Μιγαδικοί αριθμοί στο ψηφιακό σχολείο

Προετοιμάζοντας τους μαθητές για τις Πανελλήνιες εξετάσεις, για την τάξη της Γ Λυκείου στα  Μαθηματικά Κατεύθυνσης (Τεχνολογική και Θετική).

Μια επίσημη ιστοσελίδα από το Υπουργείο Παιδείας και Θρησκευμάτων, Πολιτισμού και Αθλητισμού (ΥΠΑΙΘΠΑ).

Πατήστε τον σύνδεσμο για να απαντήστε σε ερωτήσεις θεωρίας, να λύσετε ασκήσεις, να δείτε τις λύσεις και τα αποτελέσματά σας.

Διαγώνισμα Β΄ Λυκείου - Μαθηματικά Κατεύθυνσης 1ου τετραμήνου - 1 Λύκειο Ζακύνθου

Παραθέτουμε το διαγώνισμα που έγραψαν οι μαθητές της Β Λυκείου στα Μαθηματικά κατεύθυνσης.  
Επιμέλεια θεμάτων: Μιχαλόπουλος Νίκος
Β Λυκείου - Κατέ-Διαγώνισμα

Διαγώνισμα Άλγεβρας 1ου τετραμήνου - 1 Λύκειο Ζακύνθου

Παραθέτουμε το διαγώνισμα που έγραψαν τα τμήματα Α1 και Α2 στην Άλγεβρα της Α΄ Λυκείου οι μαθητές του 1 Λυκείου Ζακύνθου. Επιμέλεια θεμάτων: Μιχαλόπουλος Νίκος
Διαγώνισμα Άλγεβρα-Α1-Α2

Βρείτε το λάθος στην παρακάτω παραγώγιση!

Για τους μαθητές της Γ Λυκείου (Κατεύθυνσης είτε Γενικής Παιδείας) έχουμε το εξής πρόβλημα:

"Έστω χ μη μηδενικός πραγματικός αριθμός, τότε: χ²=χ*χ άρα έχουμε διαδοχικά:

χ²=χ*χ

χ²=χ+χ+...+χ (χ φορές)

παραγωγίζουμε κατά μέλη:

2χ = 1+ 1+ ...+1 (χ φορές)

2χ=χ

διαιρούμε με το χ (μη μηδενικός αριθμός)

2=1

Που υπάρχει λάθος;

Παράδοξο από τον αείμνηστο Θ. Καζαντζή

Στην διπλανή εικόνα καταλήγουμε στο εξής παράδοξο, η διαδρομή ΑΒ+ΑΓ να ισούται με την διαδρομή ΒΓ (όπου ΑΒΓ τρίγωνο)!! Απάντηση δίνεται από τον Μαθηματικό Γ. Ρίζο, όπως φαίνεται και στην συνέχεια.

Το παράδοξο του bob

Βρείτε το λογικό σφάλμα στην παρακάτω εικόνα:

Φύλλο εργασίας στην Γεωμετρία Α΄ Λυκείου: Σχετικές θέσεις ευθείας και κύκλου

Το τμήμα Α4 είχε ως εργασία την σχετική θέση ευθείας και κύκλου (παράγραφος 3.14) με το παρακάτω φύλλο εργασίας.

Χειρομαντεία και Μαθηματικά !!

Ένα μέντιουμ κοιτάει την παλάμη και βλέπει το μέλλον. Ένας μαθηματικός, κοιτάει την παλάμη και βλέπει... τις γραφικές παραστάσεις!
Αν παρατηρήσετε την παλάμη σας, βλέπετε 3 είδη συναρτήσεων την f(x)=e^x, f(x)=lnx και την f(x)=λx+β. Στη δεξιά παλάμη λοιπόν η κάτω δεξιά καμπύλη είναι η λογαριθμική (η γραμμή της ζωής = φανερώνει την ΠΟΙΟΤΗΤΑ ΚΑΙ ΟΧΙ ΤΗ ΔΙΑΡΚΕΙΑ της ζωής μας. Επίσης αναφέρεται και στην γενική κατάσταση της υγείας ), η πάνω αριστερά καμπύλη είναι η εκθετική (η γραμμή της καρδιάς= αντιπροσωπεύει τη συναισθηματική συμπεριφορά, τον τρόπο που αγαπάμε και τις σχέσεις μας. Δείχνει επίσης την εκτίμηση για τις τέχνες και τη δημιουργικότητά μας. Δίνει επίσης, πληροφορίες για την κατάσταση της καρδιάς), και η ευθεία ανάμεσα ο άξονας συμμετρίας τους (η γραμμή της μοίρας =  καταγράφει τα πιο σημαντικά γεγονότα της ζωής μας εάν, βέβαια, αυτά είχαν ή θα έχουν τη δύναμη να μας επηρεάσουν)

Πάντως είναι ένας καλός μνημονικός κανόνας για να μην ξεχνάμε τις γραφικές παραστάσεις e^x και lnx

H συγκατοίκηση των 5 σπουδαιότερων αριθμών: 0, 1, π, e, i

Μέσα στο ογκώδες επιστημονικό έργο του Euler, συναντούμε την εξίσωση e ^ix = συνx + iημx. Αν βάλουμε όπου x το π θα προκύψει η σημαντικότερη - κατά τον Feynman- σχέση των μαθηματικών

e^iπ + 1 = 0

Ο Benjamin Peirce σε μία του διάλεξη, αναφερόμενος στην απίστευτη αυτή ισότητα είχε πει: “Gentlemen, that is surely true, it is absolutely paradoxical; we cannot understand it, and we don't know what it means. But we have proved it, and therefore we know it must be the truth."
Κύριοι, είναι σίγουρα αληθής, είναι απολύτως παράδοξη. Δεν μπορούμε να την κατανοήσουμε και δεν ξέρουμε τι σημαίνει. Αλλά την έχουμε αποδείξει και για αυτό ξέρουμε ότι είναι αληθής.

Ο Richard Feynman τη θεωρούσε την πιο σημαντική φόρμουλα των μαθηματικών δεδομένου ότι σ΄ αυτήν συγκατοικούν οι πέντε σημαντικότεροι αριθμοί των μαθηματικών, 0, 1, π, e και ο i.

Ο iⁱ είναι πραγματικός αριθμός; Δείτε μια απόδειξη:

Εάν στην εξίσωση του Euler e ^ix = cosx + isinx βάλουμε x = π/2 θα προκύψει :

e^iπ/2 = cosπ/2+ isinπ/2. eiπ/2 = i

Αν υψώσουμε και τα δύο μέλη στη δύναμη i προκύπτει

iⁱ =e-π/2 = 0,2078795763

Ένα πλήρες Μαθηματικό τυπολόγιο για μαθητές και φοιτητές

Το παρακάτω τυπολόγιο που ακολουθεί είναι μια προσφορά του Σωτήριου Περσίδη από τον εκδοτικό οίκο ΕΣΠΙ.
Ένα τυπολόγιο για μαθητές, φοιτητές, σπουδαστές και καθηγητές.

Κεφάλαιο 1 ΣΤΑΘΕΡΕΣ
Κεφάλαιο 2 ΑΛΓΕΒΡΑ
Κεφάλαιο 3 ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΑ
Κεφάλαιο 4 ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ
Κεφάλαιο 5 ΑΝΑΛΥΤΙΚΗ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ
Κεφάλαιο 6 ΠΑΡΑΓΩΓΟΙ
Κεφάλαιο 7 ΑΟΡΙΣΤΑ ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑΤΑ
Κεφάλαιο 8 ΟΡΙΣΜΕΝΑ ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑΤΑ
Κεφάλαιο 9 ΟΙ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΓΑΜΑ ΚΑΙ ΒΗΤΑ
Κεφάλαιο 10 ΣΥΝΗΘΕΙΣ ΔΙΑΦΟΡΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ
Κεφάλαιο 11 ΣΕΙΡΕΣ
Κεφάλαιο 12 ΠΟΛΥΩΝΥΜΑ ΚΑΙ ΑΡΙΘΜΟΙ
Κεφάλαιο 13 ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΙΚΗ ΑΝΑΛΥΣΗ
Κεφάλαιο 14 ΚΑΜΠΥΛΟΓΡΑΜΜΕΣ ΣΥΝΤΕΤΑΓΜΕΝΕΣ
Κεφάλαιο 15 ΣΕΙΡΕΣ FOURIER
Κεφάλαιο 16 ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ BESSEL
Κεφάλαιο 17 ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ LEGENDRE
Κεφάλαιο 18 ΟΡΘΟΓΩΝΙΑ ΠΟΛΥΩΝΥΜΑ
Κεφάλαιο 19 ΔΙΑΦΟΡΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ
Κεφάλαιο 20 ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΣ FOURIER

http://rapidshare.com/files/39858674/mathimatiko_tipologio.zip.html
mathimatiko tipologio

Ο αριθμός googol - Μήπως σας θυμίζει κάτι;

Από που πήρε το όνομά του το Google?
Την δεκαετία τπυ 1940 ένας Αμερικάνος μαθηματικός, ο Edward Kasner (1878-1955) του Πανεπιστημίου της Κολούμπια, σε κουβέντες που είχε με μικρά παιδιά, βρέθηκε μπροστά στο εξής πρόβλημα: Ποιοι αριθμοί απαιτούνται για να εκφραστεί το πλήθος των σταγόνων της βροχής, που πέφτουν μια βροχερή μέρα στη Νέα Υόρκη; Οι αριθμοί βέβαια, είναι πολύ μεγάλοι, αλλά πεπερασμένοι.
 
Για να μυήσει ο Kasner τον εννιάχρονο ανιψιό του στους μεγάλους αριθμούς, επινόησε το γκούγκολ (1 googol=10^100)
 
Κατ' άλλους το googol φτιάχτηκε από τον Milton Sirotta, ανεψιό του Κasner, και πρωτοαναφέρθηκε στο βιβλίο "mathematics and the imagination" των Κasner και Newman.
 
Το google, η μηχανή αναζήτησης του ίντερνετ, είναι ένα λογοπαίγνιο με τη λέξη googol και συμβολίζει το όραμα και την πρόθεση της εταιρίας να οργανώσει τον φαινομενικά άπειρο αριθμό πληροφοριών που είναι διαθέσιμες στο διαδίκτυο.
 
Αν και το googol είναι ένας πολύ μεγάλος αριθμός, στα μάτια ενός μαθηματικού συνηθισμένου να παίζει με την έννοια του άπειρου είναι ένας μικρός αριθμός. Η τιμή όμως 10^100 ξεπερνά κατά πολύ τα όρια του πραγματικού κόσμου, αφού δεν έχει πλέον καμία φυσική σημασία!!
Ένα συνηθισμένο διαμέρισμα 100 τ.μ. ή 100.000.000 τ.χιλ. = 10^8 είναι πολύ μακριά από το googol. Ας πάρουμε την επιφάνεια της Γης μήπως και έχουμε κάποια σεβαστή τιμή. Η επιφάνεια της υδρογείου είναι 510.000.000 τ.χιλ. ή 5*10^20 τ.χιλ. περίπου, πάλι όμως πολύ μακριά από το googol.
 
O άνθρωπος σίγουρα δεν μπορεί να μετρήσει τις σταγόνες του νερού μιας θάλασσας ούτε τους κόκκους άμμου μιας ερήμου. Δεχόμενοι όμως ότι οι σταγόνες έχουν διάμετρο 2 χιλιοστά, η Μεσόγειος θα περιλάμβανε περίπου 10^24 σταγόνες. Επίσης στη Σαχάρα (έκταση 8*10^6 τ/χιλ.) μια στρώση άμμου πάχους 20 εκ., δεχόμενοι ότι υπάρχουν 10 κόκκοι ανά κυβικό χιλιοστό, θα περιλάμβανε 10^21 κόκκους άμμου.
 
Αν σκεπάσουμε την Ελλάδα (ηπειρωτικό και νησιωτικό τμήμα έχει έκταση περίπου 132000 τ.χιλ.) με ένα στρώμα άμμου ύψους ενός μέτρου και δεχόμενοι ότι χρειάζονται 10 κόκκοι άμμου ανά κυβικό χιλιοστό., θα χρειαστούμε περίπου 1,32*10^21 κόκκους άμμου.
 
Ο αριθμός κόκκων άμμου που ολόκληρος ο όγκος της γης θα μπορούσε να περιέχει είναι περίπου 10^31. Αριθμός πολύ μεγάλος, αλλά και πολύ μικρός για το googol.
 
Ας δεχτούμε (όχι αποδεδειγμένα) ότι το Σύμπαν είναι κοίλο και πεπερασμένο. Οι αστρονομικοί υπολογισμοί, σε συνδυασμό με αυτούς της ατομικής φυσικής, αποδεικνύουν ότι ο λόγος της διαμέτρου του σύμπαντος προς τη διάμετρο του πυρήνα του ατόμου είναι 10^42. Γενικά, το 10^42 είναι το κλασσικό όριο για καθετί που είναι πραγματικά μετρήσιμο στο σύμπαν.
 
Στην πραγματικότητα δεν υπάρχει ποσότητα ενός googol από οτιδήποτε. Ο αριθμός 10^100 ξεπερνά καθετί που θα μπορούσε να αριθμηθεί και να μετρηθεί στον φυσικό κόσμο. Ο Kasner με το googol έβαλε ένα από τα όρια ανάμεσα στην αριθμητική και τη φυσική.
 
Φυσικά αυτό δεν εμποδίζει τους μαθηματικούς να ξεπεράσουν κατά πολύ τα όρια του μετρήσιμου σύμπαντος, αφού ένας αριθμός όπως το googol, δεν είναι για αυτούς παρά ένα από τα αμέτρητα στοιχεία του συνόλου των φυσικών αριθμών, προηγούμενος από 10^100 + 1 και βέβαια πάντα πολύ μικρότερος από το άπειρο!

Μαθηματικές ίντριγκες!

Ο διάσημος στους θετικοτεχνολογικούς μαθητές της Γ΄ Λυκείου, ο κανόνας του L'Hospital, δεν ανακαλύφθηκε από τον L'Hospital.

Ο ευκατάστατος Γάλλος πλήρωνε 300 Φράγκα τον χρόνο στον διάσημο Ελβετό Johann Bernoulli της γνωστής οικογένειας ώστε να τον κρατά ενήμερο για τις εξελίξεις των Μαθηματικών καθώς και να του λύνει προβλήματά του.

Παρόλα αυτά ο L'Hospital εξέδωσε ένα βιβλίο στο οποίο περιέλαβε το θεώρημα αυτό και όντας τίμιος, το εξέδωσε ανώνυμα (μιας και δεν συμμετείχε σε πολλά δημιουργήματα από όσα περιλαμβάνει το βιβλίο), αναφέροντας πάντως την συνεισφορά του Bernoulli.

Ο Bernoulli επέμενε πως είχε γράψει ο ίδιος το βιβλίο, παρ'όλα αυτά ο κανόνας σήμερα έχει το όνομα του Γάλλου ευγενή.

Μάθημα 6 - Απόλυτη τιμή - Άλγεβρα Α΄ Λυκείου (ανανεωμένο - διορθωμένο)

Μάθημα 6 - Α΄ Λυκείου - Απόλυτη τιμή πραγματικού αριθμού - Θεωρία και ασκήσεις. (Καινούργιες προσθήκες,διορθώσεις 19/12/2010)

Μάθημα 6ο-Απόλυτη τιμή

Αντώνης Κυριακόπουλος - Διάλεξη στο συνέδριο της Χαλκίδας

Μια όμορφη διάλεξη που παρακολούθησα στο συνέδριο της Χαλκίδας (20/11/2010) ήταν του Αντώνη Κυριακόπουλου για τα "Σωστά - Λάθος" και τους "ποσοδείκτες". Ένα χρήσιμο αρχείο κυρίως για τους Καθηγητές που θέτουν ερωτήσεις κλειστού τύπου και χρησιμοποιούν σύμβολα Λογικής.
Αντώνης Κυριακόπουλος-Διάλεξη στο συνέδριο της Χαλκίδας

Μάθημα 5ο - Γ΄ Λυκείου Κατεύθυνσης - Συνάρτηση 1 - 1 και αντίστροφη

Μάθημα 5 - Συνάρτηση 1 - 1 και αντίστροφη. Ερωτήσεις θεωρίας, βασικές συναρτήσεις και άλυτες ασκήσεις. (Ανανεωμένο 26/11/2010)
Μάθημα 5ο-Συνάρτηση 1 - 1 και αντίστροφη

Τα σχολικά βιβλία στο διαδίκτυο

Κατεβάστε τα σχολικά βιβλία!
Δωρεάν-ελεύθερα e-book 

Η στήλη των Μαθηματικών, από τον Κώστα Δόρτσιο

Στην ΕΜΕ Κοζάνης βρήκαμε μια όμορφη στήλη, την στήλη των Μαθηματικών από τον πρώην σχολικό σύμβουλο Κώστα Δόρτσιο.

Για να δείτε τα άρθρα από διάφορα τεύχη πατήστε στον παρακάτω εξωτερικό σύνδεσμο http://www.emekozanis.gr/reports/r060103/r060103.html

Σταυρόλεξο στην γεωμετρία της Α΄ Λυκείου

Από το βιβλίο Γεωμετρίας της Α΄ Λυκείου του φίλου Λ. Πρωτοπαπά, βρήκαμε το παρακάτω σταυρόλεξο με έννοιες από το κεφάλαιο 3.10-3.11 (ανισοτικές σχέσεις πλευρών και γωνιών)

Πατήστε πάνω στην εικόνα για να τη μεγεθύνετε

Διαγωνισμός στα Μαθηματικά για μαθητές Δημοτικού Σχολείου- Θέματα και λύσεις

Τον 5ο Μαθητικό Διαγωνισμό στα Μαθηματικά για τους μαθητές Δημοτικού Σχολείου «Παιχνίδι και Μαθηματικά» διοργανώνει η Ελληνική Μαθηματική Εταιρεία (ΕΜΕ).
Σχετική εγκύκλιο υπέγραψε σήμερα ο Ειδικός Γραμματέας του Υπ. Παιδείας Μ. Κοντογιάννης , την οποία για να δείτε κάνετε κλικ εδώ

Μικρός Ευκλείδης	[Θέματα και Λύσεις Ε' Τάξης]	732 Kb	12/03/2011 00:46
Μικρός Ευκλείδης	[Θέματα και Λύσεις ΣΤ' Τάξης]	205 Kb	11/03/2011 22:38

Πηγή:esos.gr

Η Γεωμετρία στην τέχνη και την επιστήμη

Πρόγραμμα Μορφωτικών Εκδηλώσεων - ΕΠΙΣΤΉΜΗ ΚΟΙΝΩΝΊΑ

Β΄ ΚΥΚΛΟΣ ΟΜΙΛΙΩΝ (30/11– 21/12/2010)

Έκθεση και Επιστημονικές παρουσιάσεις

Κίρκινος: Η Γεωμετρία στην τέχνη και την επιστήμη
Σπάνια όργανα σχεδίου και μετρήσεως από την ιδιωτική συλλογή του Θανάση Κουτρουβέλη

Μια μοναδική έκθεση σπάνιων επιστημονικών οργάνων σχεδίου και μετρήσεως από την ιδιωτική συλλογή του Θανάση Κουτρουβέλη παρουσιάζεται για πρώτη φορά στην Ελλάδα. Η έκθεση πλαισιώνεται από μία σειρά διαλέξεων/επιστημονικών παρουσιάσεων σχετικά με την ιστορία και φιλοσοφία των μαθηματικών και της αρχιτεκτονικής με σκοπό να αναδειχθούν οι σχέσεις ανάμεσα στην ιστορία των επιστημών και την ιστορία των τεχνών, εστιάζοντας στη γεωμετρία και τον ρόλο της στη σύλληψη και εκτέλεση δημιουργικού σχεδίου.

Σε αυτό το πλαίσιο τα όργανα θα παρουσιαστούν ως η πρακτική εφαρμογή μιας μαθηματικής θεωρίας, με σκοπό να καθοδηγηθεί ο επισκέπτης τόσο στις τεχνικές σχεδίου όσο και στα εικαστικά πρότυπα και τον τρόπο σκέψης σε διάφορους τομείς, όπως η κλασική αρχιτεκτονική.

Η έκθεση και οι παράλληλες εκδηλώσεις διοργανώνονται από το Πρόγραμμα Ιστορίας, Φιλοσοφίας και Διδακτικής των Επιστημών και της Τεχνολογίας του Ινστιτούτου Νεοελληνικών Ερευνών του Εθνικού Ιδρύματος Ερευνών στο πλαίσιο του προγράμματος Hephaestus (“Hellenic Philosophy, History and Environmental Science Teaching Under Scrutiny”) του 7ου Προγράμματος Πλαισίου της Ε.Ε. (RegPot-2008-1).



Επιμέλεια έκθεσης: Δρ Κατερίνα Καρέλλα
Τρίτη 30 Νοεμβρίου 2010
Drawing things together*
Dr Stephen Johnston, Assistant Keeper, Museum of the History of Science, University of Oxford

Το βακτήριον της Γεωμετρίας

Θεοδόσιος Τάσιος, Καθηγητής ΕΜΠ, Πρόεδρος της Εταιρείας Μελέτης Αρχαίας Ελληνικής Τεχνολογίας

* Θα υπάρχει ταυτόχρονη μετάφραση

Τρίτη 7 Δεκεμβρίου 2010
Scientific instruments that aren’t. Some examples from the 20th century*
Girolamo Rammuni, Professeur des Universités, Conservatoire National des Arts et Métiers, Παρίσι

Επιστημονικά όργανα στο Βυζάντιο και τον νεότερο ελληνισμό: Μια παρεξηγημένη υπόθεση

Eυθύμιος Νικολαίδης, Διευθυντής Ερευνών, Ινστιτούτο Νεοελληνικών Ερευνών/ΕΙΕ, Eπιστ. Yπεύθυνος του προγράμματος Hephaestus

* Θα υπάρχει ταυτόχρονη μετάφραση



Τρίτη 14 Δεκεμβρίου 2010

Τα επιστημονικά όργανα στο σχολείο: Παιδαγωγικές δραστηριότητες αξιοποίησης των επιστημονικών οργάνων και της ιστορίας τους

Kώστας Σκορδούλης, Καθηγητής Φυσικής & Επιστημολογίας Φυσικών Επιστημών, Παιδαγωγικό Τμήμα Δημοτικής Εκπαίδευσης, Πανεπιστήμιο Αθηνών

Αρχιτεκτονική σκέψη και γεωμετρικά όργανα

Θανάσης Κουτρουβέλης, αρχιτέκτων



Τρίτη 21 Δεκεμβρίου 2010

Αλλαγές της διάστασης χώρου - χρόνου στις αρχές του αιώνα και σήμερα

Κώστας Βαρώτσος, Γλύπτης, Καθηγητής ΑΠΘ, Τμήμα Αρχιτεκτόνων

Η Γεωμετρική έρευνα στην Ευρώπη τον 18o και 19o αιώνα

Χριστίνα Φίλη, Iστορικός των μαθηματικών, αν. Καθηγήτρια ΕΜΠ, μέλος της Διεθνούς Ακαδημίας Ιστορίας Επιστημών



Η έκθεση υποστηρίχτηκε με εικαστικό υλικό από το Science Museum της Οξφόρδης

Διαδραστικό υλικό και επιστημονικά ντοκιμαντέρ από το αρχείο και σε συνεργασία με το Ίδρυμα Μείζονος Ελληνισμού

Η έκθεση θα λειτουργεί στο ισόγειο του Εθνικού Ιδρύματος Ερευνών

Διάρκεια έκθεσης 30/11/2010 – 30/01/2011

Ώρες λειτουργίας της έκθεσης: καθημερινά 10.00΄ -20.00΄

Σάββατο και Κυριακή 10.00΄ - 14.00΄
Ώρες προβολών: τις ημέρες των εκδηλώσεων (17:30΄-19:00΄)
Χορηγείται βεβαίωση παρακολούθησης στους φοιτητές
Εθνικό Ίδρυμα Ερευνών (ΕΙΕ), Αμφιθέατρο «Λεωνίδας Ζέρβας»
Λεωφόρος Βασιλέως Κωνσταντίνου 48, Αθήνα
στις 19:30΄
Είσοδος Ελεύθερη
Final Circinus Prgm