54ος διαγωνισμός με ένα νέο βιβλίο για τους μαθητές της Β Λυκείου

Πάνω από 180 συμμετοχές και 1800 κλικ ολοκληρώθηκε και ο 54ος διαγωνισμός!

Οι νικητές είναι σύμφωνα με την κλήρωση του Λαϊκού Λαχείου:

28129 (28: ΑΝΑΣΤΑΣΙΟΣ ΧΟΝΔΡΟΣ και 129: Κωνσταντίνος)

39 42 (39: Γιώργος Νταντίνος και 42: alexandrakordonouri)

68 0 26 (68: ΠΑΠΑΪΩΑΝΝΟΥ ΓΕΩΡΓΙΑ και 26: Ourania Genits)

61 76 (61: Γιώργος Αντωνάτος και 76: Athanasia)

106 87 (106: Panagiotis Koutsos και 87: ΣΤΥΛΙΑΝΟΣ ΠΡΩΗΣ)

128 00 (128: Chrysostomos Tzifris 1ος αναπληρωματικός και 00: lisari.blogspot.com)

Και σε αύξουσα σειρά:

26: Ourania Genits

28: ΑΝΑΣΤΑΣΙΟΣ ΧΟΝΔΡΟΣ

39: Γιώργος Νταντίνος

42: alexandrakordonouri

61: Γιώργος Αντωνάτος

68: ΠΑΠΑΪΩΑΝΝΟΥ ΓΕΩΡΓΙΑ

76: Athanasia

87: ΣΤΥΛΙΑΝΟΣ ΠΡΩΗΣ

106: Panagiotis Koutsos

128: Chrysostomos Tzifris 1ος αναπληρωματικός

129: Κωνσταντίνος

Όλοι οι νικητές να στείλουν τα στοιχεία τους στο lisari.blogspot@gmail.com

Ονοματεπώνυμο: 

Διεύθυνση: 

Περιοχή: 

ΤΚ:

Κινητό τηλέφωνο:

Το lisari, οι εκδοτικοί οίκοι και οι συγγραφείς, για 54η φορά 

βρίσκονται στο πλευρό του μαθητή - καθηγητή!

Δηλώστε συμμετοχή και πάρτε μέρος 

στην κλήρωση των 10 βιβλίων 

"ΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΤΩΝ ΠΑΝΕΛΛΗΝΙΩΝ, ΠΡΟΕΤΟΙΜΑΣΙΑ ΓΙΑ

ΜΑΘΗΤΕΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ"

των συγγραφέων Μπάμπη Στεργίου, Χρήστου Νάκη και Φάνη Μαργαρώνη των εκδόσεων Σαββάλας.

 # Είναι μια προσφορά του εκδοτικού οίκου "Σαββάλα" και των συγγραφέων #

Τα βιβλία θα αποσταλούν δωρεάν ταχυδρομικά για όσους δηλώσουν επαρχία.

Οι νικητές από Αθήνα θα παραλαμβάνουν το δώρο τους από το κεντρικό βιβλιοπωλείο του εκδοτικού οίκου (Βιβλιόρυθμος) που βρίσκεται στο κέντρο της Αθήνας (Ζωοδόχου Πηγής 18).

Λίγα λόγια για το βιβλίο

Περιέχει τρεις ενότητες με βασικές γνώσεις (το R, εξισώσεις, ανισώσεις, πρόσημο) , τις ενότητες της ανάλυσης καθώς και τις ενότητας από την αρχή μέχρι και άπειρο όριο από το βιβλίο της Γ Λυκείου.

Η εκθετική και λογαριθμική συνάρτηση δίνονται αναλυτικά και με πλήθος προβλημάτων, που συνθέτουν την Β με την ύλη της Γ Λυκείου.

-Το βιβλίο μπορεί να γίνεται από την έναρξη της Β Λυκείου( πχ με ένα δίωρο τη βδομάδα)  ανεξάρτητα από την Άλγεβρα της Β Λυκείου, δίνει όμως τη δυνατότητα για μεγάλη ποικιλία χρήσεων.Μπορεί πχ να το ξεκινήσει κάποιος από το Νοέμβριο  ή το Δεκέμβριο και να δίνει υλικό από τις προηγούμενες ενότητες ως εργασία στο σπίτι.

Κάποια κοινά πράγματα από την ύλη της Β Λυκείου θα τα δει ο μαθητής με άλλη οπτική γωνία και θα τον εισάγει έγκαιρα στην ψυχολογία του υποψήφιου.

- Η εκθετική και λογαριθμική συνάρτηση δίνονται, ακόμα και στις ενότητες της Γ Λυκείου , σε ξεχωριστές παραγράφους στην κάθε ενότητα (10-14). Αυτό επιτρέπει κάποιον να ξεκινήσει , αν θέλει , από την αρχή περίπου της χρονιάς με την ύλη της Γ Λυκείου, να ανατρέχει όταν χρειάζεται στις προηγούμενες πιο εισαγωγικές ενότητες και  να κάνει τις ασκήσεις  της εκθετικής-λογαριθμικής συνάρτησης των ενοτήτων  10-14  όταν τις διδάξει στην Άλγεβρα ή όταν τελειώσει και την αντίστροφη.Αυτό αποτελεί μια ωραία αφορμή για ολική σύνθεση και επανάληψη της ύλης.

Λίγα λόγια για το συγγραφέα Μπάμπη Στεργίου

Ένας καταξιωμένος μαθηματικός που τα βιβλία του είναι ευρέως διαδεδομένα. Από τους πρώτους συγγραφείς που γνώρισα και έχω τις καλύτερες σχέσεις. Η πρώτη προσπάθεια γίνεται το 1997 με την έκδοση του πρώτου τόμου Ανάλυση Ι για τη Γ΄ Λυκείου Κατεύθυνσης. Το πλούσιο συγγραφικό έργο του αποτελείται από 47 βιβλία μέχρι και σήμερα! Ο Χρήστος Νάκης είναι ο άνθρωπος που τον έχει πλαισιώσει στις περισσότερες δουλειές του, όπως και σε αυτήν που προσφέρουμε. Ο Χρήστος είναι πλέον Διευθυντής στη Λεόντειο Σχολή Πατησίων. Κατάγεται από το ορεινό χωριό Καρίτσα στη Λίμνη Πλαστήρα και ζει μόνιμα στη Χαλκίδα. Γεννήθηκε στις 4 Νοεμβρίου 1959. Διδάσκει στο 2ο ΓΕΛ Χαλκίδα. Όποιον και να ρωτήσεις θα σου πει τα καλύτερα λόγια, προσιτός, ευχάριστος και καλός επιστήμονας. Όλοι τον αποκαλούν Μπάμπη! Είναι δραστήριος, αεικίνητος και αρκετά ενημερωμένος σε όλα τα θέματα της Παιδείας. Έχει καταπιαστεί με όλες τις τάξεις, με όλες τις βαθμίδες (Γυμνάσιο, Λύκειο) και με όλα τα πεδία των Μαθηματικών (Άλγεβρα, Γεωμετρία, Ανάλυση, ΑΣΕΠ, διαγωνισμούς). Τα βιβλία έχουν στεφθεί με απόλυτη επιτυχία.

Λίγα λόγια για το συγγραφέα Φάνη Μαργαρώνη

Ο Φάνης Μαργαρώνης είναι καθηγητής στην ιδιωτική εκπαίδευση. Πέρα από τη διδασκαλία των Μαθηματικών, τα επαγγελματικά του ενδιαφέροντα αφορούν επίσης στην Ηγεσία της εκπαίδευσης. Μελετά και αρθρογραφεί όσο προλαβαίνει και το χρόνο που απομένει ασχολείται με τη μουσική και τη δισκογραφία, αλλά και τη λογοτεχνική συγγραφή.

Όροι διαγωνισμού

1. Να αγαπάτε τα μαθηματικά!
2. Να αγαπάτε τα βιβλία!!
3. Να είστε (φανερά) μέλη του lisari (τα μη μέλη δεν έχουν αξίωση στο έπαθλο)
4. Ξεκινά σήμερα, Τετάρτη 19 Νοεμβρίου 2019 και λήγει Τρίτη 3 Δεκεμβρίου 2019, ώρα 21:00, λίγο πριν την κλήρωση του Λαϊκού Λαχείου (αφού η εν λόγω κλήρωση θα αναδείξει και τους νικητές, όπως έχει καθιερωθεί σε όλους τους διαγωνισμούς μας έως τώρα).
5. Δεκτές όλες οι ηλικίες!
6. Δηλώστε συμμετοχή στα παρακάτω σχόλια της παρούσας ανάρτησης λέγοντας ότι "Αποδέχομαι τους όρους του διαγωνισμού και επιθυμώ τη συμμετοχή στο διαγωνισμό" και μπορείτε να γράψετε ό,τι άλλο σχετικό επιθυμείτε.
7. Δυστυχώς, η συμμετοχή των ανώνυμων που δεν αναφέρουν τα στοιχεία τους (τουλάχιστον ονοματεπώνυμο και ένα email επικοινωνίας) κρίνεται άκυρη και σβήνονται αυτόματα.
8. Οι νικητές από Αθήνα θα παραλαμβάνουν το δώρο τους από το κεντρικό βιβλιοπωλείο του εκδοτικού οίκου (Ζωοδόχου Πηγής 18, Εξάρχεια, Αθήνα). Οι νικητές από επαρχία θα τους αποσταλεί δωρεάν το βιβλίο.
9. Κάθε υποψήφιος πρέπει να έχει ΑΚΡΙΒΩΣ μία συμμετοχή στα σχόλια, αφού από εκεί θα αντληθούν οι νικητές. Πολλαπλά σχόλια του ίδιου υποψηφίου δε θα λαμβάνονται υπόψη, ενώ οι άκυρες συμμετοχές δεν λογίζονται στο μέτρημα για την ανάδειξη των νικητών.
10. Όποιος νικητής δεν αποστείλει τα στοιχεία του το πολύ σε μία εβδομάδα από τη στιγμή της κλήρωσης το δώρο του μεταβιβάζεται αυτόματα στο 1ο διαθέσιμο αναπληρωτή.
11. Πώς κληρώνονται οι νικητές; Δείτε εδώ ένα παράδειγμα!
12. Το lisari δεν έχει κανένα οικονομικό όφελος από τη διαφήμιση - προώθηση των βιβλίων. Μεσολαβεί να διαφημίσει δωρεάν τα βιβλία των εκδοτικών οίκων και συγγραφέων και το όφελος της προβολής επιστρέφεται ως ανταμοιβή στους αναγνώστες μας! 
13. Τα βιβλία που κερδίζουν οι νικητές αποστέλλονται απευθείας από τους εκδοτικούς οίκους ή τους συγγραφείς χωρίς να υπάρχει συμμετοχή από το blog. Το lisari προωθεί όλα τα στοιχεία των νικητών στους εκδοτικούς οίκους ή συγγραφείς για να τους αποσταλεί το δώρο. Μέχρι αυτό το σημείο το έργο του blog έχει ολοκληρωθεί.

_____________________________________________

Προς διευκόλυνσή σας, η σελίδα αυτή θα είναι σταθερά στην πλαϊνή στήλη μέχρι να ολοκληρωθεί ο διαγωνισμός και συγκεντρωθούν τα στοιχεία των νικητών.

Η μοναδική προσφορά των 10 βιβλίων είναι μια προσφορά του εκδοτικού οίκου "Σαββάλας" και των τριών συγγραφέων τους οποίους ευχαριστούμε θερμά.

Το πιο απαιτητικό τεστ Γεωμετρίας Α΄ Λυκείου [2019]

Παρακάτω θα δείτε ένα από τα πιο απαιτητικά τεστ που έχουν υποβληθεί ποτέ σε σχολείο. Είναι ένα τεστ που ζητήθηκε από τους μαθητές να σχεδιάσουν σχήματα με δεδομένη εκφώνηση!
Μια έρευνα που ήθελα εδώ και χρόνια να επιχειρήσω.

Η ιδέα ήταν η εξής:

«Να δοθούν διάφορες εκφωνήσεις ασκήσεων 

και οι μαθητές να σχεδιάσουν ΜΟΝΟ τα σχήματα!» 

Πάντα είχα την αίσθηση ότι οι μαθητές δυσκολεύονται σε αυτό το σημείο αλλά δεν γνώριζα την έκταση, το μέγεθος και το ποσοστό των μαθητών που αποτυγχάνουν. Ένα σημείο καίριο για τη Γεωμετρία αφού η απουσία του σχήματος καταδικάζει και τη λύση της άσκησης.

Έχουμε προβληματιστεί γιατί οι μαθητές στη Γ Λυκείου δυσκολεύονται στο σχεδιασμό της γραφικής παράστασης; Μήπως είναι η αδυναμία κατασκευής των Γεωμετρικών σχημάτων; Μήπως είναι η μη διδασκαλία της συμμετρίας που είναι εκτός ύλης από τη Γεωμετρία της Α΄ Λυκείου; Δεν ξέρω, αναζητώ και εγώ καθημερινά τα αίτια και προσπαθώ να τα αντιμετωπίσω.

Καταγράφω περισσότερες λεπτομέρειες από την παραπάνω εξέταση που δίνουν την έκταση του θέματος:

1) Οι μαθητές είχαν στη διάθεσή τους πάνω από 20 λεπτά

2) Από τα 12 ερωτήματα έπρεπε να απαντήσουν μόνο τα δέκα! Είχαν το δικαίωμα επιλογής όπως γίνεται και στο Γυμνάσιο.

3) Το ποσοστό των μαθητών που έγραψαν κάτω από τη βάση ήταν πάνω από 80%!

4) Κανένας μαθητής (από τους 45) δεν έγραψε άριστα (πάνω από 19). 

5) Η ύλη ήταν μέχρι το 3ο κεφάλαιο! Δηλαδή εκφωνήσεις που χρειάζονται τις  βασικές γνώσεις Γεωμετρίας. 

Συμπέρασμα
Σε αυτή την απαξίωση της Γεωμετρίας μήπως πρέπει να δώσουμε βάση στη χάραξη των σχημάτων; Μήπως πρέπει να ξεκινήσουμε να εξετάζουμε τους μαθητές και στα σχήματα και να σταματήσουμε σε όλες τις ασκήσεις να τα δίνουμε; Μήπως πρέπει να έχουμε μια στάνταρ εξέταση μόνο στη κατασκευή των σχημάτων;

Όλα τα παραπάνω είναι σκέψεις που κάνω αυτές τις ημέρες, προσπαθώ να βρω τρόπους να βοηθήσουμε τους μαθητές μας, να τους κεντρίσουμε το ενδιαφέρον, είναι μπροστά μας και αναμένουν από εμάς να τους κινητοποιήσουμε.

Για απευθείας αποθήκευση πατήστε εδώ.

Εργασία Γεωμετρίας Α Λυκείου from Μάκης Χατζόπουλος

Διαγωνίσματα από το Θόδωρο Παγώνη

Το αγαπητό μέλος της lisari team Θοδωρής Παγώνης από το Αγρίνιο μας προσφέρει μια ευρεία γκάμα διαγωνισμάτων από Γυμνάσιο και Λύκειο.

1) Β Γυμνασίου: Ρίζες 

2) Γ Γυμνασίου: Ταυτότητες

3) Β Λυκείου: Άλγεβρα - Κεφάλαιο 1ο και 2ο

4) Β Λυκείου: Κατεύθυνση - Διανύσματα 

5) Γ Λυκείου: Διαγώνισμα 1ο - Μέχρι 1 - 1 και αντίστροφη.

Δείτε όλες τις νέες σημειώσεις

Γυμνασίου - Λυκείου

για το σχολικό έτος 2019 - 20

Παραδείγματα και εφαρμογές εξετάζονται στη Γ' Λυκείου;

(edit: 26/11/2019) Μετά από 50 ημέρες (από 6/10) ανακοινώθηκαν μόλις χθες (25/11) οι ορθές οδηγίες για τη χρήση των παραδειγμάτων και των εφαρμογών του σχολικού βιβλίου.  Επίσης, αποκαταστάθηκε η οδηγία για το λογάριθμο με βάση το e και το 10. 

Τελικά η εκτίμηση του lisari (δείτε την στο τέλος του άρθρου) 

ήταν ορθή όταν είχε προκύψει το ζήτημα. 

Με αυτές τις οδηγίες αποκαθίσταται η κανονικότητα που είναι: "οι εφαρμογές και τα παραδείγματα των βιβλίων δεν εξετάζονται ούτε ως θεωρία ούτε ως ασκήσεις, μπορούν, όμως, να χρησιμοποιηθούν ως προτάσεις για τη λύση ασκήσεων ή την απόδειξη άλλων προτάσεων".

Δείτε την ανάρτηση από την διαύγεια.

__________________________________________

6/20/2019

Μετά από πολλές ερωτήσεις που δεχθήκαμε μέσω email παρουσιάζουμε το εξής θέμα:

Η παραπάνω φωτογραφία είναι από την περσινή ύλη [2018] Μαθηματικών για τη Γ Λυκείου. Οι φετινές οδηγίες όπως αναρτήθηκαν λείπει το παραπάνω κείμενο (και όχι μόνο)! Ποιο;

1) "Οι εφαρμογές και τα παραδείγματα των βιβλίων δεν εξετάζονται ούτε ως θεωρία ούτε ως ασκήσεις, μπορούν, όμως, να χρησιμοποιηθούν ως προτάσεις για τη λύση ασκήσεων ή την απόδειξη άλλων προτάσεων".

Προφανώς δεν λείπει μόνο αυτή η παράγραφος αλλά και οι εξής: 

2) Τα θεωρήματα, οι προτάσεις, οι αποδείξεις και οι ασκήσεις που φέρουν αστερίσκο δεν διδάσκονται και δεν εξετάζονται.

3) Εξαιρούνται από την εξεταστέα-διδακτέα ύλη οι εφαρμογές και οι ασκήσεις που αναφέρονται σε λογαρίθμους με βάση διαφορετική του e και του 10.

που μπορεί να είναι ήσσονος σημασία αλλά είναι σημαντική λεπτομέρεια που πρέπει να διευκρινιστεί άμεσα από το Υπουργείο Παιδείας - ΙΕΠ.

Τι σημαίνει αυτό; 

Όποιο παράδειγμα - εφαρμογή έχει το σχολικό βιβλίο πριν το χρησιμοποιήσουμε χρειάζεται απόδειξη! Ποιες προτάσεις είναι βασικές και δημιουργεί πρόβλημα αν τελικά δεν σταλεί διευκρίνηση; 

1) 

2) 

3) 

Μετά από ερώτηση του κοινού στην ημερίδα του παραρτήματος ΕΜΕ Λιβαδειάς στον Σύμβουλο Α του ΙΕΠ Νίκος Μαυρογιάννη η απάντηση ήταν: 

"Το γνωρίζουμε το θέμα, ασχολούμαστε με αυτό, τελεία!"

Λογικά αναμένουμε διευκρινήσεις από το Ι.Ε.Π. για το θέμα αυτό που δεν είναι τόσο απλό αφού αλλάζει τον τρόπο διδασκαλίας. 

Η εκτίμηση του lisari είναι ότι ΔΕΝ υπάρχει ζήτημα και θα επανέλθει κανονικά η οδηγία όπως ήταν τα τελευταία έτη. Επειδή λείπει όλο αυτό το κομμάτι που φαίνεται στη φωτογραφία πιστεύουμε ότι αμελήθηκε παρά έγινε επί τούτου. 

Στήλη του μαθητή επεισόδιο 15ο γενικεύοντας μια άσκηση του σχολικού βιβλίου

Την Παρασκευή 22 Νοεμβρίου 2019 επιχειρήσαμε με του μαθητές του 1ου ΓΕΛ Ν. Ψυχικού να κατασκευάσουμε μια άσκηση! Μια αυθόρμητη και νέα ιδέα που δεν την έχω δει σε κανένα συνέδριο, σε αντίθεση με την πρόταση διδασκαλίας σε ομάδες.

Η λογική ήταν απλή! 

Η βάση μας ήταν μια άσκηση του σχολικού βιβλίου. Στόχο μας να τη επεκτείνουμε για τρεις, όρους και στη συνέχεια να τη γενικεύσουμε για ν όρους! Η αποδοχή και ο ενθουσιασμός της τάξης ήταν μεγάλος και η λύση - εύρεση ήρθε από τους μαθητές!

Για απευθείας αποθήκευση πατήστε εδώ.

Για να δείτε όλες τις αναρτήσεις μαθητών δείτε τη 

"Στήλη του math-ητή" που ανανεώνεται συχνά

Γενίκευση μια άσκησης σχολικού βιβλίου - Α Λυκείου Άλγεβρας from Μάκης Χατζόπουλος

23/11 όπως λέμε 11/23: Fibonacci Ημέρα

Πηγή: https://www.timeanddate.com/holidays/fun/fibonacci-day

Η 23 Νοεμβρίου είναι η ημέρα Fibonacci, μια ετήσια γιορτή που τιμά έναν από τους πιο σημαντικούς μαθηματικούς του Μεσαίωνα - Leonardo Bonacci. Επίσης, γνωστός ως Λεονάρντο της Πίζας, είναι ευρέως γνωστός ως Leonardo Fibonacci. Το Fibonacci είναι συστολή του φίλου Bonacci, που σημαίνει γιος του Bonaccio.

Η 23η Νοεμβρίου γιορτάζεται ως ημέρα Fibonacci, επειδή όταν η ημερομηνία είναι γραμμένη σε μορφή mm / dd (11/23), τα ψηφία της ημερομηνίας σχηματίζουν μια ακολουθία Fibonacci: 1,1,2,3. 

Μια ακολουθία Fibonacci είναι μια σειρά αριθμών όπου ένας αριθμός είναι το άθροισμα των δύο αριθμών πριν από αυτό. 

Για παράδειγμα: 1, 1, 2, 3 ... είναι μια ακολουθία Fibonacci. Εδώ, 2 είναι το άθροισμα των δύο αριθμών πριν από αυτό (1 + 1). Ομοίως, το 3 είναι το άθροισμα των δύο αριθμών πριν από αυτό (1 + 2) κοκ.

Το ερώτημα του κουνελιού

Η ακολουθία Fibonacci, ένα από τα μεγαλύτερα επιτεύγματα του Λεονάρντο της Πίζας, προήλθε από ένα απλό γρίφο σχετικά με τον πληθυσμό κουνελιών. Στο βιβλίο του Liber acaci , ο Fibonacci έθεσε αυτό το παζλ: εάν υπάρχει ένα ζευγάρι νεογέννητου κουνελιού - αρσενικό και θηλυκό - στον αγρό και αν είναι σε θέση να παράγουν ένα άλλο ζευγάρι κουνελιών στο δεύτερο μήνα ζωής τους, πόσα ζεύγη κουνέλια θα είναι εκεί μετά από ένα χρόνο;

Fibonacci στη φύση

Μία από τις ομορφιές της ακολουθίας Fibonacci είναι ότι η σειρά είναι εμφανής σε όλο τον φυσικό κόσμο. Οι ρυθμίσεις πετάλων στα λουλούδια, η διάταξη των φύλλων στα φυτά, το κέλυφος του ναυτίλου, το μόριο του DNA και ακόμη και οι τυφώνες παρουσιάζουν μοτίβα που αντιστοιχούν στην ακολουθία.

Το ήξερες…

... ότι ο λόγος των δύο διαδοχικών αριθμών στην ακολουθία Fibonacci είναι πολύ κοντά στο Golden Ratio (Χρυσή τομή); Ο χρυσός λόγος είναι περίπου ίσος με 1,6 και συμβολίζεται με το γράμμα "φ" προς τιμή του γλύπτη Φειδία. Αντικείμενα των οποίων το μήκος και το πλάτος παρουσιάζουν το Golden Ratio πιστεύεται ότι είναι το πιο ευχάριστο για το μάτι.

Στήλη του μαθητή επεισόδιο 14ο από το 1ο ΓΕΛ Ν. Ψυχικού

Όταν οι μαθητές ξεπερνούν τους καθηγητές τους, όταν οι μαθητές λύνουν και εμείς οι καθηγητές απλά τους παρακολουθούμε, τότε η στήλη του μαθητή είναι επιβεβλημένη!

Τέτοιους μαθητές συναντάμε στο 1ο ΓΕΛ Ν. Ψυχικού από τον Ίων Ευαγγέλου και Ευριπίδης Πούλος που έλυσαν μια κλασική αλλά απαιτητική άσκηση στις απόλυτες τιμές που υπάρχει στη βιβλιογραφία της Γ΄ Λυκείου (στην 1 - 1 συνάρτηση). Ο τρόπος που την αντιμετώπισαν είναι πολύ έξυπνος και αξίζει να την παρουσιάσουμε.

Έμμεσα οι μαθητές χρησιμοποίησαν την εξής πρόταση:

"Αν α,β ομόσημοι ή μηδέν, τότε ισχύει η εξής ισοδυναμία: α|β| - β|α| =0 <=> α = β " 

Για απευθείας αποθήκευση πατήστε εδώ.

Για να δείτε όλες τις αναρτήσεις μαθητών δείτε τη 

"Στήλη του math-ητή" που ανανεώνεται συχνά