Νέο έτος; Νέα στήλη! Μια μαθηματική πρόταση το μήνα από τον...

Φέτος, μπήκε με το δεξί στο lisari.blogspot.com ο φίλος και αγαπητός μέλος της lisari team, Γιώργος Χασάπης!

Ο Γιώργος κάθε μήνα θα μας παρουσιάζει από μια σημαντική πρόταση των μαθηματικών. Μια πρόταση που θα αφορά είτε τους μαθητές είτε τους φοιτητές. Συνολικά θα παρουσιαστούν από εδώ 12 προτάσεις. Στο τέλος του έτους θα δημιουργήσουμε ένα ενιαίο αρχείο και θα το αναρτήσουμε λίγο πριν τη λήξη του έτους.

Πρόταση 5η (Μαΐου): Ανάλυση
Η πέμπτη πρόταση του Γιώργου είναι βασική και απλή μέχρι και τους μαθητές της Γ Λυκείου! Κυρτή και άνω φράγμα! Είναι εφικτό;

"Δεν υπάρχει κυρτή συνάρτηση f : R→R  (σύμφωνα με τον ορισμό του σχολικού βιβλίου) για την οποία υπάρχει MεR τέτοιο ώστε f (x) < M, για κάθε xεR."

Με λίγα λόγια:

"Δεν υπάρχει κυρτή συνάρτηση και άνω φραγμένη στο R. Κάτι ανάλογο ισχύει και για τη κοίλη και κάτω φραγμένη¨. 

Για να αποθηκεύσετε το αρχείο πατήστε εδώ.

Πρόταση 4η (Απριλίου): Ανάλυση
Η τέταρτη πρόταση του Γιώργου καταπιάνεται με την περίοδο συνάρτησης. Η απόδειξη είναι απαιτητική αφού χρειάζονται γνώσεις από Πανεπιστημιακή ύλη. 

"Έστω f :R →R μια μη σταθερή περιοδική συνάρτηση η οποία έχει τουλάχιστον ένα σημείο συνέχειας. Τότε η f έχει ελάχιστη θετική περίοδο, δηλαδή υπάρχει Τ > 0 περίοδος της f τέτοιο ώστε κανένα σημείο του διαστήματος (0,T) να είναι περίοδος της f".

Για να αποθηκεύσετε το αρχείο πατήστε εδώ.

Πρόταση 3η (Μαρτίου): Ανάλυση
Η τρίτη πρόταση του Γιώργου παρουσιάζει μεγάλο ενδιαφέρον αφού λέει κάτι πολύ απλό:

" Για μια συνεχή συνάρτηση f: ℝ → ℝ ισχύει η εξής ισοδυναμία: Η f είναι 1 − 1 αν και μόνο αν η f δεν έχει ακρότατα."

Η εξήγηση είναι απλή: Αν η f είναι συνεχής και 1 - 1, τότε (;) είναι γνησίως μονότονη, άρα δεν έχει ακρότατα. Φυσικά αυτή η πρόταση, όπως και το αντίστροφο, θέλει απόδειξη αφού δεν υπάρχει στο σχολικό βιβλίο!

Για να αποθηκεύσετε το αρχείο πατήστε εδώ.

Πρόταση 2η (Φεβρουαρίου): Ανάλυση
Η δεύτερη πρόταση είναι η έκδοση της ανισότητας του Hölder για συνεχείς συναρτήσεις, μία από τις σημαντικότερες ανισότητες της Ανάλυσης.

Για να αποθηκεύσετε το αρχείο πατήστε εδώ.

Πρόταση 1η (Ιανουαρίου): Ανάλυση

Η πρώτη πρόταση είναι διδακτική και μπορεί να παρουσιαστεί στην τάξη:

"Κάθε πολυωνυμική συνάρτηση f άρτιου βαθμού λαμβάνει μέγιστο ή ελάχιστο"

Συγκεκριμένα, αν ο συντελεστής του μεγιστοβάθμιου όρου της είναι:
•  θετικός, τότε η f λαμβάνει ελάχιστο στο R.
•  αρνητικός, τότε η f λαμβάνει  μέγιστο στο R.

Για να αποθηκεύσετε το αρχείο πατήστε εδώ.

"Κάθε πολυωνυμική συνάρτηση f άρτιου βαθμού λαμβάνει μέγιστο ή ελάχιστο" from Μάκης Χατζόπουλος