27ο Πανελλήνιο Συνέδριο Μαθηματικής Παιδείας - Χαλκίδα

Τ

Το 27ο Πανελλήνιο Συνέδριο Μαθηματικής Παιδείας θα πραγματοποιηθεί στην Χαλκίδα στις 19 - 20 -21 Νοεμβρίου 2010.

Σκοπός του Συνεδρίου

Σε όλα τα συνέδρια μαθηματικής παιδείας και σε παγκόσμιο επίπεδο, τονίζεται όλο και πιο εμφατικά ο τεράστιος και καταλυτικός ρόλος της μαθηματικής επιστήμης στην τεχνολογία και στην οργάνωση της κοινωνικής ζωής κάθε χώρας.

Σε αυτό δεν συμφωνούν μόνο οι μαθηματικοί αλλά γενικά όλοι οι πολίτες, ανεξάρτητα από τη σχέση τους με τα μαθηματικά.

Είναι λοιπόν η πιο κατάλληλη στιγμή για ένα μαθηματικό συνέδριο, να αναδείξει τα ζητήματα που αφορούν το Δάσκαλο - Μαθηματικό σε όλες τις βαθμίδες και μορφές της εκπαίδευσης.

Με τον τρόπο αυτό το συνέδριο θα συνδράμει την πιο αποτελεσματική λειτουργία και προσφορά του Δάσκαλου - Μαθηματικού, μέσα στα πλαίσια του Εκπαιδευτικού συστήματος.

Για την επίτευξη του στόχου αυτού, το συνέδριο θα διαπραγματευθεί θέματα όπως:

■ Τον τρόπο που επιλέγει η κοινωνία τους δασκάλους που θα διδάξουν τα μαθηματικά στις διάφορες βαθμίδες της εκπαίδευσης.

■ Την επιμόρφωση του δασκάλου των μαθηματικών στη χώρα μας και κυρίως του δασκάλου που βρίσκονται στις δύο πρώτες βαθμίδες.

■ Τις αξιολογικές ή άλλες διαδικασίες που θα εξασφαλίζουν ότι ο συγκεκριμένος δάσκαλος των μαθηματικών μπορεί να αντεπεξέλθει με επιτυχία στον αυξημένο ρόλο που έχει απέναντι στις απαιτήσεις του σύγχρονου εκπαιδευτικού και κοινωνικού γίγνεσθαι.

■ Tην κοινωνική θέση του Δάσκαλου - Μαθηματικού.

25 Επιλεγμένα θέματα για ΑΣΕΠ εκπαιδευτικών ΠΕ:03

Στον παρακάτω σύνδεσμο υπάρχουν 25 επιλεγμένες επαναληπτικές ασκήσεις που καλύπτουν ένα μεγάλο μέρος από την εξεταστέα ύλη των μαθηματικών.

Υπάρχουν οι λύσεις - υποδείξεις στις περισσότερες ασκήσεις στο σύνδεσμο www.mathematica.gr.

Για απευθείας αποθήκευση πατήστε εδώ.

ΓΙΑ ΤΟΝ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΟ ΑΣΕΠ -ΜΟΡΦΗ 2

Το περιοδικό "φ"

 Περιληπτικά αναφέρω τι περιέχει το τεύχος που ακολουθεί:

1. Το θεώρημα της πίτσας από τον Π. Οικονομάκο

2. Αναζητώντας συναρτήσεις από τον Δ. Ζούπα (εξαιρετικό άρθρο)

3. Θέματα Ανάλυσης από τον Γιώργο Τσικαλουδάκη

4. Θέματα Ρουμάνικων Μαθηματικών διαγωνισμών

5. Δέκα προβλήματα Γεωμετρίας

6. Διδασκαλία για την «Δευτεροβάθμια συνάρτηση» από τον Β. Βισκαδουράκη

7. Μαθηματικά παιχνίδια εκπλήξεις με την τράπουλα

Και άλλα πολλά ενδιαφέροντα άρθρα από εκλεκτούς συναδέλφους και όχι μόνο!

To Periodiko f
Επίσης διαβάσαμε  σε ένα άλλο τεύχος του "Φ"

Θέματα Ρωσικών διαγωνισμών - Κβάντ

ακολουθήστε τον σύνδεσμο: http://tophi.gr/pdf/volume2/20.pdf

Πρωτότυπα Προβλήματα Μαθηματικών Πανεπιστημίου

Πρόσφατα βρήκα ένα πολύ όμορφο blog και θα το μοιραστώ μαζί σας. Το βρίσκετε στην ιστοσελίδα http://kolount.wordpress.com/ και
Περιέχει προβλήματα μαθηματικών που είναι όμορφα και πρωτότυπα, δηλαδή δεν ανήκουν στα συνηθισμένα προβλήματα που αντιμετωπίζουμε στα βιβλία που κυκλοφορούν ευρέως. Τα πιο πολλά από αυτά δεν είναι τελείως στοιχειώδη και, κατά κανόνα, απαιτούν κάποιες γνώσεις μαθηματικών που αποκτά κανείς στο Πανεπιστήμιο (ή τουλάχιστον θα έπρεπε ...).
Νομίζω ότι όσοι βαρεθήκαν τα στοιχειώδη προβλήματα μαθηματικών του Πανεπιστημίου και αναζητούν κάτι ποιο ενδιαφέρον, θα πρέπει να μπουν οπωσδήποτε στον παραπάνω σύνδεσμο, την συστήνουμε ανεπιφύλακτα!!
  Ποιοί συνεισφέρουν προβλήματα:

• Μιχάλης Κολουντζάκης
• Μιχάλης Λουλάκης
• Θέμης Μήτσης

  Κατηγορίες

• Άλυτα Προβλήματα
• Γενικά Σχόλια
• Λυμένα Προβλήματα
• Με υπόδειξη
• Με επιπλέον ερωτήματα

 Ενδεικτικά αναφέρω δέκα προβλήματα που μου άρεσαν!

Πρόβλημα 1

Πτώση μέχρι καταστροφής

Μια εταιρεία παραγωγής μαγικών ειδών σας ζητάει να εκτιμήσετε την ποιότητα της νέας γυάλινης σφαίρας που έχει κατασκευάσει, και ειδικότερα σας ζητάει να αποφασίσετε από ποιον όροφο του 36-όροφου κτηρίου της πρέπει να πέσει για να σπάσει.

 

Για το σκοπό αυτό σας διαθέτει ακριβώς δύο πανομοιότυπες γυάλινες σφαίρες.

Εσείς πρέπει λοιπόν να αποφασίσετε ποιο είναι το ελάχιστο τέτοιο ώστε αν η γυάλινη σφαίρα πέσει από τον -οστό όροφο σπάει αλλά αν πέσει από τον -όροφο τότε δε σπάει.
Ένας προφανής τρόπος να το κάνετε αυτό χρησιμοποιώντας μάλιστα μόνο τη μια σφαίρα είναι να ανεβαίνετε τους ορόφους έναν-έναν και από κάθε όροφο να ρίχνετε τη σφαίρα μέχρι να σπάσει.
Όμως αυτός ο όροφος παίρνει εν γένει πολλές δοκιμές.
Προσπαθείστε να το κάνετε με όσο λιγότερες δοκιμές μπορείτε.

Πρόβλημα 2

Τυχαίοι φορολογικοί έλεγχοι

Εργάζεστε στο Υπουργείο Οικονομικών και παίρνετε εντολή να επιλέξετε ένα τυχαίο δείγμα επαγγελματιών για φορολογικό έλεγχο. Ο προϊστάμενός σας έχει θέσει αυστηρές προδιαγραφές:

1. Κάθε επαγγελματίας θα πρέπει να ελεγχθεί με πιθανότητα .
2. Η πιθανότητα που έχει κάθε ένας να ελεγχθεί δεν εξαρτάται από το αν κάποιοι άλλοι θα ελεγχθούν ή όχι (σε πιο μαθηματική γλώσσα, τα ενδεχόμενα ελέγχου των επαγγελματιών είναι ανεξάρτητα).

Βλέπετε ότι υπάρχουν επαγγελματίες. Κατ’ αρχήν λοιπόν σκέφτεστε να βάλετε τον υπολογιστή σας να κάνει τυχαίες και ανεξάρτητες επιλογές και έτσι να επιλέξετε το δείγμα σας. Ο υπολογιστής σας μπορεί φυσικά εύκολα να το κάνει αυτό: είναι εφοδιασμένος με ένα υποπρόγραμμα το οποίο, κάθε φορά που καλείται, επιστρέφει ένα αριθμό ομοιόμορφα κατανεμημένο στο διάστημα . Καλείτε λοιπόν αυτό το υποπρόγραμμα φορές και, κάθε φορά, αν το πέσει στο διάστημα τότε ο “τυχερός” επαγγελματίας επιλέγεται για έλεγχο.
Όμως, σας λέει ο έμπειρος προϊστάμενός σας (ο οποίος μόλις είχε πάρει μεταγραφή στο Υπουργείο Οικονομικών από τη Στατιστική Υπηρεσία, η οποία εκείνη την εποχή υπόκειτο σε ανακατατάξεις και δικαστικούς ελέγχους), υπάρχει και η εξής παράμετρος: το σύστημα επιλογής σας υπόκειται σε δικαστικό έλεγχο. Και είναι γνωστό ότι οι υπολογιστές είναι ντετερμινιστικά μηχανήματα και τίποτα από αυτά που κάνουν δεν είναι τυχαίο. Η υπορουτίνα τυχαίων αριθμών που χρησιμοποιείτε δεν παράγει πραγματικά τυχαίους αριθμούς· αυτό όλοι το γνωρίζουν. Πώς μπορεί λοιπόν να σταθεί στο δικαστήριο η μέθοδός σας;
Η μόνη λύση που σας έρχεται στο μυαλό είναι να χρησιμοποιήσετε γεννήτρια τυχαίων αριθμών εκτός του υπολογιστή σας. Ένας τρόπος π.χ. να το κάνετε αυτό είναι να παράγετε πολλά ανεξάρτητα τυχαία νούμερα ομοιόμορφα στο (π.χ. χρησιμοποιώντας κάτι σα ρουλέτα στην οποία μετράτε κάθε φορά τη γωνία με την οποία περιστράφηκε και διαιρείτε διά ) και να τα καταχωρήσετε σε ένα αρχείο του υπολογιστή σας. Όποτε το πρόγραμμά σας χρειάζεται ένα τυχαίο αριθμό απλά θα παίρνει τον επόμενο απο αυτό το αρχείο.
Ο προιστάμενός σας είναι ευχαριστημένος: η μέθοδός σας σίγουρα περνάει κάθε νομικό έλεγχο.
Όμως μετά από λίγο καταλαβαίνετε ότι το να παράγετε τυχαίους αριθμούς με μηχανικό τρόπο θα πάρει πολύ χρόνο και χρήμα. Είναι πρακτικά αδύνατο.
Πρέπει να βρείτε ένα τρόπο να παράγετε αυτό το τυχαίο δείγμα (κατά μέσο όρο θα έχει μέγεθος 100) χρησιμοποιώντας πολύ λιγότερους τυχαίους αριθμούς.
Προτείνετε λύσεις.

Πρόβλημα 3

Γραμμικοί συνδυασμοί με φυσικούς ως συντελεστές ΙΙ

Είδαμε στο πρόβλημα “Γραμμικοί συνδυασμοί με φυσικούς αριθμούς ως συντελεστές” ότι αν είναι σχετικά πρώτοι τότε υπάρχει πεπερασμένο πλήθος φυσικών αριθμών που δεν μπορούν να γραφούν ως με φυσικούς.
Μπορείτε να υπολογίσετε πόσοι είναι αυτοί οι αριθμοί;

Πρόβλημα 4

Χωριστά συνεχής

Έστω μια συνάρτηση η οποία είναι συνεχής σε κάθε μεταβλητή. Δηλαδή για κάθε σταθεροποιημένο , η είναι συνεχής σαν συνάρτηση τού , και ανάλογα για κάθε σταθεροποιημένο η είναι συνεχής σαν συνάρτηση τού . Δεν είναι αλήθεια ότι μια τέτοια είναι συνεχής σαν συνάρτηση και των δύο μεταβλητών. Παράδειγμα

Δείξτε παρ’ όλα αυτά ότι μια τέτοια συνάρτηση έχει πάντα τουλάχιστο ένα σημείο συνέχειας.

Πρόβλημα 5 Σημεία και ευθείες

Δίδεται ένα πεπερασμένο σύνολο σημείων στο επίπεδο που δεν είναι όλα συνευθειακά. Δείξτε ότι υπάρχει μια ευθεία που περιέχει ακριβώς δύο από τα σημεία αυτά.

Πρόβλημα 6 

Είναι η ταυτοτική;

Έστω μια συνάρτηση τέτοια ώστε και για κάθε . Τι μπορείτε να πείτε για την ;
Υπάρχει μια προφανής με αυτές τις ιδιότητες. Είναι η μοναδική;
Προσέξτε ότι δεν κάνουμε καμία άλλη υπόθεση για την . Επομένως θα πρέπει εσείς να μαντέψετε τους ασθενέστερους δυνατούς περιορισμούς ώστε το πρόβλημα να έχει απάντηση (αν φυσικά πιστεύετε ότι χρειάζονται κάποιοι περιορισμοί)

Πρόβλημα 7

Μονομαχία

Κατηγορίες: Λυμένα Προβλήματα — Michalis Loulakis @ 11:01 πμ

Ένας μαθηματικός, ένας αριστοκράτης κι ένας κυνηγός αποφασίζουν να μονομαχήσουν για την αγάπη μιας γυναίκας. Ο κανόνας της μονομαχίας είναι ότι οι τρεις άνδρες πυροβολούν διαδοχικά μέχρι (μακάβριο…) να απομείνει ένας μόνο ζωντανός. Μετά από κλήρωση πρώτος πυροβολεί ο μαθηματικός, δεύτερος ο κυνηγός και τρίτος ο αριστοκράτης.
Ο μαθηματικός που δεν σκαμπάζει πολύ από όπλα έχει πιθανότητα 0,3 να πετύχει το στόχο του κάθε φορά που σκοπεύει, ο αριστοκράτης έχει πιθανότητα 0,5 και ο κυνηγός δεν αστοχεί ποτέ. Τι πρέπει να κάνει ο μαθηματικός μας;

Πρόβλημα 8

Εξίσωση 5ου βαθμού

Δύο από τις λύσεις της εξίσωσης

είναι αντίστροφοι αριθμοί. Βρείτε όλες τις λύσεις της.

Πρόβλημα 9

Αεροδρόμιο στη στέπα

Τρεις πόλεις είναι χτισμένες στη στέπα και η κυβέρνηση της χώρας αποφάσισε επιτέλους να φτιάξει ένα αεροδρόμιο που να τις εξυπηρετεί. Οι πόλεις θα συνδεθούν με το αεροδρόμιο με αυτοκινητοδρόμους. Οι δρόμοι όμως κοστίζουν και η κυβέρνηση χρήματα πολλά δεν θέλει να διαθέσει. Σας προσλαμβάνει λοιπόν για να γνωμοδοτήσετε που πρέπει να χτιστεί το αεροδρόμιο ώστε το κόστος κατασκευής των τριών αυτοκινητοδρόμων να είναι ελάχιστο. Μάλιστα, το μόνο που προτίθεται να σας δώσει είναι ένας χάρτης της περιοχής, ένας κανόνας κι ένας διαβήτης. Πώς θα υποδείξετε το καταλληλότερο σημείο;

Πρόβλημα 10

Κέντρο βάρους (παραμένει άλυτο ακόμα!!)

Δείξτε πρώτα ότι το κέντρο βάρους των κορυφών ενός τριγώνου συμπίπτει πάντα με το κέντρο βάρους του τριγώνου. Στη συνέχεια δείξτε ότι το κέντρο βάρους των κορυφών ενός τετραπλέυρου συμπίπτει με το κέντρο βάρους του τετραπλεύρου αν και μόνο αν το τετράπλευρο είναι παραλληλόγραμμο.
Υπενθυμίζεται ότι το κέντρο βάρους των κορυφών ενός -γώνου με κορυφές είναι το κέντρο βάρους ίσων μαζών τοποθετημένων στις κορυφές του και έχει συντεταγμένες

Οι συντεταγμένες του κέντρου βάρους ενός πολυγώνου Π (που είναι το κέντρο βάρους μιας μάζας κατανεμημένης ομοιόμορφα στην επιφάνεια του πολυγώνου) δίνονται από τις σχέσεις

και μπορείτε να τις βρείτε στο παλιό και αγαπημένο πρόβλημα “Τύπος για Εμβαδό Πολυγώνου“

Θέματα εξετάσεων από Κύπρο - Ελλάδα

Ο Βασίλης (bilstef) μας ενημέρωσε για ένα site που έχει τα θέματα εξετάσεων για ότι χρειαστείτε, Πανγκύπριες, Πανελλήνιες, Δημοσίου, Λυκείου, Γυμνασίου, Δημοτικού.

Επίσης θα βρείτε και άλλα ενδιαφέροντα θέματα!

http://www.esagogi.com/

Η τέλεια ρίψη πέτρας στη θάλασσα βασίζεται σε... μαθηματική εξίσωση!

Μαθηματικοί από το University College του Λονδίνου δημιούργησαν μια εξίσωση η οποία υπόσχεται σε μικρούς και μεγάλους να πετύχουν τα περισσότερα δυνατά «βατραχάκια» (αναπηδήσεις) όταν πετούν πέτρα στη θάλασσα.

  Το μοντέλο που ανέπτυξαν συγκρίνει το βάρος και την ταχύτητα της πέτρας με την αντίσταση του αέρα και του νερού, καθώς και με τη βαρύτητα, έτσι ώστε να εξασφαλιστεί η τέλεια ρίψη.
 Αν και η συγκεκριμένη μελέτη είχε ως κύριο στόχο της τη διασκέδαση, έχει και σοβαρές προεκτάσεις σε ό,τι αφορά τα πλοία που ταξιδεύουν σε άγριες θάλασσες αλλά και τον πάγο που αναπηδά επάνω στον σκελετό και στα φτερά των αεροσκαφών.

Μπέιζμπολ και Μαθηματικά ! ! !

Οι Ιάπωνες αγαπούν το μπέιζμπολ

Η 48χρονη γιαπωνέζα συγγραφέας συνδυάζει το εθνικό σπορ της πατρίδας της και τα μαθηματικά για να γράψει ένα μυθιστόρημα με θέμα την ομορφιά των ανθρώπινων σχέσεων

ΣΠΥΡΟΣ ΒΡΕΤΟΣ | Κυριακή 8 Αυγούστου 2010

Λίγες ημέρες αφότου ο ιταλός εισαγγελέας Τζιοβάνι Φαλκόνε δολοφονήθηκε από τη Μαφία, λίγο καιρό πριν από την ανακομιδή των οστών του Νικολάου και της Αλεξάνδρας στο Αικατερίνμπουργκ, ανήμερα του δημοψηφίσματος με το οποίο οι Δανοί απέρριψαν τη Συνθήκη του Μάαστριχτ, λίγες ώρες πριν από το σιδηροδρομικό δυστύχημα στον σταθμό του Τορίντε στη γραμμή Κάντο της Ανατολικής Ιαπωνίας, το απόγευμα της 2ας Ιουνίου 1992 το γήπεδο Κοσιέν της πόλης Νισινομίγια, στον Νομό Χιόγκο της Νοτιοδυτικής Ιαπωνίας, γέμιζε ασφυκτικά με φανατικούς θεατές του μπέιζμπολ. Δύο ομάδες της Κεντρικής Λίγκας της Ιαπωνίας, οι Χιρόσιμα Τόγιο Καρπ και οι Χάνσιν Τάιγκερς, ήλθαν αντιμέτωπες σε μια σύγκρουση που καθόρισε την πορεία τους στα επόμενα πολλά χρόνια.

Μαθηματική απόδειξη: 20 κινήσεις αρκούν για να τον κύβο του Ρούμπικ!

ΛΟΝΔΙΝΟ. Χρειάστηκαν συνολικά 15 χρόνια έρευνας, αλλά πλέον είναι σαφές ότι οποιαδήποτε «ακατάστατη» διάταξη του κύβου Ρούμπικ μπορεί να λυθεί με τον ανώτατο αριθμό των 20 κινήσεων. Σε αυτό το συμπέρασμα κατέληξε ομάδα ερευνητών από το Πολιτειακό Πανεπιστήμιο Κεντ στο Οχάιο, η οποία συνεργάστηκε με την Google και για την ακρίβεια με τους... υπερυπολογιστές της, προκειμένου να βρει τη λύση στον δυσεπίλυτο γρίφο.

Με χρήση των υπερσύγχρονων, γρήγορων υπολογιστών οι επιστήμονες έλεγξαν το σύνολο των 43.252.003.274.489.856.0000 διατάξεων που μπορεί να έχει ο κύβος. Για να καταφέρουν να κάνουν αυτόν τον έλεγχο θα απαιτούνταν 35 ολόκληρα χρόνια με χρήση των συμβατικών υπολογιστών. Τα μηχανήματα της Google όμως μείωσαν σημαντικά αυτόν τον χρόνο.

Προκειμένου να διευκολύνουν τη μελέτη οι ειδικοί χώρισαν τους συνδυασμούς σε 2,21 δισεκατομμύρια ομάδες των 20 δισεκατομμυρίων θέσεων η καθεμία. Είδαν έτσι ότι ο ανώτατος αριθμός κινήσεων που απαιτούνται για τη λύση του γρίφου είναι οι 20- αν και για τους περισσότερους συνδυασμούς 15-19 κινήσεις ήταν αρκετές.

Ο συγκεκριμένος αριθμός έχει χαρακτηριστεί «αριθμός του Θεού», γεγονός που μαρτυρεί ότι ούτε ο Υψιστος θα μπορούσε να βρει ταχύτερα τη λύση του κύβου!

Διαβάστε περισσότερα: www.tovima.gr/

Θέματα Μαθηματικών για τους μετεξεταστέους του Γυμνασίου

Πιθανά θέματα από το blog http://examsos.yooblog.gr

Για την Α' Γυμνασίου:

ΘΕΜΑ 1ο α) Πότε δύο κλάσματα λέγονται ισοδύναμα; Να αναφέρετε δυο τρόπους
δημιουργίας ισοδύναμων κλασμάτων. Δώστε ένα παράδειγμα για τον καθένα.
β) Ποιο είναι μεγαλύτερο από δύο ομώνυμα κλάσματα; Δώστε ένα
παράδειγμα. Ποιο είναι μεγαλύτερο από δύο κλάσματα με τον ίδιο αριθμητή; Δώστε
ένα παράδειγμα.
ΘΕΜΑ 2ο α) Να αναφέρετε τα είδη των τριγώνων ως προς τις πλευρές.
β) Να αναφέρετε τα είδη των τριγώνων ως προς τις γωνίες.
γ) Ποιες γωνίες λέγονται κατακορυφήν, ποια σχέση τις συνδέει;

ΘΕΜΑΤΑ
ΘΕΩΡΙΑ
1. Α. i) Τι ονομάζουμε παραλληλόγραμμο;
ii) Ποιες είναι οι ιδιότητες του παραλληλογράμμου;
Β. Με τι ισούται το εμβαδό:
i) ενός τριγώνου;
ii) ενός παραλληλογράμμου;
iii) ενός τραπεζίου;

2. Α. i) Ποιες γωνίες λέγονται εφεξής; (Να κάνετε σχήμα)
ii) Ποιες γωνίες λέγονται κατακορυφήν και ποια σχέση τις συνδέει;

Β. i) Πότε δύο γωνίες ονομάζονται παραπληρωματικές; (Να κάνετε σχήμα)

ii) Με τι ισούται το άθροισμα των γωνιών ενός τριγώνο

ΘΕΩΡΙΑ 1
α. Ποιοι αριθμοί είναι πρώτοι;
β. Πότε ένας αριθμός διαιρείται με το 3;
γ. Ποιος είναι ο Μ.Κ.Δ δύο αριθμών;

ΘΕΩΡΙΑ 2
α. (ι) Πότε ένα τετράπλευρο είναι τραπέζιο;
(ιι) Πότε ένα τετράπλευρο λέγεται παραλληλόγραμμο;
β. Ποιες είναι οι ιδιότητες του παραλληλογράμμου;

ΘΕΜΑ 1ο

1. Πότε ένα τρίγωνο λέγεται:
• Ισόπλευρο
• Ισοσκελές
• Σκαληνό
2. Σχεδιάστε ένα τρίγωνο
• Ισόπλευρο
• Ισοσκελές
• Σκαληνό

ΘΕΜΑ 2ο

1. Πότε δυο γωνίες λέγονται:
• Εφεξής
• Παραπληρωματικές
• Κατακορυφήν
2. Σχεδιάστε
• ∆υο εφεξής και παραπληρωματικές γωνίες
• ∆υο Κατακορυφήν γωνίες

Για την Β' Γυμνασίου:

1. Να γράψετε το πυθαγόρειο θεώρημα και να κάνετε σχήμα.

2. Να γράψετε το αντίστροφο του πυθαγορείου θεωρήματος.

3. Α. Τι ονομάζουμε επίκεντρη και τι εγγεγραμμένη γωνία; Ποια σχέση τις συνδέει;

4. Πότε ένα πολύγωνο λέγεται κανονικό; Ποιος είναι ο τύπος υπολογισμού της
κεντρικής του γωνίας;

5. Σε ένα ορθογώνιο τρίγωνο, αν ω είναι μια οξεία γωνία του να δώσετε τους
ορισμούς ημω, συνω και εφω .
6. Πως μεταβάλλεται το ημίτονο και το συνημίτονο όταν μεταβάλλεται η γωνία;
7. να υπολογίσετε την τιμή της παράστασης (άσκηση σχολικού βιβλίου)
8. Πότε δύο ποσά λέγονται ανάλογα;
9. Να υπολογίσετε:
(α) Το μήκος του τόξου ΒΓ
(β) Το εμβαδόν του κυκλικού δίσκου.
(γ) Το εμβαδόν του χωρίου εντός του κυκλικού δίσκου και
εκτός του τριγώνου. (άσκηση σχολικού βιβλίου)

10. Να λύσετε την εξίσωση: (άσκηση σχολικού βιβλίου)

Για την Γ' Γυμνασίου:
Θέμα 1ο : Διατυπώστε τα κριτήρια ισότητας δύο τριγώνων.
Θέμα 2ο : α) Τι λέγεται ταυτότητα;
β) Να συμπληρώσετε και να αποδείξετε τις ταυτότητες:

(α+β)2=……………………………….(α-β)2=……………………………….

(α+β)3=……………………………….(α-β)3=……………………………….

γ) Να αποδείξετε την ταυτότητα: α2-β2=(α-β)(α+β)

Θέμα 4ο: Τί καλείται μονώνυμο, κύριο μέρος μονωνύμου και συντελεστής μονωνύμου. Να αναφέρετε παραδείγματα

Θέμα 5ο: Να αναφέρετε τα τρία κριτήρια ισότητας ορθογωνίων τριγώνων.

Θέμα 3ο. Να γράψετε το θεώρημα του Θαλή. Να κάνετε σχήμα.

Πανρωσική Μαθηματική Ολυμπιάδα 1963

Από το site του συνάδελφου Σπύρου Γιαννακόπουλου βρήκα αυτό,

ΠΑΝΡΩΣΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΟΛΥΜΠΙΑΔΑ 1963

για όσους ενδιαφέρονται για Ολυμπιάδες νομίζω ότι θα φανεί χρήσιμο αρχείο...

Δημήτρης Χριστοδούλου - Καθηγητής του Πολυτεχνείου της Ζυρίχης

Πολύ πιστεύουμε ότι μεγάλοι Μαθηματικοί υπήρχαν μόνο στην αρχαιότητα, ενώ στις μέρες μας λείπουν τα διάσημα μυαλά που θα οδηγήσουν την επιστήμη των Μαθηματικών ένα σκαλί πιο πέρα... 

Δεν είναι λίγοι αυτοί που υποστηρίζουν ότι τα Μαθηματικά είναι ένας κορεσμένος κλάδος και ότι ανακαλύψεις που έχουμε μπροστά μας δεν είναι πολλές και ενδιαφέρουσες για το ευρύ κοινό...
Επίσης όλοι μας είμαστε σίγουροι ότι δύσκολες και ακατανόητες έννοιες όπως χώροι Riemann, χωρόχρονος κ.τ.λ είναι δυσνόητα και ακαταλαβίστικα...

Νομίζω ότι αν παρακολουθήσετε την συνέντευξη του Δημήτρη Χριστοδούλου στην ΕΤ3 θα αλλάξετε γνώμη για όλα τα παραπάνω!

Αναφέρω εν τάχει τι είχε γράψει η καθημερινή εκείνο τον καιρό για την εν λόγω συνέντευξη

Πως λέγεται η μητέρα στα Μαθηματικά ;

Υπάρχει λάθος στη λύση της άσκησης; Ασκήσεις στη Γ' Λυκείου

Που είναι το λάθος;

Επειδή η χρησιμοποίηση των Θεωρημάτων, πολλές φορές γίνεται μηχανικά και χωρίς να λαμβάνονται υπ' όψη οι αναγκαίες για την εφαρμογή τους υποθέσεις. Συνέπεια της επιπόλαιης χρήσης των Θεωρημάτων, εμφανίζονται φαινομενικά ορισμένα «παράδοξα».
    Στα επόμενα παρουσιάζονται διάφορα θέματα της Γ΄ Λυκείου, τα οποία καταλήγουν σε «παράδοξα» συμπεράσματα, μετά από λανθασμένη εφαρμογή Μαθηματικών Προτάσεων.
    Ο προσεκτικός αναγνώστης, πρέπει να εντοπίσει το λάθος και να δώσει τις σωστές απαντήσεις.

Θέμα 1 
Θέμα 2
Θέμα 3  
Θέμα 4  
Θέμα 5
Θέμα 6
Σωστές Λύσεις

Μαθηματικά παράδοξα

1. Ονομασία: Επιμενίδης ο Κρης.
------------------------------------------------------------------------------------
Θέση: Επιμενίδης : «Όλοι οι Κρητικοί ψεύδονται».
Η παραπάνω δήλωση είναι αληθινή;
Σημείωση: Ο Επιμενίδης ήταν Κρητικός
Παράδοξο: Αν ναι, τότε όλοι οι Κρητικοί είναι ψεύτες άρα και ο Επιμενίδης, που
ήταν Κρητικός. Αν όμως είπε ψέματα τότε οι Κρητικοί είναι φιλαλήθεις,
και συνεπώς ο Επιμενίδης είπε αλήθεια. Πώς ειναι δυνατόν ενας άνθρωπος
να λέει ταυτόχρονα αλήθεια και ψέματα;

2. Ονομασία: Παράδοξο αληθούς τιμής.
------------------------------------------------------------------------------------
Θέση: Τρεις από τις ακόλουθες προτάσεις είναι ψευδείς.Εντοπίστε τις!
1. 2+2=4
2. 3 x 7=23
3. 9/3=3
4. 12-4=5
5. 3+8=11

Παράδοξο : Μόνο οι προτάσεις 2 και 4 είναι ψευδείς. Συνεπώς είναι
ψευδείς η βεβαίωση ότι οι ψευδείς είναι τρεις, πράγμα που κάνει
αυτή τη δήλωση μια τρίτη ψευδή πρόταση. Ή μήπως όχι;


3. Ονομασία: Το δίλλημα του κροκοδείλου.
------------------------------------------------------------------------------------
Η ιστορία ενός κροκοδείλου που άρπαξε ένα μωρό από τη μητέρα του.
Κροκόδειλος : Τι λες, θα φάω το παιδί σου ;
Απάντησε σωστά και θα σου το επιστρέψω απείραχτο.
Μητέρα : Αλίμονό μου, θα καταβροχθίσεις το παιδί μου.
Κροκόδειλος : Χμ. Τι θα κάνω τώρα ; Αν σου δώσω πίσω το μωρό σου
θα έχεις απαντήσει λάθος. Συνεπώς θα πρέπει να το φάω... Γι' αυτό και
δεν σου το επιστρέφω.
Μητέρα : Μα πρέπει να μου το δώσεις. Αν φας το παιδί μου σημαίνει
ότι απάντησα σωστά και οφείλεις να τηρήσεις το λόγο σου.
Ο καημένος ο κροκόδειλος σάστισε τόσο που άφησε το μωρό ελεύθερο.
Κροκόδειλος : Ουφ! Μόνο αν έλεγε ότι θα 'δινα πίσω το μωρό, θα
έκανα ένα απολαυστικό γεύμα.
Γιατί;;

4. Το περίφημο παράδοξο του αξύριστου κουρέα
(με την υπογραφή του Μπέρτραντ Ράσσελ, συγγραφέα του Principia Mathematica)
------------------------------------------------------------------------------------
Είναι λοιπόν ένας μπαρμπέρης σε ένα χωριό ο οποίος έξω από το
κουρείο του έχει κρεμασμένη μια πινακίδα που γράφει το εξής :
Ξυρίζω αυτούς και μόνον αυτούς που δεν ξυρίζονται μόνοι τους.
Το ερώτημα είναι, ποιος ξυρίζει τον κουρέα ;
Παράδοξο: Αν ξυρίζει τον εαυτό του σημαίνει ότι ανήκει σε εκείνους που
ξυρίζονται μόνοι τους. Η πινακίδα του όμως λέει ότι δεν ξυρίζει
κανέναν απ' αυτούς. Συνεπώς δεν μπορεί να ξυριστεί μόνος του.
Αν κάποιος άλλος ξυρίσει τον κουρέα, τότε θα είναι ένας απ' αυτούς
που δεν ξυρίζονται μόνοι τους. Αλλά η πινακίδα του λέει ότι ξυρίζει
όλους τους άντρες που δεν ξυρίζονται μόνοι τους. Έτσι λοιπόν κανένας
άλλος δεν μπορεί να ξυρίσει τον κουρέα. Και τι θα γίνει ο κουρέας;
Θα μείνει αξύριστος και θα αλλάξει επάγγελμα και θα γίνει παπάς ;

Σημείωση: Μην το ψάχνετε και πολύ αυτό το παράδοξο εκτός και αν μπορείτε να
δώσετε τον ορισμό του Συνόλου!

5. Το παράδοξο της ψηφοφορίας.
------------------------------------------------------------------------------------
Ας υποθέσουμε ότι ο Σημίτης, ο Καραμανλής και η Παπαρήγα θέτουν
υποψηφιότητα για πρωθυπουργοί...
Η καταμέτρηση των ψήφων έδειξε ότι τα 2/3 των ψηφοφόρων προτιμούν
τον Σημίτη από τον Καραμανλή και τα 2/3 προτίμησαν τον Καραμανλή
από την Παπαρήγα. Άρα οι περισσότεροι ψηφοφόροι προτιμούν τον
Σημίτη από την Παπαρήγα ;

Όχι αναγκαστικά !
1/3 : Α Β Γ
1/3 : Β Γ Α
1/3 : Γ Α Β
Αν οι ψηφοφόροι κατέταξαν με την ψήφο τους υποψηφίους όπως
φαίνεται παραπάνω, τότε έχουμε ένα καταπληκτικό παράδοξο. Ας
αφήσουμε τους υποψηφίους να το εξηγήσουν :
Σημίτης : Τα 2/3 των ψηφοφόρων προτιμούν εμένα από τον
Καραμανλή.
Καραμανλής : Τα 2/3 των ψηφοφόρων προτιμούν εμένα από την
Παπαρήγα.
Παπαρήγα : Τα 2/3 των ψηφοφόρων προτιμούν εμένα από τον
Σημίτη.
Σημείωση: Το παράδοξο δείχνει ότι δεν ισχύει πάντα η μεταβατική σχέση: χRψ και ψRz τότε χRz
Το άπειρο και τα παράδοξα του Ζήνωνα
Η έννοια του απείρου είναι τόσο αρχαία όσο και η Ιόνιος Φιλοσοφία με το οποίο ασχολήθηκε πρώτη. Το “άπειρο” ανέκαθεν προξενούσε και προξενεί αρκετές δυσκολίες και προβλήματα στον καθορισμό του όπως και στην κατανόησή του. Με την έννοια “άπειρο” εννοούμε συνήθως κάτι το οποίο αντίκειται στο πεπερασμένο, κάτι χωρίς πέρας, κάτι έξω από το οποίο δεν υπάρχει τίποτα, κάτι το οποίο δεν επιδέχεται περαιτέρω αύξηση. Το άπειρο προκάλεσε από την αρχή διαφορές, αντινομίες, πολλές από τις οποίες αποτελούν μέχρι σήμερα αντικείμενο μελέτης. Θα αρκεστούμε στα 4 γνωστά σοφίσματα του Ζήνωνα του Ελεάτη (496-429 π.Χ.). Αυτά σήμερα έχουν ιστορική μόνο σημασία.

6. Το Παράδοξο της Διχοτομίας
Το συγκεκριμένο Παράδοξο καταλήγει στο συμπέρασμα ότι “ η κίνηση είναι αδύνατη “διότι ό,τι κινείται, πριν φτάσει στο τέρμα του πρέπει να φτάσει στη μέση της πορείας του.
Ο Ζήνωνας λέει ότι για να μεταβεί ένα σώμα από μια θέση Α σε μια θέση Β οφείλει να διανύσει το μισό της απόστασης ΑΒ. Στη συνέχεια το μισό του υπολοίπου, ακολούθως το μισό του νέου υπολοίπου και ούτω καθ’ εξής.Οι αποστάσεις αυτές γίνονται συνεχώς μικρότερες, αλλά απαιτείται για κάθε μια απ’ αυτές ένας ορισμένος χρόνος για να διανυθεί. Και έτσι συμπέρανε ότι “το άθροισμα ενός απείρου αριθμού ορισμένων χρονικών διαστημάτων οφείλει να είναι άπειρο”.Κατά συνέπεια η πραγματικότητα της κίνησης και ακριβέστερα της έκτασης είναι αδύνατη.
Γι’ αυτή την αντινομία έχουν προταθεί αρκετές λύσεις. Μια από αυτές θεωρεί ότι το λάθος του συλλογισμού έγκειται στην αληθοφανή πρόταση “το άθροισμα ενός απείρου αριθμού ορισμένων χρονικών διαστημάτων είναι άπειρο”. Αυτή η πρόταση ισχύει αλλά όχι πάντα.
Ας υποθέσουμε για παράδειγμα ότι (ΑΒ) = 2 Κm και η ταχύτητα του κινητού είναι u = 1 Km/min. Τότε το μισό της απόστασης έστω (ΑΜ1) θα διανυθεί σε χρόνο t1 = 1 min ,το μισό του υπολοίπου απόστασης το (Μ1Μ2) σε χρόνο t2 = 1/2 ,το μισό του υπολοίπου, δηλ. το (Μ2Μ3) σε χρόνο t3 = 1/4 min, κ.τ.λ. Έτσι ο χρόνος t που απαιτείται για να διανυθεί η απόσταση (ΑΒ) δίνεται από τη σειρά t=t1+t2+.....+tn+... , δηλαδή t = 1+1/2 +1/4 +...+1/2ν+...
Το άθροισμα, όμως , δεν είναι άπειρο. Ισχύει ότι t® 2,αλλά ποτέ δεν το υπερβαίνει. Κατά συνέπεια ο χρόνος είναι t = 2 min και όχι άπειρος. Έτσι, απορρίπτεται το συμπέρασμα του Ζήνωνα ότι η κίνηση είναι αδύνατη.

7. Το Παράδοξο του Αχιλλέα και της Χελώνας.
Το συγκεκριμένο παράδειγμα καταλήγει στο συμπέρασμα ότι “ο βραδύτερος ουδέποτε θα προσπεραστεί από τον ταχύτερο’’.
Για να παρουσιαστεί αυτή η αντινομία πιο κατανοητή ας υποθέσουμε ότι η χελώνα προσπερνά τον Αχιλλέα 100 m και ότι η ταχύτητα uA του Αχιλλέα είναι uA=10 m/sec και της χελώνας, ux, είναι ux=1 m/sec. Τότε ο Αχιλλέας σε χρόνο t1=10 sec θα διανύσει την απόσταση (ΑΧ1)=100 m, την οποία τον προσπερνούσε η χελώνα. Κατά τη διάρκεια αυτού του χρόνου t1 η χελώνα θα διανύσει το διάστημα (x1x2) =10 m. Στη συνέχεια για να διατρέξει αυτή την απόσταση ο Αχιλλέας θα χρειαστεί χρόνο t2 =1 sec. Κατά το χρόνο t2 η χελώνα θα διανύσει το διάστημα (x2x3) =1 m και ο Αχιλλέας θα το διατρέξει σε χρόνο t3 =1/10 sec.Η κίνηση αυτή θα συνεχίζεται επ’ άπειρο. Έτσι κατέληξε ο Ζήνων, ότι ο Αχιλλέας δε θα φτάσει ποτέ τη χελώνα.
Όμως και η αντινομία αυτή αίρεται όπως και η προηγούμενη. Έτσι ο χρόνος t θα δίνεται από τη σχέσηt=t1+t2+.....+tn ή t=10+1+1/10+...+1/10ν. Όμως και αυτή η σειρά έχει πεπερασμένο άθροισμα και είναι ίσο με t=111/9 sec.

8. Το Παράδοξο του “πετώντος βέλους”.
Το παράδοξο αυτό καταλήγει στο συμπέρασμα ότι ”αν κάτι είναι σε ηρεμία ή κίνηση σε χώρο ίσο με τον εαυτό του και αν ο,τι κινείται θεωρείται πάντοτε στιγμιαίως, τότε το βέλος στο πέταγμά του είναι ακίνητο ”.
Ας δεχτούμε ότι ένα βέλος τίθεται σε κίνηση ανάμεσα σε δύο σημεία Σ1 και Σ2 και μεταξύ των χρόνων t1 και t2.Ανάμεσα σ’ αυτά υπάρχουν πολλά σημεία Σn και αντίστοιχα κατά την κίνηση πολλά χρονικά σημεία tn με n=1,2,3,...
Το σύνολο των χωρικών σημείων που καταλαμβάνει το βέλος είναι ο χώρος που ισούται προς τις διαστάσεις αυτού του αντικειμένου. Αν λοιπόν φανταστούμε κατά συστοιχία σύνολα αντιληπτικών χωρικών σημείων, απ’ αυτά που το σύνολό τους ισούται προς το διάστημα το οποίο διανύει το κινούμενο αντικείμενο και ανάλογα αν φανταστούμε κατά συστοιχία σύνολα αντιληπτικών χρονικών σημείων της διάρκειας της κίνησής του , τότε τα σημεία του αντικειμένου παρουσιάζονται ακίνητα μέσα στα χωροχρονικά αυτά σημεία. Έτσι όλη η κίνηση του αντικειμένου, η οποία προϋποτίθεται στην εμπειρία μας ως συνεχής, δεν είναι παρά μια εικόνα που συντίθεται από ασυνεχείς φάσεις, δηλαδή μια “κινηματογραφική” και όχι φυσική κίνηση.
9. Το Παράδοξο του Σταδίου.
Ας φανταστούμε τρείς παράλληλες σειρές σημείων Α,Β,Γ από τις οποίες η σειρά Α μένει ακίνητη και οι άλλες δύο κινούνται με ίση ταχύτητα προς αντίθετες κατευθύνσεις μπροστά από τη σειρά Α. Τα σημεία Β κινούνται προς τα δεξιά ενώ συγχρόνως τα σημεία Γ κινούνται προς την αντίθετη κατεύθυνση με την ίδια ταχύτητα και ρυθμό με το Β.
Έτσι, κάποια ορισμένη στιγμή το Β1, το Α3 και το Γ1 βρίσκονται όλα στο ίδιο ύψος. Στη συνέχεια το Β1 θα είναι απέναντι από το Α4, το Γ1 απέναντι από το Α2 και το Β3 απέναντι από το Α2. Δηλαδή το Γ1 είχε ευθυγραμμιστεί με το Β2 πριν ευθυγραμμιστεί με το Β3. Αυτό, όμως ,σημαίνει ότι η κίνηση θα μπορούσε να θεωρηθεί ότι συντελείται συνεχώς δια μέσου των διαδοχικά διαιρετών μερών της χωροχρονικής έκτασης.
Η αντινομική μορφή των επιχειρημάτων αυτών οργανώνεται γύρω από τη θέση ότι η πορεία διαίρεσης και σύνθεσης της χωρικής και χρονικής έκτασης οδηγεί στο άπειρο.
Η πραγματικότητα του απείρου υπήρξε η πηγή πολλών διαφωνιών και αντιθέσεων μεταξύ των φιλοσόφων και μεταξύ των μαθηματικών σε όλους τους αιώνες. Γι’ αυτό αρκετοί φιλόσοφοι και μαθηματικοί κατά καιρούς αναγκάστηκαν να το αρνηθούν για να αποφύγουν τις δυσκολίες και τα παράδοξά του. Έτσι, ο Αμερικανός E.Northrop πιστεύει ότι “το άπειρο είναι ένας από τους καθαρούς εχθρούς της ησυχίας του πνεύματος των μαθηματικών”. Πράγματι, το άπειρο απασχολεί συνεχώς από την ανακάλυψή του το ανθρώπινο πνεύμα και είναι η αιτία αρκετών από τα μαθηματικά σοφίσματα, παράδοξα, και αντινομίες, δεν είναι όμως, μαθηματικά παράλογα.

Καραγιάννη Άννα

Βιβλιογραφία: Το παραπάνω κείμενο είναι απόσπασμα της διάλεξης του κ. Γ.Κ.Μαυρικάκη: ”Οι σύγχρονες απόψεις περί του απείρου” στην Ε.Μ.Ε. έτους 1964 καθώς και του περιοδικού Δευκαλίων, τεύχος 11ο, “Προσωκρατική φιλοσοφία”.

Μαθηματικά και αριστερόχειρες!

Βρήκα μια ενδιαφέρουσα διπλωματική εργασία του Δεληκανλή Παναγιώτη που κατέθεσε στο μεταπτυχιακό πρόγραμμα σπουδών διδακτικής και μεθοδολογίας των Μαθηματικών.

Μου έκανε εντύπωση το θέμα το οποίο διαπραγματεύεται και είναι το εξής:

ΕΓΚΕΦΑΛΟΣ

ΣΥΜΜΕΤΡΊΑ

ΜΆΘΗΣΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΏΝ 

Γνωστικές διαφορές μεταξύ δεξιόχειρων και αριστερόχειρων μαθητών κατά την αντιμετώπιση μαθηματικών εννοιών και δεξιοτήτων

Η διδασκαλία των εννοιών: οριζόντια, κατακόρυφη διεύθυνση, σύστημα συντεταγμένων είναι μια πορεία αφαιρετικής διαδικασίας κατά την οποία τα αντικείμενα αφαιρούνται από το χώρο ώστε να επιτευχθεί μια οργάνωση του χώρου.

Η Εικόνα 2 έχει σχεδιαστεί από την Μαρία δεξιόχειρο κορίτσι της Β΄ Γυμνασίου 

Εικόνα 2 : Ένας άνθρωπος στην αριστερή πλευρά ενός βουνού και ένας άλλος στην δεξιά πλευρά του βουνού περπατούν πηγαίνοντας προς την κορυφή