Δευτέρα, 7 Ιανουαρίου 2013

Βρείτε τα τέλεια τετράγωνα (νέο με λύσεις)!



Ποιος είναι ο αριθμός του οποίου το τετράγωνο αν πολλαπλασιαστεί με το
Α) 8 
Β) 11
Γ) 61
Δ) 67
Ε) 92
και κατόπιν προσθέτοντας μία μονάδα, γίνεται τέλειο τετράγωνο;

Είναι πέντε διαφορετικές υποθέσεις, άρα και πέντε διαφορετικά ζητούμενα. Το ζητούμενο μπορεί  να μην είναι μοναδικό, ας ανακαλύψουμε τον μικρότερο!

Ο Brahmagupta (625  μ.Χ.) έλεγε:

« Όποιος κατορθώσει να βρει σε ένα χρόνο, το τετράγωνο (ενός αριθμού) πολλαπλασιασμένο με το 92 και αυξανόμενο κατά 1, ώστε (το αποτέλεσμα αυτό) να είναι τέλειο τετράγωνο, τότε αυτός θα είναι μαθηματικός».

Την εν λόγω ανάρτηση την εμπνεύστηκα από το http://eisatopon.blogspot.com του φίλου Σωκράτη Ρωμανίδη.

Μετά τις όμορφες λύσεις (δείτε σχόλια) του Γιώργου Ριζόπουλου από την Λεμεσό, δίνω την πηγή του άρθρου (Ντάλα Γεωργία: Τα αρχαία Ινδικά Μαθηματικά μέχρι τον 7ο μ.χ. αιώνα) για περισσότερες πληροφορίες ή μελέτη. 

3 σχόλια:

  1. Γιώργος Ριζόπουλος13 Ιαν 2013, 10:43:00 μ.μ.

    Καλησπέρα!
    Α) Αντιστοιχεί στη διοφαντική εξίσωση:
    8 x^2 – y^2 +1 = 0
    x(0)=0, y(0)=1 (για κάθε {x,y} = λύση ,επίσης {-x,-y} =λύση)
    X(ν+1) = α X(ν) + β Y(ν)
    Y(ν+1) = γ X(ν) + δ Y(ν)
    α = 3, β=1, γ=8, δ=3
    Ελάχιστες (θετικές)λύσεις: {x=1, y=3} (8*1^2 – 3^2 +1 =0)

    Β) Αντιστοιχεί στη διοφαντική εξίσωση:
    11 x^2 – y^2 +1 = 0
    x(0)=0, y(0)=1 (για κάθε {x,y} = λύση ,επίσης {-x,-y} =λύση)
    X(ν+1) = α X(ν) + β Y(ν)
    Y(ν+1) = γ X(ν) + δ Y(ν)
    α = 10, β=3, γ=33, δ=10
    Ελάχιστες (θετικές)λύσεις: {x=3, y=10} (11*3^2 – 10^2 +1 =0)

    Γ) Αντιστοιχεί στη διοφαντική εξίσωση:
    61 x^2 – y^2 +1 = 0
    x(0)=0, y(0)=1 (για κάθε {x,y} = λύση ,επίσης {-x,-y} =λύση)
    X(ν+1) = α X(ν) + β Y(ν)
    Y(ν+1) = γ X(ν) + δ Y(ν)
    α = 1766319049, β= 226 153980, γ= 13795 392780, δ= 1766 319049
    Ελάχιστες (θετικές)λύσεις: {x=226153980, y=1766319049} (61*226153980^2 – 1766319049^2 +1 =0)

    Δ) Αντιστοιχεί στη διοφαντική εξίσωση:
    67 x^2 – y^2 +1 = 0
    x(0)=0, y(0)=1 (για κάθε {x,y} = λύση ,επίσης {-x,-y} =λύση)
    X(ν+1) = α X(ν) + β Y(ν)
    Y(ν+1) = γ X(ν) + δ Y(ν)
    α = 48842, β= 5967, γ= 399789, δ= 48842
    Ελάχιστες (θετικές)λύσεις: {x=5967, y=48842} (67*5967^2 – 48842^2 +1 =0)

    Ε) Αντιστοιχεί στη διοφαντική εξίσωση:
    92 x^2 – y^2 +1 = 0
    x(0)=0, y(0)=1 (για κάθε {x,y} = λύση ,επίσης {-x,-y} =λύση)
    X(ν+1) = α X(ν) + β Y(ν)
    Y(ν+1) = γ X(ν) + δ Y(ν)
    α = 1151, β= 120, γ= 11040, δ= 1151
    Ελάχιστες (θετικές)λύσεις: {x=120, y=1151} (92*120^2 – 1151^2 +1 =0)

    ΥΓ. Ωραίο το ιστολόγιό σας!
    Γ.Ριζόπουλος, Λεμεσός

    ΑπάντησηΔιαγραφή
    Απαντήσεις
    1. Σε ευχαριστούμε Γιώργο για τις όμορφες λύσεις σου!

      Επισυνάπτω την πηγή στο κείμενό μου, δες την για περισσότερες πληροφορίες.

      Να είσαι καλά

      Διαγραφή
  2. Aγαπητέ Μάκη, καλημέρα!
    Πολύ ωραία η εργασία της κας Ντάλα για τα ινδικά Μαθηματικά.
    Μεγάλη η συμβολή των Ινδών. Και μόνο η εισαγωγή του μηδενός(σαν αρ. ψηφίο) και οι ινδικοί αριθμοί (οι ευρέως αποκαλούμενοι σήμερα "αραβικοί", αλλά οι ίδιοι οι Άραβες που τούς γνώρισαν στο Φιμπονάτσι τους αποκαλούσαν ''Ινδικούς", άρα κάτι ήξεραν..)αρκούν!

    Οι λύσεις μου βασίζονται(πολύ συνοπτικά) στα εξής:
    Για την υπερβολική περίπτωση, δηλ. της ομογενούς εξίσωσης
    αx2 + βxy + γy2 + δ = 0
    Αν η Διακ΄ρινουσα= β2-4αγ>0 (αν είναι 0 πάμε στην περίπτωση παραβολής, αν αρνητική =έλειψη..μεγάλη ιστορία)

    Γενικά ,αφού διαιρέσουμε την εξίσωση με τον Μ.Κ.Δ, προσπαθούμε να την ελέγξουμε/εκφράσουμε modulo των πρώτων διαιρετών.
    Ας πούμε, στην περίπτωση της : 92 x^2 - y^2 +1 = 0 ο Μ.Κ.Δ των{92,0,-1,0,0}=1 .Πρέπει να βρούμε το ανάπτυγμα συνεχών καλασμάτων (continued fraction expansion) των ριζών τής: 92 t^2 - 1 = 0 κ.λ.π

    Πολύ ωραία τα θέματά σου! Καλή και δημιουργική συνέχεια!

    ΑπάντησηΔιαγραφή