Παρασκευή, 23 Οκτωβρίου 2020

Εσείς πώς τη λύνετε;

Μια άσκηση που κάνω κάθε χρόνο στους μαθητές της Β΄ Λυκείου Άλγεβρα στα Γραμμικά Συστήματα και κάθε χρόνο αντιμετωπίζω τις ίδιες δυσκολίες στην κατανόησή της... 

Είναι η άσκηση Α7 / σελ. 21!

Εσείς πώς τη λύνετε την παρακάτω άσκηση;


Δείτε μια πρωτότυπη λύση σε κάθε ερώτημα στο παρακάτω αρχείο. Επιμέλεια: Μάκης Χατζόπουλος

Για απευθείας αποθήκευση πατήστε εδώ.

Για να δείτε όλα τα νέα αρχεία για το σχολικό έτος 2020 - 21 

από το Λύκειο - Γυμνάσιο και ΕΠΑΛ πατήστε εδώ

20 σχόλια:

  1. Μπορούμε να το δούμε λιιιιιίγο διαφορετικά Μάκη, χωρίς το ερώτημα που πρόσθεσες.
    Αφού D=0 έχει άπειρες η καμία λυση.
    Δίνουμε μια τιμή (οποία θελουμε εμείς) στο x, στην 1η εξίσωση και βρίσκουμε το αντίστοιχο y. Ελέγχουμε αν αυτό το ζεύγος (x,y) επαληθεύει και την 2η εξίσωση. Αν ναι έχει άπειρες λύσεις, αν όχι καμία!
    Απλά πατώντας πάνω στο σχόλιο του τωρινού σχολικού βιβλίου, ή θα έχει μία λύση, ή άπειρες.

    Γράφω από κινητό, μπορεί να έχει ορθογραφικά λάθη.

    ΑπάντησηΔιαγραφή
    Απαντήσεις
    1. Μια χαρά τα έγραψες Κώστα! Συμφωνώ με την προσέγγισή σου! Έτσι κάνουμε το ερώτημα ii!

      Διαγραφή
    2. Κώστα συμπλήρωσα και το δεύτερο ερώτημα της άσκησης. Πλέον δείχνει ένα διαφορετικό τρόπο προσέγγισης όταν το D=0!

      Διαγραφή
    3. Πάντως να πω την αλήθεια, πολλοί συνάδελφοι ειδικά στα Επαλ, διδάσκουν σύμφωνα με το παλιό σχολικό και πλήρως τυποποιημένα τα συστήματα. Σίγουρα η απλούστευση κάποιων διαδικασιών, με δεδομένο το επίπεδο της κάθε τάξης, είναι λογικό να γίνεται, αλλά δυστυχώς όχι σε αυτή την περίπτωση.

      Διαγραφή
  2. Μάκη πολύ ωραίος ο τρόπος με την λύση (0, -1)
    Προφανώς, και οι 2 ευθείες διέρχονται από ένα "ωραίο" σημείο, δηλαδή από ένα σημείο με ακέραιες συντεταγμένες. Το πρόβλημα θα υπήρχε αν οι 2 ευθείες (στην πραγματικότητα είναι μια η ευθεία) δεν διέρχονταν από κανένα σημείο της μορφής Α(α,β) όπου α, β ακέραιοι. Τότε θα ήταν πολύ δύσκολο για τους μαθητές να βρούν μια λύση και να πούνε άρα είναι άπειρες.
    Για παράδειγμα η ευθεία sqrt(1,4)x + sqrt(1,5)y = 2,1 στο διάστημα [-50,50] δεν διέρχεται από κανένα σημείο με ακέραιες και τις 2 συντεταγμένες του.
    Για αυτόν τον λόγο, καλό είναι οι συγγραφείς να το ξαναδούν και να προσθέσουν όσα παρέλειψαν για την απειρία των λύσεων σχετικά με το αν D=Dx=Dy=0

    ΑπάντησηΔιαγραφή
  3. Δεν συμφωνώ με την επίλυση : D=Dx=Dy=0 διότι στο ενδεχόμενο που α=α΄=β'=β'=0 και γ#0 ή γ'#0 ισχύει πως D=Dx=Dy=0 όμως το (Σ) είναι αδύνατο.

    Άρα ή τα λέμε όλα στα παιδιά ή δεν το αναφέρουμε καθόλου.

    ΑπάντησηΔιαγραφή
    Απαντήσεις
    1. Έχεις απόλυτο δίκαιο συνάδελφε! Επιλεγουμε: ή πληρότητα ή ασάφεια-λάθος!
      Για αυτό καλό θα ήταν να πηγαίνουμε με το σχολικό βιβλίο και να μην διδάσκουμε εκτός αυτού, όσο και αν μας λύνει τα χέρια...

      Διαγραφή
    2. Ακριβώς είναι ο λόγος που βγήκε εκτός το εμπλουτισμένο θεώρημα. Γιατί ΔΕΝ έφτανε το D=Dx=Dy=0 να καταλήξουμε σε αόριστο. Και νιώθω, ότι όσοι το λένε, δεν τα λένε όλα, οπότε για μένα ΔΕΝ πρέπει να γίνεται καμία αναφορά σε αυτή την πρόταση. Άρα πρέπει να μείνουμε στο πώς πρέπει να λύνουμε αυτές τις ασκήσεις με πιο έξυπνους τρόπους από το να καταφεύγουμε σε ύλη που δεν αναφέρεται στο σχολικό βιβλίο.

      Διαγραφή
    3. Εγώ λέω στα παιδιά πως αν βγει D=0 , τότε γυρνάς στο (Σ) και με κατάλληλες γραμμοπράξεις τα αριστερά μέλη των εξισώσεων βγαίνουν αναγκαστικά ίσα. Ανάλογα με το αν είναι και τα δεξιά μέλη ίσα ή όχι καθορίζεται και η απάντησή μας, αν δλδ το (Σ) είναι αδύνατο ή έχει άπειρες λύσεις.

      Διαγραφή
    4. Το ίδιο με τον Σταύρο κάνω και εγώ. Στην συγκεκριμένη περίπτωση βέβαια οι γραμμοπράξεις είναι πιο δύσκολες.

      Διαγραφή
  4. Αυτό το σχόλιο αφαιρέθηκε από τον συντάκτη.

    ΑπάντησηΔιαγραφή
  5. Αυτό το σχόλιο αφαιρέθηκε από τον συντάκτη.

    ΑπάντησηΔιαγραφή
  6. Χωρίς τη χρήση οριζουσων αν πολλαπλασιασουμε την "κάτω" εξισωση με (ρίζα 3)-1 προκύπτει απευθείας το αόριστο σύστημα.

    ΑπάντησηΔιαγραφή
  7. Για το i) συστημα. Αντίστοιχα για το ii ) πολαπλασιαζοντας με κάποιο συζυγη παράγοντα προκύπτει απευθείας αδύνατο σύστημα.

    ΑπάντησηΔιαγραφή
    Απαντήσεις
    1. Προφανώς Χρήστο! Απλά πως θα το σκεφτεί ο μαθητής; Ενώ οι ορίζουσες ή αντικατάσταση είναι μια νορμάλ αντιμετώπιση. Εγώ κάθε φορά που το δίδασκα έτσι είχα αντιδράσεις, γι αυτό "ανακάλυψα" στο πίνακα αυτό τον τρόπο μετά από δυσκολίες των μαθητών.

      Διαγραφή
  8. Αγαπητέ κ. Χατζόπουλε καλησπέρα.
    Διαβάζοντας την λύση που προτείνετε βλέπω ότι γράφετε ότι το σύστημα είναι αόριστο. Αυτό σε ποιό σημείο του σχολικού βιβλίου αναφέρεται; Σε ποιά σελίδα υπάρχει στο σχολικό βιβλίο ο χαρακτηρισμός αόριστο σύστημα;

    ΑπάντησηΔιαγραφή
    Απαντήσεις
    1. Σε κανένα σημείο του σχολικού βιβλίου!

      Το βιβλίο αναφέρει τα εξής για το γραμμικό σύστημα 2 επί 2:

      - Το σύστημα έχει μοναδική λύση
      - Το σύστημα είναι αδύνατο
      - Το σύστημα έχει άπειρο πλήθος λύσεων.

      Παρόλα αυτά δεν είναι λάθος να λέμε την τελευταία περίπτωση ως αόριστο το σύστημα, αφού υπάρχει σε αρκετά βιβλία. Σωστά;

      Ως προς την σημείωσή σας πάντως έχετε δίκιο! Θα το αντικαταστήσω για να είμαστε συνεπείς με το σχολικό βιβλίο!

      Διαγραφή
    2. Ο χαρακτηρισμός "αόριστο σύστημα" υπάρχει, πάντως, στο σχολικό βιβλίο της Γ' Γυμνασίου. (σελ. 129)

      Διαγραφή
  9. Μια στιγμή συνάδελφοι γιατί μου φαίνεται ότι κυνηγάμε τις κακιές μάγισσες.
    Όταν ήμασταν μαθητές Λυκείου πολλοί από εμάς είχαμε στην Α Λυκείου το βιβλίο των Ανδρεαδάκη, Κατσαργύρη, Παπασταυρίδη, Πολύζου, Σβέρκου όπου στην σελίδα 107 στο μπλε πινακάκι αναφέρει :
    αν D<>0, έχει μοναδική λύση ...
    αν D=0 και (Dx<>0 ή Dy<>0) είναι ασύνατο
    αν D=Dx=Dy=0 είναι αόριστο εκτός αν .....

    Δηλαδή αυτά που μάθαμε πρέπει να τα διαγράψουμε από την μνήμη μας?
    Αυτά που μάθαμε στο πανεπιστήμιο πρέπει και αυτά να τα ξεχάσουμε?
    Βεβαίως και τον όρο ¨αόριστο¨ πρέπει να τον χρησιμοποιούμε
    Συνάδελφε Unknown πολύ καλά έκανε ο Μάκης (με τον οποίο έχω διαφωνήσει πολλές φορές μαζί του) και χρησιμοποίησε τον όρο αόριστο. Και πολύ καλά έκανε ο nik και μας θύμησε πως και στην Γ γυμνασίου υπάρχει ο όρος αυτός.
    Δεν υπάρχει λόγος να "τσακωνόμαστε" μεταξύ μας επειδή στο σχολικό βιβλίο της άλγεβρας Β λυκείου που κυκλοφορεί τα τελευταία χρόνια υπάρχουν "σκοτεινά σημεία". Οι συγγραφείς του σχολικού βιβλίου δεν επιτρέπεται να αλλάζουν ορισμούς, θεωρήματα, πορίσματα, κ.τ.λ. χωρίς να εξηγούν τον λόγο που το έκαναν. Επίσης Μάκη κακώς απολογήθηκες. Έγραψες στον Unknown ότι δεν είναι λάθος να χρησιμοποιούμε τον όρο άοριστο μιας και υπάρχει σε πολλά εξωσχολικά βιβλία. Είναι γεγονός πως υπάρχουν εξωσχολικά βιβλία αριστουργήματα. Αν όμως δεν υπήρχε ο όρος αόριστο στα εξωσχολικά, τι θα έλεγες τότε? Ακόμα και αν αδεν υπάρχει στα εξωσχολικά είναι ορολογία επίσημη με την οποία εξεταστήκαμε για να μπούμε στο πανεπιστήμιο και εξεταστήκαμε για να βγούμε από αυτό.
    Να βελτιώσουν το σχολικό βιβλίο της άλγεβρας της β λυκείου που κυκλοφορεί επιτέλους για να μην φτάνουμε στο σημείο ο ένας συνάδελφος να "κατηγορεί" κάποιον άλλον (χωρίς ο 2ος να φταίει)

    ΑπάντησηΔιαγραφή