Κωνικές τομές και Ευκλείδεια Γεωμετρία

Κωνικές τομές. Πηγή έμπνευσης για την κατασκευή προβλημάτων της Ευκλείδειας Γεωμετρίας.

Στους απόηχους του συνεδρίου της ΕΜΕ μια παρουσίαση των συναδέλφων: Σπύρος Παναγιωτόπουλος και Μιχαήλ Τζούμας.

Περίληψη

Μια μαθηματική δραστηριότητα αποτελείται από δύο σκέλη: την κατασκευή και τη λύση ενός προβλήματος. Δυστυχώς, οι μαθηματικοί δάσκαλοι, μέχρι σήμερα, εστιάζουν στο σκέλος της λύσης του προβλήματος και παραβλέπουν εκείνο της κατασκευής. Όμως, προκειμένου να αναπτύξουν οι μαθητές μας διερευνητικό προσανατολισμό, αλλά και θετική στάση απέναντι στα Μαθηματικά, θα πρέπει να πάψουμε να αγνοούμε το σκέλος της κατασκευής προβλήματος. Για την κατασκευή προβλημάτων υψηλής ποιότητας προσφέρεται η Ευκλείδεια Γεωμετρία και ιδιαίτερα οι Κωνικές Τομές(κ.τ.), λόγω του πλήθους των ιδιοτήτων που έχουν. Η χρήση επιπλέον της σύγχρονης τεχνολογίας δίνει τη δυνατότητα στους μαθητές να πειραματιστούν, να εικάσουν, αλλά και να προβληματιστούν και να συμπεράνουν.

18η άλυτη άσκηση: Οικογένεια και παιδιά

α) Σε μια πολύτεκνη οικογένεια κάθε αγόρι έχει τόσες αδερφές όσους και αδερφούς. Κάθε κορίτσι έχει όμως διπλάσιο πλήθος αδερφών (αγοριών) από ότι αδερφές (κορίτσια!). Πόσα παιδιά έχει η οικογένεια ;

β) Ενώ σε μια άλλη οικογένεια, τα κορίτσια έχουν τριπλάσιες αδερφές από αδερφούς και τα αγόρια επταπλάσιες. Πόσα παιδιά έχει αυτή η οικογένεια;

17η Άλυτη άσκηση: Γινόμενα αριθμητικών παραστάσεων (Ανανεωμένο: Λύσεις)

Δίνονται οι αριθμητικές παραστάσεις Α και Β όπως φαίνονται παρακάτω:

\[A = \prod\limits_{v = 1}^{299} {\frac{{2v - 1}}{{2\left( {v + 1} \right)}}} \] και  \[B = \prod\limits_{v = 1}^{299} {\frac{{2v}}{{2\left( {v + 1} \right) + 1}}} \]

τότε:
α) Να υπολογίσετε το γινόμενο: \[A \cdot B\]
β) Να αποδείξετε ότι: \[A < B\]

γ) Να αποδείξετε ότι ο αριθμός \[\frac{1}{{10 \cdot \sqrt {{6^2} \cdot {{10}^4} - 1} }}\] ανήκει στο διάστημα \[\left( {A,B} \right)\]

Δείτε παρακάτω τις λύσεις

Οι λύσεις στις 18 Μαθηματικές προ(σ)κλήσεις για τους μικρούς μας φίλους

Για να δείτε μόνο τις εκφωνήσεις πατήστε εδώ.

Για απευθείας αποθήκευση (εκφωνήσεων - λύσεων) πατήστε εδώ.  

Ανανέωση: 25/08/2015

Οι λύσεις στις 18 μαθηματικές προκλήσεις from Mak Chatzopoulos

Αποτελέσματα υποψηφίων Πανελλήνιων εξετάσεων 2011 - Εισαγωγή στην τριτοβάθμια εκπαίδευση

ΑΕΙ - Ημερήσια Γενικά Λύκεια 10% - Βαθμοί πρώτου και τελευταίου

ΑΕΙ - Ημερήσια Γενικά Λύκεια 90% - Βαθμοί πρώτου και τελευταίου

ΑΕΙ από Ημερήσια Λύκεια 10% - Συγκριτικοί πίνακες

ΑΕΙ από Ημερήσια Λύκεια 90% - Συγκριτικοί πίνακες

ΤΕΙ από Ημερήσια ΕΠΑΛ - Συγκριτικοί πίνακες

Απόφοιτοι Ημερησίων ΕΠΑΛ  - Βαθμολογία πρώτου - τελευταίου

ΤΕΙ - Απόφοιτοι Ημερήσιων Γενικών Λυκείων 10% - Βαθμολογία πρώτου - τελευταίου

ΤΕΙ - Απόφοιτοι Ημερήσιων Γενικών  Λυκείων 90% - Βαθμολογία πρώτου - τελευταίου

Τελικά η αγωνία των μαθητών φτάνει στο τέλος της, αφού στην ιστοσελίδα του Υπουργείου Παιδείας ανακοινώθηκαν στις 8 το πρωί οι βάσεις εισαγωγής σχολών τριτοβάθμιας εκπαίδευσης.

Τα πρώτα αποτελέσματα μιλάνε για θεαματική πτώση των βάσεων σε όλα τα επιστημονικά πεδία. Μάλιστα σε πολλές σχολές η πτώση ξεπερνά τα 2.000 μόρια. Η πτώση είναι σημαντική στις πολυτεχνικές και παιδαγωγικές σχολές.