Σάββατο, 19 Οκτωβρίου 2019

Συστήματα με ορίζουσες - Προσοχή στο θεώρημα!


Όταν το D = 0 το σχολικό βιβλίο απλά αναφέρει ότι το σύστημα είναι αδύνατο ή έχει άπειρο πλήθος λύσεων (αόριστο - ταυτότητα), χωρίς να να ξεκαθαρίζει το τοπίο τι ακριβώς συμβαίνει. Σε αυτές τις περιπτώσεις οι μαθητές πρέπει να πάρουν το αρχικό σύστημα και να το λύσουν εκ νέου με τις γνωστές μεθόδους (αντικατάσταση, αντίθετους συντελεστές κτλ).

Να θυμίσουμε ότι πριν λίγα χρόνια τα συστήματα υπήρχαν στην ύλη της Α΄ Λυκείου στο κεφάλαιο 6ο. Η πρόταση και τότε ήταν στην παραπάνω μορφή. Πρέπει να ανατρέξουμε στα σχολικά βιβλία δεσμών (Γ Λυκείου) για να δούμε το πλήρες θεώρημα. Ποιο είναι;

  • D = Dx = Dy =0  <=> έχει άπειρες λύσεις 
  • D = 0 και {Dx # 0 ή Dy #0) <=> δεν έχει λύσεις 

Παρατηρείται, κυρίως από τους μεγάλους καθηγητές, να μην έχουν συμβιβαστεί με το νέο στυλ της πρότασης και να διδάσκουν κανονικά τις παραπάνω περιπτώσεις.Και προφανώς διδάσκουν και όλες τις ασκήσεις που ταιριάζουν σε αυτήν την πλήρεις πρόταση.

Αρχικά πρέπει να τονίσουμε ότι και D =Dx = Dy =0 να ισχύει μπορεί το σύστημα να είναι αδύνατο! Άρα πολύ πιθανόν να μην εφαρμόζεται σωστά το Θεώρημα.

Νομίζω ότι πρέπει να το ξανά δούμε το θέμα γιατί δεν χρειάζεται να μεγαλώνουμε την ύλη χωρίς νόημα, επίσης δεν είναι όμορφο να διδάσκει κάθε σχολείο - Φροντιστήριο κάτι διαφορετικό, τουλάχιστον φέρνουμε σύγχυση στους μαθητές μας.

Η απόδειξη του Θεωρήματος δεν διδάσκεται, οπότε μαθαίνουμε στους μαθητές μας ξερούς τύπους. Λογικά θα είναι ένας λόγος που απλοποιήθηκε το Θεώρημα. Πρέπει να μην επιβραβεύουμε την αποστήθιση τύπων χωρίς να κατανοούν οι μαθητές πως προέκυψαν. 

8 σχόλια:

  1. Λίγο άσχετο με το θέμα, απλώς η φράση "Πρέπει να μην επιβραβεύουμε την αποστήθιση τύπων χωρίς να κατανοούν οι μαθητές πως προέκυψαν" περιέγραψε,νομίζω ουσιαστικά, το μάθημα της Γεωμετρίας πλέον (βλέπε 7ο, 8ο κεφάλαιο Γεωμετρίας Β' λυκείου κλπ).

    ΑπάντησηΔιαγραφή
    Απαντήσεις
    1. Έχεις (ξανά) για άλλη μια φορά δίκαιο! Σε μια εισήγησή μου έκανα αναφορά για την κατάντια της Γεωμετρίας. Ένας λόγος που πλέον δεν μπορούν να παρακολουθήσουν οι μαθητές είναι ότι λείπουν οι αποδείξεις. Για παράδειγμα στο θεώρημα των διχοτόμων η απόδειξη είναι καταπληκτική και δεν τη διδάσκουμε. Γιατί; Άρα να μην λέμε για την υποβάθμιση της Γεωμετρίας όταν εμείς την κάνουμε σε κάθε μάθημά μας πιο φτωχή.

      Διαγραφή
  2. " ....Παρατηρείται, κυρίως από τους μεγάλους καθηγητές, να μην έχουν συμβιβαστεί με το νέο στυλ της πρότασης και να διδάσκουν κανονικά τις παραπάνω περιπτώσεις..."
    ΚΑΙ ΠΟΛΥ ΚΑΛΑ ΚΑΝΟΥΝ. Η΄ ΘΑ ΔΙΔΑΣΚΟΥΜΕ ΣΩΣΤΑ ΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Η΄ ΝΑ ΠΑΜΕ ΣΠΙΤΙΑ ΜΑΣ

    ΑπάντησηΔιαγραφή
    Απαντήσεις
    1. Ε, τότε να λέμε και το Θεώρημα Darboux στη Γ Λυκείου, το θεώρημα του Μενελάου στη Γεωμετρία, Πιθανότητες στην Α΄ Λυκείου κτλ.

      Δεν πάει έτσι!

      Δεν μαθαίνουν οι μαθητές μαθηματικά επειδή διδάσκουμε κάτι παραπάνω. Μαθαίνουν οι μαθητές όταν δικαιολογούμε - εξηγούμε αυτό που τους λέμε. Διαφορετικά είναι αποστήθιση κανόνων και τύπων.

      Διαγραφή
  3. Η πρόταση " Όταν το D = 0 το σύστημα είναι αδύνατο ή έχει άπειρο πλήθος λύσεων" είναι μια αληθής μαθηματική πρόταση οπότε είναι απολύτως θεμιτό να διδάσκεται έτσι. Το ότι κάποτε διδασκόταν ως θεώρημα και οι επιπλέον πληροφορίες για το πότε είναι αδύνατο και πότε αόριστο δε σημαίνει απολύτως τίποτα και δεν είναι δεσμευτικό για το τι πρέπει να διδαχθεί τώρα. Επίσης ο καθηγητής διατηρεί το δικαίωμα να παρεκκλίνει από τη διδακτέα ύλη για διδακτικούς λόγους αφού πρώτα καταστήσει σαφές στους μαθητές την πρόθεσή του αυτή και φυσικά να εξαιρέσει από την εξεταστέα ύλη όλες τις "παρεκκλίσεις" που έκανε.

    Τέλος η φράση " διδάσκω σωστά " (το οτιδήποτε ) που ειπώθηκε παραπάνω, είναι ασαφής και παραπλανητική. Ο καθηγητής οφείλει να μην κάνει γνωστικά λάθη. Από κει και πέρα είναι ελεύθερος να διδάξει τα προβλεπόμενα σύμφωνα με το προσωπικό του στυλ (όλοι έχουν από ένα).

    ΑπάντησηΔιαγραφή
  4. Το πρόβλημα είναι γενικευμένο και η παραπάνω αναφορά στον τρόπο λύσης ενός συστήματος είναι μόνο μία περίπτωση παρέκκλισης. Πως σας φαίνεται καθηγητής να ει μιλάει για τοπικά ακρότατα στη Β΄Λυκείου αναφέροντας τον ορισμό του βιβλίου ή να μιλά για αύξουσα συνάρτηση ( όχι γνησίως αύξουσα) πάλι με τον ορισμό του σχολικού.Ότι μπορούμε όλες τις περιπτώσεις ασκήσεων μονοτονίας να τις αντιμετωπίσουμε με χρήση παραγώγων και δεν ασκούμαστε στον ορισμό κλπ.

    ΑπάντησηΔιαγραφή
  5. Εγω δεν ειμαι παλιος αλλα την μεθοδο την ξερω. Αν δεν το πουμε ποιος ο λογος να τους μαθουμε οριζουσες;αφου συμφωνα με τις οδηγιες θελει μονο αριθμητικα παραδειγματα;για να μπορουν να λυσουν καποιο με ριζα;(αφου οι παραμετρικες δεν θεωρουνται αριθμητικες;) Και αν ενα παιδι ρωτησει γιατι μαθαινουμε οριζουσες αφου οταν ειναι αδυνατο η αοριστο δεν μπορουμε να βγαλουμε συμπερασμα συμπερασμα και παμε στα παλια;

    ΑπάντησηΔιαγραφή
  6. Είναι ένα θέμα στο οποίο είναι δύσκολο να ταχθείς υπέρ του ενός ή του άλλου άκρου. Ούτε ο καθηγητής μπορεί να μπει 100% σε καλούπια ούτε όμως είναι καλό, για αρκετούς λόγους, να λειτουργεί ανεξέλεγκτα.

    Αυτό που θα μπορούσαμε ίσως να συμφωνήσουμε είναι ότι είναι διαφορετικό να βρίσκεις αφορμές και να διευρύνεις κάπως την ύλη του βιβλίου, κλείνοντας γρήγορα την παρένθεση και επανερχόμενος στη σχολική ύλη και άλλο να ξεφεύγεις εντελώς.

    Προσωπικά και σύμφωνα με τα δεδομένα της εποχής (υπερφορτωμένη ύλη με Στατιστική) είχα σκοπό να μην αναφέρω καν την παραπάνω πρόταση (αν D=0 και Dx#0 τότε αδύνατο κλπ) όμως αναγκάστηκα διότι μου ανέφεραν παιδιά ότι την άκουσαν στο σχολείο. (εγώ σε φροντιστήριο εργάζομαι)

    Θυμάμαι όμως πριν κάποια χρόνια εξηγώντας τα 3χ3 συστήματα με ρώτησε ένα παιδί ποια είναι η γεωμετρική τους ερμηνεία και αν παριστάνουν και αυτές οι εξισώσεις ευθείες όπως στα 2χ2 συστήματα.
    Θεώρησα ότι η απάντηση "αυτά είναι εκτός ύλης" δεν θα ήταν η κατάλληλη. Έτσι, αφιέρωσα 5-6 λεπτά, πήρα 3 κόλλες Α4 και τους είπα δυο λόγια για σχετικές θέσεις επιπέδων.

    ΑπάντησηΔιαγραφή