Τετάρτη, 14 Αυγούστου 2019

Καλό καλοκαίρι 2019 με μαθηματ1κά!


Μια νέα καλοκαιρινή και δροσερή ανάρτηση φιλοδοξεί να σας κρατήσει συντροφιά για το υπόλοιπο του καλοκαιριού!

Με απλούς γρίφους, προβλήματα μαθηματικών και ερωτήσεις σκέψης - λογικής θα σας κολλήσει στο πληκτρολόγιο του κινητού σας όποια ηλικία και αν είστε! Οι απαντήσεις σας είναι ευπρόσδεκτες στα σχόλια της ανάρτησης.

Όποιος επιθυμεί να στείλει το δικό του γρίφο κτλ. να το προωθήσει στο email lisari.blogspot@gmail.com. Οι λύσεις να δίνονται στα σχόλια της παρούσας ανάρτησης (μόνο σε πολύπλοκη λύση να στέλνεται με email).
______________________________________________________

38) 24/8/2019 - Άρθρο



Πηγή: Protagon.gr

Λύση στην εικασία Duffin-Schaeffer, έδωσε ο Έλληνας μαθηματικός Δημήτρης Κουκουλόπουλος, η επιστημονική πορεία του οποίου τον έφερε από το Μαθηματικό του Αριστοτελείου στο Σικάγο και το Πρίνστον. 

Ο Κουκουλόπουλος, μόλις 35 ετών, με καταγωγή από την Κοζάνη, είναι σήμερα αναπληρωτής καθηγητής στο πανεπιστήμιο του Μόντρεαλ. Μαζί με τον συνεργάτη του Τζέιμς Μέιναρντ από την Οξφόρδη, κατάφεραν να αποδείξουν την εικασία που ταλάνιζε τους μαθηματικούς της Αναλυτικής Θεωρίας των Αριθμών εδώ και 78 χρόνια. 

Και δεν είναι καν ο πιο παλιός γρίφος που παιδεύει τους μαθηματικούς. Εικασίες όπως  αυτή του Πουανκαρέ ή το Τελευταίο Θεώρημα του Φερμά απασχολούσαν τους μαθηματικούς για δύο και τρεις αιώνες μέχρι να δοθεί ικανοποιητική λύση. 

Σε συνέντευξή του στο ΑΠΕ, ο Δημήτρης Κουκουλόπουλος εξήγησε σε τι συνίσταται η εικασία και μίλησε για τις εφαρμογές της. Μίλησε ακόμη για το ελληνικό πανεπιστήμιο που του έδωσε τα εφόδια να φτάσει στην ανακάλυψή του, αλλά και για το brain drain που απειλεί την τριτοβάθμια εκπαίδευση στη χώρα μας. 

Η εικασία διατυπώθηκε από τον Ντάφιν και τον Σάφερ το 1941 και αναφέρει τα κριτήρια που μπορούμε να θέσουμε ώστε να προσεγγίσουμε αριθμούς εάν απαγορεύσουμε κάποιους παρονομαστές. Οι δύο μαθηματικοί εισήγαγαν επίσης μια λεπτομέρεια που λέει ότι, εάν απαγορεύσουμε κάποιους παρονομαστές ακόμη και ένα αραιό υποσύνολό τους αυτών, μπορεί κάποιοι αριθμοί να μην προσεγγιστούν ποτέ. Γύρω στο 1990, υπήρξαν κάποια μικρά αποτελέσματα για την επίλυση της αλλά η εικασία παρέμενε άλυτη μέχρι το 2019 που αποδείχτηκε πλήρως από τον Κουκουλόπουλο και τον Μέιναρντ, δίνοντας λύση σε ένα από τα κεντρικά προβλήματα στον τομέα της μετρικής διοφαντικής προσέγγισης. Ονομάζεται έτσι προς τιμήν του αρχαίου μαθηματικού Διόφαντου από την Αλεξάνδρεια. 

Όσο για την εφαρμογή της λύσης της εικασίας στην καθημερινότητα – «το αιώνιο ερώτημα» σε ένα μαθηματικό, όπως λέει- ο Κουκουλόπουλος εξηγεί: «Δεν ξέρω εάν θα υπάρξει κάποια συγκεκριμένη εφαρμογή. Στα θεωρητικά μαθηματικά θα ήταν ωραίο να βλέπεις τη δουλειά σου να εφαρμόζεται στην πραγματική ζωή, αλλά η φύση των θεωρητικών μαθηματικών είναι τέτοια, που η εφαρμογή των ιδεών μπορεί να πάρει πολλά χρόνια μέχρι να γίνει κάτι ή να υπάρξει έστω μια έμμεση συμβολή». 

Προσθέτει ότι στα θεωρητικά μαθηματικά όπως και στις πιο πολλές θεωρητικές επιστήμες, δουλεύεις εντατικά ακόμη και για ολόκληρη τη ζωή σου, να καταλάβεις και να λύσεις ένα ερώτημα χωρίς απαραίτητα να γνωρίζεις εάν αυτό θα έχει προεκτάσεις στον πραγματικό κόσμο. Παρ’όλα αυτά επισημαίνει ότι η χρηματοδότηση της έρευνας στα θεωρητικά μαθηματικά είναι θεμελιώδης γιατί με τρόπους που δεν μπορούμε να καταλάβουμε επηρεάζει και την έρευνα στα Εφαρμοσμένα μαθηματικά, στη Μηχανική και στην Φυσική

Τέκνο της δημόσιας εκπαίδευσης, ο Κουκουλόπουλος αποφοίτησε από το 2ο ΓΕΛ Κοζάνης και στη συνέχεια εισήλθε στο Μαθηματικό του ΑΠΘ. «Μου άρεσαν τα μαθηματικά και οι αριθμοί και στην τελευταία τάξη του Λυκείου έλαβα μέρος στον διαγωνισμό της Ελληνικής Μαθηματικής εταιρίας όπου κέρδισα το χάλκινο μετάλλιο», είπε στο ΑΠΕ και πρόσθεσε ότι το συγκεκριμένο γεγονός του πρόσφερε αυτοπεποίθηση και το ειδικό βάρος ώστε να διαλέξει την Μαθηματική Σχολή αντί του Πολυτεχνείου. 

Μιλά με σεβασμό και αγάπη για δύο καθηγητές του και τη συμβολή τους στη διαμόρφωση των κριτηρίων και των δεξιοτήτων του. «Ο Αθανάσιος Κοζικόπουλος ήταν ο μαθηματικός μου στο Πειραματικό Γυμνάσιο Κοζάνης, ένας άνθρωπος με πάθος για τα μαθηματικά που κατάφερε τελικά να μου μεταδώσει για τα καλά το μικρόβιο και ο καθηγητής Μαθηματικών του ΑΠΘ Δημήτρης Μπετσάκος ήταν εκείνος που συνομίλησα μαζί του πριν αποφασίσω τελικά τι να επιλέξω». 

Στο τελευταίο έτος του ΑΠΘ έκανε αιτήσεις για να πάει στις ΗΠΑ επιλέγοντας να πάει απευθείας για διδακτορικό στο πανεπιστήμιο του Ιλινόις «γιατί εκεί έχει μια πολύ καλή ομάδα στην Αναλυτική θεωρία των αριθμών που είναι ο τομέα της έρευνας μου». Προσθέτει: «Ήμουν αρκετά τυχερός γιατί εκεί άρχισα να δουλεύω με τον Kevin Ford έναν καθηγητή που είναι κορυφαίος στον τομέα του». 

Τον τελευταίο χρόνο του διδακτορικού ακολούθησε τον μέντορα του στο «ναό» της Αναλυτικής Θεωρίας, στο πανεπιστήμιο του Πρίνστον. Η εμπειρία του εκεί φαίνεται ότι επηρέασε ακόμη περισσότερο τον Κουκουλόπουλο αφού εκεί γνώρισε τους πιο σημαντικούς επιστήμονες στο τομέα του. Το 2012 σε ηλικία μόλις 28 ετών προσελήφθη ως επίκουρος καθηγητής στο πανεπιστήμιο του Μόντρεαλ και σήμερα, μόλις 35 ετών, είναι αναπληρωτής καθηγητής στο ίδιο πανεπιστήμιο. Είναι κατηγορηματικός για το ότι το ελληνικό πανεπιστήμιο προσέφερε τα κατάλληλα επιστημονικά εφόδια. «Όταν πήγα στις ΗΠΑ δεν ένοιωσα κανένα μειονέκτημα σε σχέση με τους συμφοιτητές μου, ήμουν πλήρως προετοιμασμένος, είχα όλα τα εφόδια για να κάνω έρευνα γιατί στην Ελλάδα είχα πολύ καλούς δασκάλους και τα μαθηματικά που ήταν να μάθω, τα έμαθα». 

Πιστεύει ότι η κρίση έχει τρομακτικό αντίκτυπο στα ελληνικά πανεπιστήμια αφού συνταξιοδοτήθηκαν αρκετοί καθηγητές χωρίς να αναπληρωθούν από νέο επιστημονικό αίμα. «Τα τελευταία δύο χρόνια μού λένε συνάδελφοί μου ότι άρχισαν να προσλαμβάνουν καθηγητές αλλά δεν υπάρχουν χρήματα για διδακτορικά προγράμματα κι αυτό έχει σαν αποτέλεσμα πολλοί νέοι να φεύγουν για το εξωτερικό και να μην επιστέφει κανένας πίσω». 

Χαρακτηρίζει το φαινόμενο της φυγής των νέων επιστημόνων ως το κορυφαίο πρόβλημα της χώρας, θεωρεί ότι η Ελλάδα έχει καθοδική πορεία που πρέπει να αναστραφεί επειγόντως και να επιστρέψουν ορισμένοι από τους ανθρώπους που έφυγαν. Εξηγεί: «Πρέπει να αλλάξει ο τρόπος λειτουργίας των πανεπιστήμιων, να πλησιάσει το πλαίσιο λειτουργίας των ευρωπαϊκών και αμερικάνικων πανεπιστήμιων, να είναι αυτοδύναμα και να αποφασίζουν τα ίδια πού θέλουν να πάνε την έρευνα τους». 

Σχολίασε ακόμη την ανάμειξη της κεντρικής κυβέρνησης στην ίδρυση και στην κατάργηση της Νομικής Σχολής της Πάτρας και αναρωτήθηκε γιατί ο υπουργός πρέπει να αποφασίζει εάν η Πάτρα θα πρέπει να έχει Νομική σχολή, αφού αυτό είναι καθαρά θέμα του πανεπιστημίου. Αναφέρθηκε με θετικό πρόσημο στον νόμο Διαμαντοπούλου και στα συμβούλια των ιδρυμάτων, που όμως καταργήθηκαν, θεωρώντας ότι ήταν ένα μεγάλο βήμα για τα ελληνικά πανεπιστήμια, ενώ αναφέρθηκε με επικριτικό τόνο στην παρουσία και τον έλεγχο που ασκούν οι παρατάξεις στη διοίκηση του πανεπιστήμιου δηλώνοντας ότι «ουσιαστικά, οι σύγκλητοι των πανεπιστημίων είναι όμηροι των παρατάξεων». 

Με την εμπειρία των αμερικανικών πανεπιστημίων ο Δημήτρης Κουκουλόπουλος θεωρεί ότι το σύστημα ελέγχου και διοίκησης των ελληνικών πανεπιστημίων είναι απόλυτα εξαρτώμενο από την κεντρική διοίκηση, όπου ο υπουργός αποφασίζει για πολλά. «Όταν το υπουργείο αποφασίζει τους μισθούς των πάντων τότε όλα γίνονται δύσκολα. Όσο πιο κεντρικά γίνεται κάτι, τόσο πιο δύσκολα θα έχεις ευελιξία. Ευελιξία και εμπιστοσύνη χρειάζεται και να είμαστε σίγουροι ότι οι άνθρωποι θα κάνουν σωστά τη δουλειά τους». 

Υποστηρικτής της αξιολόγησης, θεωρεί ότι η εφαρμογή της πρέπει να υποστηρίζει θετικά το έργο των πανεπιστημιακών, ώστε να κάνουν καλύτερα τη δουλειά τους. Υποστηρικτής, ακόμη, και της μονιμότητας στο πανεπιστήμιο γιατί όπως λέει «οι καθηγητές δεν πρέπει να φοβούνται ότι κάποια στιγμή θα κινδυνεύσουν να απολυθούν γιατί πολλές φορές ορισμένα πρότζεκτ χρειάζεται μια ολόκληρη ακαδημαϊκή ζωή για να τα φέρεις σε πέρας». 

Διαβάστε το αντίστοιχο link στη σελίδα https://www.quantamagazine.org/ και την απόδειξη εδώ!

37) 23/8/2019
Πηγή: Από τους μαθηματικούς διαγωνισμούς 2018 Γυμνασίου της Εκπαιδευτικής Αναγέννησης. Μας τα πρόσφερε ο αγαπητός φίλος και συνάδελφος Κωνσταντίνος Λάττας

Εκφώνηση: Ποιο σχήμα μπορείτε να κατασκευάσετε ενώνοντας τα παρακάτω κομμάτια;

36) 22/8/2019
Πηγή: Από τους μαθηματικούς διαγωνισμούς 2018 Γυμνασίου της Εκπαιδευτικής Αναγέννησης. Μας τα πρόσφερε ο αγαπητός φίλος και συνάδελφος Κωνσταντίνος Λάττας

Εκφώνηση: Ο Ιερεμίας έχει δημιουργήσει μια εφαρμογή για έξυπνα κινητά, που την ονομάζει «Δημιουργό Αριθμητικών Παραστάσεων».  Πρέπει να χρησιμοποιήσετε και τα τέσσερα μαθηματικά σύμβολα (+, -, : και x) με όποια σειρά θέλετε, έτσι ώστε ξεκινώντας από τον αριθμό 7 να καταλήξετε στον αριθμό 144.

35) 21/8/2019
Πηγή: Από τους μαθηματικούς διαγωνισμούς 2018 Γυμνασίου της Εκπαιδευτικής Αναγέννησης. Μας τα πρόσφερε ο αγαπητός φίλος και συνάδελφος Κωνσταντίνος Λάττας

Εκφώνηση: Μπορείτε να βρείτε ποιο από τα αυτοκίνητα ανήκει σε ποιον;

Γνωρίζετε τις εξής πληροφορίες;

• Κάποια από τα αυτοκίνητα αυτά χρησιμοποιούν αμόλυβδη βενζίνη ενώ άλλα όχι.

• Αυτά που δεν καταναλώνουν αμόλυβδη βενζίνη, παράγουν περισσότερα καυσαέρια.

• Ο Δημήτρης δεν χρησιμοποιεί αμόλυβδη βενζίνη, αλλά το αυτοκίνητό του έχει ραδιόφωνο. Οι ζάντες του είναι ίδιες με του Φώτη.

• Ο Ανδρέας έχει ραδιόφωνο στο αυτοκίνητό του και οι ζάντες του είναι ίδιες με αυτές του Στέφανου.

• Ο Στέφανος βάζει στο αυτοκίνητό του τον ίδιο τύπο καυσίμου που χρησιμοποιεί και ο Ευγένιος.

34) 20/8/2019
Πηγή: Από τους μαθηματικούς διαγωνισμούς 2018 Γυμνασίου της Εκπαιδευτικής Αναγέννησης. Μας τα πρόσφερε ο αγαπητός φίλος και συνάδελφος Κωνσταντίνος Λάττας

Εκφώνηση: Συμπληρώστε τον πίνακα, ώστε το άθροισμα κάθε γραμμής και κάθε στήλης να είναι ίσο με τον αριθμό που φαίνεται στο εξωτερικό του.


33) 19/8/2019
Πηγή: Από τους μαθηματικούς διαγωνισμούς 2018 Γυμνασίου της Εκπαιδευτικής Αναγέννησης. Μας τα πρόσφερε ο αγαπητός φίλος και συνάδελφος Κωνσταντίνος Λάττας

Εκφώνηση: Υπάρχει τρίγωνο με δύο ύψη μεγαλύτερα ή ίσα από τις πλευρές προς τις οποίες καταλήγουν; Αν ναι, ποιες είναι οι γωνίες του τριγώνου;

32) 18/8/2019
Πηγή: Από τους μαθηματικούς διαγωνισμούς 2018 Γυμνασίου της Εκπαιδευτικής Αναγέννησης. Μας τα πρόσφερε ο αγαπητός φίλος και συνάδελφος Κωνσταντίνος Λάττας

Εκφώνηση: Ποιος αριθμός λείπει από την πόρτα στα δεξιά του σπιτιού;



31) 17/8/2019
Πηγή: Από τους μαθηματικούς διαγωνισμούς 2017 Γυμνασίου της Εκπαιδευτικής Αναγέννησης. Μας τα πρόσφερε ο αγαπητός φίλος και συνάδελφος Κωνσταντίνος Λάττας

Εκφώνηση: Στο σχήμα βλέπετε ένα τραπέζιο. Αν φέρουμε μια κάθετη στο εσωτερικό του τραπεζίου, παρατηρούμε ότι εμφανίζεται ένα ολόκληρο τετράγωνο και το μισό του. Μπορείτε να χωρίσετε το τραπέζιο σε τέσσερα σχήματα που όλα να έχουν ακριβώς το ίδιο μέγεθος και μορφή;

30) 16/8/2019
Πηγή: Από τους μαθηματικούς διαγωνισμούς 2017 Γυμνασίου της Εκπαιδευτικής Αναγέννησης. Μας τα πρόσφερε ο αγαπητός φίλος και συνάδελφος Κωνσταντίνος Λάττας

Εκφώνηση: Ο κύριος Αγαπητός (Α) χρωστάει 50 € στη δεσποινίδα Βαρώνου (Β), ενώ η κυρία Διαμάντη (Δ) χρωστάει 40 € στον κύριο Γαληνό (Γ) και ούτω καθεξής, όπως φαίνεται παρακάτω. Πώς μπορούν να διευθετηθούν αυτά τα πέντε χρέη με δύο απλές αποπληρωμές;


29) 15/8/2019
Πηγή: Από τους μαθηματικούς διαγωνισμούς 2017 Γυμνασίου της Εκπαιδευτικής Αναγέννησης. Μας τα πρόσφερε ο αγαπητός φίλος και συνάδελφος Κωνσταντίνος Λάττας

Εκφώνηση: Τα γράμματα α και β παριστάνουν δύο ψηφία διαφορετικά από το μηδέν. Μπορείτε να τα προσδιορίσετε;  (Να βρείτε περισσότερες από μια απαντήσεις.)

28) 14/8/2019
Πηγή: Από τους μαθηματικούς διαγωνισμούς 2017 Γυμνασίου της Εκπαιδευτικής Αναγέννησης. Μας τα πρόσφερε ο αγαπητός φίλος και συνάδελφος Κωνσταντίνος Λάττας

Εκφώνηση: Ακολουθώντας το μοτίβο των σχημάτων από τα αριστερά προς τα δεξιά, επιλέξτε ποιο από τα παρακάτω σχήματα είναι αυτό που ταιριάζει στο τέλος της γραμμής.

27) 13/8/2019
Άρθρο: Απόψε η βροχή των αστεριών
Η πιο θεαματική θερινή - αν όχι ετήσια - βροχή από «πεφταστέρια», οι διάττοντες Περσείδες, θα κορυφωθούν από απόψε τα μεσάνυχτα προς τα χαράματα της Τρίτης, στο νυχτερινό ουρανό της χώρας μας και γενικότερα του βορείου ημισφαιρίου.

Φέτος όμως, ακολουθεί πανσέληνος στις 15 Αυγούστου, με αποτέλεσμα η λάμψη από το μεγάλο φεγγάρι, που θα είναι αρκετά φωτεινό, να εμποδίσει σε ένα βαθμό την παρατήρηση των μετεώρων, έτσι θα γίνουν ορατά μόνο τα πιο φωτεινά από αυτά.

Οι Περσείδες είναι εντυπωσιακές βροχές διαττόντων, καθώς τα «πεφταστέρια» τους είναι γρήγορα και φωτεινά, διαθέτοντας συνήθως μακριές πύρινες «ουρές».

Αν τελικά αποφασίσετε να παρακολουθήσετε το όμορφο φαινόμενο προτείνουμε να το κάνετε σε μια περιοχή με χαμηλό φωτισμό και να μην εμποδίζεται η πλήρη παρακολούθηση του ουρανού! Δεν χάνετε τίποτα να βάλετε μια ευχή καθώς θα βλέπετε να πέφτουν τα ορατά εκατοντάδες αστέρια! 
26) 12/8/2019
Πηγή: Από τους μαθηματικούς διαγωνισμούς 2017 Γυμνασίου της Εκπαιδευτικής Αναγέννησης. Μας τα πρόσφερε ο αγαπητός φίλος και συνάδελφος Κωνσταντίνος Λάττας

Εκφώνηση: Τρεις γείτονες μοιράστηκαν το περιφραγμένο πάρκο που φαίνεται στην εικόνα. Σύντομα υπήρξε ένας μικροκαβγάς ανάμεσά τους. Ο ιδιοκτήτης του κεντρικού σπιτιού παραπονέθηκε ότι το σκυλί των γειτόνων έσκαψε στον κήπο του και κατασκεύασε αμέσως ένα περιφραγμένο μονοπάτι που οδηγεί στην έξοδο 1 της εικόνας. Ο ιδιοκτήτης του αριστερού σπιτιού κατασκεύασε ένα περιφραγμένο μονοπάτι που οδηγεί στην έξοδο 2, ενώ αυτός που μένει στο σπίτι δεξιά στην εικόνα κατασκεύασε ένα περιφραγμένο μονοπάτι που οδηγεί στην έξοδο 3. Να σχεδιάσετε τα μονοπάτια χωρίς αυτά να διασταυρώνονται.


25) 11/8/2019
Πηγή: Από τους μαθηματικούς διαγωνισμούς 2017 Γυμνασίου της Εκπαιδευτικής Αναγέννησης. Μας τα πρόσφερε ο αγαπητός φίλος και συνάδελφος Κωνσταντίνος Λάττας

Εκφώνηση: Εφτά φοιτητές, οι οποίοι συγκατοικούν σ΄ ένα μεγάλο διαμέρισμα στο Εδιμβούργο της Σκωτίας, μοιράζονται εφτά διαφορετικές δουλειές του σπιτιού. Ο Γιώργος επινοεί αυτό τον γρίφο, ενώ προσπαθεί να σκεφτεί ένα εβδομαδιαίο πρόγραμμα για τους έξι συγκατοίκους του με σκοπό να βρεθεί ένας τρόπος, ώστε ο καθένας τους να κάνει κάθε δουλειά του σπιτιού μόνο μία φορά. Δίνει τον γρίφο στη συγκάτοικο του, την Αλίκη, και της λέει:

«Μπορείς να συμπληρώσεις το πλέγμα, έτσι ώστε κάθε γραμμή και στήλη, αλλά και κάθε περιγεγραμμένη περιοχή, να περιέχει τα γράμματα από το Α ως το Η;»

Ξεκινήστε από τη δεξιά ακριανή στήλη ή δοκιμάστε να βάλετε το Ζ στο κέντρο του πλέγματος.



24) 10/8/2019
Πηγή: Από τους μαθηματικούς διαγωνισμούς 2017 Γυμνασίου της Εκπαιδευτικής Αναγέννησης. Μας τα πρόσφερε ο αγαπητός φίλος και συνάδελφος Κωνσταντίνος Λάττας

Εκφώνηση: Στα τετραγωνάκια του πίνακα να τοποθετήσετε τους φυσικούς αριθμούς από το 1 έως και το 12 με τρόπο ώστε :
α) το άθροισμα σε κάθε στήλη να είναι το ίδιο,
β) το άθροισμα σε κάθε γραμμή να είναι το ίδιο,
γ) στην πρώτη γραμμή οι αριθμοί να είναι διατεταγμένοι κατά αύξουσα σειρά.



23) 9/8/2019
Πηγή: Από τους μαθηματικούς διαγωνισμούς 2017 Γυμνασίου της Εκπαιδευτικής Αναγέννησης. Μας τα πρόσφερε ο αγαπητός φίλος και συνάδελφος Κωνσταντίνος Λάττας

Εκφώνηση: Τρεις φίλοι μπαίνουν σε μία κάβα και αγοράζουν ένα μπουκάλι καλό κρασί που κοστίζει 30€ δίνοντας 10€ ο καθένας. Φεύγοντας, τους προλαβαίνει ο υπάλληλος και τους λέει πως έκανε λάθος γιατί το μπουκάλι στοιχίζει 25€ και όχι 30€ και γι’ αυτό τους επιστρέφει 5€ ρέστα. Αυτοί, αφού δε μπορούν να μοιράσουν τα 5€ στα τρία, παίρνουν ο καθένας από 1€ και δίνουν 2€ φιλοδώρημα στον υπάλληλο για την καλή του πράξη. Στο τέλος όμως σκέφτονται: Έδωσε ο καθένας μας 10€ και πήρε ένα πίσω, άρα 9€. Τρεις φορές το 9€ μας κάνει 27€ και 2€ για το φιλοδώρημα, 29€. Τι έγινε το 1€;

22) 8/8/2019
Πηγή: Από τους μαθηματικούς διαγωνισμούς 2017 Γυμνασίου της Εκπαιδευτικής Αναγέννησης. Μας τα πρόσφερε ο αγαπητός φίλος και συνάδελφος Κωνσταντίνος Λάττας

Εκφώνηση: Τοποθετήστε στα κενά τετράγωνα τους αριθμούς 1 έως 9 , έτσι ώστε τα αποτελέσματα των πράξεων οριζόντια και κάθετα να είναι σωστά. Όλοι οι υπολογισμοί γίνονται από τα αριστερά προς τα δεξιά και από πάνω προς τα κάτω και εμπεριέχουν μόνο θετικά αποτελέσματα.



21) 7/8/2019
Πηγή: Από τους μαθηματικούς διαγωνισμούς 2017 Γυμνασίου της Εκπαιδευτικής Αναγέννησης. Μας τα πρόσφερε ο αγαπητός φίλος και συνάδελφος Κωνσταντίνος Λάττας

Εκφώνηση: Ένας αθλητής πραγματοποιεί άλματα συνεχώς χωρίς σταματημό. Ωστόσο, σε κάθε νέο άλμα λόγω κούρασης προχωρά τη μισή απόσταση του προηγούμενου άλματος. Αν στο πρώτο του άλμα ο αθλητής έφτασε τα 5 μέτρα, πόσα άλματα θα χρειαστεί για να φτάσει τα 10 μέτρα;

20) 6/8/2019
Πηγή: Από τους μαθηματικούς διαγωνισμούς 2017 Γυμνασίου της Εκπαιδευτικής Αναγέννησης. Μας τα πρόσφερε ο αγαπητός φίλος και συνάδελφος Κωνσταντίνος Λάττας

Εκφώνηση: Παρατήρησε την ακολουθία των παρακάτω αριθμών:

1, 11, 21, 1211, 111221, 312211 … 
Οι όροι της δεν προκύπτουν από τον ή τους προηγούμενους όρους μετά από κάποιες αριθμητικές πράξεις. Ποιος είναι ο επόμενος αριθμός;

19) 5/8/2019
Πηγή: Από τους μαθηματικούς διαγωνισμούς 2017 Γυμνασίου της Εκπαιδευτικής Αναγέννησης. Μας τα πρόσφερε ο αγαπητός φίλος και συνάδελφος Κωνσταντίνος Λάττας

Εκφώνηση: Ρώτησαν τον κ. Χάιντ να φανερώσει τον μυστικό εξαψήφιο αριθμό που χρησιμοποιούσε στον Η/Υ του και αυτός απάντησε ως εξής: Σας δίνω τρία στοιχεία:
1. Ο αριθμός διαβάζεται το ίδιο και από τα δεξιά και από τα αριστερά.
2. Είναι πολλαπλάσιο του 9.
3. Ο αριθμός που σχηματίζεται από τα τέσσερα μεσαία ψηφία έχει πρώτο παράγοντα μόνο το 11.
Βρείτε τον μυστικό αριθμό του κ. Χάιντ.

18) 4/8/2019
Πηγή: Από τους μαθηματικούς διαγωνισμούς 2017 Γυμνασίου της Εκπαιδευτικής Αναγέννησης. Μας τα πρόσφερε ο αγαπητός φίλος και συνάδελφος Κωνσταντίνος Λάττας

Εκφώνηση: Ο κ. Μιχάλης αποφάσισε να κάνει δώρο στα ανίψια του, για τα γενέθλιά τους ένα παιχνίδι με αριθμούς. Έτσι κατασκεύασε τα εξάγωνα που βλέπετε στο σχήμα. Ο σκοπός είναι να τοποθετήσουν τα εξάγωνα στο κεντρικό πλέγμα, έτσι ώστε εκεί όπου το ένα εξάγωνο ακουμπά το άλλο κατά μήκος της έντονης γραμμής, θα πρέπει και τα δύο τρίγωνα να έχουν το ίδιο περιεχόμενο. Δεν επιτρέπεται η περιστροφή κανενός εξάγωνου. Μπορείτε να τους βοηθήσετε;



17) 3/8/2019
Πηγή: Από τους μαθηματικούς διαγωνισμούς 2017 Γυμνασίου της Εκπαιδευτικής Αναγέννησης. Μας τα πρόσφερε ο αγαπητός φίλος και συνάδελφος Κωνσταντίνος Λάττας

Εκφώνηση: Ποιος αριθμός λείπει;



16) 2/8/2019
Πηγή: Από τους μαθηματικούς διαγωνισμούς 2017 Γυμνασίου της Εκπαιδευτικής Αναγέννησης. Μας τα πρόσφερε ο αγαπητός φίλος και συνάδελφος Κωνσταντίνος Λάττας

Εκφώνηση: Ο Αχιλλέας και η χελώνα έτρεξαν σε μία κούρσα 100 μέτρων. Όταν ο Αχιλλέας τερμάτισε, η χελώνα βρισκόταν 20 μέτρα πριν από τον τερματισμό. Ο Αχιλλέας πρότεινε στην χελώνα να ξανατρέξουν, αλλά αυτή τη φορά θα ξεκινούσε 20 μέτρα πιο πίσω από την γραμμή της αφετηρίας. Αν κρατηθούν όλες οι συνθήκες ίδιες, θα κερδίσει ο Αχιλλέας, η χελώνα ή θα τερματίσουν ταυτόχρονα;

15) 1/8/2019
Πηγή: Από τους μαθηματικούς διαγωνισμούς 2017 Γυμνασίου της Εκπαιδευτικής Αναγέννησης. Μας τα πρόσφερε ο αγαπητός φίλος και συνάδελφος Κωνσταντίνος Λάττας

Εκφώνηση: Μπορείς να μετακινήσεις ένα σπίρτο ώστε να προκύψει αληθής σχέση;



14) Διάταξη - Άσκηση [31/7/2019]
Πηγή: Παραποιημένο θέμα από τις σημειώσεις του καθηγητή Πανεπιστημίου Ανδρέα Μπούκα που έχει τη λέξη
"M I S S I S S I P P I"

Εκφώνηση: Με πόσους διαφορετικούς τρόπους μπορούμε να διατάξουμε τα γράμματα της λέξης 
"l i s a r i"

13) Παλίνδρομοι αριθμοί - άσκηση [30/7/2019]
Πηγή: Τέθηκε σε φοιτητές των ΗΠΑ και μόλις το 2% τους κατέγραψε όλους!

Εκφώνηση: "Να βρείτε όλους τους παλίνδρομους πενταψήφιους αριθμούς που διαιρούνται  με το 45".
Απάντηση: Οι ζητούμενοι αριθμοί είναι μόνο δέκα και είναι οι εξής:
50805, 51615, 52425, 53235, 54045, 55755, 56565, 57375, 58185, 59895


12) Παλίνδρομοι αριθμοί - άρθρο [30/7/2019]
Πηγή: https://blogs.sch.gr/imavros/files/2011/02/024.pdf
Παλινδρομικοί αριθμοί είναι αυτοί που διαβάζονται το ίδιο είτε ευθέως είτε ανάποδα. Για παράδειγμα, οι αριθμοί 565, 13231, 1234321 κλπ. Επιλέγουμε έναν τυχαίο αριθμό, για παράδειγμα το 83. Τον αντιστρέφουμε και τον προσθέτουμε στον αρχικό μας αριθμό. Έχουμε δηλαδή 83+38=121 Έναν παλινδρομικό δηλαδή αριθμό. Επιλέγουμε έναν άλλο τυχαίο αριθμό, για παράδειγμα το 67. Τον αντιστρέφουμε και τον προσθέτουμε στον αρχικό μας αριθμό. Έχουμε δηλαδή 67+76=143. Επαναλαμβάνουμε την διαδικασία κι έχουμε 143+341=484. Έναν παλινδρομικό δηλαδή αριθμό. Η ιδιότητα αυτή που έχουν οι αριθμοί, να καταλήγουν σε παλινδρομικούς μετά από μερικές προσθέσεις με τον αντεστραμμένο εαυτό τους φαίνεται να ισχύει για όλους. Υπάρχουν όμως μερικοί αριθμοί για τους οποίους ακόμα δεν έχουμε καταλήξει σε παλίνδρομο παράγωγό τους. Ο μικρότερος από αυτούς, είναι το 196. Κατόπιν πολλών πράξεων, φτάσαμε σε αριθμό με 263.000.000 ψηφία, ο οποίος όμως δεν ήταν παλίνδρομος. Για αριθμούς μικρότερους του 10.000 απαιτούνται το πολύ 24 προσθέσεις και το ρεκόρ αυτό κατέχει ο αριθμός 89.
11) Γρίφος - κουτσομπολιό [29/7/2019]
Επειδή οι συζητήσεις για την επιτροπή εξετάσεων κτλ. καλά κρατεί κάθε χρόνο (αν και δεν βρίσκω λόγο γιατί συμβαίνει) τους προτείνω να ασχοληθούν με τον παρακάτω γρίφο! Είναι κυρίως για τα άτομα που δίνουν σημασία στα ονόματα και στην ιστορία!

"Ποιος ήταν ο Καθηγητής Πανεπιστημίου που ηγήθηκε στην επιτροπή των Μαθηματικών στις φετινές Πανελλαδικές Εξετάσεις 2019 και επίσης είχε ξανά ηγηθεί το 2013 (και όχι μόνο);" 


Οι απαντήσεις θα γίνονται δεκτές μόνο σε προσωπικό μήνυμα!

10) Εισιτήριο σε αστικό λεωφορείο - Άσκηση [28/7/2019]

Πηγή: Από τα ενδεικτικά θέματα του Πυθαγόρα για τάξεις Α΄ και Β΄ Γυμνασίου


9) Αγγλικά και Γαλλικά - Άσκηση [27/7/2019]
Πηγή: Από τα ενδεικτικά θέματα του Πυθαγόρα για τάξεις Α΄ και Β΄ Γυμνασίου


8) Βρείτε την περίμετρο - άσκηση [26/7/2019]

Πηγή: Μια άσκηση που έρχεται από το διαγωνισμό του "Πυθαγόρα" 2018 - 19 για τις τάξεις Α΄ - Β΄ Γυμνασίου.


7) Βρείτε το εμβαδόν - άσκηση [25/7/2019]

Πηγή: Μια άσκηση που έρχεται από το διαγωνισμό του "Πυθαγόρα" 2018 - 19 για τις τάξεις Α΄ - Β΄ Γυμνασίου.



6) Σεισμοί και καταποντισμοί - άσκηση [24/7/2019]
Χθες ο διευθυντής του Γεωδυναμικού Ινστιτούτου Άκης Τσελέντης  δήλωσε στο Έθνος ότι αναμένουμε 30 φορές πιο δυνατό σεισμό στην Αθήνα (σε σχέση με τον πρόσφατο σεισμό των 5,1 ρίχτερ). Άρα τι σεισμό αναμένει ο διευθυντής του Γεωδυναμικού Ινστιτούτου; Η απάντηση να δοθεί σύμφωνα με τη γνώση που έχουμε από το σχολικό βιβλίο Άλγεβρας της Β Λυκείου.



5) Blog - άρθρο [23/7/2019]
Περιηγηθείτε σε ένα ενδιαφέρον blog που ανακάλυψα πρόσφατα. Είναι το
Είναι ένα δημοφιλές blog με επίκεντρο την προστασία του Παιδιού. Μια αφιλοκερδής προσπάθεια που αξίζει να τη στηρίξουμε - επιβραβεύσουμε. Από σήμερα είμαστε αδελφοποιημένα blog


4) Άσκηση lisari - Άσκηση [22/7/2019]
Πηγή: Παραποιημένο θέμα από τον Κυπριακό διαγωνισμό 2018 - 19 για τους μαθητές της Α΄ Γυμνασίου.

Εκφώνηση: Γράφουμε τη λέξη lisari επανειλημμένα χωρίς κενά και σχηματίζουμε το ακόλουθο μοτίβο γραμμάτων: lisarilisarilisarilisarilisarilisari … Να προσδιορίσετε, αιτιολογώντας την απάντησή σας το γράμμα που θα βρίσκεται στην 2019η θέση.

3) Κηπουρός και πεύκα - Άσκηση [21/7/2019]

Πηγή: Από τα ενδεικτικά θέματα του Πυθαγόρα για τάξεις Α΄ και Β΄ Γυμνασίου

Εκφώνηση - σχήμα: 
2) Βρείτε το εμβαδόν - Άσκηση [20/7/2019]

Πηγή: Μια άσκηση που προέρχεται από τους διαγωνισμούς για την εισαγωγή στη Σχολή Δημόσιας Διοίκησης

Εκφώνηση - σχήμα: 


1) Βρείτε το εμβαδόν - Άσκηση [19/7/2019]

Πηγή: Μια άσκηση που έρχεται από το διαγωνισμό του "Πυθαγόρα" 2018 - 19 για τις τάξεις Α΄ - Β΄ Γυμνασίου και έχει αρκετούς τρόπους επίλυσης.

Εκφώνηση: Στο παρακάτω σχήμα είναι ένα τετράγωνο με περίμετρο 48 cm και είναι χωρισμένο σε μικρότερα ίσα τετραγωνάκια. Πόσα cm^2 είναι το εμβαδόν της σκούρας επιφάνειας;


55 σχόλια:

  1. Μάκη καλησπέρα,
    Σου έστειλα τρία προβλήματα προς ανάρτηση στο e-mail¨
    Μάκης Χατζόπουλος
    διότι το ema;il: lisari.blogspot.com. που έδωσες για να
    σου στέλνουν προβλήματα προς ανάρτηση δεν λειτουργέί.
    Δες το.
    Φιλικά,
    Carlo de Grandi

    ΑπάντησηΔιαγραφή
    Απαντήσεις
    1. Έχεις δίκαιο Carlo το έχω ήδη διορθώσει! Όσο για τους γρίφους τους έχω λάβει.

      Διαγραφή
  2. Μάκη, καλημέρα.
    Μήπως πρέπει να γράψεις και πότε θ' αναρτόνται οι λύσεις;
    Φιλικά,
    Carlo

    ΑπάντησηΔιαγραφή
    Απαντήσεις
    1. Άσκηση μαζί με λύση δεν παρακινεί τον αναγνώστη να ασχοληθεί. Τις λύσεις θα τις προτείνουν όσοι συμμετέχουν.

      Διαγραφή
  3. Λύση Προβλήματος Νο, 2
    Βάσει του τύπου του εμβαδού του ορθογωνίου παραλληλογράμμου Ε = α έχουμε:.
    Ε = α * β -----> Ε = 6*(16-8) ----> Ε = 6*8 ----> Ε = 48μ^2

    ΑπάντησηΔιαγραφή
    Απαντήσεις
    1. Carlo ξανά δες τη λύση σου. Δεν ξέρουμε αν το 8 είναι στο μέσο της πλευράς...

      Η σωστή απάντηση είναι 72 όπως λέει κ Filippos.

      Διαγραφή
  4. Για την 1η άσκηση.
    Η πλευρά του τετραγώνου είναι 12cm και έχει εμβαδόν 12^2=144cm^2. Αφού όλα τα μικρά τετράγωνα είναι ίσα, καθένα θα έχει πλευρά 12cm:6=2cm και εμβαδόν 2^2=4cm^2.
    Έχουν σχηματιστεί 4 ίσα λευκά τρίγωνα με βάση 4*2cm=8cm και ύψος 3*2cm=6cm, οπότε καθένα έχει εμβαδόν 6*8/2=24cm^2.
    Αφαιρώντας από το μεγάλο τετράγωνο τα τέσσερα μικρά λευκά τετράγωνα που υπάρχουν στις 4 γωνίες και τα 4 λευκά τρίγωνα βρίσκουμε το εμβαδόν του σκούρου σχήματος που είναι:
    Ε=144-4*4-4*24=144-16-96=32cm^2.

    ΑπάντησηΔιαγραφή
  5. Λύση για την 3η Άσκηση.
    ...κατά ποσοστό 20%
    25*20%=50/100=5 πεύκα
    Σύνολο 25+5=30 πεύκα

    ΑπάντησηΔιαγραφή
    Απαντήσεις
    1. Να συπληρώσω ότι:
      μόνο το ποσοστό 20% δίνει ακέραιο αριθμό δένδρων

      Διαγραφή
  6. Λύση για την 4η Άσκηση
    Πίνακας προσδιορισμού των γραμμάτων του ονόματος «LISARI» σε 6 θέσεις:
    Για τον πίνακα όρα εδώ:
    https://imgur.com/a/7ipPsEh
    Βάσει του τύπου Δ=[(δ*π)+υ] της Ευκλείδειας διαίρεσης βρίσκουμε ότι:
    Μετρώντας τη δοθείσα λέξη βρίσκουμε ότι στη 2.019η θέση βρίσκεται το γράμμα «S».
    Υπολογισμός:
    Δ=[(δ*π)+υ] ----> 2.019=[(6*336)+3].
    Άρα είναι το 3ο γράμμα της λέξης «LISARI», δηλαδή, το «S».
    Σημείωση:
    Το υπόλοιπο κάθε διαίρεσης δηλώνει τη θέση του ζητούμενου γράμματος

    ΑπάντησηΔιαγραφή
    Απαντήσεις
    1. Carlo τι όμορφο αυτό έβαλες σε σύνδεσμο; Πώς γίνεται αυτό; Εντυπωσιάστηκα!

      Διαγραφή
    2. Σου στέλνω e-mail για την διαδικασία της εμφάνισης μιας εικόνας στο διαδίκτυο.
      Φιλικά,
      Carlo

      Διαγραφή
  7. Λύση Άσκησης Νο.7 "Το Εμβαδόν"
    Σχήμα και λύση, όρα εδώ:
    https://imgur.com/a/5e07xoU

    ΑπάντησηΔιαγραφή
  8. Λύση της άσκησης Νο.8
    Δίνω τη λύση με περίμετρο, που μάλλον 99% είναι σωστό,διότι στον τίτλο αναφέρει εμβαδόν.
    https://imgur.com/a/nk7f7cU
    Τιμές Περιμέτρου Τετραγώνου:(Π = 4α)
    (α)4*1=4εκ.^2
    (β)4*2=8εκ.^2
    (γ)4*3=12εκ.^2
    (δ)4*4=16εκ.^2
    (ε)4*5=20εκ.^2
    (στ)4*6=24εκ.^2
    (ζ)4*7=28εκ.^2
    (η)4*8=32εκ.^2
    (θ)4*9=36εκ.^2
    (ι)4*10=40εκ.^2
    (ια)4*11=44εκ.^2
    (ιβ)4*12=48εκ.^2
    (ιγ)4*13=52εκ.^2
    Τιμές Περιμέτρου Ορθογωνίου Παραλληλογράμμου (Π= 2α+2β)
    (α)(2*1)+(2*26) =54εκ.
    (β)(2*2)+(2*25) =54εκ.
    (γ)(2*3)+(2*24) = 54εκ.
    (δ)(2*4)+(2*23) = 54εκ.
    (ε)(2*5)+(2*22) = 54εκ.
    (στ)(2*6)+(2*21) = 54εκ.
    (ζ)(2*7)+(2*20) = 54εκ.
    (η)(2*8)+(2*19) = 54εκ.
    (θ)(2*9)+(2*18) = 54εκ.
    (ι)(2*10)+(2*17) = 54εκ.
    (ια)(2*11)+(2*16) = 54εκ.
    (ιβ)(2*12)+(2*15) = 54εκ.
    (ιγ)(2*13)+((2*14) = 54εκ.

    ΑπάντησηΔιαγραφή
  9. Λύση της άσκησης Νο.10
    Το εισιτήριο του 1€ έχει διάρκεια 75λεπτά
    Κατάταξη:
    Το εισιτήριο του 1,20€ διαρκεί 90λεπτά
    Το εισιτήριο του 1€ διαρκεί x ; λεπτά
    x = (1*90)/1,20 = 90/1,20 = 75λεπτά

    ΑπάντησηΔιαγραφή
  10. Λύση της Άσκησης Νο.9
    Εάν οι μαθητές που ανήκουν στην Α΄ τάξη Γυμνασίου είναι x, τότε οι μαθητές που ανήκουν στην Α΄ Γυμνασίου και γνωρίζουν Αγγλικά είναι 2x/3.
    Οι μαθητές που ανήκουν στην Α’ Γυμνασίου και γνωρίζουν Αγγλικά και Γαλλικά είναι:
    (1/7)*(2x/3)=2x/21
    Ο αριθμός 2x/3 είναι το πλήθος των παιδιών, άρα θετικός και ακέραιος. Ο αριθμός 21 και οι διαιρέτες του δεν διαιρούν το 2, άρα ο x πρέπει να είναι πολλαπλάσιο του 21, που ισχύει μόνο για το (Γ) 42 μαθητές.

    ΑπάντησηΔιαγραφή
  11. Μάκη, τελικά μου φαίνεται ότι παίζω μονότερμα στις λύσεις.
    Τουλάχιστον γράφε, εάν είναι σωστέςοι λύσεις που δίνω.

    ΑπάντησηΔιαγραφή
    Απαντήσεις
    1. Έτσι γίνεται σε αυτές τις περιπτώσεις, οι περισσότεροι τις χαζεύουν και αν τις λύσουν τις θεωρούν απλές για να τις καταγράψουν. Carlo δεν χρειάζεται καμία επιβεβαίωση. Όταν είσαι σίγουρος καταγράφεις τη λύση.

      Διαγραφή
  12. Οι πενταψήφιοι Παλινδρομικοί ή Καρκινικοί αριθμοί είναι 99.990
    100.000/45 = 2.222.22
    Πολλαπλασιάζουμε το ακέραιο μέρος με το 45, κι’ έχουμε:
    2.222*45 = 99,990

    ΑπάντησηΔιαγραφή
    Απαντήσεις
    1. Ελπίζω τώρα να είναι σωστό.
      Οι πενταψήφιοι Παλινδρομικοί ή Καρκινικοί αριθμοί είναι 999.990
      999.999/45 = 22.222.22
      Πολλαπλασιάζουμε το ακέραιο μέρος με το 45, κι’ έχουμε:
      22.222*45 = 999,990

      Διαγραφή
    2. Σίγουρα δεν έχεις καταλάβει την εκφώνηση

      Διαγραφή
    3. Μάκη, παραιτούμαι.
      Εάν θέλεις δώσε τη λύση.

      Διαγραφή
  13. Με 6 διαφορετικούς τρόπους μπορούμε ν’ αναδιατάξουμε τα γράμματα της λέξης
    «l i s a r i».
    (α)Διάταξη γραμμάτων 6 ανά ένα.
    (n)k = n!/(n-k)!
    (n)k = 6!/(6-1)!
    (n)k = 6!/5!
    (n)k = 6*5*4*3*2*1/5*4*3*2*1
    (n)k = 6

    Με 30 διαφορετικούς τρόπους μπορούμε ν’ αναδιατάξουμε τα γράμματα της λέξης
    «l i s a r i».
    (β)Διάταξη γραμμάτων 6 ανά δύο.
    (n)k = n!/(n-k)!
    (n)k = 6!/(6-2)!
    (n)k = 6!/4!
    (n)k = 6*5*4*3*2*1/4*3*2*1
    (n)k =6*5=30

    Με 120 διαφορετικούς τρόπους μπορούμε ν’ αναδιατάξουμε τα γράμματα της λέξης
    «l i s a r i».
    (γ)Διάταξη γραμμάτων 6 ανά τρία.
    (n)k = n!/(n-k)!
    (n)k = 6!/(6-3)!
    (n)k = 6!/3!
    (n)k = 6*5*4*3*2*1/3*2*1
    (n)k =6*5*4=120

    Με 360 διαφορετικούς τρόπους μπορούμε ν’ αναδιατάξουμε τα γράμματα της λέξης
    «l i s a r i».
    (δ)Διάταξη γραμμάτων 6 ανά τέσσερα.
    (n)k = n!/(n-k)!
    (n)k = 6!/(6-4)!
    (n)k = 6!/2!
    (n)k = 6*5*4*3*2*1/2*1
    (n)k =6*5*4*3=360

    Με 720 διαφορετικούς τρόπους μπορούμε ν’ αναδιατάξουμε τα γράμματα της λέξης
    «l i s a r i».
    (ε)Διάταξη γραμμάτων 6 ανά πέντε.
    (n)k = n!/(n-k)!
    (n)k = 6!/(6-5)!
    (n)k = 6!/1!
    (n)k = 6*5*4*3*2*1/1
    (n)k =6*5*4*3*2=720

    Με 720 διαφορετικούς τρόπους μπορούμε ν’ αναδιατάξουμε τα γράμματα της λέξης
    «l i s a r i».
    (ζ)Διάταξη γραμμάτων 6 ανά έξι.
    (n)k = n!/(n-k)!
    (n)k = 6!/(6-6)!
    (n)k = 6!/0!
    (n)k = 6*5*4*3*2*1/1
    (n)k =6*5*4*3*2*1=720

    ΑπάντησηΔιαγραφή
    Απαντήσεις
    1. Αφού το i εμφανίζεται δύο φορές σε κάθε μια από τις 720 "λέξεις"( δηλαδή ανά δύο οι "λέξεις" είναι ίδιες), οι διαφορετικές "λέξεις" είναι 720:2=360.

      Διαγραφή
  14. Πρόβλημα No.16
    Όταν ο Αχιλλέας θα έχει τρέξει 100μ, η χελώνα θα έχει τρέξει 80μ. Άρα θα συναντηθούν 20μ. πριν το τέρμα. Επειδή, όμως, ο Αχιλλέας είναι πιο γρήγορος, θα διανύσει τα τελευταία 20μ. ταχύτερα και θα τερματίσει και πάλι πρώτος.

    Πρόβλημα No.18
    Για τη λύση όρα εδώ:
    https://imgur.com/a/IXvna3n

    Πρόβλημα No.20
    Ένα
    Ένα, Ένα
    Δύο, Ένα
    Ένα, Δυο – Ένα, Ένα
    Ένα, Ένα – Ένα, Δύο – Δύο, Ένα
    Τρία, Ένα – Δύο, Δύο – Ένα, Ένα

    Πρόβλημα No.21
    Θα χρειασθεί 16 άλματατα οποία αντιστοιχούν σε 9,999847μέτρα
    5
    2,5
    1,25
    0,625
    0,3125
    0,15625
    0,078125
    0,039063
    0,019531
    0,009766
    0,004883
    0,002441
    0,001221
    0,00061
    0,000305
    0,000153
    9,999847

    Πρόβλημα Νο.23
    Στα 27€ που πλήρωσαν όλοι μαζί για το κρασί συμπεριλαμβάνονται και τα 2€ φιλοδώρημα που έδωσαν στον υπάλληλο για την καλή του πράξη. Άρα έχουμε:
    25€ το κρασί
    2€ το φιλιδώρημα
    Και 3€ που μοιράστηκαν οι τρεις φίλοι
    Σύνολο 30€

    Πρόβλημα Νο.28
    Μαύρο Τρίγωνο.


    ΑπάντησηΔιαγραφή
  15. Πρόβλημα Νο.15
    Για την εικόνα όρα εδώ:
    https://imgur.com/a/IOb0NK3
    Παίρνουμε το σπίρτο από τον αριθμό 8, ο οποίος μετατρέπεται σε μηδέν (0) και το τοποθετούμε ως εκθέτη στο αριστερό έξι ή στο δεξί έξη κι’ έχουμε ως αποτέλεσμα μηδέν (0).
    6^1-6=6-6=0 ‘η 6-6^1=6-6=0

    ΑπάντησηΔιαγραφή
  16. Πρόβλημα Νο. 26
    Η απαίτηση της άσκησης για απευθείας σύνδεση των σπιτιών με τις εξόδους 1, 2, και 3 οδηγεί στην απαίτηση κατασκευής ενός πλήρους διμερούς γράφου για τον οποίο γνωρίζουμε ότι δεν είναι επίπεδος. Επομένως, δεν γίνεται να ικανοποιηθούν οι ανωτέρω προδιαγραφές. (Θεωρεία Γραφημάτων)

    ΑπάντησηΔιαγραφή
    Απαντήσεις
    1. Η ίδια φιλοσοφία ισχύει και για τα τρία σπίτια με την σύνδεση των τριών παροχών. Δ.Ε.Η., Ο.Τ.Ε., και Ε.Υ.Δ.Α. Όρα εικόνα εδώ:
      https://imgur.com/a/px2mRoX

      Διαγραφή
  17. 31o πρόβλημα

    Μπορούμε να χωρίσουμε το τραπέζιο σε τέσσερα ίσα ορθογώνια τραπέζια με βάσεις χ και χ/2 και ύψος χ ( χ είναι η μικρή βάση του δοσμένου τραπεζίου ).
    Τα τέσσερα τραπέζια προκύπτουν φέρνοντας μέσα στο τραπέζιο δύο κάθετα τμήματα μήκους χ/2 στα μέσα των δύο βάσεων και ένα τρίτο τμήμα μήκους χ παράλληλο στις βάσεις από το μέσο της μεγαλύτερης μη παράλληλης πλευράς του τραπεζίου.

    ΑπάντησηΔιαγραφή
    Απαντήσεις
    1. Το ύψος των τεσσάρων τραπεζίων είναι χ/2 και όχι χ όπως εσφαλμένα αναφέρω παραπάνω.

      Διαγραφή
    2. Επισυνάπτω το σχήμα στην διεύθυνση: https://imgur.com/a/gS672v0

      Διαγραφή
  18. Να προσθέσω κι’ εγώ στη λύση του AegeanSea την εικόνα. Ορα εδώ:
    https://imgur.com/a/ybppRrz

    ΑπάντησηΔιαγραφή
  19. Πρόβλημα Νο.32
    Αριστερή Εικόνα
    (α)Αφαιρούμε τους αριθμούς κάθε στήλης.
    (β)αθροίζουμε τις διαφορές των δύο στηλών.
    (γ)Διαιρούμε το άθροισμα με τον αριθμό 2.
    (23)-11+(40-16)=12+24=36/2=18
    Δεξιά Εικόνα
    (α)Αφαιρούμε τους αριθμούς κάθε στήλης.
    (β)αθροίζουμε τις διαφορές των δύο στηλών.
    (γ)Διαιρούμε το άθροισμα με τον αριθμό 2.
    (33-10)+(50-21)=23+29=52/2=26
    Εικόνα όρα εδώ:
    https://imgur.com/a/smFVK75

    Πρόβλημα Νο.34
    Για τη λύση και εικόνα όρα εδώ:
    https://imgur.com/a/smFVK75

    Πρόβλημα Νο.35
    Για τη λύση και εικόνα όρα εδώ:
    https://imgur.com/a/smFVK75

    Πρόβλημα Νο.37
    Εάν ενώσουμε τα κομμάτια σχηματίζεται ένα τετράγωνο.

    ΑπάντησηΔιαγραφή
  20. Pr;oblhma No.19
    Δύο είναι οι μυστικοί εξαψήφιοι αριθμοί: ο αριθμός 213312 και ο αριθμός 513315

    ΑπάντησηΔιαγραφή
  21. Μάκη,
    Τουλάχιστον να δίνεις τις σωστές εκφωνήσεις, όπως στο κατωθι πρόβλημα #36 που έχει ως εξής:

    Εκφώνηση: Ο Ιερεμίας έχει δημιουργήσει μια εφαρμογή για έξυπνα κινητά, που την ονομάζει «Δημιουργό Αριθμητικών Παραστάσεων». Πρέπει να χρησιμοποιήσετε και τα τέσσερα μαθηματικά σύμβολα (+, -, : και x) με όποια σειρά θέλετε, έτσι ώστε ξεκινώντας από τον αριθμό 7 να καταλήξετε στον αριθμό 144.
    Όρα εδώ τη σχάρα:
    https://imgur.com/a/ldfZ8s0

    Λύση:
    https://imgur.com/a/ldfZ8s0

    ΑπάντησηΔιαγραφή
    Απαντήσεις
    1. Η εκφώνηση είναι μια χαρά! Δεν βλέπω κάποιο πρόβλημα! Είναι όπως μου δόθηκε διαγωνίστηκαν εκατοντάδες μαθητές. Αν έγινε και κάποιος λάθος τυπογραφικό (που στην περίπτωσή μας δεν έγινε) ε τότε να μας συγχωρέσετε δεν έγινε επί τούτου!

      Η απάντηση είναι:

      7 x 9 + 11 – 14 : 5 x 12

      = 144

      Διαγραφή
  22. Πρόβλημα # 32
    Δεύτερη λύση:
    Ο αριθμός 15
    Ο αριθμός στην πόρτα προκύπτει, εάν αθροίσουμε ‘πλα τα ψηφία που βλέπουμε στα παράθυρα.
    Αριστερά:
    1+1+4+0+2+3+1+6=18
    Δεξιά:
    1+0+3+3+2+1+5+0=15 (?)
    Όρα εδώ εικόνα:
    https://imgur.com/a/e8A32Sh

    ΑπάντησηΔιαγραφή
  23. Πρόβλημα #33 - Το Τρίγωνο
    Το μοναδικό είδος τριγώνου που ικανοποιεί τη συνθήκη είναι το ισοσκελές ορθογώνιο. Πράγματι, εάν θεωρήσουμε ένα τρίγωνο ΑΒΓ στ’ οποίο η πλευρά α=ΒΓ είναι μικρότερη ή ίση από το αντίστοιχο ύψος ha, και η πλευρά β=ΓΑ είναι μικρότερη ή ίσηαπό το ύψος hb.Προφανώς, ένα ύψος δεν μπορεί να είναι μεγαλύτερο από μια πλευρά που ξεκινά από την ίδια κορυφή του τριγώνου, άρα οι παραπάνω σχέσεις θα ισχύουν μόνο όταν η πλευρά α συμπίπτει με το ύψος hb, δηλαδή, όταν η α είναι κάθετη στη β.

    ΑπάντησηΔιαγραφή
  24. Pr;oblhma #30 - Ta Xr;eh
    A=-50+30-20=-40, B=+50-10=+40, άρα ο Α να δώσει 40€ στον Β.
    Γ=+10-30+40=+20, Δ=+20-40=-20, άρα ο Δ να δώσει 20€ στον Γ.

    ΑπάντησηΔιαγραφή
  25. Pr;oblhma # 29 - Ta Chf;ia
    Ο «αβ» γράφεται ως (10α+β) (1) και ο «βα» γράφεται ως (10β+α) (2). Από τ’ ανωτέρω έχουμε την εξίσωση:
    (10α+β)+10β+α)=176 11α+11β=176 ----> 11(α+β=176 ----> (α+β)=176/11 ----> (α+β)=16
    (a,b)=(9,7), (8,8), (7,9)

    ΑπάντησηΔιαγραφή
  26. Pr;oblhma # 28 - To Mot;ibo
    Μαύρο Τρίγωνο.

    ΑπάντησηΔιαγραφή
  27. Pr;oblhma #25 - To Pl;egma
    Gia th l;ysh ;ora ed;vQ
    https://imgur.com/a/kM34jPI

    ΑπάντησηΔιαγραφή
  28. Πρόβλημα # 24 - Τα Αθροίσματα
    Για τη λύση όρα εδώ:
    https://imgur.com/a/sbAKrcP

    ΑπάντησηΔιαγραφή
  29. Πρόβλημα #22 -Τοποθέτηση Αριθμών
    Για τη λύση όρα εδώ:
    https://imgur.com/a/aQM1qla

    ΑπάντησηΔιαγραφή
  30. Πρόβλημα #22 - Τοποθέτηση Αριθμών
    Για τη λύση όρα εδώ:
    https://imgur.com/a/aQM1qla

    ΑπάντησηΔιαγραφή
  31. Πρόβλημα # 17 - Ο Αριθμός
    3+11+4+7=10+1+9+5=11+6+2+6=x+12+5+8=25, άρα x=0.
    Για τη εικόνα όρα εδώ:
    https://imgur.com/a/bZsK8je

    ΑπάντησηΔιαγραφή
  32. Pr;oblhma #22 - H Topou;ethsh
    Gia th l;ysh ;ora ed;vQ
    https://imgur.com/a/aQM1qla

    ΑπάντησηΔιαγραφή