Το παράδοξο των γενεθλίων!

Πηγή: http://mathhmagic.blogspot.gr

Το παράδοξο των γενεθλίων και η 27η αγωνιστική της Superleague !!

                                 

         "Ας δώσουμε περισσότερο χρόνο στο πιθανό και θα συμβεί!!!!"
                Ηρόδοτος

 

Πόσο συχνά δυο ποδοσφαιριστές που συμμετέχουν στον ίδιο ποδοσφαιρικό αγώνα  κάνουν κοινό πάρτι γενεθλίων; 

Πολύ πιο συχνά από ότι θα περίμενε κανείς , αποδεικνύεται ότι σε περισσότερους από τους μισούς ποδοσφαιρικούς  αγώνες   δυο τουλάχιστον  ποδοσφαιριστές που λαμβάνουν μέρος στον ίδιο αγώνα θα έχουν γενέθλια την ίδια μέρα του χρόνου. Σαν  αριθμητικό δεδομένο φαντάζει περίεργο  για αυτό φέρει το τίτλο του παραδόξου παρ ότι δεν είναι. Ας το δούμε αναλυτικότερα.

Το ερώτημα που τίθεται αρχικά είναι: 

Πόσοι άνθρωποι πρέπει να  βρίσκονται σε μια αίθουσα για να έχουμε πιθανότητα μεγαλύτερη από 50% τα γενέθλια τουλάχιστον δυο από αυτούς να συμπίπτουν; Θα το σκεφτούμε αντίστροφα θα υπολογίσουμε αρχικά την πιθανότητα όλοι οι άνθρωποι να έχουν διαφορετική  μέρα του χρόνου γενέθλια. Ας φανταστούμε τον πρώτο άνθρωπο να μπαίνει στην αίθουσα τότε η  πιθανότητα  η ημέρα των γενεθλίων του να διαφέρει από κάθε άλλου προσώπου στην αίθουσα είναι 1 ( δεν υπάρχει άλλο πρόσωπο) .Το γράφουμε σαν κλάσμα:

                                                       

με την έννοια ότι  από τις 365 δυνατές μέρες γενεθλίων όλες είναι διαφορετικές .

Όταν ένα δεύτερο πρόσωπο μπαίνει στην αίθουσα  τότε θέλουμε τα γενέθλια των δυο ανθρώπων   να διαφέρουν , αν ο ένας έχει γενέθλια μια μέρα του χρόνου ο άλλος έχει  364  επιλογές ημερών σε ένα σύνολο 365 ημερών του χρόνου .Άρα η πιθανότητα σε αυτήν την περίπτωση είναι :

                                           

Όταν ένα τρίτο πρόσωπο μπει στην αίθουσα τότε έχουμε αντίστοιχα 363 επιλογές  έτσι η πιθανότητα να έχουν οι τρεις άνθρωποι γενέθλια σε διαφορετικές ημέρες του χρόνου είναι :

                                       

Ανάλογα αν μπουν μέσα Κ άνθρωποι τότε η πιθανότητα  να έχουν και οι κ γενέθλια σε διαφορετική μέρα του χρόνου είναι:

                               

 (αν δεν καταλάβατε πως βγήκε ο τύπος ,ρίξτε μια ματιά ΕΔΩ )

 

Όταν   Κ=22 το κλάσμα ισούται με 0.524305 και όταν  Κ=23 η πιθανότητα ισούται με 0.492703 . Υπολογίσαμε την πιθανότητα του ενδεχόμενου και οι  Κ άνθρωποι να έχουν γενέθλια όλοι σε διαφορετικές ημέρες  ,αν  λοιπόν από το 1 αφαιρέσουμε αυτήν  την πιθανότητα θα πάρουμε την πιθανότητα τουλάχιστον δυο άνθρωποι να έχουν την ίδια μέρα του χρόνου γενέθλια. Δείτε τα νούμερο που προκύπτουν:

Για Κ=22   τότε 1-0.524305=0.475695  ή 47.5695 %

Για κ=23 τότε  1-0.492703=0.507297 ή 50.7297 %

 

Η τελευταία  σχέση εκφράζει αυτό ακριβώς που αποκαλείται  “παράδοξο των γενεθλίων” , δηλαδή σε κάθε συγκέντρωση 23 ανθρώπων η πιθανότητα τουλάχιστον δυο από αυτούς να έχουν την ίδια μέρα του χρόνου γενέθλια είναι μεγαλύτερη από 50% (50.7297 %)

 

Αν αυτό σας φαίνεται παράξενο το διαδίκτυο μας προσφέρει τα μέσα να κάνουμε το εξής πείραμα. Σκεφτείτε ότι σε  έναν οποιοδήποτε ποδοσφαιρικό αγώνα  έχουμε 22 ποδοσφαιριστές και τον διαιτητή (11+11+1=23)  σύμφωνα  με τα παραπάνω  η πιθανότητα να  κάνουν την ίδια μέρα πάρτι  γενεθλίων τουλάχιστον δυο από τους συμμετέχοντες (παίκτες , διαιτητής ) είναι πάνω από 50% .

 

Επιλέγουμε  στην τύχη μια αγωνιστική του superleague (ας πούμε  με ημερομηνία  01/04/2012 ) και  από τους αγώνες που διεξήχθησαν  επιλέγουμε δυο στην τύχη και διαπιστώνουμε  ότι:

 

1)Παναθηναϊκός - Άρης  ( καμιά σύμπτωση γενεθλίων).

2)Παναιτωλικός – Ολυμπιακός  ( εδώ  έχουμε δυο  ζεύγη παικτών με γενέθλια την ίδια μέρα (Γραμμόζης,- Μπάρκογλου 1978-07-08) και (Κλωναρίδης, Ιωάννου 1992-07-28 ).

 

Αν κάποιος έχει αρκετή υπομονή μπορεί να επιλέξει μια οποιαδήποτε αγωνιστική  και να ελέγξει τις ημερομηνίες γενεθλίων όλων των αγώνων θα διαπιστώσει και εμπειρικά το παράδοξο των γενεθλίων.

 

Το γεγονός  ότι είναι αναμενόμενο στους μισούς αγώνες  από όσους επιλέξουμε να συμβαίνει η σύμπτωση γενεθλίων  δεν σημαίνει ότι θα πραγματοποιηθεί  κιόλας. Είναι σαν σκεπτόμαστε ότι αν ρίξουμε ένα κέρμα  4 φορές το κέρμα οφείλει να έρθει 2 φορές κορώνα και 2 γράμματα (  πλάνη του τζογαδόρου   ).

Δείτε και ένα σχετικό βίντεο:
 http://mathhmagic.blogspot.com/2012/02/23-and-football-birthdays.html