Η Γεωμετρία στην τέχνη και την επιστήμη

Πρόγραμμα Μορφωτικών Εκδηλώσεων - ΕΠΙΣΤΉΜΗ ΚΟΙΝΩΝΊΑ

Β΄ ΚΥΚΛΟΣ ΟΜΙΛΙΩΝ (30/11– 21/12/2010)

Έκθεση και Επιστημονικές παρουσιάσεις

Κίρκινος: Η Γεωμετρία στην τέχνη και την επιστήμη
Σπάνια όργανα σχεδίου και μετρήσεως από την ιδιωτική συλλογή του Θανάση Κουτρουβέλη

Μια μοναδική έκθεση σπάνιων επιστημονικών οργάνων σχεδίου και μετρήσεως από την ιδιωτική συλλογή του Θανάση Κουτρουβέλη παρουσιάζεται για πρώτη φορά στην Ελλάδα. Η έκθεση πλαισιώνεται από μία σειρά διαλέξεων/επιστημονικών παρουσιάσεων σχετικά με την ιστορία και φιλοσοφία των μαθηματικών και της αρχιτεκτονικής με σκοπό να αναδειχθούν οι σχέσεις ανάμεσα στην ιστορία των επιστημών και την ιστορία των τεχνών, εστιάζοντας στη γεωμετρία και τον ρόλο της στη σύλληψη και εκτέλεση δημιουργικού σχεδίου.

Σε αυτό το πλαίσιο τα όργανα θα παρουσιαστούν ως η πρακτική εφαρμογή μιας μαθηματικής θεωρίας, με σκοπό να καθοδηγηθεί ο επισκέπτης τόσο στις τεχνικές σχεδίου όσο και στα εικαστικά πρότυπα και τον τρόπο σκέψης σε διάφορους τομείς, όπως η κλασική αρχιτεκτονική.

Η έκθεση και οι παράλληλες εκδηλώσεις διοργανώνονται από το Πρόγραμμα Ιστορίας, Φιλοσοφίας και Διδακτικής των Επιστημών και της Τεχνολογίας του Ινστιτούτου Νεοελληνικών Ερευνών του Εθνικού Ιδρύματος Ερευνών στο πλαίσιο του προγράμματος Hephaestus (“Hellenic Philosophy, History and Environmental Science Teaching Under Scrutiny”) του 7ου Προγράμματος Πλαισίου της Ε.Ε. (RegPot-2008-1).



Επιμέλεια έκθεσης: Δρ Κατερίνα Καρέλλα
Τρίτη 30 Νοεμβρίου 2010
Drawing things together*
Dr Stephen Johnston, Assistant Keeper, Museum of the History of Science, University of Oxford

Το βακτήριον της Γεωμετρίας

Θεοδόσιος Τάσιος, Καθηγητής ΕΜΠ, Πρόεδρος της Εταιρείας Μελέτης Αρχαίας Ελληνικής Τεχνολογίας

* Θα υπάρχει ταυτόχρονη μετάφραση

Τρίτη 7 Δεκεμβρίου 2010
Scientific instruments that aren’t. Some examples from the 20th century*
Girolamo Rammuni, Professeur des Universités, Conservatoire National des Arts et Métiers, Παρίσι

Επιστημονικά όργανα στο Βυζάντιο και τον νεότερο ελληνισμό: Μια παρεξηγημένη υπόθεση

Eυθύμιος Νικολαίδης, Διευθυντής Ερευνών, Ινστιτούτο Νεοελληνικών Ερευνών/ΕΙΕ, Eπιστ. Yπεύθυνος του προγράμματος Hephaestus

* Θα υπάρχει ταυτόχρονη μετάφραση



Τρίτη 14 Δεκεμβρίου 2010

Τα επιστημονικά όργανα στο σχολείο: Παιδαγωγικές δραστηριότητες αξιοποίησης των επιστημονικών οργάνων και της ιστορίας τους

Kώστας Σκορδούλης, Καθηγητής Φυσικής & Επιστημολογίας Φυσικών Επιστημών, Παιδαγωγικό Τμήμα Δημοτικής Εκπαίδευσης, Πανεπιστήμιο Αθηνών

Αρχιτεκτονική σκέψη και γεωμετρικά όργανα

Θανάσης Κουτρουβέλης, αρχιτέκτων



Τρίτη 21 Δεκεμβρίου 2010

Αλλαγές της διάστασης χώρου - χρόνου στις αρχές του αιώνα και σήμερα

Κώστας Βαρώτσος, Γλύπτης, Καθηγητής ΑΠΘ, Τμήμα Αρχιτεκτόνων

Η Γεωμετρική έρευνα στην Ευρώπη τον 18o και 19o αιώνα

Χριστίνα Φίλη, Iστορικός των μαθηματικών, αν. Καθηγήτρια ΕΜΠ, μέλος της Διεθνούς Ακαδημίας Ιστορίας Επιστημών



Η έκθεση υποστηρίχτηκε με εικαστικό υλικό από το Science Museum της Οξφόρδης

Διαδραστικό υλικό και επιστημονικά ντοκιμαντέρ από το αρχείο και σε συνεργασία με το Ίδρυμα Μείζονος Ελληνισμού

Η έκθεση θα λειτουργεί στο ισόγειο του Εθνικού Ιδρύματος Ερευνών

Διάρκεια έκθεσης 30/11/2010 – 30/01/2011

Ώρες λειτουργίας της έκθεσης: καθημερινά 10.00΄ -20.00΄

Σάββατο και Κυριακή 10.00΄ - 14.00΄
Ώρες προβολών: τις ημέρες των εκδηλώσεων (17:30΄-19:00΄)
Χορηγείται βεβαίωση παρακολούθησης στους φοιτητές
Εθνικό Ίδρυμα Ερευνών (ΕΙΕ), Αμφιθέατρο «Λεωνίδας Ζέρβας»
Λεωφόρος Βασιλέως Κωνσταντίνου 48, Αθήνα
στις 19:30΄
Είσοδος Ελεύθερη
Final Circinus Prgm

Τεστ Γεωμετρία Α Λυκείου - Τριγωνική ανισότητα

Γεωμετρία Α΄ Λυκείου - Test(15') στην ενότητα 3.12 - Τριγωνική ανισότητα
2η Γραπτή εξέταση Α-Β ομάδα- Τριγωνική ανισότητα

Μάθημα 4ο - Γ΄ Λυκείου Κατεύθυνσης - Μονοτονία και ακρότατα συνάρτησης

Συνεχίζουμε με το Μάθημα 4 της Γ Λυκείου Μαθηματικά κατεύθυνσης: 'Μονοτονία - Ακρότατα" (νέο: 22/11/2010)
Μάθημα 4ο-Μονοτονία και ακρότατα συνάρτησης-υδατογράφημα

Οι ρητορικοί και δικανικοί λόγοι πάτησαν σε μαθηματικά θεωρήματα - Απόστολος Δοξιάδης

Το γεγονός πως οι ρητορικοί και δικανικοί λόγοι αποτελούν τη βάση πάνω στην οποία πάτησαν τα πρώτα μαθηματικά θεωρήματα, ανέλυσε ο πολύ γνωστός μαθηματικός Α. Δοξιάδης
Η λογική-μαθηματική απόδειξη, η πρώτη και σημαντικότερη συνεισφορά των Ελλήνων στα μαθηματικά, "γεννήθηκε" γύρω στο 430 π.Χ, με απόκλιση το πολύ 20 χρόνων πριν ή μετά από αυτή την χρονολογία. Το σημαντικό αυτό βήμα, που οδήγησε περίπου μετά από περίπου ενάμιση αιώνα στην εμφάνιση της γεωμετρίας του Ευκλείδη με το έργο του "Στοιχεία", συνέπεσε -όχι τυχαία- με άλλες μνημειώδεις εξελίξεις στην πολιτική και την τέχνη εκείνη την εποχή, καθώς η Δημοκρατία "γέννησε" τη Λογική. Ειδικότερα, οι ρητορικοί και δικανικοί λόγοι αποτέλεσαν το πρότυπο με βάση το οποίο δομήθηκαν τα πρώτα μαθηματικά θεωρήματα των αρχαίων Ελλήνων.
Αυτά υποστήριξε ο συγγραφέας και μαθηματικός Απόστολος Δοξιάδης, σε χθεσινοβραδινή ομιλία του με θέμα "Τι βρίσκεται ανάμεσα στον έκτο και τον τέταρτο αιώνα π.Χ.: το πέρασμα στα ελληνικά μαθηματικά", με την οποία εγκαινιάστηκε ο νέος κύκλος ομιλιών με κεντρικό άξονα "Πρόσφατες εξελίξεις στην μελέτη των αρχαίων ελληνικών μαθηματικών", που διοργανώνει το Μουσείο Κυκλαδικής Τέχνης στην Αθήνα. Οι απόψεις του ομιλητή αποτελούν καρπό δεκάχρονης έρευνάς του πάνω στο ζήτημα και έχουν αρχίσει να δημοσιεύονται σε ξένα περιοδικά, όπως το διεπιστημονικό αμερικανικό "Storyworlds".
Κάνοντας μια διεξοδική συγκριτική ανάλυση των αρχαίων λογοτεχνικών κειμένων με τα πρώτα μαθηματικά θεωρήματα και κείμενα, ο Δοξιάδης ανέδειξε τα κοινά σχήματα λόγου και σκέψης που διατρέχουν και τα δύο (χιασμός, κυκλικές συνθέσεις κ.α.), τονίζοντας τις ομοιότητες της λογοτεχνικής αφήγησης και της μαθηματικής λογικής, που παραπέμπουν έτσι σε μια λογοτεχνική "γενεαλογία" της απόδειξης. Όπως είπε, η ποιητική αφήγηση οδήγησε στη ρητορική πειθώ και αυτή κατέληξε στη δόμηση της λογικής και μαθηματικής απόδειξης.
Καθώς η δημοκρατία και η τέχνη (ιδιαίτερα η τραγωδία) άνθιζαν και οι άνθρωποι στην αγορά και στα δικαστήρια της αρχαίας Αθήνας άρχισαν να προσπαθούν να πείσουν με κάθε τρόπο τους γύρω τους για την ορθότητα των απόψεων τους, η ρητορική "πίστις" (η πειθώ) οδήγησε στην απόδειξη στα μαθηματικά. Έτσι, οι Έλληνες -μέσα από τον ρητορικό λόγο και αντίλογο- εφηύραν ένα νέο λογικό και αποδεικτικό τρόπο σκέψης, που έμελλε να χαράξει ανεξίτηλα την κατοπινή ιστορία της επιστήμης.
Η εξέλιξη αυτή διευκολύνθηκε από την εφεύρεση και χρήση του διαβήτη και του κανόνα (χάρακα), αρκετά χρόνια πριν το 430 π.Χ., όπως δείχνουν και τα γεωμετρικά σχέδια πάνω σε αρχαία αγγεία. Τα εργαλεία αυτά επέτρεψαν στους πρώτους μαθηματικούς να πειραματίζονται στην πράξη και να συζητούν μεταξύ τους τις θεωρίες τους.
Ο Δοξιάδης υπογράμμισε ότι δεν ανακάλυψαν οι αρχαίοι Έλληνες τα μαθηματικά, διαλύοντας ένα μύθο που ορισμένοι πιστεύουν, τονίζοντας ότι προϋπήρξαν τα υπολογιστικά μαθηματικά των Αιγυπτίων και αυτοί, με τη σειρά τους, είχαν κατά πάσα πιθανότητα δεχτεί επιρροές από τα μαθηματικά των Βαβυλωνίων. Όπως είπε, ο ίδιος ο Ηρόδοτος παραδέχεται ότι ο Θαλής δεν δημιούργησε τα μαθηματικά, αλλά τα έφερε από την Αίγυπτο, ενώ ανάλογες αναφορές αργότερα κάνει και ο Αριστοτέλης.
Όμως από τον 6ο αιώνα, όταν υπήρχαν ουσιαστικά μόνο τα αιγυπτιακά μαθηματικά, μέχρι τον 4ο αιώνα, λαμβάνει μια χώρα μια αλυσίδα πολιτισμικών εξελίξεων, που οδηγεί τελικά στην ανάδυση των πρωτότυπων ελληνικών μαθηματικών, που αρχικά επικεντρώνονται στη γεωμετρία. Σύμφωνα με τον Δοξιάδη, τα ελληνικά μαθηματικά διαφέρουν από τα αιγυπτιακά σε σημαντικό βαθμό, καθώς έχουν πιο γενική (και όχι απλώς υπολογιστική μορφή), συνήθως περιλαμβάνουν σχήματα στα κείμενα τους και για πρώτη φορά περιέχουν αποδείξεις. Το πρώτο θεώρημα με απόδειξη ήταν ο "τετραγωνισμός των μηνίσκων" του Ιπποκράτη του Χίου, ένα επίτευγμα που καταγράφεται από τον Ρωμαίο Σιμπλίκιο τον 1ο αιώνα μ.Χ.
O Απόστολoς Δοξιάδης, παράλληλα με το πλούσιο συγγραφικό έργο του (με πιο πρόσφατο δημιούργημα το διεθνές μπεστ-σέλερ Logicomix), μελετά εδώ και χρόνια σε θεωρητικό επίπεδο τη σχέση μαθηματικών και αφήγησης. Ήδη ετοιμάζει ένα σχετικό βιβλίο με τίτλο "Από τις ιστορίες στις αποδείξεις".
Ο Δοξιάδης έπαιξε κεντρικό ρόλο στη διοργάνωση του πρώτου διεθνούς συνεδρίου "Μαθηματικά και Αφήγηση" στην Μύκονο το 2005, που σχολιάστηκε από το επιστημονικό περιοδικό Nature ότι "σηματοδότησε το ξεκίνημα μιας επαναπροσέγγισης ανάμεσα στις αποξενωμένες τέχνες των μαθηματικών και της διήγησης ιστοριών". Ακολούθησε μια δεύτερη σχετική συνάντηση στους Δελφούς το 2007, την οποία οργάνωσαν ο Δοξιάδης και ο διεθνής φήμης μαθηματικός Μπάρι Μαζούρ, οι ομιλίες της οποίας θα εκδοθούν σε βιβλίο.
Πηγή: News247.gr

Διαγώνισμα 1ου τετραμήνου Γεωμετρίας Α' Λυκείου για τα τμήματα Α1 και Α2

3 Διαγωνίσματα Γεωμετρίας της Α΄ Λυκείου για το πρώτο τετράμηνο. Πραγματοποιήθηκε στις 16/11/2010 στα τμήματα Α1 και Α2 του 1ου Λυκείου Ζακύνθου, από τον Καθηγητή Μιχαλόπουλο Νίκο.
ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3-ΝΙΚΟΣ ΜΙΧΑΛΟΠΟΥΛΟΣ

Η ύλης της Γ΄ Λυκείου στα Μαθηματικά Κατεύθυνσης

Δίνεται η ανανεωμένη ύλη για το σχολικό έτος 2010 - 11, στα Μαθηματικά Γ Λυκείου - Κατεύθυνσης.
ΕΞΕΤΑΣΤΕΑ ΥΛΗ ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ 2010-2011 - ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ
ΘΕΤΙΚΗΣ - ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ

Από το βιβλίο «Μαθηματικά» της Γ΄ τάξης Γενικού Λυκείου Θετικής και Τεχνολογικής Κατεύθυνσης των Ανδρεαδάκη Στ., κ.ά., έκδοση Ο.Ε.Δ.Β. 2010.

ΜΕΡΟΣ Α

Κεφάλαιο 2: Μιγαδικοί αριθμοί
Παρ. 2.1 Η έννοια του Μιγαδικού Αριθμού.
Παρ. 2.2 Πράξεις στο σύνολο C των Μιγαδικών.
Παρ. 2.3 Μέτρο Μιγαδικού Αριθμού.

ΜΕΡΟΣ Β

Κεφάλαιο 1: Όριο - Συνέχεια συνάρτησης
Παρ. 1.1 Πραγματικοί αριθμοί.
Παρ. 1.2 Συναρτήσεις.
Παρ. 1.3 Μονότονες συναρτήσεις- Αντίστροφη συνάρτηση.
Παρ. 1.4 Όριο συνάρτησης στο Χο
Παρ. 1.5 Ιδιότητες των ορίων, χωρίς τις αποδείξεις της υποπαραγράφου "Τριγωνομετρικά όρια"
Παρ. 1.6 Μη πεπερασμένο όριο στο Χο.
Παρ. 1.7 Όρια συνάρτησης στο άπειρο.
Παρ. 1.8 Συνέχεια συνάρτησης.

Κεφάλαιο 2: Διαφορικός Λογισμός
Παρ. 2.1 Η έννοια της παραγώγου, χωρίς την υποπαράγραφο "Κατακόρυφη εφαπτομένη"
Παρ. 2.2 Παραγωγίσιμες συναρτήσεις- Παράγωγος συνάρτηση.
Παρ. 2.3 Κανόνες παραγώγισης, χωρίς την απόδειξη του θεωρήματος που αναφέρεται στην παράγωγο γινομένου συναρτήσεων.
Παρ. 2.4 Ρυθμός μεταβολής.
Παρ. 2.5 Θεώρημα Μέσης Τιμής Διαφορικού Λογισμού.
Παρ. 2.6 Συνέπειες του Θεωρήματος Μέσης Τιμής.
Παρ. 2.7 Τοπικά ακρότατα συνάρτησης, χωρίς το θεώρημα της σελίδας 264 (κριτήριο της 2ης παραγώγου).
Παρ. 2.8 Κυρτότητα - Σημεία καμπής συνάρτησης. (Θα μελετηθούν μόνο οι συναρτήσεις που είναι δύο, τουλάχιστον, φορές παραγωγίσιμες στο εσωτερικό του πεδίου ορισμού τους).
Παρ. 2.9 Ασύμπτωτες - Κανόνες De l’ Hospital.
Παρ. 2.10 Μελέτη και χάραξη της γραφικής παράστασης μιας συνάρτησης.

Κεφάλαιο 3: Ολοκληρωτικός Λογισμός
Παρ. 3.1 Αόριστο ολοκλήρωμα. (Μόνο η υποπαράγραφος "Αρχική συνάρτηση" που θα συνοδεύτεται από πίνακα παραγουσών συναρτήσεων η οποίος θα περιλαμβάνεται στις διδακτικές οδηγίες)
Παρ. 3.4 Ορισμένο ολοκλήρωμα
Παρ. 3.5. Η συνάρτηση F(x) = ολοκλήρωμα της f(x)dx από α έως χ
Παρ. 3.7 Εμβαδόν επιπέδου χωρίου, χωρίς την εφαρμογή 3 της σελίδας 348.

(Σ.σ. Στην εξεταστέα ύλη 2010-2011 έχει προστεθεί η απόδειξη του θεωρήματος στη σελ.262, έχει υπάρξει η τροποποίηση της υποσημείωσης στην ενότητα 3.1, ενώ έχει αφαιρεθεί η ενότητα 3.2)

Παρατηρήσεις
- Η διδακτέα - εξεταστέα ύλη θα διδαχτεί σύμφωνα με τις οδηγίες του Π.Ι.
- Τα θεωρήματα, οι προτάσεις, οι αποδείξεις και οι ασκήσεις που φέρουν αστερίσκο δε διδάσκονται και δεν εξετάζονται.
- Οι εφαρμογές και τα παραδείγματα των βιβλίων δεν εξετάζονται ούτε ως θεωρία ούτε ως ασκήσεις. Μπορούν, όμως, να χρησιμοποιηθούν ως προτάσεις για τη λύση ασκήσεων ή την απόδειξη άλλων προτάσεων.
- Εξαιρούνται από την εξεταστέα-διδακτέα ύλη οι εφαρμογές και οι ασκήσεις που αναφέρονται σε λογαρίθμους με βάση διαφορετική του e και του 10.

Γενικά η ύλη για όλα τα μαθήματα της Γ Λυκείου δίνεται παρακάτω από το επίσημο έγγραφο του Υπουργείου Παιδείας

Η νέα ύλη Γ Λυκείου 2010-11

Μάθημα 3ο - Γ΄ Λυκείου Κατεύθυνσης - Ισότητα, πράξεις και σύνθεση συναρτήσεων

Σε συνέχεια από το φυλλάδιο Α΄ μέρος Ανάλυσης που είχε τα Μαθήματα 1,2, ακολουθεί το Μάθημα 3 που έχει: Ισότητα, πράξεις και σύνθεση συναρτήσεων.

Ο Ερατοσθένης και η ακτίνα της Γης

Οι αρχαίοι Ελληνες, αντίθετα με όσα πιστεύει ο μέσος πολίτης σήμερα, γνώριζαν από την εποχή του Αριστοτέλη ότι η Γη είναι σφαιρική και όχι επίπεδη. Ο Ερατοσθένης μάλιστα, με ένα πείραμα που έχει μείνει στην Ιστορία, μπόρεσε να μετρήσει την ακτίνα της Γης με ακρίβεια απρόσμενη για τα μέσα της εποχής εκείνης. Οι μεταγενέστεροι αστρονόμοι και γεωγράφοι όμως συντάχθηκαν με την άποψη του Πτολεμαίου ότι η Γη είναι 30% μικρότερη από όσο είχε μετρήσει ο Ερατοσθένης. Το λάθος αυτό παρέμεινε για 15 αιώνες και ήταν η αιτία να αποφασίσει ο Κολόμβος το ταξίδι για την Ινδία, το οποίο κατέληξε στην ανακάλυψη της Αμερικής.
Το πείραμα του Ερατοσθένη βασίστηκε στη μέτρηση του ύψους του Ηλίου την ίδια ημερομηνία σε δύο διαφορετικές τοποθεσίες, καθώς και στην πεποίθηση του μεγάλου έλληνα μαθηματικού ότι ο Ηλιος είναι πολύ μακριά από τη Γη, τόσο ώστε οι ακτίνες του να φθάνουν στον πλανήτη μας σχεδόν παράλληλα. Από διηγήσεις ταξιδιωτών ο Ερατοσθένης έμαθε ότι στις 21 Ιουνίου, την ημέρα του θερινού ηλιοστασίου, ο Ηλιος καθρεφτίζεται στην επιφάνεια του νερού των πηγαδιών της πόλης Συήνης, αυτής που σήμερα οι Αιγύπτιοι ονομάζουν Ασουάν. Από την πληροφορία αυτή ο Ερατοσθένης συμπέρανε ότι η Συήνη βρίσκεται πάνω στον τροπικό του Καρκίνου, δηλαδή στον παράλληλο κύκλο με γεωγραφικό πλάτος 23,5 μοίρες. Το χαρακτηριστικό των τόπων που βρίσκονται στον τροπικό του Καρκίνου είναι ότι το μεσημέρι της 21ης Ιουνίου ο Ηλιος βρίσκεται στο ζενίθ, δηλαδή ακριβώς κατακόρυφα προς τα πάνω. Ετσι οι ακτίνες του διαδίδονται κατά μήκος των κατακόρυφων τοιχωμάτων των πηγαδιών, ανακλώνται στην επιφάνεια του νερού και επιστρέφουν προς την επιφάνεια, κάνοντας ορατό το είδωλό του σε έναν παρατηρητή που κοιτάζει από το στόμιο του πηγαδιού.

Το μεσημέρι της ημέρας του θερινού ηλιοστασίου ο Ερατοσθένης μέτρησε το ύψος του Ηλίου στην πόλη στην οποία κατοικούσε, την Αλεξάνδρεια της Αιγύπτου. Η μέτρηση έγινε με τη βοήθεια ενός οβελίσκου, ο οποίος είναι το αρχαιότερο αστρονομικό όργανο στην ιστορία της επιστήμης. Το μήκος της σκιάς που ρίχνει ο οβελίσκος, διαιρεμένο με το ύψος του οβελίσκου, μας δίνει, όπως μάθαμε στο σχολείο, την εφαπτομένη της γωνίας του ύψους του Ηλίου. Η γωνία αυτή, η οποία από τη μέτρηση του Ερατοσθένη προέκυψε 7,2 μοίρες, είναι ίση (ως «εντός-εκτός και επί τα αυτά», όπως θυμούνται οι παλαιότεροι) με την επίκεντρη γωνία που σχηματίζουν δύο ακτίνες της Γης με άκρα τη Συήνη και την Αλεξάνδρεια, υπό την προϋπόθεση ότι οι δύο πόλεις έχουν το ίδιο γεωγραφικό μήκος, βρίσκονται δηλαδή στον ίδιο μεσημβρινό. Επειδή από τη γεωμετρία γνωρίζουμε ότι η απόσταση των δύο πόλεων, η ακτίνα της Γης και η γωνία που μέτρησε ο Ερατοσθένης συνδέονται με τη σχέση απόσταση/ακτίνα = 6,28x(7,2/360), η ακτίνα της Γης βρίσκεται αμέσως αν γνωρίζουμε την απόσταση των δύο πόλεων. Την εποχή του Ερατοσθένη, περί το 250 π.Χ., δεν υπήρχε ακριβής μέθοδος μέτρησης τόσο μεγάλων αποστάσεων. Σύμφωνα με την παράδοση, ο Ερατοσθένης ανέθεσε σε επαγγελματίες βαδιστές να την υπολογίσουν, και το αποτέλεσμά τους το συνέκρινε με τις εκτιμήσεις αρχηγών καραβανιών. Το τελικό του αποτέλεσμα ήταν ότι η απόσταση Αλεξάνδρειας- Συήνης ισούται με 5.000 στάδια, οπότε η ακτίνα της Γης προκύπτει ίση με 252.000 στάδια.

Για να μπορέσουμε να εκτιμήσουμε την ακρίβεια της μέτρησης του Ερατοσθένη, θα έπρεπε να γνωρίζουμε πόσο είναι το μήκος ενός σταδίου σε μέτρα, καθώς και κατά πόσο αληθεύουν οι δύο υποθέσεις του Ερατοσθένη, δηλαδή ότι η Συήνη έχει γεωγραφικό πλάτος 23,5 μοίρες και ότι Συήνη και Αλεξάνδρεια βρίσκονται στον ίδιο μεσημβρινό. Μια ματιά σε έναν σύγχρονο χάρτη δείχνει ότι και οι δύο υποθέσεις ήταν λανθασμένες, αλλά το λάθος δεν ήταν μεγάλο: το γεωγραφικό πλάτος της Συήνης είναι 24,1 μοίρες, ενώ τα γεωγραφικά μήκη των δύο πόλεων διαφέρουν μόνο κατά μία μοίρα. Επομένως η βασική πηγή σφάλματος είναι το μήκος ενός σταδίου σε μέτρα. Θα έλεγε κανείς ότι έχουν διασωθεί πολλά αρχαία στάδια, οπότε δεν έχουμε παρά να μετρήσουμε πόσο μήκος έχει ένα από αυτά. Δυστυχώς τα στάδια δεν είχαν το ίδιο μήκος σε όλες τις περιοχές της αρχαίας Ελλάδας. Αν υποθέσουμε ότι ο Ερατοσθένης εννοούσε αττικά στάδια των 185 μέτρων, τότε το αποτέλεσμά του δίνει για την ακτίνα της Γης 7.400 χιλιόμετρα, τιμή 16% μεγαλύτερη από την πραγματική. Αν όμως εννοούσε αιγυπτιακά στάδια, πράγμα που είναι και το πιθανότερο, τότε κατά τον Ερατοσθένη η ακτίνα της Γης είναι 6.316 χιλιόμετρα, μόλις 1% μικρότερη από την πραγματική, που σήμερα γνωρίζουμε ότι είναι 6.366 χιλιόμετρα!

Το πείραμα του Ερατοσθένη είχε δημιουργήσει μεγάλη εντύπωση στην εποχή του, και αρκετοί μεταγενέστεροι φυσικοί φιλόσοφοι, όπως ονομάζονταν οι επιστήμονες εκείνη την εποχή, θέλησαν να το επαναλάβουν. Ο πρώτος που γνωρίζουμε, χρονολογικά, ήταν ο Ελληνας Ποσειδώνιος ο Ρόδιος, ο οποίος γύρω στο 100 π.Χ. υπολόγισε την ακτίνα της Γης με διαφορετική μέθοδο από αυτήν του Ερατοσθένη. Υπέθεσε ότι η Αλεξάνδρεια και η Ρόδος είναι στον ίδιο μεσημβρινό και υπολόγισε ότι η επίκεντρη γωνία που σχηματίζουν οι δύο πόλεις είναι 7,5 μοίρες, παρατηρώντας όχι τον Ηλιο αλλά το ύψος του αστέρα Κάνωπου, όπως φαίνεται από τις δύο πόλεις. Υποθέτοντας ότι η απόσταση των δύο πόλεων είναι 5.000 στάδια, κατέληξε σε ένα αποτέλεσμα πρακτικά ίδιο με αυτό του Ερατοσθένη. Μεταγενέστερα όμως αναθεώρησε την εκτίμησή του για την απόσταση Ρόδου- Αλεξάνδρειας σε 3.750 στάδια, οπότε η ακτίνα της Γης προέκυψε ίση με 4.500 χιλιόμετρα, δηλαδή 30% μικρότερη από την πραγματική. Με την τιμή αυτή συμφώνησε στη συνέχεια ο ρωμαίος ναύαρχος και φυσικός φιλόσοφος Πλίνιος, ενώ την καθιέρωσε οριστικά ο έλληνας αστρονόμος Πτολεμαίος αναφέροντάς τη στο βιβλίο του Γεωγραφία.

Τα βιβλία του Πτολεμαίου έχαιραν μεγάλης εκτίμησης μεταξύ των επιστημόνων ως την Αναγέννηση, και αυτό το γεγονός ήταν η αιτία να επικρατήσει τελικά η λανθασμένη τιμή του Ποσειδώνιου για την ακτίνα της Γης. Σε υδρόγειες σφαίρες της εποχής, κατασκευασμένης με βάση αυτήν τη λανθασμένη τιμή, βλέπει κανείς τοποθετημένες την Ευρώπη, την Ασία και την Αφρική να καλύπτουν όλη την επιφάνεια της Γης, χωρίς να υπάρχει διαθέσιμος χώρος για άλλη ήπειρο. Ο Κολόμβος, με βάση παρόμοιους χάρτες, κατέληξε στο συμπέρασμα ότι η Ινδία απείχε από τα Κανάρια Νησιά μόλις 6.300 χιλιόμετρα δυτικά (αντί για τη σωστή 28.000 χιλιόμετρα), οπότε θα μπορούσε να φθάσει σχετικά σύντομα στις Ινδίες ταξιδεύοντας προς δυσμάς. Επομένως θα μπορούσε κανείς να πει ότι το λάθος του Ποσειδώνιου έπαιξε καθοριστικό ρόλο για την ανακάλυψη της Αμερικής από τον Κολόμβο, αφού είναι σχεδόν βέβαιο ότι αν γνώριζε τις πραγματικές διαστάσεις της Γης δεν θα τολμούσε ποτέ να ξεκινήσει για ένα ταξίδι 28.000 χιλιομέτρων με τα πλοία της εποχής.

Πηγή: Το Βήμα (14.11.2010).

Το παράδοξο των γενεθλίων!

Πηγή: http://mathhmagic.blogspot.gr

Το παράδοξο των γενεθλίων και η 27η αγωνιστική της Superleague !!

                                 

         "Ας δώσουμε περισσότερο χρόνο στο πιθανό και θα συμβεί!!!!"
                Ηρόδοτος

 

Πόσο συχνά δυο ποδοσφαιριστές που συμμετέχουν στον ίδιο ποδοσφαιρικό αγώνα  κάνουν κοινό πάρτι γενεθλίων; 

Πολύ πιο συχνά από ότι θα περίμενε κανείς , αποδεικνύεται ότι σε περισσότερους από τους μισούς ποδοσφαιρικούς  αγώνες   δυο τουλάχιστον  ποδοσφαιριστές που λαμβάνουν μέρος στον ίδιο αγώνα θα έχουν γενέθλια την ίδια μέρα του χρόνου. Σαν  αριθμητικό δεδομένο φαντάζει περίεργο  για αυτό φέρει το τίτλο του παραδόξου παρ ότι δεν είναι. Ας το δούμε αναλυτικότερα.

Το ερώτημα που τίθεται αρχικά είναι: 

Πόσοι άνθρωποι πρέπει να  βρίσκονται σε μια αίθουσα για να έχουμε πιθανότητα μεγαλύτερη από 50% τα γενέθλια τουλάχιστον δυο από αυτούς να συμπίπτουν; Θα το σκεφτούμε αντίστροφα θα υπολογίσουμε αρχικά την πιθανότητα όλοι οι άνθρωποι να έχουν διαφορετική  μέρα του χρόνου γενέθλια. Ας φανταστούμε τον πρώτο άνθρωπο να μπαίνει στην αίθουσα τότε η  πιθανότητα  η ημέρα των γενεθλίων του να διαφέρει από κάθε άλλου προσώπου στην αίθουσα είναι 1 ( δεν υπάρχει άλλο πρόσωπο) .Το γράφουμε σαν κλάσμα:

                                                       

με την έννοια ότι  από τις 365 δυνατές μέρες γενεθλίων όλες είναι διαφορετικές .

Όταν ένα δεύτερο πρόσωπο μπαίνει στην αίθουσα  τότε θέλουμε τα γενέθλια των δυο ανθρώπων   να διαφέρουν , αν ο ένας έχει γενέθλια μια μέρα του χρόνου ο άλλος έχει  364  επιλογές ημερών σε ένα σύνολο 365 ημερών του χρόνου .Άρα η πιθανότητα σε αυτήν την περίπτωση είναι :

                                           

Όταν ένα τρίτο πρόσωπο μπει στην αίθουσα τότε έχουμε αντίστοιχα 363 επιλογές  έτσι η πιθανότητα να έχουν οι τρεις άνθρωποι γενέθλια σε διαφορετικές ημέρες του χρόνου είναι :

                                       

Ανάλογα αν μπουν μέσα Κ άνθρωποι τότε η πιθανότητα  να έχουν και οι κ γενέθλια σε διαφορετική μέρα του χρόνου είναι:

                               

 (αν δεν καταλάβατε πως βγήκε ο τύπος ,ρίξτε μια ματιά ΕΔΩ )

 

Όταν   Κ=22 το κλάσμα ισούται με 0.524305 και όταν  Κ=23 η πιθανότητα ισούται με 0.492703 . Υπολογίσαμε την πιθανότητα του ενδεχόμενου και οι  Κ άνθρωποι να έχουν γενέθλια όλοι σε διαφορετικές ημέρες  ,αν  λοιπόν από το 1 αφαιρέσουμε αυτήν  την πιθανότητα θα πάρουμε την πιθανότητα τουλάχιστον δυο άνθρωποι να έχουν την ίδια μέρα του χρόνου γενέθλια. Δείτε τα νούμερο που προκύπτουν:

Για Κ=22   τότε 1-0.524305=0.475695  ή 47.5695 %

Για κ=23 τότε  1-0.492703=0.507297 ή 50.7297 %

 

Η τελευταία  σχέση εκφράζει αυτό ακριβώς που αποκαλείται  “παράδοξο των γενεθλίων” , δηλαδή σε κάθε συγκέντρωση 23 ανθρώπων η πιθανότητα τουλάχιστον δυο από αυτούς να έχουν την ίδια μέρα του χρόνου γενέθλια είναι μεγαλύτερη από 50% (50.7297 %)

 

Αν αυτό σας φαίνεται παράξενο το διαδίκτυο μας προσφέρει τα μέσα να κάνουμε το εξής πείραμα. Σκεφτείτε ότι σε  έναν οποιοδήποτε ποδοσφαιρικό αγώνα  έχουμε 22 ποδοσφαιριστές και τον διαιτητή (11+11+1=23)  σύμφωνα  με τα παραπάνω  η πιθανότητα να  κάνουν την ίδια μέρα πάρτι  γενεθλίων τουλάχιστον δυο από τους συμμετέχοντες (παίκτες , διαιτητής ) είναι πάνω από 50% .

 

Επιλέγουμε  στην τύχη μια αγωνιστική του superleague (ας πούμε  με ημερομηνία  01/04/2012 ) και  από τους αγώνες που διεξήχθησαν  επιλέγουμε δυο στην τύχη και διαπιστώνουμε  ότι:

 

1)Παναθηναϊκός - Άρης  ( καμιά σύμπτωση γενεθλίων).

2)Παναιτωλικός – Ολυμπιακός  ( εδώ  έχουμε δυο  ζεύγη παικτών με γενέθλια την ίδια μέρα (Γραμμόζης,- Μπάρκογλου 1978-07-08) και (Κλωναρίδης, Ιωάννου 1992-07-28 ).

 

Αν κάποιος έχει αρκετή υπομονή μπορεί να επιλέξει μια οποιαδήποτε αγωνιστική  και να ελέγξει τις ημερομηνίες γενεθλίων όλων των αγώνων θα διαπιστώσει και εμπειρικά το παράδοξο των γενεθλίων.

 

Το γεγονός  ότι είναι αναμενόμενο στους μισούς αγώνες  από όσους επιλέξουμε να συμβαίνει η σύμπτωση γενεθλίων  δεν σημαίνει ότι θα πραγματοποιηθεί  κιόλας. Είναι σαν σκεπτόμαστε ότι αν ρίξουμε ένα κέρμα  4 φορές το κέρμα οφείλει να έρθει 2 φορές κορώνα και 2 γράμματα (  πλάνη του τζογαδόρου   ).

Δείτε και ένα σχετικό βίντεο:
 http://mathhmagic.blogspot.com/2012/02/23-and-football-birthdays.html

Μάθημα 5 - Άλγεβρα Α΄ Λυκείου

Το "Μάθημα 5" περιέχει το κεφάλαιο 1.2 από την Άλγεβρα Α΄ Λυκείου. Είναι η διάταξη των πραγματικών αριθμών. Υπάρχουν 11 ερωτήσεις θεωρίας και 10 ασκήσεις με κενά για λύση.
Μάθημα 5ο

Εργασία 2η - Γεωμετρία Β΄ Λυκείου - Κεφάλαια 7 - 9

2η εργασία στο μάθημα της Γεωμετρίας για τα κεφάλαια 7 έως 9. Οι εργασίες αυτές δίνονται στο μάθημα συμπληρωματικά και καλύπτουν τις φιλοδοξίες και τις ορέξεις των μαθητών για επιπλέον μάθηση. Είναι προαιρετικές αλλά προφανώς λογίζονται θετικά για όποιον ασχολείται.
Εργασία 2η-Κεφάλαια 7-9

Βάλε μου ρεύμα να λύσω Μαθηματικά!

Μετά από μελέτη που πραγματοποιήθηκε στο Πανεπιστήμιο της Οξφόρδης, ανακαλύφθηκε ότι η διέγερση του εγκεφάλου με ένα πολύ χαμηλής ισχύος ηλεκτρικό ρεύμα μπορεί να βελτιώσει τις ικανότητες ενός ανθρώπου στα μαθηματικά και συγκεκριμένα για χρονικό διάστημα έξι μηνών.
Οι ερευνητές του Πανεπιστημίου, με επικεφαλής τον Δρ Ρόι Κοέν Καντός, που δημοσίευσαν τη σχετική μελέτη στο επιστημονικό έντυπο Current Biology, σύμφωνα με το BBC, το πρακτορείο Reuters, το Science, έκαναν πειράματα με 15 εθελοντές ηλικίας 20-21 ετών.
Επί έξι μέρες και για 20 λεπτά κάθε φορά, οι επιστήμονες διέγειραν ηλεκτρικά με ρεύμα, ενός μικρού μόνο κλάσματος του αμπέρ (1 milliamper), το βρεγματικό λοβό των εθελοντών από αριστερά προς τα δεξιά και αντίστροφα. Οι εθελοντές αισθάνονταν αμυδρά την διακρανιακή ηλεκτρική διέγερση μόνο στα αρχικά δευτερόλεπτα του πειράματος και κανείς δεν εμφάνισε κάποια παρενέργεια.
Τα μαθηματικά τεστ που ακολούθησαν, έδειξαν ότι όσοι νέοι είχαν μετάσχει στην ομάδα επέμβασης, τα κατάφεραν σαφώς καλύτερα και μάλιστα, η επανάληψη των τεστ μετά από έξι μήνες έδειξε ότι η βελτίωση των ικανοτήτων τους συνεχιζόταν.

Κάτι ανάλογο διαβάσαμε και στην Βρετανική εφημερίδα "Γκάρντιαν".

Ένα ηλεκτροσόκ στον εγκέφαλο δεν σε κάνει Αϊνστάιν, αλλά σε βοηθάει να μαθαίνεις πιο εύκολα τα μαθηματικά.
Πόσο κρατά η επιφοίτηση; Τουλάχιστον έξι μήνες.

Όπως έγραψε η βρετανική εφημερίδα «Γκάρντιαν», έρευνα φοιτητών έδειξε ότι μια ήπια διέγερση του πίσω μέρους του εγκεφάλου αύξησε την ικανότητα των φοιτητών να μαθαίνουν και να χρησιμοποιούν αριθμούς για έξι μήνες. Η έρευνα μπορεί να οδηγήσει σε νέες θεραπείες παιδιών και ενηλίκων που δεν τα καταφέρνουν στα μαθηματικά, λόγω μαθησιακών δυσκολιών ή εγκεφαλικών βλαβών που προκλήθηκαν από εγκεφαλικά επεισόδια ή νευροεκφυλιστικές ασθένειες. «Δεν λέμε στους ανθρώπους να αρχίσουν τα ηλεκτροσόκ, αλλά μας έχει πάρα πολύ συναρπάσει το τι μπορεί να κάνει αυτό που βρήκαμε», δήλωσε ο Ρόι Κόεν Καντός, νευροεπιστήμονας στο Πανεπιστήμιο της Οξφόρδης. Η ομάδα του Πανεπιστημίου, μαζί με ακόμη μία από το Univercirty College London πήρε 15 φοιτητές και τους μοίρασε σε 3 ομάδες. Κάθε μία πέρασε έξι μέρες μαθαίνοντας σειρά συμβόλων που ανταποκρίνονταν σε αριθμούς από το μηδέν ως το εννέα.
Οι εθελοντές υφίσταντο κάθε μέρα ηλεκτροσόκ με ηλεκτρόδια προσαρμοσμένα στο τριχωτό της κεφαλής τα οποία περνούσαν στον εγκέφαλο (πίσω και πάνω από τα αυτιά) συνεχές αδύναμο ηλεκτρικό ρεύμα. Στην ομάδα που το ρεύμα περνούσε από τα δεξιά προς τα αριστερά η επίδοση στα τεστ που ακολούθησαν ήταν καλύτερη των άλλων ομάδων. Το επόμενο στάδιο θα είναι το πείραμα να γίνει με νεαρότερα άτομα.

Τα μαθηματικά των Μινωιτών

Του ΠΑΝΑΓΙΩΤΗ ΓΕΩΡΓΟΥΔΗ

Σύνθετες και πολύπλοκες μαθηματικές πράξεις γνώριζαν να πραγματοποιούν οι Μινωίτες από τον 16ο αιώνα π.Χ. με κλάσματα και χρήση του δεκαδικού συστήματος, γεγονός το οποίο ανατρέπει πλήρως την εικόνα που έχουμε μέχρι τώρα για την επιστήμη και τις εφαρμογές της στον αρχαίο κόσμο και μάλιστα τόσο νωρίς.

Τη συγκλονιστική αυτή ανακάλυψη πραγματοποίησε ο ερευνητής αιγαιακών γραφών Μηνάς Τσικριτσής, σε πρωτότυπο μαθηματικό κείμενο που βρίσκεται χαραγμένο στον τοίχο του διαδρόμου της μινωικής έπαυλης της Αγίας Τριάδας που είναι πλησίον του ανακτόρου της Φαιστού. Το ίδιο κείμενο είχε εντοπίσει το 1965 ο Μ. Pope που δημοσίευσε στο περιοδικό BSA, όπως αναφέρει ο Μηνάς Τσικριτσής, λέγοντας πως πρόκειται για γεωμετρική πρόοδο, αλλά χωρίς κανέναν άλλο σχολιασμό. Μάλιστα ο Έλληνας ερευνητής τονίζει ότι αντίστοιχα μαθηματικά συναντώνται μόνο στον Ευκλείδη, δηλαδή 11 αιώνες αργότερα.

Η πρωτοποριακή αυτή ανακάλυψη έρχεται να δικαιολογήσει τη δημιουργία των αρχιτεκτονικά πολύπλοκων και πολυδαίδαλων μινωικών ανακτόρων για τα οποία χρειαζόταν ένα συγκροτημένο υπόβαθρο επιστημονικών και θεωρητικών γνώσεων σε διαφορετικά επιστημονικά αντικείμενα και όχι μόνο καλούς εμπειρικούς μαστόρους. Επίσης το ανεπτυγμένο μινωικό εμπόριο στη Μεσόγειο, η εξελιγμένη μικροτεχνία, η ανακάλυψη ολόκληρου οικισμού στον Ψηλορείτη στα 1.200 μέτρα υψόμετρο (Ζώμινθος) απαιτούσαν μια τεχνολογία αρκετά προωθημένη.

Ο ερευνητής Μηνάς Τσικριτσής, με τη χρήση μαθηματικού αλγόριθμου, έχει αναγνώσει τη Γραμμική Α' Γραφή, βρίσκοντας πως συγγενεύει με τη Γραμμική Β', ενώ το 70% των εγγράφων της Γραμμικής Α' είναι μία πρώιμη Αιολική Γραφή και το 30% είναι σε μία άγνωστη γραφή πιθανόν Λουβική. Τη μελέτη του εξέδωσαν οι εκδόσεις της Βικελαίας Βιβλιοθήκης του Δήμου Ηρακλείου.

Σύμφωνα με τον κ. Τσικριτσή, «Τα αριθμητικά σύμβολα που χρησιμοποιούνται στο δεκαδικό σύστημα της γραμμικής Α' είναι όμοια με εκείνα της γραμμικής Β':

* Η κάθετη γραμμή Ι για τη μονάδα Ι

* Η οριζόντια γραμμή - για τη δεκάδα -

* Η κουκκίδα ή κύκλος για την εκατοντάδα ο

* Το σύμβολο για τη χιλιάδα .ο+

π.χ. ο αριθμός 1224 γραφόταν ο+ ο ο =Ι Ι Ι Ι


Εκτός των ακεραίων αριθμητικών συμβόλων οι Μινωίτες καταγραφείς χρησιμοποιούσαν ένα πολύπλοκο σύστημα κλασματικών σημείων για τα μέτρα των στερεών και ρευστών προϊόντων.

Γι' αυτό το σύστημα ο ίδιος ερευνητής αναφέρει: «Χαρακτηριστικά ο υπάλληλος που απασχολείτο με διανομή των προϊόντων, αν ήθελε να αποδώσει 4 και 3/8 (δηλαδή 4 >7) μονάδες κρασιού, μετρούσε πρώτα 4 ολόκληρα μέτρα, έπειτα το 1/4 και τέλος το 1/8 του μέτρου.

Ο παρακάτω πίνακας περιέχει τα βασικά σύμβολα, όπως συναντώνται στις πινακίδες της γραμμικής Α', που δηλώνουν μεγέθη μέτρησης υγρών και στερεών. Τα περισσότερα έχουν συσχετισθεί, από τον Ε. Bennett και άλλους ερευνητές, με κλασματικά μεγέθη. Στις δύο τελευταίες γραμμές εμφανίζεται ο αντίστοιχος του κλασματικού μεγέθους όγκος σε λίτρα, με αναγωγή στη μονάδα των 144 λίτρων για τα στερεά και των 36 λίτρων για τα υγρά.

Κλασματικά μεγέθη με αναγωγή στη μονάδα μέτρησης

Σύμβολο 7 + > λ >7 < <7 τ <λ Κλάσμα 1/8 1/5 1/4 1/3 3/8 1/2 5/8 1/6 3/4 5/6 Στερεα 144 18 28,8 36 48 54 72 90 24 108 120 Υγρά 36 4,5 7,2 9 12 13,5 18 25 6 27 30 Για την πολυπλοκότητα των Μινωικών Ανακτόρων και τη χρήση των μαθηματικών, ο κ. Τσικριτσής, επισημαίνει τα εξής: «Στην αρχιτεκτονική κατασκευή των αυλαίων χώρων των ανακτόρων ο W. Graham προσδιόρισε έναν ιερό πόδα 36 εκατοστών (παρατήρησε στην Κνωσό η κεντρική αυλή να έχει διαστάσεις 180Χ90 πόδια, στα Μάλια και Φαιστό 170Χ80 πόδια ενώ στη Ζάκρο 100Χ60 πόδια). Είναι ενδιαφέρον ότι η υποδιαίρεση του ποδιού σε μονάδες (2, 3, 4, 6, 9, 12 και 18) βοηθούσε πιθανόν στις κλασματικές πράξεις». Μινωικά Μαθηματικά po-to ku-ro 400+50+2+0,5 ποσσόν ούλο 452,5 ku-ro 31+1 ούlo 31+1 ku-ro 65 ούlo 65 qo-to - ku-ro 97 ποσσόν ούlo 97 Αναλύοντας το σύστημα των Μινωικών Μαθηματικών, ο ίδιος ερευνητής τονίζει: «Σε 32 πινακίδες της γραμμικής Α' υπάρχει, στην τελευταία σειρά, η λέξη ku-ro=χουλο=ούλον, και ακολουθεί το αριθμητικό ποσό, που είναι το άθροισμα των μονάδων που αναγράφονται στις προηγούμενες σειρές. Σε δύο πινακίδες της Αγ. Τριάδας αναγράφεται μερικό άθροισμα με τη λέξη ούλο, και στο τέλος μια γραμμή με τη φράση po-to - ku-ro = po-(s)o- ku-lo, που ερμηνεύεται "ποσόν ούλον" και ακολουθεί το συνολικό άθροισμα των προηγηθέντων μερικών αθροισμάτων». 

Το συγκλονιστικό εύρημα Εκτός των παραπάνω καθημερινών τρόπων καταγραφής των μαθηματικών υπολογισμών των αναγκών της μινωικής γραφειοκρατίας, υπάρχει και ένα μοναδικό εύρημα στην Αγ. Τριάδα (έπαυλη πλησίον της Φαιστού). Στη βορεινή πλευρά του δωματίου, που είχε τοιχογραφίες με παραστάσεις κρίνων και αγριόγατων που κυνηγούν φασιανούς, μία σκάλα οδηγεί σε ένα διάδρομο με τρεις κολώνες. Ο τοίχος του διαδρόμου είχε επίχρισμα, που είχε 3 εγχάρακτες επιγραφές (graffiti). Οι δύο εγχάρακτες επιγραφές αναφέρουν σε γραμμική Α' τις φράσεις: «αισθάνομαι να με διατρέχει η σκέψη του Διός» και «θεραπεία η σκέψη του Διός». Το μεγαλύτερο ενδιαφέρον επικεντρώνεται στην τρίτη εγχάρακτη επιγραφή, η οποία φέρει με κλασματικά σύμβολα της γραμμικής Α' τους τέσσερις πρώτους όρους μιας γεωμετρικής προόδου. 

Το κείμενο της εγχάρακτης επιγραφής παρατηρούμε στην παρατιθέμενη εικόνα. Η μεταγραφή των αριθμητικών σημείων του κειμένου και η μετατροπή τους σε σύγχρονη μορφή είναι η εξής: 1 1½ 21/4 3 1/4 1/8 ta 3 1/6 1 3/2 9/4 27/8 στάν 19/6 Στους παραπάνω όρους της γεωμετρικής προόδου παρατηρούμε ότι επιλύεται ένα σύνθετο κλασματικό πρόβλημα: (1+3/2)+(9/4/27/8) = 19/6. Οπου τα αποτελέσματα των πράξεων αποδίδονται (αντί του=) με την λέξη ta= στάν (αναύξητος επικός τύπος αορίστου β' με σημασία στον Ομηρο ζυγίστηκαν).

Αντίστοιχη μορφή μαθηματικών παρατηρούμε την ίδια περίοδο του 16ου π.Χ. αιώνα στον αιγυπτιακό πάπυρο του Rhind. Το πρόβλημα που επιλύει είναι σχετικό με μια γεωμετρική πρόοδο με ακέραια πολλαπλάσια του 7 και στο τέλος ευρίσκει το άθροισμα των τεσσάρων πρώτων όρων. 
  
Το πρόβλημα είναι το εξής: σε 7 σπίτια (pr w) είναι 7 γάτες (myw w), που κάθε μια τρώει 7 ποντίκια (pnw w). Αν κάθε ποντίκι έτρωγε 7 στάχια σίτου (bd t), που αν τα έσπερνε κάποιος, θα παρήγαγαν 7πλάσια μονάδα Hekat, πόσο στάρι σώθηκε. Το αποτέλεσμα (dmd) των πράξεων παρατηρούμε από τον παρατιθέμενο πίνακα, που στο τέλος κάνει την πράξη: (7+49+343+2301+16807)=19607 

Το μαθηματικό πρόβλημα της γεωμετρικής προόδου παρατηρούμε ότι είναι γνωστό στους Αιγυπτίους από τον 16ο αιώνα π.Χ. με ακεραίους αριθμούς και συγκεκριμένα πολλαπλάσια του 7. Το πρωτότυπο που παρατηρούμε στο εγχάρακτο αριθμητικό κείμενο στον τοίχο του διαδρόμου της Αγ. Τριάδας είναι ότι: περίπου στο 1550 π.Χ. οι Μινωίτες καταγράφουν μία κλασματική γεωμετρική πρόοδο με λόγο 3/2 που σε κανέναν άλλο λαό δεν συναντάται, παρά μόνο ύστερα από 11 αιώνες στα μαθηματικά του Ευκλείδη. 

Παράλληλα δε επιλύουν ένα σύνθετο μαθηματικό κλασματικό πρόβλημα.Τη χρονική περίοδο, γύρω στο 16ο αι., οι Μινωίτες, όπως παρατηρούμε αφενός από το εγχάρακτο αριθμητικό κείμενο της Αγ. Τριάδας με την κλασματική γεωμετρική πρόοδο, και αφετέρου από τις λογιστικές πινακίδες με το άθροισμα των μερικών συνόλων προκύπτει ότι είχαν ανακαλύψει σύνθετες μαθηματικές πράξεις. Το φαινόμενο αυτό μπορεί να χαρακτηρισθεί πρωτοποριακό στην παγκόσμια ιστορία των μαθηματικών (τουλάχιστο με τις μέχρι σήμερα γνωστές γραπτές πηγές).
 
http://www.ellinikoarxeio.com

Πύλη Επαγγελματικού Προσανατολισμού (ΣΕΠ)

Μια σημαντική διεύθυνση για τους μαθητές της Γ΄ Λυκείου πριν συμπληρώσουν το μηχανογραφικό τους. Δίνει ενημέρωση για κάθε σχολή-τμήμα ξεχωριστά μέσα από μια λίστα επιλογών, χωρισμένα ανά πεδίο.
Για να επισκεφτείτε την ιστοσελίδα του ΣΕΠ πατήστε εδώ

Μια βραβευμένη παρουσίαση Γεωμετρίας για την Α΄ Γυμνασίου

Μια ενδιαφέρουσα παρουσίαση της Γεωμετρίας στην Α΄ Γυμνασίου, από την συνάδελφο ΑΝΝΑ ΖΟΥΡΝΑ από το Κολέγιο Θεσσαλονίκης.

Το έργο αυτό βραβεύτηκε το 2010 από το Υπουργείο Παιδείας στα "Αριστεία και καινοτομία στην εκπαίδευση"

(ανανέωση συνδέσμου 6/9/2015) Για απευθείας αποθήκευση πατήστε εδώ.

Τα θέματα του διαγωνισμού "Θαλής" 2010-2011-Λύσεις-Σχέδιο Βαθμολόγηση

Επισυνάπτω τα θέματα του διαγωνισμού "Θαλή" της ΕΜΕ στις 30/10/2010
Κάντε κλικ εδώ τα βρήκαμε στον αγαπημένο μας ιστότοπο mathematica.gr όπου θα βρείτε και λύσεις ή υποδείξεις των θεμάτων, ενώ οι επίσημες λύσεις από την ΕΜΕ μπορείτε να τις δείτε εδώ. Όσο για την την βαθμολόγηση, το σχέδιο που έδωσε η ΕΜΕ κάντε κλικ για να το δείτε. Καλή επιτυχία σε όλους!

Εξεταστικά κέντρα διαγνωνισμό του "Θαλή"

Σε ποια σχολεία θα γίνουν οι εξετάσεις του διαγωνισμού της ΕΜΕ για τον "Θαλή" μπορείτε να τα δείτε εδώ για Αθήνα
Στην Ζάκυνθο ο διαγωνισμός θα πραγματοποιηθεί στο 2ο Γυμνάσιο, ημέρα Σάββατο και ώρα 9:00

Γεωμετρικοί τόποι και συμμετρίες Γεωμετρία Α΄ Λυκείου

Ένα ενδιαφέρον φυλλάδιο πάνω στους γεωμετρικούς τόπου και τις συμμετρίες (κεντρική και αξονική) για τη Γεωμετρία της Α΄ Λυκείου.

Υπάρχουν ερωτήσεις με κενά και χρήσιμες εργασίες πάνω στις συμμετρίες που θα μελετήσουν οι μαθητές στην Άλγεβρα της Α΄ Λυκείου και στην Κατεύθυνση της Β΄ Λυκείου.

Για απευθείας αποθήκευση πατήστε εδώ. 
Συμμετρίες - Γεωμετρικοί τόποι-υδατογράφημα

Όποιος θέλει να την συμμετρία μέσω προγραμμάτων και δυναμικά φύλλα μέσω του προγράμματος Geogebra, μπορεί να δει στην ιστοσελίδα του συναδέλφου Μαντζώλα Γιώργου

Ανάλυση - Συναρτήσεις - πεδίο ορισμού

Παρουσιάζω ένα φυλλάδιο στο Α΄ μέρος Ανάλυσης, με ερωτήσεις θεωρίας και κενά για απαντήσεις + ασκήσεις πάνω στην θεωρία.
Μάθημα 1ο: Συναρτήσεις (ορισμός)+ Πεδίο ορισμού
Μάθημα 2ο: Γραφικές παραστάσεις
Μάθημα 1ο - 2o - Ορισμός συνάρτησης - Πεδίο ορισμού-υδατογράφημα

Επαναληπτικά θέματα εξετάσεων Γ Λυκείου - ΕΜΕ

Επαναληπτικά Θέματα Μαθηματικών για τη Γ' τάξη του Λυκείου από την Ελληνική Μαθηματική Εταιρεία (ΕΜΕ).
 
1. [Επαναληπτικά Θέματα Μαθηματικών Γ' Λυκείου (1ο μέρος)]-2012
2.[Επαναληπτικά Θέματα Μαθηματικών Γ' Λυκείου (2ο μέρος)]-2012 
3.[Επαναληπτικά Θέματα Μαθηματικών Γ' Λυκείου (3ο μέρος)]-2012  
4. [Επαναληπτικά Θέματα Μαθηματικών Γ' Λυκείου (1ο μέρος)]-2010
5. [Επαναληπτικά Θέματα Μαθηματικών Γ' Λυκείου (2ο μέρος)]-2010
6. [Επαναληπτικά Θέματα Μαθηματικών Γ' Λυκείου (3ο μέρος)]-2010
7. [Επαναληπτικά Θέματα Μαθηματικών Γ' Λυκείου (1ο μέρος)]-2008
8. [Επαναληπτικά Θέματα Μαθηματικών Γ' Λυκείου (2ο μέρος)]-2008
9. [Επαναληπτικά Θέματα Μαθηματικών Γ' Λυκείου (1ο μέρος)]-2006
10. [Επαναληπτικά Θέματα Μαθηματικών Γ' Λυκείου (2ο μέρος)]-2006
11. [Επαναληπτικά Θέματα Μαθηματικών Γ' Λυκείου (3ο μέρος)]-2006

Σχετικά με το όριο των απουσιών σχολικού έτους 2010-11

Η Υφυπουργός Παιδείας, Εύη Χριστοφιλοπούλου, υπέγραψε εγκύκλιο που αποστέλλεται προς όλα τα σχολεία της χώρας, σχετικά με το ζήτημα που έχει ανακύψει για το όριο απουσιών των μαθητών.

Η εγκύκλιος ορίζει ό,τι ίσχυε μέχρι πρόπερσι, δηλαδή το όριο των απουσιών σε 64 δικαιολογημένες και 50 αδικαιολόγητες.

Δεν συντρέχουν, πλέον, οι λόγοι για την έκτακτη προσαύξηση του 30%, που ίσχυσε ειδικά και μόνο για τη περσινή σχολική χρονιά, εξαιτίας των αυξημένων απουσιών από τα κρούσματα του ιού την νέας γρίπης Η1Ν1.

Πίνακας Απουσιών - Δικαιολογημένες - Αδικαιολόγητες

Γυμνάσια
50- 64

Εσπερινά Γυμνάσια
50- 80

ΓΕ.Λ.
64- 50

Εσπερινά ΓΕ.Λ.
80- 50

ΕΠΑ.Λ.
64- 50

Εσπερινά

ΕΠΑ.Λ.
80- 50

ΕΠΑ.Σ.
40- 40

Πηγή: Υπουργείο Παιδείας

Οι μέλισσες μας βοηθούν να λύσουμε πολύπλοκα μαθηματικά προβλήματα

Την εκπληκτική δυνατότητα των μελισσών να δίνουν τη λύση σε πολύπλοκα μαθηματικά προβλήματα, κάνοντας υπολογισμούς πιο γρήγορα και από ηλεκτρονικούς υπολογιστές, κατέδειξε Βρετανική έρευνα.

Οι ερευνητές του πανεπιστημίου του Λονδίνου διαπίστωσαν ότι οι μέλισσες μαθαίνουν να πετούν ακολουθώντας τη συντομότερη δυνατή διαδρομή ανάμεσα στα λουλούδια που έχουν προηγουμένως ανακαλύψει με τυχαία σειρά, με τον τρόπο αυτό ουσιαστικά «λύνοντας» το λεγόμενο «πρόβλημα του περιοδεύοντος πωλητή», ένα διάσημο και δυσεπίλυτο γρίφο στον χώρο των οικονομικών και των μαθηματικών.

Στο πρόβλημα αυτό, ένας πωλητής, καλείται να βρει τη συντομότερη δυνατή διαδρομή ανάμεσα σε όλους τους προορισμούς που πρέπει να επισκεφτεί. Οι ηλεκτρονικοί υπολογιστές λύνουν το πρόβλημα συγκρίνοντας το μήκος όλων των πιθανών διαδρομών και επιλέγοντας τον πιο σύντομο. Όμως οι μέλισσες φαίνεται να κάνουν ουσιαστικά το ίδιο πράγμα κάθε μέρα, χωρίς καν τη βοήθεια υπολογιστή, απλώς με ένα εγκέφαλο που δεν είναι μεγαλύτερος από ένα σπόρο φυτού.

Όπως είπαν οι επιστήμονες, καθημερινά οι μέλισσες ξεκινούν να επισκεφτούν μια πληθώρα λουλουδιών σε διάφορες τοποθεσίες και, επειδή θέλουν να κάνουν εξοικονόμηση ενέργειας για το πέταγμά τους, «υπολογίζουν» μια διαδρομή που τους επιτρέπει να βρίσκονται στον αέρα το ελάχιστο δυνατό χρονικό διάστημα.

Χρησιμοποιώντας τεχνητά άνθη, συνδεμένα με υπολογιστές, οι ερευνητές έδειξαν ότι οι μέλισσες δεν χαράζουν μια πορεία απλώς με βάση την τυχαία σειρά που βρήκαν προηγουμένως τα λουλούδια, αλλά πάνε από λουλούδι σε λουλούδι ακολουθώντας συγκεκριμένο «σχέδιο», που τους επιτρέπει να πετάνε όσο γίνεται λιγότερο.

Αφού εντοπίσουν τις θέσεις των λουλουδιών, στη συνέχεια οι μέλισσες επιστρέφουν σε αυτά έχοντας μάθει -με μυστηριώδη τρόπο- να ακολουθούν πια τον καλύτερο δυνατό δρόμο, δηλαδή τον πιο σύντομο, ώστε να εξοικονομούν χρόνο και ενέργεια.

«Παρά τους μικροσκοπικούς εγκεφάλους τους, οι μέλισσες είναι ικανές για εντυπωσιακά κατορθώματα στη συμπεριφορά τους. Πρέπει να καταλάβουμε με ποιο τρόπο μπορούν να λύσουν το πρόβλημα του περιοδεύοντος πωλητή χωρίς κομπιούτερ» δήλωσε ο υπεύθυνος της έρευνας.

Οι επιστήμονες ευελπιστούν ότι μια τέτοια ανακάλυψη θα μπορούσε να βοηθήσει και τους ανθρώπους σε διάφορα πρακτικά προβλήματα, όπως στην καλύτερη ρύθμιση της κυκλοφορίας σε ένα δίκτυο (π.χ. κυκλοφοριακό) ή στην εκτεταμένη αλυσίδα τροφοδοσίας μιας επιχείρησης και θέλει να εξοικονομήσει χρόνο και χρήμα στις μετακινήσεις.

Evariste Galois, μια σύντομη ζωή (21 χρόνια) και το μεγαλειώδες έργο του

Αν και σκοτώθηκε στα 21 του, άφησε πλούσια παρακαταθήκη στα μαθηματικά! Η σύντομη ζωή
και το μεγαλειώδες έργο του δίνεται στο αρχείο που επισυνάπτεται.
Η βιογραφία του είναι του είναι αρκετά ενδιαφέρουσα, θα μπορούσε να γίνει στον κινηματογράφο μια όμορφη ταινία, αφού πρόλαβε αυτά τα λίγα χρόνια ζωής, να φυλακιστεί, να περάσει από σανατόριο, να μονομαχήσει, να επαναλάβει μια χρονιά στο σχολείο, απορρίφτηκε από όλα τα Πανεπιστήμια της χώρας του, και το χειρότερο, δεν πρόλαβε να πείσει για τις Μαθηματικές του γνώσεις. Τελικά οι θεωρίες του Galois χρησιμοποιούνται στην κβαντική μηχανική, αλγεβρικών και γραμμικών δομών, ενώ η Θεωρία Galois επιτρέπει τον «κομψό» χειρισμό πολυωνύμων με λίγες αλγεβρικές πράξεις. Η θεωρία αυτή επέτρεψε την σύνδεση της άλγεβρας και της γεωμετρίας, ενώ συνέβαλε και στη μετάβαση από την κλασσική στη μοντέρνα άλγεβρα. Στο Πανεπιστήμιο Αθηνών, τμήμα Μαθηματικό, διδάσκεται ένα μάθημα που ονομάζεται Άλγεβρα Galois (Άλγεβρα Β).

Θέματα εξετάσεων Β Λυκείου (ημερήσια, εσπερινά, επαναληπτικά)

Τα θέματα των εξετάσεων της Β Λυκείου από ημερήσια, εσπερινά και επαναληπτικά.
Πατήστε εδώ

Ωριαία εξέταση στους μιγαδικούς

Παρουσιάζω μια ωριαία εξέταση πάνω στους μιγαδικούς αριθμού. Η δεύτερη άσκηση είναι δική μου σύνθεση, επιμέλεια και παρουσίαση, φυσικά η μορφή, ιδέα και η λύση υπάρχει στο βιβλίο.
1η Ωριαία εξέταση στους μιγαδικούς αριθμούς

Τα θέματα εξετάσεων ομαδοποιημένα ανά κεφάλαιο / Γεωμετρία / Β΄ Λυκείου /

Ένα χρήσιμο αρχείο με τα θέματα εξετάσεων ομαδοποιημένα ανά κεφάλαιο.
Μπορείτε να τα δείτε από τον παρακάτω σύνδεσμο εδώ

Φυλλάδιο θεωρίας + ασκήσεων / Γεωμετρία Β Λυκείου / (ΚΕΕ)

Ένα απαραίτητο αρχείο για όλους τους μαθητές της Β΄ Λυκείου, περιέχει:
* Ερωτήσεις Σωστό Λάθος
* Ερωτήσεις πολλαπλής επιλογής
* Ερωτήσεις συμπλήρωσης κενών
* Ερωτήσεις αντιστοίχησης
* Ερωτήσεις διάταξης
* Ερωτήσεις ανάπτυξης
* Κριτήρια αξιολόγησης (τεστ)
Όλα αυτά μπορούμε να τα βρούμε εδώ πατήστε το κουμπί "Click here to start download.."

Κρυμμένο στα μαθηματικά το μυστικό αντοχής των μαραθωνοδρόμων

Διαβάζουμε Κυριακάτικα την εφημερίδα μας, το μάτι μας πέφτει στο περίεργο άρθρο της Ναυτεμπορικής: "Κρυμμένο στα μαθηματικά το μυστικό αντοχής των μαραθωνοδρόμων"

Καλά κρυμμένο στην γοητευτική αλλά για πολλούς ακατανόητη επιστήμη των μαθηματικών φαίνεται πως είναι το μυστικό αντοχής των μαραθωνοδρόμων. Με αφορμή τον ιστορικό Μαραθώνιο που διοργανώνεται στη χώρα μας την Κυριακή 31 Οκτωβρίου, ας ανακαλύψουμε τι κρύβεται πίσω από τις σχεδόν υπερφυσικές δυνάμεις των ακούραστων δρομέων.

Η νέα έρευνα από τον Μπένζαμιν Ράποπορτ, της Ιατρικής Σχολής του πανεπιστημίου Χάρβαρντ και του τμήματος Επιστημών Υγείας και Τεχνολογίας του πανεπιστημίου ΜΙΤ, που δημοσιεύτηκε στο περιοδικό μαθηματικής βιολογίας “PLoS Computational Biology”, σύμφωνα με το πρακτορείο Ρόιτερ και το Live Science, υπολόγισε μια νέα μαθηματική «φόρμουλα» που επιτρέπει σε κάθε δρομέα να υπολογίσει με ακρίβεια πόσες θερμίδες από υδατάνθρακες πρέπει να έχει πάρει εκ των προτέρων για να διαθέτει αρκετό απόθεμα, ώστε να μπορέσει να παραμείνει στην κούρσα και να μην αναγκαστεί να την εγκαταλείψει.

Δεν είναι λίγες οι φορές που έχουμε δει δρομείς να εγκαταλείπουν την προσπάθεια στη μέση ή να μην μπορούν καν να συνεχίσουν ούτε για ένα ακόμη βήμα. Η εξάντληση του οργανισμού προκαλείται από μια σειρά βιοχημικών αντιδράσεων αποσυντονίζοντας το καλοκουρδισμένο ρολόι-σώμα του δρομέα.

Με τη βοήθεια των μαθηματικών και της βιολογίας, φαίνεται πως ανακαλύφθηκε το μυστικό του τερματισμού: δεν πρέπει ο δρομέας να εξαντλήσει πολύ γρήγορα τα αποθέματα ενέργειας από υδατάνθρακες που διαθέτει ο οργανισμός του, γιατί αλλιώς θα βιώσει το οδυνηρό φαινόμενο να «πέφτει πάνω σε ένα τοίχο», οπότε ή θα κόψει απότομα ταχύτητα ή σε λίγα λεπτά θα αναγκαστεί να σταματήσει τελείως. Περίπου το 40% των μαραθωνοδρόμων «πέφτουν πάνω σε ένα τοίχο», εκτιμά ο Ράποπορτ, ο οποίος ο ίδιος έχει τρέξει 18 Μαραθώνιους και έχει άμεση πείρα των προβλημάτων της απαιτητικής κούρσας.

Όπως αναφέρει, σε αυτές τις περιπτώσεις, που συχνά οδηγούν στην αδυναμία συνέχισης, ο αθλητής έχει «κάψει» όλους τους υδατάνθρακές του, που είναι αποθηκευμένοι στο ήπαρ και τους μυες του, με συνέπεια να υποχρεώνεται να επιβραδύνει δραματικά, καθώς ο οργανισμός του αρχίζει πλέον να «καίει» το διαθέσιμο λίπος του.

Και η μαγική συνταγή...

Αρκεί κάποιος να συνυπολογίσει τρία πράγματα: το βάρος του, το χρόνο που θέλει περίπου να κάνει μέχρι τον τερματισμό και την μέγιστη ικανότητά του για λήψη οξυγόνου από τους πνεύμονές του (ονομάζεται VO2max), κάτι που δείχνει την ικανότητα του για αερόβια άσκηση.

Η τελευταία αυτή παράμετρος μπορεί να μετρηθεί σε ειδικό μηχάνημα, ενώ μπορεί να υπολογιστεί πιο χονδρικά και λιγότερο επιστημονικά, αν κάποιος διαιρέσει τον μέγιστο αριθμό σφύξεων της καρδιάς τους (σε συνθήκες μέγιστου στρες) με τον ρυθμό σφύξεων σε ανάπαυση και να πολλαπλασιάσει μετά το αποτέλεσμα με το 15. Μια χονδρική εκτίμηση για τον μέγιστο αριθμό σφύξεων γίνεται αν αφαιρέσει κανείς την ηλικία του σε έτη από τον αριθμό των 220 σφύξεων το λεπτό.

Ο συνδυασμός του βάρους, του επιθυμητού χρόνου της διαδρομής και της αεροβικής ικανότητας -μέσα από μια μαθηματική φόρμουλα- δίνει ένα αριθμό που δείχνει στους δρομείς πόσες έξτρα θερμίδες από υδατάνθρακες θα πρέπει να πάρουν πριν τρέξουν. Αρκετοί δρομείς αναπληρώνουν τις «αποθήκες» των υδατανθράκων τους παίρνοντας καθ οδόν διάφορα ποτά, αλλά, όπως είπε ο Ράποπορτ, ένας δρομέας μπορεί να μεταφέρει μέσα στο ήπαρ και τους μυς του πολύ περισσότερα «καύσιμα», αν έχει προετοιμαστεί επιστημονικά, χωρίς πια να χρειάζεται να μαντεύει.

Ο αμερικανός ερευνητής έχει μάλιστα δημιουργήσει ένα online «εργαλείο» υπολογισμού, που μπορεί να βοηθήσει τους υποψήφιους μαραθωνοδρόμους να κάνουν τους σχετικούς υπολογισμούς, στη διεύθυνση hhtp://endurancecalculator.com. Έτσι, αν σκοπεύετε και εσείς να λάβετε μέρος στον ιστορικό Μαραθώνιο της Αθήνας και αν δεν θέλετε να δείτε την πολύμηνη προετοιμασία σας να πέφτει στο κενό, δεν έχετε παρά να υπολογίσετε τον μαγικό εκείνο συνδυασμό που θα σας οδηγήσει στο τέρμα της διαδρομής.

Mιγαδικοί αριθμοί - Τα θέματα εξετάσεων ομαδοποιημένα

Στο επισυναπτόμενο αρχείο, δίνονται τα θέματα των Πανελληνίων Εξετάσεων από 2000 - 2010 αποκλειστικά με θέματα των μιγαδικών.
Είναι πιο εύχρηστο από το να δίνουμε στους μαθητές μας όλα τα θέματα και να πρέπει μόνοι τους να ανακαλύψουν στο κάθε θέμα ξεχωριστά που κρύβονται οι μιγαδικοί.
Μιγαδικοί αριθμοί-Τα θέματα ομαδοποιημένα

Χρήσιμα e-book πάνω στα Μαθηματικά

Παρουσιάζω στις "Μαθηματικές Σημειώσεις" χρήσιμα e-book που κυκλοφορούν σε διάφορα site ή blog.

Για περισσότερα αποτελέσματα δείτε στην καρτέλα e-book

Βάσεις 2010 - Μόρια Πρώτου και τελευταίου

Ήδη οι μαθητές της Γ΄ Λυκείου άρχισαν να ρωτάνε τις περσινές βάσεις διάφορων σχολών για να κάνουν σχέδια και όνειρα.
Δίνω το αρχείο με τις βάσεις των σχολών (που καθορίζεται από τα μόρια του τελευταίου) και ο καθένας ας κάνει τις δικές του εκτιμήσεις.
 
Συμβουλή: Διαβάστε, προσπαθήστε και κάντε όσα όνειρα θέλετε , δεν φορολογούνται! Αλλά μην κάνετε το αντίστροφο, θα χαθείτε στα όνειρα και στα σχέδια σας και θα ξεχάσετε το διάβασμα και την προσπάθεια, το έργο το βλέπω κάθε χρόνο με διαφορετικούς πρωταγωνιστές! Βάσεις 2010

20 Οκτωβρίου - Παγκόσμια Ημέρα Στατιστικής

Στις 20 Οκτωβρίου 2010 και για πρώτη φορά θα εορταστεί η Παγκόσμια Ημέρα Στατιστικής. Σύμφωνα με σχετική ανακοίνωση της Ελληνικής Στατιστικής Αρχής, ο εορτασμός αυτός υπογραμμίζει το σημαντικό ρόλο των επίσημων στατιστικών στην κοινωνία.
Σε επίπεδο Ευρωπαϊκής Ένωσης και για περισσότερο από 50 χρόνια, οι Εθνικές Στατιστικές Υπηρεσίες των κρατών μελών, σε συνεργασία με την Eurostat, καταβάλλουν προσπάθειες ώστε να παράγονται αξιόπιστα και συγκρίσιμα στοιχεία. Στις μέρες μας πλέον, αυξάνεται ολοένα και περισσότερο ο αριθμός των ατόμων που χρησιμοποιούν με ποικίλους τρόπους τις Ευρωπαϊκές Στατιστικές.

Στα πλαίσια του εορτασμού αυτής της Ημέρας, η Eurostat- η Στατιστική Υπηρεσία της Ευρωπαϊκής Ένωσης- και οι 27 Εθνικές Στατιστικές Υπηρεσίες των κρατών μελών, που αποτελούν όλες μαζί το Ευρωπαϊκό Στατιστικό Σύστημα (ΕΣΣ), προβαίνουν στην ταυτόχρονη δημοσίευση ενός κοινού Δελτίου Τύπου προβάλλοντας τον ρόλο των επίσημων Ευρωπαϊκών Στατιστικών.

Η σπουδαιότητα των Ευρωπαϊκών Στατιστικών

"Οι επίσημες Ευρωπαϊκές Στατιστικές συγκεντρώνουν δύο κύρια χαρακτηριστικά που τις κάνουν αναντικατάστατες: α) προσφέρουν ένα μέσο όρο για όλη την Ευρωπαϊκή Ένωση, β) δίνουν συγκρίσιμα στοιχεία για κάθε κράτος μέλος, βοηθώντας με αυτόν τον τρόπο να εντοπιστούν οι ομοιότητες και διαφορές εντός της ΕΕ.

Οι Ευρωπαϊκές Στατιστικές καλύπτουν ένα ευρύ φάσμα τομέων, όπως δημόσια οικονομικά, τιμές, εξωτερικό εμπόριο, αγορά εργασίας, υγεία, εκπαίδευση κλπ.

Για να δώσουμε ένα μάλλον «ανάλαφρο» παράδειγμα, ας δούμε πώς, βάσει των Ευρωπαϊκών Στατιστικών, σκιαγραφείται ο «μέσος»3 Ευρωπαίος πολίτης. Αν πρόκειται για γυναίκα, θα πρέπει να είναι 42 ετών και αναμένεται να ζήσει για 41 χρόνια ακόμη. Απέκτησε το πρώτο της παιδί σε ηλικία 28 ετών περίπου και έχει λιγότερα από δύο παιδιά. Εργάζεται στο δημόσιο τομέα ή σε κάποια κοινωνική υπηρεσία, περίπου 33 ώρες την εβδομάδα, και είναι τουλάχιστον απόφοιτη Λυκείου. Αν πρόκειται για άνδρα, θα πρέπει να είναι 39 ετών και με προσδοκώμενη ζωή 39 έτη ακόμη. Εργάζεται στον τομέα εμπορίου – υπηρεσιών, 40 ώρες την εβδομάδα, και είναι τουλάχιστον απόφοιτος Λυκείου. Φυσικά, αυτά τα στοιχεία αποτελούν απλώς ένα μέτρο σύγκρισης ώστε οι πολίτες να μπορούν να συγκρίνουν τον εαυτό τους με τους γείτονές τους".

Ευρύ φάσμα χρηστών: Ευρωπαίοι Επίτροποι και κυβερνήσεις μέχρι φοιτητές και επιχειρήσεις

"Σήμερα, οι Ευρωπαϊκές Στατιστικές διαδραματίζουν καθοριστικό ρόλο στην χάραξη κυβερνητικής πολιτικής, στη λήψη αποφάσεων στις επιχειρήσεις και στη δυνατότητα των πολιτών να κρίνουν την πρόοδο και να συγκρίνουν τον εαυτό τους με τους γείτονές τους.

Για παράδειγμα, οι Ευρωπαϊκές Περιφερειακές Στατιστικές καθοδηγούν την Ευρωπαϊκή Επιτροπή όσον αφορά στην κατανομή των περιφερειακών επιχορηγήσεων, ενώ στον οικονομικό τομέα οι στατιστικές που αφορούν στους εναρμονισμένους δείκτες τιμών παίζουν σημαντικό ρόλο στη νομισματική πολιτική των Κεντρικών Τραπεζών. Οι επιχειρηματίες χρησιμοποιούν τις στατιστικές εξωτερικού εμπορίου, προκειμένου να διερευνήσουν νέες ευκαιρίες στην εσωτερική αγορά, ενώ οι ευρωπαίοι πολίτες μπορούν να συγκρίνουν τη φορολογία ή την ανεργία στη χώρα τους με άλλα κράτη μέλη.

Το 2011 θα διεξαχθεί νέα Απογραφή Πληθυσμού σε όλα τα κράτη μέλη, τα αποτελέσματα της οποίας θα είναι ζωτικής σημασίας, τόσο σε εθνικό επίπεδο, παραδείγματος χάριν για τη λήψη αποφάσεων σχετικά με τον σχεδιασμό και την ανάπτυξη υποδομών (σχολεία, νοσοκομεία, μεταφορές, ενεργειακά έργα), όσο και σε ευρωπαϊκό επίπεδο, για τον τρόπο στάθμισης των ψήφων στο Ευρωπαϊκό Συμβούλιο".


Πηγή:www.capital.gr

Τεστ ιδιότητες μέτρου - Γ΄Λυκείου - Κατεύθυνση

Παρουσιάζω ένα απλό τεστ στις ιδιότητες του μέτρου μιγαδικού για την Γ Λυκείου - Κατεύθυνση 2η Γραπτή εξέταση

71ος πανελλήνιος διαγωνισμός στα μαθηματικά, "Ο Θαλής"

Η Ελληνική Μαθηματική Εταιρεία (Ε. Μ. Ε.) διοργανώνει τον 71o Πανελλήνιο Μαθητικό Διαγωνισμό (Π. Μ. Δ.), «Ο ΘΑΛΗΣ», στα μαθηματικά, το Σάββατο 30 Οκτωβρίου 2010 και ώρα 9.00 π.μ.

Ο διαγωνισμός απευθύνεται στους μαθητές των Β΄ και Γ΄ τάξεων των Γυμνασίων, όλων των τάξεων των Γενικών Λυκείων και των Επαγγελματικών Λυκείων. Οι δηλώσεις συμμετοχής των ενδιαφερομένων θα υποβληθούν στο σχολείο που φοιτούν, μέχρι και την 22α Οκτωβρίου 2010, και θα διαβιβασθούν άμεσα στις Διευθύνσεις και στα Γραφεία Δ.Ε. κ΄ Ε.Ε. όπου ανήκουν.

Οι Διευθύνσεις Δευτεροβάθμιας Εκπαίδευσης θα συγκροτήσουν τις τοπικές επιτροπές (ανά νομό) σε συνεργασία με τα τοπικά παραρτήματα της Ε.Μ.Ε. (όπου αυτά υπάρχουν) για τη διεξαγωγή του διαγωνισμού και θα ορίσουν τα εξεταστικά κέντρα και τους επιτηρητές.

Ο διαγωνισμός θα διαρκέσει τρεις (3) ώρες, θα απαρτίζεται μόνο από θέματα πλήρους ανάπτυξης και γι’ αυτό θα απαιτηθούν κόλλες αναφοράς.

Τα γραπτά των μαθητών θα αποσταλούν για βαθμολόγηση στην Επιτροπή Διαγωνισμών της Ε.Μ.Ε. στην Αθήνα ή στα κατά τόπους Παραρτήματά της (όπου υπάρχουν). Tα αποτελέσματα του διαγωνισμού θα ανακοινωθούν στις τοπικές Νομαρχιακές Επιτροπές.

Οι μαθητές που θα διακριθούν στο διαγωνισμό «Ο ΘΑΛΗΣ», θα κληθούν να συμμετάσχουν στον επόμενο διαγωνισμό «Ο ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ», που θα διεξαχθεί στις 15 Ιανουαρίου 2011. Στη συνέχεια οι διακριθέντες στον «ΕΥΚΛΕΙΔΗ» θα λάβουν μέρος στο διαγωνισμό, «Ο ΑΡΧΙΜΗΔΗΣ» στις 26 Φεβρουαρίου 2011, προκειμένου να επιλεγεί η εθνική ομάδα που θα λάβει μέρος στην 28η Βαλκανική Μαθηματική Ολυμπιάδα (Ρουμανία, Μάιος 2011), στην 15η Βαλκανική Μαθηματική Ολυμπιάδα Νέων (Κύπρος, Ιούνιος 2011) και στην 52η Διεθνή Μαθηματική Ολυμπιάδα (Ολλανδία, Ιούλιος 2011).

Η συμμετοχή των μαθητών στο διαγωνισμό είναι προαιρετική.

Οι ενδιαφερόμενοι μπορούν να απευθύνονται στην Ελληνική Μαθηματική Εταιρεία (Ε.Μ.Ε.) Πανεπιστημίου (Ελευθερίου Βενιζέλου) 34, 106 79 Αθήνα, τηλέφωνα: 210-36.16.532, 210-36.17.784, στο fax: 210-36.41.025, και στην ιστοσελίδα: www.hms.gr

Παρακαλούμε να ενημερώσετε τα σχολεία της αρμοδιότητάς σας. Σημειώνεται ότι η μετακίνηση και η συμμετοχή των σχολικών μονάδων στο εν λόγω διαγωνισμό θα γίνει χωρίς δαπάνη για το Δημόσιο.

Τα θέματα "Θαλή" από το 1998 - 2008 φαίνονται παρακάτω:
Β' Γυμνασίου και Γ΄ Γυμνασίου 
ενώ οι λύσεις Β' γυμνασίου

27ο Συνέδριο Μαθηματικής Παιδείας - Χαλκίδα

  Το φετινό Συνέδριο της Ε.Μ.Ε. θα πραγματοποιηθεί στη Χαλκίδα στις 19-21 Νοεμβρίου 2010.  

Η εγκύκλιος του συνεδρίου φαίνεται παρακάτω. 

Πολλές τοπικές Ε.Μ.Ε έχουν ήδη δρομολογήσει πούλμαν και ξενοδοχεία για την μετακίνηση και την διαμονή στη Χαλκίδα. Οι τιμές ποικίλουν. Για περισσότερες πληροφορίες ρωτήστε στα τοπικά τμήματα. 

Δείτε στην δεξιά στήλη όλα τα παραρτήματα της Ε.Μ.Ε. όπως και τα τηλέφωνα επικοινωνίας.

Περιληπτικά αναφέρουμε: 

Διοργανώνεται από την ελληνική μαθηματική εταιρεία.
Με τη συμμετοχή δέκα καθηγητών από το πανεπιστήμιο Πάτρας, και περισσότερων από οκτακοσίων συνέδρων - καθηγητών από τα πανεπιστήμια της Ευρώπης, της Αμερικής, της Κύπρου και εκπαιδευτικών από όλη τη χώρα, και με ένα εξαιρετικό συμβολισμό δύο ημέρες μετά την επέτειο της εξέγερσης του Πολυτεχνείου του ’73, πραγματοποιείται στη Χαλκίδα το 27o πανελλήνιο μαθηματικό συνέδριο της μαθηματικής εταιρείας - ΕΜΕ, από τις 19 έως τις  21 Νοεμβρίου 2010.

Στόχος του συνεδρίου είναι η ανάδειξη του ρόλου της μαθηματικής επιστήμης στην τεχνολογία και στην οργάνωση της κοινωνικής ζωής της χώρας, αλλά και του ρόλου του εκπαιδευτικού, του καθηγητή των μαθηματικών, η υποστήριξη και αποτελεσματική λειτουργία του, στα πλαίσια του εκπαιδευτικού συστήματος.

Στη ατζέντα του συνεδρίου βρίσκονται ζητήματα όπως ο επαγγελματισμός του εκπαιδευτικού, οι καινοτόμες διδακτικές προσεγγίσεις, οι χαρισματικοί καθηγητές, η μεθοδολογική ικανότητα στη διδασκαλία. Ο δάσκαλος των μαθηματικών στην εκπαίδευση, στην έρευνα, στην κοινωνία. Η δια βίου μόρφωση και η παιδαγωγική κατάρτιση των μαθηματικών. Η ψηφιακή γνώση στο ψηφιακό σχολείο. Τα δίκτυα των εκπαιδευτικών. Tο κοινωνικό κύρος του καθηγητή των μαθηματικών. Ο ‘απίστευτος’ θεσμός των φροντιστηρίων στην Ελλάδα.
Η αξιολόγηση και η επιλεξιμότητα των δασκάλων από τους μαθητές, η αξιοποίηση των 3.900 περίπου πτυχιούχων μαθηματικών και η ένταξή τους στη σχολική διαδικασία, και τέλος η επιμελητηριακή λειτουργία της μαθηματικής εταιρείας για τους άνεργους μαθηματικούς.

Η τοπολογία του Brower για τις υπερσφαίρες, το θεώρημα του Kakutani, η θεωρία  του Nash, από τα μαθηματικά του ‘σήμερα’, είναι μέρος της εισήγησης του κεντρικού ομιλητή του συνεδρίου Κώστα Δασκαλάκη, καθηγητή στο MΙΤ.

Θα υπάρξουν ακόμη στρογγυλά τραπέζια με θέματα - μεταξύ άλλων - τη λειτουργία του μαθηματικού στην τάξη του Γυμνασίου και του Λυκείου.
Συντονιστής είναι ο Θεοδόσης Ζαχαριάδης, αν. καθηγητής πανεπιστημίου Αθήνας.

Συμμετέχουν μεταξύ άλλων οι Έλενα Ναρδή, καθηγήτρια στο University οf East Anglia, Ειρήνη Μπίζα καθηγήτρια στο University Of Loughborough, Δέσποινα Πόταρη, αν. καθηγήτρια Πανεπιστήμιου Αθήνας, Μαριάνα Τζεκάκη, αν. καθηγήτρια Αριστοτέλειου Πανεπιστήμιου Θεσσαλονίκης, Κώστας Χρήστου, καθηγητής Πανεπιστήμιου Κύπρου.

Την επιστημονική επιτροπή του συνεδρίου αποτελούν μεταξύ άλλων οι Σταύρος Παπασταυρίδης, καθηγητής Άλγεβρας στο πανεπιστήμιο Αθήνας, και για δεκαπέντε χρόνια στο πανεπιστήμιο Πάτρας, ως πρόεδρος, Διονύσης Λάππας, αν. καθηγητής στο πανεπιστήμιο Αθήνας, ως αναπληρωτής πρόεδρος, Ευγενία Κολέζα, καθηγήτρια στο πανεπιστήμιο Πάτρας, Σπύρος Πνευματικός, καθηγητής στο πανεπιστήμιο Πάτρας, Θεοδόσης Ζαχαριάδης, αν. καθηγητής στο πανεπιστήμιο Αθήνας, Νίκος Παπαναστασίου, αν. καθηγητής στο πανεπιστήμιο Αθήνας, Παναγιώτης Βλάμος, επ. καθηγητής στο Ιόνιο πανεπιστήμιο, Ευγένιος Αυγερινός, καθηγητής στο πανεπιστήμιο Αιγαίου.

Το συνέδριο θα αποτελέσει τονωτική ‘ένεση’ για τα επαγγέλματα του τουριστικού τομέα της Εύβοιας, στην έναρξη της φετινής χειμερινής περιόδου.

Μάθημα 4 - Άλγεβρα Α΄ Λυκείου

Σε συνέχεια από το 1 Φύλλο εργασίας (που έχει τα μαθήματα 1,2,3) στην Άλγεβρα Α΄ Λυκείου, παρουσιάζουμε το Μάθημα 4/Δυνάμεις/Ταυτότητες/Παραγοντοποίηση/Μέθοδοι απόδειξης


Διόρθωση: Στην άσκηση 2, να γίνει ως εξής: "Να αποδείξετε ότι οι τετραγωνικές του 2 και 3 είναι άρρητοι αριθμοί και να τα τοποθετήσετε στον πραγματικό άξονα."
Μάθημα 4ο-Άλγεβρα Α Λυκείου

Διανύσματα - 9 Θέματα για επανάληψη του 1ου κεφαλαίου

Ενδεικτική πρόταση θεμάτων
με στόχο την επανάληψη του 1ου κεφαλαίου: ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ
(παράγρ. 1.1 έως και 1.5 των Μαθ/κών Κατεύθυνσης Β΄ Λυκείου)  
Από τον αγαπητό φίλο και Σχολικό Σύμβουλο Μαθηματικών Δημήτρη Ντρίζο

1η Γραπτή εξέταση (20min) - Γ' Λυκείου - Κατεύθυνση

1η Προφορική εξέταση Γ λυκείου-Α -B ομάδα
Τα αποτελέσματα της γραπτής εξέτασης θα ανακοινωθούν σύντομα

Νέες σελίδες - Καινοτόμος κίνηση!

Προστέθηκαν οι σελίδες 

• Α3 (Αλγ. Γεωμ.)
• Α4 (Άλγ. Γεωμ)
• Α5 (Γεωμ.)
• Β1 (Γεωμ.)
• Γ2 (Γ.Π)
• Γ-ΤΕΧΝ.-1

που είναι αποκλειστικά για τους μαθητές του 1ου Λυκείου Ζακύνθου.

Μέσα από αυτές τις σελίδες οι μαθητές που έχασαν την παράδοση του μαθήματος, θα μπορούν να ενημερώνονται διαδικτυακά για το τι διδάχθηκε μέσα στην τάξη και ποιες ασκήσεις δόθηκαν για το σπίτι. Επίσης μπορούν να τα κατεβάσουν τα φυλλάδια που μοιράστηκαν στο τμήμα!

Είναι ένα πιλοτικό πρόγραμμα και βρίσκεται σε δοκιμαστή περίοδο. Το διαδίκτυο έχει μπει στην ζωή μας, γιατί να μην το χρησιμοποιήσουμε προς όφελος της εκπαίδευσης; Η εύρεση της ύλης και  σημειώσεων που δίνονται στο σχολείο, είναι καινούργιο για τα δεδομένα του δημόσιου σχολείου. Είναι μια καινοτόμος σκέψη που θα πραγματοποιηθεί για πρώτη φορά!
Θα ενημερώνω τους συνάδελφους για την πορεία αυτής της πρωτοβουλίας.

Περιμένω σχόλια, γνώμες και απόψεις...

Κεφάλαιο 3ο: Τρίγωνα - Γεωμετρία της Α΄ Λυκείου

Περιέχει

• Ανασκόπηση θεωρίας
• Μεθοδολογία στη βοηθητική ευθεία
• Άλυτες ασκήσεις

Για άμεση αποθήκευση πατήστε εδώ. 

3o Κεφάλαιο Γεωμετρίας Α΄ Λυκείου from Mak Chatzopoulos

Αν προσθέσουμε και το φυλλάδιο του συναδέλφου Παππά Αθανάσιου από το 2ο ΓΕΛ Υμηττού 
έχουμε μια πλήρη παρουσίαση!