότι το μεγαλύτερο παίζει πιάνο!

Γρίφοι σχετικά δύσκολοι όταν τους ακούς για πρώτη φορά, αλλά μετά θυμάσαι την απάντηση για πάντα. Οπότε, αυτοί παιδεύονται να τον λύσουν και εσύ απορείς… μα καλά, πως και δεν τους έχουν ακούσει ποτέ ξανά στην ζωή τους;

Πέρα από την πολυπλοκότητα των γρίφων, η ταινία ήταν πολύ ωραία και πολύ ενδιαφέρουσα κυρίως γιατί από ένα σημείο και μετά σημασία έχει για τους ήρωες να βρουν τι παίζει, πως θα βγουν από το δωμάτιο και γιατί τους συμβαίνει όλο αυτό και όχι οι γρίφοι. Θα είχε μεγάλο ενδιαφέρον μία τέτοια τηλεοπτική σειρά. Θα υπάρχει ένα ενιαίο story και σε κάθε επεισόδιο θα προσπαθούν να λύσουν ένα γρίφο ώστε να γίνει κάτι στο μεγάλο story.

13. Το "21"

Ο Ben (Jim Sturgess) μόλις έγινε 21, διαθέτει κοφτερό μυαλό, οι σπουδές του στο MIT πηγαίνουν περίφημα και ονειρεύεται την ιατρική σχολή του Harvard. Το πρόβλημα είναι πως χωρίς την πολυπόθητη υποτροφία η απόσταση από το όνειρο απέχει ακριβώς 300 χιλιάδες δολάρια, όσα και τα δίδακτρα. Τα περιορισμένα οικονομικά του δεν αφήνουν πολλά περιθώρια. Όταν όμως οι δυνατότητές του υποπέσουν στην αντίληψη του καθηγητή Micky Rosa (Kevin Spacey), θα δεχθεί μία ανέλπιστη πρόταση για συμμετοχή σε μυστική ομάδα νεαρών φοιτητών που προεξάρχοντος του Rosa, θα επιχειρήσουν να στήσουν μία καλοστημένη, ημι-παράνομη 'επιχείρηση' χαρτοπαιξίας. Το κόλπο είναι απλό: αφού το blackjack είναι μαθηματικά, μαθαίνουμε τα μυστικά του και ανοίγουμε πανιά για τα καζίνο του Vegas.
Αληθινά γεγονότα έχουν εμπνεύσει τη νέα ταινία του - συνήθως ασχολούμενου με κομεντί - Robert Luketic και από τις πρώτες σκηνές γίνεται αντιληπτό το στυλ που υιοθετεί. Αναζητώντας ξύσματα από το λούστρο και το coolness των 'Ocean's 11-12-13' επιχειρεί το στήσιμο μίας 'Συμμορίας των 6' (πέντε φοιτητές κι ο καθηγητής) που σκοπό έχει να εξαπατήσει μεγάλα καζίνο και να πιάσει την καλή. Ο κεντρικός ήρωας πρώτα ντύνεται με ένα μικροαστικό μανδύα συμπάθειας προτού ριχτεί στην 'επιβεβλημένη' εύσχημη απάτη (τα καζίνο δε συμπαθούν και ιδιαίτερα όσους κερδίζουν τακτικά και πολύ περισσότερο όσους μπορούν να μετρούν φύλλα - όπως διδάσκει και το παράδειγμα του John Taramas). Ενώ το παιδομάζωμα του Spacey οργανώνεται, ο νεαρός Ben βρίσκει έναν ακόμα λόγο συμμετοχής στο πρόσωπο της συμφοιτήτριας/συνεργάτιδος Jill (Kate Bosworth) κι έτσι όλοι μαζί θα πρέπει (σύμφωνα με το σχέδιο) να κερδίσουν τεράστια ποσά χωρίς να υποπέσουν στην αντίληψη του 'γορίλα' των καζίνο, Cole Williams (Lawrence Fishburne).
Ανάμεσα στο χαλαρό ρομάντζο, τις λοξές ματιές στις νεανικές κωμωδίες και μία αληθινή ιστορία απάτης στήνεται μία εύπεπτη περιπέτεια με θεματολογία που ανέκαθεν συγκινούσε το κοινό. Οι ληστείες και οι απάτες, όπως η συγκεκριμένη, συχνά φέρνει το θεατή στη θέση του δράστη επειδή του αφήνει ανοικτά και ασφαλή τα περιθώρια οποιασδήποτε φαντασίωσης του 'πιάνω την καλή' εν μέσω ιντριγκαδόρικης έντασης. Βέβαια, το «21» υποτίθεται πως μας παραθέτει κι έναν επιτυχημένο τρόπο να κλέψουμε στο blackjack, ο οποίος όμως μάλλον δεν καθίσταται κατανοητός. Αλλά μάλλον δε θα έπρεπε να περιμέναμε τόσα πολλά 'οφέλη' από το αντίτιμο ενός εισιτηρίου. Για την ακρίβεια, ό,τι προκύπτει από την ταινία είναι αρκετά κατώτερο των προσδοκιών. Οι σεναριακές κοινοτοπίες δεν μπορούν να ξεπεραστούν, καθώς και η ελαφρότητα των καταστάσεων. Για όσους έχουν δει το «Casino», η σκληρότητα του Fishburne μοιάζει με απλή επίπληξη. Επιπλέον, ο περιρρέων διδακτισμός του φινάλε δείχνει αχρείαστος τη στιγμή μάλιστα που το εγχείρημα αφήνεται σε όλη την προηγούμενη διάρκεια να πλεύσει πάνω στην απαλή αισθητική της εντυπωσιακής εικόνας του Las Vegas. Αν, λοιπόν, η επιλογή για τους δημιουργούς του «21» ήταν απλώς να αφηγηθεί μία (αληθινή, θυμίζω) ιστορία ευχάριστα χωρίς περαιτέρω απαιτήσεις, πάω πάσο, διότι κατά τα λοιπά, η ταινία απέχει αρκετά από το να 'κάνει' blackjack.

14. Το παιχνίδι της μίμησης

Το χειμώνα του 1952, οι Βρετανικές αρχές εισέβαλαν στο σπίτι του μαθηματικού κι αναλυτή, Άλαν Τιούρινγκ και τον συνέλαβαν για "απρεπή συμπεριφορά", μία κατηγορία που αργότερα θα οδηγούσε στην καταδίκη του με την κατηγορία της ομοφυλοφιλίας.

Ωστόσο, κανένας δεν γνώριζε πως επρόκειτο για ένα πρωτοπόρο και ιδιοφυή επιστήμονα στους ηλεκτρονικούς υπολογιστές. Κατά τη διάρκεια του Β΄ Παγκοσμίου Πολέμου, είχε καθοδηγήσει με επιτυχία μια ομάδα επιστημόνων κι "έσπασε" τον κώδικα της περίφημης Γερμανικής μηχανής, Enigma. Ένα πορτραίτο ενός σπουδαίου και περίπλοκου ανθρώπου, στον οποίο εκατομμύρια άνθρωποι οφείλουν τη ζωή τους.

Μαθηματικά + Λογοτεχνία 2010

Μαθηματικά + Λογοτεχνία

Οταν μιλάμε για μαθηματικά και λογοτεχνία είναι πολύ δύσκολο να αγνοήσουμε τις προτάσεις των ανθρώπων του  "Θαλής και Φίλοι"

Κάποιες προτάσεις είναι οι παρακάτω:

1. "Ο Θείος Πέτρος και η εικασία του Γκόλντμπαχ" του Δοξιάδη Α.

2. "Το θεώρημα του Παπαγάλου" του Ντενί Γκετζ

3. "Το τελευταίο θεώρημα του Φερμά"  του Simon Singh

4. "Η χαρά του π" του David Blatner

5. "Ο Γάλλος Μαθηματικός"

6. «Η παραβολή του ασώτου» του Γιάννη Καρβέλη

7. "Οι άγριοι αριθμοί" του Philibert Schogt (μετάφραση Τεύκρος Μιχαηλίδης)

8. Φερμά-Πασκάλ: Το τελευταίο παιχνίδι / Keith Devlin

9. "Το Επικηρυγμένο Πρόβλημα" του Παυλιώτη

10. Ο πόλεμος των μαθηματικών : Νεύτωνας ≠ Λάιμπνιτς / Jason Socrates Bardi

11. «Φλάτλαντ=Επιπεδοχώρα» του Έντουιν Αμποτ και μετά του Ιαν Στιούαρτ (2004)

12. "Το τελευταίο παραμύθι του Μιγκέλ Τορές ντα Σίλβα" του Φόγκελ

13. "Το βιβλίο Κόλαση" του Φραμπέτι

14. Logicomix  του Δοξιάδη Α.

15. Πυθαγόρεια εγκλήματα του Μιχαϊλίδης Τ.

16. Μετά το Οπισθόφυλλο του δικού μας Ροδόλφου Μπόρης

17. Μεγάλες έριδες στην ιστορία των μαθηματικών : Δέκα από τις πιο έντονες διαμάχες όλων των εποχών / Χαλ Χέλμαν

18. Αγορά : Η αληθινή ιστορία για τη ζωή και τον μύθο της φιλοσόφου Υπατίας

19.  Η μουσική του Πυθαγόρα / Kitty Ferguson

20. Ραμανουτζάν, ο Ινδός μαθηματικός / Robert Kanigel

21. Η "εικασία" του Πουανκαρέ του Szpiro, George G.

22. Ο μηχανισμός των Αντικυθήρων του Marchant, Jo

23. Θεωρία ομάδων του Du Sautoy, Marcus

24. Ο Ρώσος μαθηματικός Γκρίσα Πέρελμαν του Gessen, Masha

25. Ο ταξιδευτής των μαθηματικών του Calvin Clawson

26.  Υπάτια του Pedro Galvez

27. Από την παράνοια στους Αλγόριθμους του Α. Δοξιάδη

28. Ο άνθρωπος που μετρούσε την άμμο του Gillian Bradshaw

29. Το πειραχτήρι των αριθμών του Enzensberger, Hans - Magnus

30. Μηδέν του Seife, Charles

31. e: Η ιστορία ενός αριθμού / Eli Maor

32. Άλγεβρα, ο άγνωστος Χ / Kjartan Poskitt

33. Ανακαλύπτω τα μαθηματικά του Vorderman, Carol

34. Μαθηματικά για παιδιά του Van Cleave Pratt, Janice

Θέματα Μαθηματικών κατεύθυνσης εσπερινών 2010 (επαναληπτικές)

Θέματα
Μαθηματικών Κατεύθυνσης Εσπερινών 2010 (Επαναληπτικές εξετάσεις)

Λύσεις:
Οι λύσεις δίνονται εδώ

Σχόλια:

• Το Γ3 προκύπτει εύκολα και από γεωμετρική ερμηνεία, αλλά και αλγεβρικά που είναι εξοικειωμένος ο μαθητής

• Μου άρεσε το ερώτημα Β3, πολύ όμορφα διατυπωμένο, για να ξεφύγει από την στείρα μεθοδολογία (ως διατύπωση όχι ως λύση...)

• Νομίζω ότι ήταν αρκετά δύσκολα τα θέματα για Εσπερινό, τι λέτε;

Επαναληπτικές Εξετάσεις 2010: Λύσεις στα Μαθηματικά Κατεύθυνσης

Το  site που έχει  αναλυτικά και ίσως αποκλειστικά τις λύσεις των
Επαναληπτικών Εξετάσεων Ιουλίου στα Μαθηματικά Κατεύθυνσης 2010  

Επιμέλεια λύσεων: Χατζόπουλος Μάκης  


Σχόλιο: Από τα ωραιότερα θέματα που έχουν μπει στις Πανελλήνιες Εξετάσεις. Η δυσκολία τους ήταν ανάλογη για την εποχή τους, αφού  συνηθίζεται στις Επαναληπτικές εξετάσεις να έχουμε πιο απαιτητικά θέματα από αυτά του Μαΐου - Ιουνίου. Το θέμα 2 με αντιδιαμετρικά σημεία δεν το έχω δει σε κανένα βιβλίο, οπότε ξεφεύγει από την στείρα μεθοδολογία που δίνουν οι καθηγητές, οπότε εξετάζει τις γνώσεις και την κατανόηση των εννοιών που έχουν αποκτήσει οι μαθητές τα δύο τελευταία χρόνια του Λυκείου στα Μαθηματικά.
Απαντήσεις Επαναληπτικά θέματα 2010-Κατεύθυνσης

17-05-10 Μαθηματικά και Στοιχεία Στατιστικής Γενικής Παιδείας

Θέματα:17-05-10: Μαθηματικά και Στοιχεία Στατιστικής Γενικής Παιδείας

Λύσεις:
Δίνω τις απαντήσεις στο mathematica λύσεις

--> Σχόλια:Υπάρχει πρόβλημα στο Σωστό Λάθος:

«ε. Η διάμεσος είναι ένα μέτρο θέσης, το οποίο επηρεάζεται από τις ακραίες παρατηρήσεις.»

Αναφέρεται σε όλες τις διαμέσους, σε μία τουλάχιστον (δεν υπάρχουν οι ανάλογοι ποσοδείκτες δηλαδή); Οπότε με αυτή την απροσδιοριστία η πρόταση είναι άλλοτε Σωστή και άλλοτε Λάθος!!! Και αυτό συμβαίνει γιατί η πρόταση που δόθηκε στις εξετάσεις είναι προτασιακός τύπος που δεν απαντιέται με Σωστό ή Λάθος.

Πολύ ωραία σχολιάζει ο Α. Κυριακόπουλος σε αυτό το θέμα:

"Βέβαια το σχολικό βιβλίο στη σελίδα 87 γράφει ότι: «η διάμεσος δεν επηρεάζεται από τις ακραίες παρατηρήσεις». Αυτό όμως είναι πάντοτε σωστό; Αν έχουμε δύο μόνο παρατηρήσεις, οπότε η διάμεσος είναι το ημιάθροισμά τους, η διάμεσος δεν επηρεάζεται από τις ακραίες παρατηρήσεις; Τι θα έπρεπε να απαντήσει ένας μαθητής που θα έφερνε στο μυαλό του την περίπτωση αυτή, αφού θα έβλεπε ότι άλλοτε είναι σωστό και άλλοτε είναι λάθος; Αυτά που γράφουν τα σχολικά βιβλία δεν είναι θέσφατα. Ούτε μπορούν να ληφθούν σαν διαταγές."

Επαναληπτικά θέματα εξετάσεων 2010-Μαθηματικά Γενικής Παιδείας

Επαναληπτικά θέματα εξετάσεων 2010-Μαθηματικά Γενικής Παιδείας

Νομίζω ότι τα θέματα ήταν εύστοχα και πολύ αξιόλογα, η δυσκολία τους ήταν αυτή που έπρεπε...

Υπάρχει ένα θεματάκι στην έκφραση "από 10 έως 14"  αν θα πάρουμε και την τιμή 14 από την επόμενη κλάση, αλλά σε όλα τα βιβλία συνηθίζεται αυτή η (λανθασμένη) έκφραση, οπότε είμαστε εντάξει...

Εξετάσεις επαναληπτικές 2010

Κριτική:

Β4: Πολύ ωραίο θέμα και πρωτότυπο, εγώ πρώτη φορά βλέπω τέτοιο ζήτημα, αλλά πολύ φοβάμαι ότι η λύση είναι πολύ δύσκολη, εμένα μου πήρε ένα μισάωρο να την βρω!!! Δεν ξέρω αν υπάρχει και άλλη λύση...

Θέμα Γ: Πολύ καλό, απλό, ό,τι πρέπει για θέμα τρίτο... πάλι το Γ4 είναι το όμορφο ζήτημα του θέματος, αλλά κατά την γνώμη μου όχι τόσο δύσκολο όσο το Β4...

Θέμα Δ: Το Δ2 το έχουμε δει στο παρελθόν, σε εξετάσεις, το Δ3 χρειάζεται καλές γνώσεις διαφορικών εξισώσεων, ενώ το Δ4 μου θυμίζει πολύ το θέμα που έβαλαν τον Μάϊο!!

Τα θέματα τα κρίνω πάρα πολύ καλά, με κάποια δύσκολα υποερωτήματα κάτι που συνηθίζεται να βάζουν αυτή την εποχή

< Στατιστική Γ ' Λυκείου >

Άσκηση (Βασικές προτάσεις) :
Να αποδείξετε τις παρακάτω βασικές προτάσεις με τα ανεξάρτητα υποερωτήματα

υπάρχει και στον σύνδεσμο http://www.mathematica.gr/forum/viewtopic.php?f=18&t=5806 άσκηση 7

Λύση:
Δείτε στον παραπάνω σύνδεσμο την λύση

Ιστορικά στοιχεία:
Έτσι να ευλογήσω λίγο τα γένια μου (γιατί μερικές φορές όλοι το έχουμε ανάγκη), το θέμα της θεωρίας που θεωρήθηκε κρυμμένο, χωμένο και χρειαζόταν ξεσκόνισμα για να το βρεις, όπως λέχθηκε, εμείς το είχαμε σημειώσει έγκαιρα, όπως φαίνεται και από την ημερομηνία της ανάρτησης!

Τα άλλα ερωτήματα θα μπουν την επόμενη φορά!

Στατιστική - Γ Λυκείου - Γενική Παιδεία

Άσκηση1:
Βρείτε τα άρα των κλάσεων στις παρακάτω περιπτώσεις

Λύση:
Μπείτε στην διεύθυνση http://www.mathematica.gr/forum/viewtopic.php?f=18&t=5806 όπου υπάρχει η λύση από δύο Μαθηματικούς (η μία είναι δική μου) όπου υπάρχει και η κατάλληλη μεθοδολογία γι αυτές τις ασκήσεις...

Ιστορικά σχόλια:  
α. Αυτό το είδος ασκήσεων, το είδαμε στις εξετάσεις του 2010 (στις γενικές και στις επαναληπτικές) όπως φαίνεται και από την ημερομηνία της ανάρτησης στον αντίστοιχο ιστότοπο
β. Οι προβολές της εικόνας που επισυνάπτω ήταν πάνω από 1800!! Νούμερο αρκετά μεγάλο για τα συνηθισμένα δεδομένα...
γ. Δίνω και την μεθοδολογία που πρέπει να έχουμε κατά νου γι αυτό το είδος των ασκήσεων, είναι μοναδικό και πιθανόν δεν υπάρχει κάτι αντίστοιχο...

Κατηγορίες προβλημάτων στις κλασματικές εξισώσεις

Το παρακάτω αρχείο περιέχει προβλήματα χωρισμένα σε κατηγορίες για να διευκολύνει την μελέτη των μαθητών. Υπάρχουν λυμένα παραδείγματα με υποδειγματικό τρόπο για την καλύτερη κατανόηση.

Νιώθω ότι είναι μια καλή δουλειά που χρειάστηκαν κάμποσα βράδια για να ολοκληρωθεί. Είναι ιδιαίτερη εργασία και μοναδική (δεν έχω δει ανάλογες εργασίες, τουλάχιστον όταν το έδωσα στην δημοσιότητα).

Το αρχείο ανανεώθηκε (2011) λόγω της μεγάλης απήχησης που έχει καθημερινά! Διορθώθηκαν κάποια δοκίμια, αλλάξαμε κάποια σχέδια και γενικά διαφοροποιήσαμε την μορφή του. Προφανώς απαιτούνται περαιτέρω αλλαγές για να γίνει πληρέστερο φυλλάδιο.

Για απευθείας αποθήκευση πατήστε εδώ.

Προβλήματα στις κλασματικές εξισώσεις from Mak Chatzopoulos

Ερωτήσεις θεωρίας στην Α Γυμνασίου

Επισυνάπτω ένα αρχείο με ερωτήσεις θεωρίας από όλη την ύλη της Α Γυμνασίου στον παρακάτω σύνδεσμο...
http://www.mathematica.gr/forum/viewtopic.php?f=33&t=2958

6ο - Ερωτήσεις επανάληψης Α_Γυμνασίου

2 Επαναληπτικά θέματα Γεωμετρίας Β΄ Λυκείου

Επαναληπτικό Θέμα 1
Τα μήκη των πλευρών ενός τριγώνου ΑΒΓ είναι ΑΒ=6cm, ΒΓ=12cm και ΓΑ=8cm,.
α. Να αποδείξετε ότι το τρίγωνο αυτό είναι αμβλυγώνιο.
β. Να υπολογίσετε το μήκος της διαμέσου ΑΜ.
γ. Να υπολογίσετε το μήκος της προβολής της διαμέσου ΑΜ στην πλευρά ΒΓ.
δ. Υπολογίστε το συνΑ, όπου Α η γωνία του τριγώνου.
ε. Να υπολογίσετε το εμβαδόν του τριγώνου ΑΒΓ
στ. Βρείτε την ακτίνα του εγγεγραμμένου και περιγεγραμμένου κύκλου του τριγώνου ΑΒΓ.
ζ. Βρείτε το εμβαδόν του κυκλικού τμήματος που περικλείεται από την χορδή ΒΓ και τον περιγεγραμμένο κύκλο του τριγώνου.

Επαναληπτικό Θέμα 2
Στο σχήμα το τμήμα PE είναι εφαπτόμενο του κύκλου και οι ΡAΒ και ΡΓΔ τέμνουσες αυτού. Αν
ΑΒ = 9 , ΡΓ = 4 και ΓΔ = 5, τότε:
α) Να υπολογίσετε το ΡΑ
β) Το ΡΕ είναι ίσο με: Α. 9 , Β. 5, Γ. 4, Δ. 3, Ε. 6.
γ) Βρείτε τον λόγο των εμβαδών (ΕΒΑ) με το (ΕΑΡ)

Δείτε ακόμα από Γεωμετρία Β Λυκείου:
39 Επαναληπτικά θέματα στην Γεωμετρία Β΄ Λυκείου
Θέματα εξετάσεων Ιουνίου Γεωμετρίας Β΄ Λυκείου