Μα πάντα 1089 θα βγαίνει κύριε; Πως γίνεται;

Διάβασα πρόσφατα μια όμορφη δημοσίευση της φίλης και άξιας συναδέλφου Κατερίνας Καλφοπούλου, δείτε εδώ, για ένα βιβλίο το 1089 ΕΝΑ ΜΑΓΙΚΟ ΤΑΞΙΔΙ ΣΤΟΝ ΚΟΣΜΟ ΤΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ του David Acheson, ομότιμος καθηγητής Μαθηματικών στο Jesus College του Πανεπιστημίου της Οξφόρδης, με ενέπνευσε και το έψαξα λίγο παραπάνω... 

Δεν γνωρίζω αν η απόδειξη υπάρχει στο βιβλίο (δεν το έχω διαβάσει), παρόλα αυτά η ενασχόληση με το θέμα αυτό, με ενθουσίασε και την μοιράζομαι μαζί σας στο παρακάτω επισυναπτόμενο. 

Φυσικά το παραπάνω πρόβλημα γίνεται όμορφο παιχνίδι ακόμα και με τους μαθητές του Δημοτικού. Μπορούμε, μετά από εξοικείωση με το πρόβλημα, να τους δείξουμε τα βήματα απόδειξης για να αντιληφθούν ότι τα Μαθηματικά λύνουν πολλά  μαγικά! Τι λέτε, δεν θα τους κερδίσουμε, έστω και παροδικά;  

Ένα ευδιάκριτο σκονάκι!!

Μπορείτε  να αναγνωρίσετε τι γράφει στο τοίχο από την διπλανή φωτογραφία;

Αν σας πούμε ότι το sinx είναι το ημχ και το cosx το συνχ τότε μπορούν να αντιληφθούν και οι μαθητές της Β Λυκείου για το τι αναφέρει ο τοίχος!

Έχουμε ακούσει για σκονάκια μέσα σε ρούχα. Για σκονάκια που έχουν γραφτεί σε απόκρυφα σημεία. Για σκονάκια μέσα σε στυλό δεν το συζητάμε, αποτελεί πλέον κάτι εντελώς παρωχημένο.

Τι ιδιαίτερο έχει ο Ιούλιος του 2011; Το παραμύθι που κυκλοφορεί στο διαδίκτυο

Μου ήρθε με e-mail και έχει κατακλύσει όλα τα blog το εξής μήνυμα:

"Ο Ιούλιος του 2011 έχει το εξής ενδιαφέρον (!), εμφανίζει 5 Παρασκευές, 5 Σάββατα και 5 Κυριακές όπως φαίνεται και στην παρακάτω εικόνα."

Ποιο είναι το ενδιαφέρον, εκτός ότι υπάρχουν πέντε τριήμερα που μας δίνουν την δυνατότητα να  εξορμήσουμε για μίνι διακοπές; Το εν λόγω μήνυμα συνεχίζει:

"Ότι εμφανίζεται μία φορά κάθε 823 χρόνια!! Αυτά τα χρόνια είναι γνωστά σαν 'Money bag' (=σάκος ή τσάντα με χρήματα)."

Το μήνυμα συνεχίζει και τα πρώτα σημάδια αναξιοπιστίας αρχίζουν να φαίνονται:

"Έτσι, στείλετε αυτό το στους φίλους σας και τα χρήματα θα φτάσουν μέσα σε 4 μέρες (ή 8 ημέρες, ποικίλουν ανάλογα την version που έχετε) ... που βασίζεται στην κινέζικη Feng Shui."

Ο Αμερικάνικος πολλαπλασιασμός - Lattice multiplication

Μια ενδιαφέρουσα μέθοδος πολλαπλασιασμού (όχι μόνο ακεραίων) είναι η Αμερικάνικη μέθοδος που ονομάζεται Lattice multiplication.

Ρώσικος πολλαπλασιασμός

Μετά από τον κινέζικο πολλαπλασιασμό, παρουσιάζουμε τον Ρώσικο πολ/σμο. Το παρακάτω βίντεο παρουσιάζει την μέθοδο και δίνει την μαθηματική εξήγηση.

Το σκεπτικό είναι το εξής:
1. Διαιρούμε την δεύτερη στήλη με το 2 έως ότου καταλήξουμε στην μονάδα και την πρώτη στήλη την πολ/με με το δύο.
2. Όταν το αποτέλεσμα της διαίρεσης είναι δεκαδικός πχ. 5,5 εμείς θα γράψουμε το ακέραιο μέρος του αριθμού δηλ.5
3. Τέλος προσθέτουμε τα αποτελέσματα της πρώτης στήλης που τα αντίστοιχα της δεύτερης στήλης έχουν περιττό- μονό αποτέλεσμα (αν έχουμε άρτια  ένδειξη δεν τα λαμβάνουμε στην πρόσθεση)
4. Το αποτέλεσμα μας δίνει το ζητούμενο γινόμενο.

Υπολογισμό Αιγυπτίων εμβαδόν το κυκλικού δίσκου με την μέθοδο του οκταγώνου

Γνωρίζουμε ότι το εμβαδόν του κυκλικού δίσκου υπολογίζεται από τον τύπο πR² αλλά πως την υπολογίζανε πριν ανακαλύψουν τον αριθμό π;

Στο παρακάτω βίντεο μας παρουσιάζουν την μέθοδο που ακολουθούσαν οι Αιγύπτιοι με την διαίρεση του κύκλου σε κανονικό οκταγώνου. Αν και η παρουσίαση είναι στα Αγγλικά νομίζω ότι είναι εύκολο να αντιληφθείτε την μέθοδο αφού γίνεται με παραστατικό τρόπο.

Ένας διαφορετικός πολ/σμός - Ο κινέζικος πολ/σμος!

Το παράδοξο των γενεθλίων!

Πηγή: http://mathhmagic.blogspot.gr

Το παράδοξο των γενεθλίων και η 27η αγωνιστική της Superleague !!

                                 

         "Ας δώσουμε περισσότερο χρόνο στο πιθανό και θα συμβεί!!!!"
                Ηρόδοτος

 

Πόσο συχνά δυο ποδοσφαιριστές που συμμετέχουν στον ίδιο ποδοσφαιρικό αγώνα  κάνουν κοινό πάρτι γενεθλίων; 

Πολύ πιο συχνά από ότι θα περίμενε κανείς , αποδεικνύεται ότι σε περισσότερους από τους μισούς ποδοσφαιρικούς  αγώνες   δυο τουλάχιστον  ποδοσφαιριστές που λαμβάνουν μέρος στον ίδιο αγώνα θα έχουν γενέθλια την ίδια μέρα του χρόνου. Σαν  αριθμητικό δεδομένο φαντάζει περίεργο  για αυτό φέρει το τίτλο του παραδόξου παρ ότι δεν είναι. Ας το δούμε αναλυτικότερα.

Το ερώτημα που τίθεται αρχικά είναι: 

Πόσοι άνθρωποι πρέπει να  βρίσκονται σε μια αίθουσα για να έχουμε πιθανότητα μεγαλύτερη από 50% τα γενέθλια τουλάχιστον δυο από αυτούς να συμπίπτουν; Θα το σκεφτούμε αντίστροφα θα υπολογίσουμε αρχικά την πιθανότητα όλοι οι άνθρωποι να έχουν διαφορετική  μέρα του χρόνου γενέθλια. Ας φανταστούμε τον πρώτο άνθρωπο να μπαίνει στην αίθουσα τότε η  πιθανότητα  η ημέρα των γενεθλίων του να διαφέρει από κάθε άλλου προσώπου στην αίθουσα είναι 1 ( δεν υπάρχει άλλο πρόσωπο) .Το γράφουμε σαν κλάσμα:

                                                       

με την έννοια ότι  από τις 365 δυνατές μέρες γενεθλίων όλες είναι διαφορετικές .

Όταν ένα δεύτερο πρόσωπο μπαίνει στην αίθουσα  τότε θέλουμε τα γενέθλια των δυο ανθρώπων   να διαφέρουν , αν ο ένας έχει γενέθλια μια μέρα του χρόνου ο άλλος έχει  364  επιλογές ημερών σε ένα σύνολο 365 ημερών του χρόνου .Άρα η πιθανότητα σε αυτήν την περίπτωση είναι :

                                           

Όταν ένα τρίτο πρόσωπο μπει στην αίθουσα τότε έχουμε αντίστοιχα 363 επιλογές  έτσι η πιθανότητα να έχουν οι τρεις άνθρωποι γενέθλια σε διαφορετικές ημέρες του χρόνου είναι :

                                       

Ανάλογα αν μπουν μέσα Κ άνθρωποι τότε η πιθανότητα  να έχουν και οι κ γενέθλια σε διαφορετική μέρα του χρόνου είναι:

                               

 (αν δεν καταλάβατε πως βγήκε ο τύπος ,ρίξτε μια ματιά ΕΔΩ )

 

Όταν   Κ=22 το κλάσμα ισούται με 0.524305 και όταν  Κ=23 η πιθανότητα ισούται με 0.492703 . Υπολογίσαμε την πιθανότητα του ενδεχόμενου και οι  Κ άνθρωποι να έχουν γενέθλια όλοι σε διαφορετικές ημέρες  ,αν  λοιπόν από το 1 αφαιρέσουμε αυτήν  την πιθανότητα θα πάρουμε την πιθανότητα τουλάχιστον δυο άνθρωποι να έχουν την ίδια μέρα του χρόνου γενέθλια. Δείτε τα νούμερο που προκύπτουν:

Για Κ=22   τότε 1-0.524305=0.475695  ή 47.5695 %

Για κ=23 τότε  1-0.492703=0.507297 ή 50.7297 %

 

Η τελευταία  σχέση εκφράζει αυτό ακριβώς που αποκαλείται  “παράδοξο των γενεθλίων” , δηλαδή σε κάθε συγκέντρωση 23 ανθρώπων η πιθανότητα τουλάχιστον δυο από αυτούς να έχουν την ίδια μέρα του χρόνου γενέθλια είναι μεγαλύτερη από 50% (50.7297 %)

 

Αν αυτό σας φαίνεται παράξενο το διαδίκτυο μας προσφέρει τα μέσα να κάνουμε το εξής πείραμα. Σκεφτείτε ότι σε  έναν οποιοδήποτε ποδοσφαιρικό αγώνα  έχουμε 22 ποδοσφαιριστές και τον διαιτητή (11+11+1=23)  σύμφωνα  με τα παραπάνω  η πιθανότητα να  κάνουν την ίδια μέρα πάρτι  γενεθλίων τουλάχιστον δυο από τους συμμετέχοντες (παίκτες , διαιτητής ) είναι πάνω από 50% .

 

Επιλέγουμε  στην τύχη μια αγωνιστική του superleague (ας πούμε  με ημερομηνία  01/04/2012 ) και  από τους αγώνες που διεξήχθησαν  επιλέγουμε δυο στην τύχη και διαπιστώνουμε  ότι:

 

1)Παναθηναϊκός - Άρης  ( καμιά σύμπτωση γενεθλίων).

2)Παναιτωλικός – Ολυμπιακός  ( εδώ  έχουμε δυο  ζεύγη παικτών με γενέθλια την ίδια μέρα (Γραμμόζης,- Μπάρκογλου 1978-07-08) και (Κλωναρίδης, Ιωάννου 1992-07-28 ).

 

Αν κάποιος έχει αρκετή υπομονή μπορεί να επιλέξει μια οποιαδήποτε αγωνιστική  και να ελέγξει τις ημερομηνίες γενεθλίων όλων των αγώνων θα διαπιστώσει και εμπειρικά το παράδοξο των γενεθλίων.

 

Το γεγονός  ότι είναι αναμενόμενο στους μισούς αγώνες  από όσους επιλέξουμε να συμβαίνει η σύμπτωση γενεθλίων  δεν σημαίνει ότι θα πραγματοποιηθεί  κιόλας. Είναι σαν σκεπτόμαστε ότι αν ρίξουμε ένα κέρμα  4 φορές το κέρμα οφείλει να έρθει 2 φορές κορώνα και 2 γράμματα (  πλάνη του τζογαδόρου   ).

Δείτε και ένα σχετικό βίντεο:
 http://mathhmagic.blogspot.com/2012/02/23-and-football-birthdays.html

Υπάρχει λάθος στη λύση της άσκησης; Ασκήσεις στη Γ' Λυκείου

Που είναι το λάθος;

Επειδή η χρησιμοποίηση των Θεωρημάτων, πολλές φορές γίνεται μηχανικά και χωρίς να λαμβάνονται υπ' όψη οι αναγκαίες για την εφαρμογή τους υποθέσεις. Συνέπεια της επιπόλαιης χρήσης των Θεωρημάτων, εμφανίζονται φαινομενικά ορισμένα «παράδοξα».
    Στα επόμενα παρουσιάζονται διάφορα θέματα της Γ΄ Λυκείου, τα οποία καταλήγουν σε «παράδοξα» συμπεράσματα, μετά από λανθασμένη εφαρμογή Μαθηματικών Προτάσεων.
    Ο προσεκτικός αναγνώστης, πρέπει να εντοπίσει το λάθος και να δώσει τις σωστές απαντήσεις.

Θέμα 1 
Θέμα 2
Θέμα 3  
Θέμα 4  
Θέμα 5
Θέμα 6
Σωστές Λύσεις

Μαθηματικά παράδοξα

1. Ονομασία: Επιμενίδης ο Κρης.
------------------------------------------------------------------------------------
Θέση: Επιμενίδης : «Όλοι οι Κρητικοί ψεύδονται».
Η παραπάνω δήλωση είναι αληθινή;
Σημείωση: Ο Επιμενίδης ήταν Κρητικός
Παράδοξο: Αν ναι, τότε όλοι οι Κρητικοί είναι ψεύτες άρα και ο Επιμενίδης, που
ήταν Κρητικός. Αν όμως είπε ψέματα τότε οι Κρητικοί είναι φιλαλήθεις,
και συνεπώς ο Επιμενίδης είπε αλήθεια. Πώς ειναι δυνατόν ενας άνθρωπος
να λέει ταυτόχρονα αλήθεια και ψέματα;

2. Ονομασία: Παράδοξο αληθούς τιμής.
------------------------------------------------------------------------------------
Θέση: Τρεις από τις ακόλουθες προτάσεις είναι ψευδείς.Εντοπίστε τις!
1. 2+2=4
2. 3 x 7=23
3. 9/3=3
4. 12-4=5
5. 3+8=11

Παράδοξο : Μόνο οι προτάσεις 2 και 4 είναι ψευδείς. Συνεπώς είναι
ψευδείς η βεβαίωση ότι οι ψευδείς είναι τρεις, πράγμα που κάνει
αυτή τη δήλωση μια τρίτη ψευδή πρόταση. Ή μήπως όχι;


3. Ονομασία: Το δίλλημα του κροκοδείλου.
------------------------------------------------------------------------------------
Η ιστορία ενός κροκοδείλου που άρπαξε ένα μωρό από τη μητέρα του.
Κροκόδειλος : Τι λες, θα φάω το παιδί σου ;
Απάντησε σωστά και θα σου το επιστρέψω απείραχτο.
Μητέρα : Αλίμονό μου, θα καταβροχθίσεις το παιδί μου.
Κροκόδειλος : Χμ. Τι θα κάνω τώρα ; Αν σου δώσω πίσω το μωρό σου
θα έχεις απαντήσει λάθος. Συνεπώς θα πρέπει να το φάω... Γι' αυτό και
δεν σου το επιστρέφω.
Μητέρα : Μα πρέπει να μου το δώσεις. Αν φας το παιδί μου σημαίνει
ότι απάντησα σωστά και οφείλεις να τηρήσεις το λόγο σου.
Ο καημένος ο κροκόδειλος σάστισε τόσο που άφησε το μωρό ελεύθερο.
Κροκόδειλος : Ουφ! Μόνο αν έλεγε ότι θα 'δινα πίσω το μωρό, θα
έκανα ένα απολαυστικό γεύμα.
Γιατί;;

4. Το περίφημο παράδοξο του αξύριστου κουρέα
(με την υπογραφή του Μπέρτραντ Ράσσελ, συγγραφέα του Principia Mathematica)
------------------------------------------------------------------------------------
Είναι λοιπόν ένας μπαρμπέρης σε ένα χωριό ο οποίος έξω από το
κουρείο του έχει κρεμασμένη μια πινακίδα που γράφει το εξής :
Ξυρίζω αυτούς και μόνον αυτούς που δεν ξυρίζονται μόνοι τους.
Το ερώτημα είναι, ποιος ξυρίζει τον κουρέα ;
Παράδοξο: Αν ξυρίζει τον εαυτό του σημαίνει ότι ανήκει σε εκείνους που
ξυρίζονται μόνοι τους. Η πινακίδα του όμως λέει ότι δεν ξυρίζει
κανέναν απ' αυτούς. Συνεπώς δεν μπορεί να ξυριστεί μόνος του.
Αν κάποιος άλλος ξυρίσει τον κουρέα, τότε θα είναι ένας απ' αυτούς
που δεν ξυρίζονται μόνοι τους. Αλλά η πινακίδα του λέει ότι ξυρίζει
όλους τους άντρες που δεν ξυρίζονται μόνοι τους. Έτσι λοιπόν κανένας
άλλος δεν μπορεί να ξυρίσει τον κουρέα. Και τι θα γίνει ο κουρέας;
Θα μείνει αξύριστος και θα αλλάξει επάγγελμα και θα γίνει παπάς ;

Σημείωση: Μην το ψάχνετε και πολύ αυτό το παράδοξο εκτός και αν μπορείτε να
δώσετε τον ορισμό του Συνόλου!

5. Το παράδοξο της ψηφοφορίας.
------------------------------------------------------------------------------------
Ας υποθέσουμε ότι ο Σημίτης, ο Καραμανλής και η Παπαρήγα θέτουν
υποψηφιότητα για πρωθυπουργοί...
Η καταμέτρηση των ψήφων έδειξε ότι τα 2/3 των ψηφοφόρων προτιμούν
τον Σημίτη από τον Καραμανλή και τα 2/3 προτίμησαν τον Καραμανλή
από την Παπαρήγα. Άρα οι περισσότεροι ψηφοφόροι προτιμούν τον
Σημίτη από την Παπαρήγα ;

Όχι αναγκαστικά !
1/3 : Α Β Γ
1/3 : Β Γ Α
1/3 : Γ Α Β
Αν οι ψηφοφόροι κατέταξαν με την ψήφο τους υποψηφίους όπως
φαίνεται παραπάνω, τότε έχουμε ένα καταπληκτικό παράδοξο. Ας
αφήσουμε τους υποψηφίους να το εξηγήσουν :
Σημίτης : Τα 2/3 των ψηφοφόρων προτιμούν εμένα από τον
Καραμανλή.
Καραμανλής : Τα 2/3 των ψηφοφόρων προτιμούν εμένα από την
Παπαρήγα.
Παπαρήγα : Τα 2/3 των ψηφοφόρων προτιμούν εμένα από τον
Σημίτη.
Σημείωση: Το παράδοξο δείχνει ότι δεν ισχύει πάντα η μεταβατική σχέση: χRψ και ψRz τότε χRz
Το άπειρο και τα παράδοξα του Ζήνωνα
Η έννοια του απείρου είναι τόσο αρχαία όσο και η Ιόνιος Φιλοσοφία με το οποίο ασχολήθηκε πρώτη. Το “άπειρο” ανέκαθεν προξενούσε και προξενεί αρκετές δυσκολίες και προβλήματα στον καθορισμό του όπως και στην κατανόησή του. Με την έννοια “άπειρο” εννοούμε συνήθως κάτι το οποίο αντίκειται στο πεπερασμένο, κάτι χωρίς πέρας, κάτι έξω από το οποίο δεν υπάρχει τίποτα, κάτι το οποίο δεν επιδέχεται περαιτέρω αύξηση. Το άπειρο προκάλεσε από την αρχή διαφορές, αντινομίες, πολλές από τις οποίες αποτελούν μέχρι σήμερα αντικείμενο μελέτης. Θα αρκεστούμε στα 4 γνωστά σοφίσματα του Ζήνωνα του Ελεάτη (496-429 π.Χ.). Αυτά σήμερα έχουν ιστορική μόνο σημασία.

6. Το Παράδοξο της Διχοτομίας
Το συγκεκριμένο Παράδοξο καταλήγει στο συμπέρασμα ότι “ η κίνηση είναι αδύνατη “διότι ό,τι κινείται, πριν φτάσει στο τέρμα του πρέπει να φτάσει στη μέση της πορείας του.
Ο Ζήνωνας λέει ότι για να μεταβεί ένα σώμα από μια θέση Α σε μια θέση Β οφείλει να διανύσει το μισό της απόστασης ΑΒ. Στη συνέχεια το μισό του υπολοίπου, ακολούθως το μισό του νέου υπολοίπου και ούτω καθ’ εξής.Οι αποστάσεις αυτές γίνονται συνεχώς μικρότερες, αλλά απαιτείται για κάθε μια απ’ αυτές ένας ορισμένος χρόνος για να διανυθεί. Και έτσι συμπέρανε ότι “το άθροισμα ενός απείρου αριθμού ορισμένων χρονικών διαστημάτων οφείλει να είναι άπειρο”.Κατά συνέπεια η πραγματικότητα της κίνησης και ακριβέστερα της έκτασης είναι αδύνατη.
Γι’ αυτή την αντινομία έχουν προταθεί αρκετές λύσεις. Μια από αυτές θεωρεί ότι το λάθος του συλλογισμού έγκειται στην αληθοφανή πρόταση “το άθροισμα ενός απείρου αριθμού ορισμένων χρονικών διαστημάτων είναι άπειρο”. Αυτή η πρόταση ισχύει αλλά όχι πάντα.
Ας υποθέσουμε για παράδειγμα ότι (ΑΒ) = 2 Κm και η ταχύτητα του κινητού είναι u = 1 Km/min. Τότε το μισό της απόστασης έστω (ΑΜ1) θα διανυθεί σε χρόνο t1 = 1 min ,το μισό του υπολοίπου απόστασης το (Μ1Μ2) σε χρόνο t2 = 1/2 ,το μισό του υπολοίπου, δηλ. το (Μ2Μ3) σε χρόνο t3 = 1/4 min, κ.τ.λ. Έτσι ο χρόνος t που απαιτείται για να διανυθεί η απόσταση (ΑΒ) δίνεται από τη σειρά t=t1+t2+.....+tn+... , δηλαδή t = 1+1/2 +1/4 +...+1/2ν+...
Το άθροισμα, όμως , δεν είναι άπειρο. Ισχύει ότι t® 2,αλλά ποτέ δεν το υπερβαίνει. Κατά συνέπεια ο χρόνος είναι t = 2 min και όχι άπειρος. Έτσι, απορρίπτεται το συμπέρασμα του Ζήνωνα ότι η κίνηση είναι αδύνατη.

7. Το Παράδοξο του Αχιλλέα και της Χελώνας.
Το συγκεκριμένο παράδειγμα καταλήγει στο συμπέρασμα ότι “ο βραδύτερος ουδέποτε θα προσπεραστεί από τον ταχύτερο’’.
Για να παρουσιαστεί αυτή η αντινομία πιο κατανοητή ας υποθέσουμε ότι η χελώνα προσπερνά τον Αχιλλέα 100 m και ότι η ταχύτητα uA του Αχιλλέα είναι uA=10 m/sec και της χελώνας, ux, είναι ux=1 m/sec. Τότε ο Αχιλλέας σε χρόνο t1=10 sec θα διανύσει την απόσταση (ΑΧ1)=100 m, την οποία τον προσπερνούσε η χελώνα. Κατά τη διάρκεια αυτού του χρόνου t1 η χελώνα θα διανύσει το διάστημα (x1x2) =10 m. Στη συνέχεια για να διατρέξει αυτή την απόσταση ο Αχιλλέας θα χρειαστεί χρόνο t2 =1 sec. Κατά το χρόνο t2 η χελώνα θα διανύσει το διάστημα (x2x3) =1 m και ο Αχιλλέας θα το διατρέξει σε χρόνο t3 =1/10 sec.Η κίνηση αυτή θα συνεχίζεται επ’ άπειρο. Έτσι κατέληξε ο Ζήνων, ότι ο Αχιλλέας δε θα φτάσει ποτέ τη χελώνα.
Όμως και η αντινομία αυτή αίρεται όπως και η προηγούμενη. Έτσι ο χρόνος t θα δίνεται από τη σχέσηt=t1+t2+.....+tn ή t=10+1+1/10+...+1/10ν. Όμως και αυτή η σειρά έχει πεπερασμένο άθροισμα και είναι ίσο με t=111/9 sec.

8. Το Παράδοξο του “πετώντος βέλους”.
Το παράδοξο αυτό καταλήγει στο συμπέρασμα ότι ”αν κάτι είναι σε ηρεμία ή κίνηση σε χώρο ίσο με τον εαυτό του και αν ο,τι κινείται θεωρείται πάντοτε στιγμιαίως, τότε το βέλος στο πέταγμά του είναι ακίνητο ”.
Ας δεχτούμε ότι ένα βέλος τίθεται σε κίνηση ανάμεσα σε δύο σημεία Σ1 και Σ2 και μεταξύ των χρόνων t1 και t2.Ανάμεσα σ’ αυτά υπάρχουν πολλά σημεία Σn και αντίστοιχα κατά την κίνηση πολλά χρονικά σημεία tn με n=1,2,3,...
Το σύνολο των χωρικών σημείων που καταλαμβάνει το βέλος είναι ο χώρος που ισούται προς τις διαστάσεις αυτού του αντικειμένου. Αν λοιπόν φανταστούμε κατά συστοιχία σύνολα αντιληπτικών χωρικών σημείων, απ’ αυτά που το σύνολό τους ισούται προς το διάστημα το οποίο διανύει το κινούμενο αντικείμενο και ανάλογα αν φανταστούμε κατά συστοιχία σύνολα αντιληπτικών χρονικών σημείων της διάρκειας της κίνησής του , τότε τα σημεία του αντικειμένου παρουσιάζονται ακίνητα μέσα στα χωροχρονικά αυτά σημεία. Έτσι όλη η κίνηση του αντικειμένου, η οποία προϋποτίθεται στην εμπειρία μας ως συνεχής, δεν είναι παρά μια εικόνα που συντίθεται από ασυνεχείς φάσεις, δηλαδή μια “κινηματογραφική” και όχι φυσική κίνηση.
9. Το Παράδοξο του Σταδίου.
Ας φανταστούμε τρείς παράλληλες σειρές σημείων Α,Β,Γ από τις οποίες η σειρά Α μένει ακίνητη και οι άλλες δύο κινούνται με ίση ταχύτητα προς αντίθετες κατευθύνσεις μπροστά από τη σειρά Α. Τα σημεία Β κινούνται προς τα δεξιά ενώ συγχρόνως τα σημεία Γ κινούνται προς την αντίθετη κατεύθυνση με την ίδια ταχύτητα και ρυθμό με το Β.
Έτσι, κάποια ορισμένη στιγμή το Β1, το Α3 και το Γ1 βρίσκονται όλα στο ίδιο ύψος. Στη συνέχεια το Β1 θα είναι απέναντι από το Α4, το Γ1 απέναντι από το Α2 και το Β3 απέναντι από το Α2. Δηλαδή το Γ1 είχε ευθυγραμμιστεί με το Β2 πριν ευθυγραμμιστεί με το Β3. Αυτό, όμως ,σημαίνει ότι η κίνηση θα μπορούσε να θεωρηθεί ότι συντελείται συνεχώς δια μέσου των διαδοχικά διαιρετών μερών της χωροχρονικής έκτασης.
Η αντινομική μορφή των επιχειρημάτων αυτών οργανώνεται γύρω από τη θέση ότι η πορεία διαίρεσης και σύνθεσης της χωρικής και χρονικής έκτασης οδηγεί στο άπειρο.
Η πραγματικότητα του απείρου υπήρξε η πηγή πολλών διαφωνιών και αντιθέσεων μεταξύ των φιλοσόφων και μεταξύ των μαθηματικών σε όλους τους αιώνες. Γι’ αυτό αρκετοί φιλόσοφοι και μαθηματικοί κατά καιρούς αναγκάστηκαν να το αρνηθούν για να αποφύγουν τις δυσκολίες και τα παράδοξά του. Έτσι, ο Αμερικανός E.Northrop πιστεύει ότι “το άπειρο είναι ένας από τους καθαρούς εχθρούς της ησυχίας του πνεύματος των μαθηματικών”. Πράγματι, το άπειρο απασχολεί συνεχώς από την ανακάλυψή του το ανθρώπινο πνεύμα και είναι η αιτία αρκετών από τα μαθηματικά σοφίσματα, παράδοξα, και αντινομίες, δεν είναι όμως, μαθηματικά παράλογα.

Καραγιάννη Άννα

Βιβλιογραφία: Το παραπάνω κείμενο είναι απόσπασμα της διάλεξης του κ. Γ.Κ.Μαυρικάκη: ”Οι σύγχρονες απόψεις περί του απείρου” στην Ε.Μ.Ε. έτους 1964 καθώς και του περιοδικού Δευκαλίων, τεύχος 11ο, “Προσωκρατική φιλοσοφία”.