Ολοκληρωμένες σημειώσεις στους μιγαδικούς αριθμούς

Σημειώσεις από τον αγαπητό συνάδελφο και φίλο, Θωμά Ραϊκόφτσαλη.

Ένα πλήρες φυλλάδιο στους Μιγαδικούς Αριθμούς για τα Μαθηματικά Γ Λυκείου, Θετικής και Τεχνολογικής Κατεύθυνσης
Περιέχει 

• Θεωρία -Μέθοδοι 
• Υποδειγματικά λυμένες ασκήσεις 
• Ασκήσεις προς λύση 
• Επιλεγμένα Θέματα

6ος Γρίφος: Το πρόβλημα των 36 αξιωματικών - Euler

Ο Ελβετός Λέοναρντ Όιλερ (Euler) ( 1707-1783) υπήρξε ο παραγωγικότερος μαθηματικός που έζησε ποτέ (ίσως μαζί με τον Έρντος). Καταπιάστηκε σχεδόν με τα πάντα. Παρήγαγε κατά τον ιστορικό των μαθηματικών E.T.Bell , 800 σελίδες με πρωτότυπα μαθηματικά ανά έτος επί 60 χρόνια!!Ο Όιλερ το 1782 λοιπόν έθεσε πρώτος το πρόβλημα των 36 αξιωματικών.

Έστω ότι έχουμε 6 διαφορετικά συντάγματα στρατιωτών όπου ονομάζονται σύμφωνα με τον

αύξοντα αριθμό τους ,το 1ο σύνταγμα ,2ο σύνταγμα ,3ο σύνταγμα και ούτω καθ εξής. Οι βαθμοί των αξιωματικών των 6 συνταγμάτων είναι συνταγματάρχης, αντισυνταγματάρχης , λοχαγός , υπολοχαγός , ανθυπολοχαγός, ανθυπασπιστής . Κάθε σύνταγμα έχει έναν αξιωματικό από κάθε βαθμό. Είναι δυνατό αναρωτήθηκε ο Όιλερ στα κελιά ενός πίνακα έξι γραμμών και έξι στηλών 
( 6χ6) να τοποθετήσουμε τους 36 αξιωματικούς έτσι ώστε σε κάθε γραμμή ή στήλη να μην υπάρχει ο ίδιος βαθμός ή το ίδιο σύνταγμα δυο φορές;

Βιβλίο για μια γρήγορη επανάληψη σε Γυμνάσιο - Λύκειο

1. Εισαγωγικές Ασκήσεις για Γυμνάσιο και Λύκειο (αρχείο σε word). 

2. Οι λύσεις τους. 

3. Προαπαιτούμενες γνώσεις (Μιχάλης Μαλλιάκας) , Σύνολα Αριθμών
 

4. Υλικό σχετικό με τα Μαθηματικά Γυμνασίου και Λυκείου
 

5. Εισαγωγικό Υλικό σχετικό με Α,Β Λυκείου

Για περισσότερες λεπτομέρειες δείτε εδώ

Διάφορα Βιβλία - "Εισαγωγή στην Γραμμική Άλγεβρα"

1) Εισαγωγή στη Γραμμική Άλγεβρα, Τόμος Α, Δ. Βάρσος, Δ. Δεριζιώτης, Μ. Μαλιάκας, Στ. Παπασταυρίδης, Ε. Ράπτης, Ο, Ταλέλλη, Εκδ. Σοφία 2003

2) Εισαγωγή στη Γραμμική Άλγεβρα, Τόμος Β, Νέα Έκδοση,  Δ. Βάρσος, Δ. Δεριζιώτης, Μ. Μαλιάκας, Ο, Ταλέλλη, Εκδ. Σοφία 2005

3) Μια Εισαγωγή στη  Άλγεβρα, Νέα Έκδοση,  Δ. Βάρσος, Δ. Δεριζιώτης, Μ. Μαλιάκας, Ο, Ταλέλλη, Εκδ. Σοφία 2005.

4) Γραμμική  Άλγεβρα, Μαρουλάς Ι. Καθηγητής Σχολής Ε.Μ.Φ.Ε., Τομέας  Μαθηματικών

5) Ανοικτό Πανεπιστήμιο (ΕΑΠ): Το  αρχείο ΕΔΥ Γραμμική Aλγεβρα CD θα βρείτε όλα τα κεφάλαια και μπορείτε να τα 'γράψετε' σε ένα CD δημιουργώντας ένα εκτελέσιμο CD.  (16MB περίπου).

Σημείωση
Τα βιβλία 2) και 3) αποτελούν νέες εκδόσεις των βιβλίων  Εισαγωγή στη Γραμμική Άλγεβρα, Τόμος Β,  Δ. Βάρσος, Δ. Δεριζιώτης, Μ. Μαλιάκας, Στ. Παπασταυρίδης, Ε. Ράπτης, Ο, Ταλέλλη, Εκδ Σοφία 2003, και Μια Εισαγωγή στη  Άλγεβρα, Δ. Βάρσος, Δ. Δεριζιώτης, Μ. Μαλιάκας, Στ. Παπασταυρίδης, Ε. Ράπτης, Ο, Ταλέλλη, Εκδ Σοφία 2003, αντίστοιχα.

Μαγικά τετράγωνα: τα ξαδέρφια του Sudoku. Ενας αρχαίος μαθηματικός γρίφος αναβιώνει με νέα ορμή

Το Εureka είναι ένα παμμαγικό τετράγωνο 3 Χ 3: εδώ το σχήμα-στόχος μπορεί να σχηματιστεί επίσης από οποιαδήποτε τρία από τα κομμάτια των τεσσάρων γωνιών

Το μαγικό τετράγωνο αποτελεί τη βάση του Sudoku, εμφανίζεται σε έναν αρχαίο κινεζικό μύθο και προσφέρει έναν παιχνιδιάρικο τρόπο για να μυηθούν τα παιδιά στην αριθμητική. Ολο αυτό το διάστημα όμως έκρυβε μέσα του μια ακόμη πιο σύνθετη γεωμετρική μορφή, όπως υποστηρίζει ο Λι Σάλοους. Ο μαθηματικός ονόμασε αυτή τη νέου είδους γεωμετρική «μαγική» διάταξη «γεωμαγικό τετράγωνο» και πρόσφατα παρουσίασε δεκάδες παραδείγματά της στο Διαδίκτυο. «Μια τέτοια ανακάλυψη τη στιγμή που έχουν προηγηθεί χιλιάδες χρόνια μελέτης των μαγικών τετραγώνων είναι πραγματικά εκπληκτική» έγραψε στο μπλογκ του ο Αλεξ Μπέλος, μαθηματικός, δημοσιογράφος και συγγραφέας του επιτυχημένου βιβλίου «Αlex΄s Αdventures in Νumberland». Ο Πίτερ Κάμερον, μαθηματικός στο Πανεπιστήμιο Queen Μary του Λονδίνου, θεωρεί ότι τα γεωμαγικά τετράγωνα ενδέχεται να κρύβουν μια ακόμη βαθύτερη δομή. «Μπορώ αμέσως να δω πολλά πράγματα που θα μπορούσα να κάνω με αυτά» λέει.

Τέλος! Η γεωμετρία είναι έμφυτη!Ιθαγενείς που δεν γνωρίζουν καν τη λέξη «τρίγωνο» διαθέτουν ισχυρή γεωμετρική αντίληψη

Αν και πολλοί νιώθουν άγχος και μόνο στο άκουσμα της λέξης, η Γεωμετρία τελικά φαίνεται ότι με κάποιον τρόπο είναι «γραμμένη» στα γονίδιά μας. 

Αυτό τουλάχιστον αποδεικνύεται από μια έρευνα που πραγματοποίησε γαλλική ερευνητική ομάδα. Όπως έδειξε, τα μέλη μιας φυλής του Αμαζονίου που δεν έχουν καν ακούσει το όνομα του Ευκλείδη έχουν την ίδια - και σε ορισμένες περιπτώσεις καλύτερη - αίσθηση της Γεωμετρίας από Ευρωπαίους και Αμερικανούς που διδάσκονται τα θεωρήματά του στο σχολείο.

Η τελευταία λέξη του Αρχιμήδη (Βιβλίο)

Μετά από πολλές περιπέτειες, ο Κώδικας του Αρχιμήδη διαβάστηκε ξανά, αλλάζοντας την αντίληψή μας για τα αρχαιοελληνικά μαθηματικά.

Στις 29 Οκτωβρίου του 1998, η δημοπρασία με αριθμό 9058 του οίκου Christie's έφερε το όνομα «Εύρηκα». Οχι τυχαία, το προς δημοπράτηση έργο δεν ήταν τίποτε λιγότερο από τον Παλίμψηστο Κώδικα του Αρχιμήδη, ο οποίος μυστηριωδώς είχε βρεθεί στα χέρια μιας γαλλικής οικογένειας, για λογαριασμό της οποίας γινόταν η δημοπρασία. Η αίθουσα των Christie's ήταν ο τελευταίος σταθμός μιας μακράς και περιπετειώδους πορείας: ο Κώδικας, ένα χειρόγραφο έργο που χρονολογείται από το δεύτερο μισό του 10ου αιώνα, είχε πιθανότατα γραφτεί στην ανθίζουσα τότε Κωνσταντινούπολη. Περιείχε επτά τουλάχιστον έργα του Αρχιμήδη: το «Περί σφαίρας και κυλίνδρου», το «Περί ελίκων», τμήματα από το «Κύκλου μέτρησις» και το «Επιπέδων ισορροπιών», τμήματα από το δεύτερο βιβλίο των «Οχουμένων», τη μέχρι τότε άγνωστη αρχή του «Στομαχίου» και την πραγματεία «Περί των μηχανικών θεωρημάτων, προς Ερατοσθένη έφοδος», η οποία θεωρείται από τα σημαντικότερα έργα του αρχαίου μαθηματικού.

Ας γελάσουμε λίγο με τα Μαθηματικά!

1. Μαθηματικά – Θρησκεία

α) Τα μαθηματικά είναι η γλώσσα με την οποία ο Θεός έγραψε το σύμπαν (?!?!?!)

β) Όταν ρωτήθηκε αν πιστεύει σε έναν Θεό, ένας μαθηματικός απάντησε : «Αμέ, μέχρι ισομορφισμού»

Δεν θα κοιμηθούμε την Παρασκευή για να δούμε την βροχή των Περσειδών

Οι αστρονόμοι επισημαίνουν ότι για την καλύτερη παρατήρηση των Περσειδών θα πρέπει κάποιος να βρεθεί σε περιοχή που έχει απόλυτο σκοτάδι  

 (Φωτογραφία: Associated Press)Associated Press

Ένα από τα εντυπωσιακότερα αστρονομικά φαινόμενα, τη βροχή των Περσειδών, θα απολαύσουν και φέτος, όσοι αποφασίσουν να μείνουν ξύπνιοι τη νύχτα της Παρασκευής (12/8/2011). 

Σύμφωνα με τον Διεθνή Οργανισμό Μετεώρων κατά τη διάρκεια της κορύφωσης του φαινομένου το οποίο ξεκίνησε στις 26 Ιουλίου και θα διαρκέσει μέχρι τις 16 Αυγούστου θα πέφτουν περίπου 100 μετέωρα την ώρα προσφέροντας ένα εντυπωσιακό θέαμα.

Ηλιακή έκλαμψη- Πήρατε χαμπάρι;

Νωρίς το πρωί της Τρίτης (9 Αυγούστου 2011) ο Ήλιος εξερράγη με τη μεγαλύτερη ηλιακή έκλαμψη του Κύκλου 24, εγγραφή ως X7-class φωτοβολίδα. 

Αυτή η φλόγα έχει μια ακτινογραφία που το μέγεθος της είναι τρεις φορές μεγαλύτερη από την προηγούμενη μεγαλύτερη έξαρση του ηλιακού μας κύκλου, που συνέβη στις Φεβ 15, 2011,είπε η NASA .

Η πηγή των ηλιακών κηλίδων που είναι κοντά στο δυτικό άκρο του , και λόγω της θέσης, οι επιστήμονες προβλέπουν ότι αυτή η έκρηξη δεν θα χτυπήσει τη γη άμεσα. Ως εκ τούτου, ο αντίκτυπος στις επικοινωνίες και ηλεκτρικών δικτύων είναι πιθανό (και ευτυχώς) να είναι ελάχιστες.

Ερωτήσεις

1. Θα επηρεαστεί η γη από αυτή την έκρηξη;

Απάντηση: Όχι τώρα! Η ενέργεια αυτή θα φτάσει στην Γη, υπολογίζουν οι επιστήμονες, το 2013, λόγω την θέση πηγής των ηλιακών κηλίδων.

Τετράχρονος καλεί την αστυνομία για να λύσει απορίες στα Μαθηματικά

Ένας απίστευτος και απολαυστικός διάλογος τετράχρονου παιδιού με το τηλεφωνικό κέντρο της Αστυνομίας! Ο διάλογος είναι στα Αγγλικά, αλλά είναι πολύ απλή η κατανόηση (μην ξεχνάτε μιλάει παιδί)...

Οι δυσκολίες που έχει το παιδί και ρωτάει το όργανο τάξης είναι στην αφαίρεση και οι ερωτήσεις που κάνει είναι οι εξής:
1. Πόσο κάνει 16 αφαιρούμε 8; Μήπως 1;
2. Πόσο κάνει 5 αφαιρούμε 5; Μήπως 5;

Εισαγωγή στο Mathematica - 7 Διαφορετικές σημειώσεις (ανανεώθηκε)

(Ανανεώθηκε: 12/9/2011)

1) Βασικές γνώσεις για το πρόγραμμα Mathematica, ένα αρχείο 37 σελίδων που περιέχει τα βασικά, το πρώτο ξεκίνημα - γνωριμία. Δείτε το παρακάτω επισυναπτόμενο αρχείο.

2) Για να διαβάσετε το βιβλίο " The mathematica book" από τον Stephen Wolfram (στα Αγγλικά) πατήστε εδώ


3) Για να διαβάσετε το βιβλίο M

athematica by example

 Από τους Martha L. Abell, James P. Braselton (Αγγλικά)  πατήστε εδώ

4) Ένα Ελληνικό βιβλίο (σημειώσεις) από τους Θεοδώρου Γ. και Χ. Δείτε το εδώ

5) "Εισαγωγή στο Mathematica" από τον Boutsikas M . V . (Ελληνικό), δείτε εδώ

6-7) Δύο βιβλία από τον Φυσικό (MSc στην Θεωρητική Φυσική) Γιάννη Φιορεντίνο
Γραφικές Παραστάσεις με το Mathematica και Άλγεβρα με το Mathematica

Γιάννη σε ευχαριστούμε για την προσφορά σου!

5ος Γρίφος στα Μαθηματικά (;) - Εκπληκτικός, αξίζει να τον προσπαθήσετε, είναι για όλους!

Ερώτηση: Τι λέει η παρακάτω (αριθμητική) παράσταση (δες εικόνα);  

Σχόλια: Η έρευνα λέει ότι το μεγαλύτερο ποσοστό που το λύνουν είναι παιδιά και όχι οι ενήλικες!

Υπόδειξη: Δεν χρειάζεται να γνωρίζετε Μαθηματικά!

Αν πατήσετε το "Διαβάστε όλο το κείμενο" έχει την λύση, σκεφτείτε πριν την δείτε, αξίζει ο κόπος!

Ερατοσθένης : Υπολογισμός περιφέρειας Γης - Βίντεο, περιγραφή και η άλλη θέση

Δείτε παρακάτω ένα βίντεο που εξηγεί με ποιο τρόπο ο Ερατοσθένης:

α) Κατάλαβε ότι η Γη δεν είναι επίπεδη
β) Υπολόγισε την περιφέρεια της Γης
γ) Την κλίση του άξονα της Γης

Γράφουμε κάποια στοιχεία για αυτή την μέτρηση όπως και την άλλη θέση.

"Το μεσημέρι του θερινού ηλιοστασίου στην σημερινή Αιγυπτιακή πόλη του Ασουάν, ο Ήλιος βρίσκεται στο ζενίθ του, ακριβώς κατακόρυφα πάνω από την πόλη. Τα αντικείμενα δεν ρίχνουν καθόλου σκιά και το φως του Ήλιου πέφτει κατευθείαν στον πάτο των πηγαδιών. Μόλις το πληροφορήθηκε αυτό ο Ερατοσθένης, που ήταν βιβλιοθηκάριος στη βιβλιοθήκη της Αλεξάνδρειας τον 3ο πΧ. αιώνα, αναγνώρισε αμέσως ότι είχε στα χέρια του την πληροφορία που χρειαζόταν για να μετρήσει την περιφέρεια της Γης. 
 

Βιβλία Μαθηματικών από το Ίδρυμα Ευγενίδου

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ
Πέππας Χρ.
1996

Ένα πρόβλημα για ταλαντούχα παιδιά από την Ιαπωνία

Το πρόβλημα που ακολουθεί δόθηκε σε ταλαντούχα παιδιά για να γίνουν δεκτά σε ένα ειδικό σχολείο στην πόλη Nagoya της Ιαπωνίας. Το 74% των παιδιών το έλυσαν. Λάβετε υπόψη σας - και είναι πολύ σημαντικό κατά τη λύση του προβλήματος - ότι τα παιδιά αυτά ήξεραν να μετρούν μόνο μέχρι το 10.

Υπόδειξη: Βάλτε την φαντασία σας να δουλέψει (παρά τις μαθηματικές σας γνώσεις!!!)

Αν:
8809 = 6
7111 = 0
2172 = 0
6666 = 4

Μα πάντα 1089 θα βγαίνει κύριε; Πως γίνεται;

Διάβασα πρόσφατα μια όμορφη δημοσίευση της φίλης και άξιας συναδέλφου Κατερίνας Καλφοπούλου, δείτε εδώ, για ένα βιβλίο το 1089 ΕΝΑ ΜΑΓΙΚΟ ΤΑΞΙΔΙ ΣΤΟΝ ΚΟΣΜΟ ΤΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ του David Acheson, ομότιμος καθηγητής Μαθηματικών στο Jesus College του Πανεπιστημίου της Οξφόρδης, με ενέπνευσε και το έψαξα λίγο παραπάνω... 

Δεν γνωρίζω αν η απόδειξη υπάρχει στο βιβλίο (δεν το έχω διαβάσει), παρόλα αυτά η ενασχόληση με το θέμα αυτό, με ενθουσίασε και την μοιράζομαι μαζί σας στο παρακάτω επισυναπτόμενο. 

Φυσικά το παραπάνω πρόβλημα γίνεται όμορφο παιχνίδι ακόμα και με τους μαθητές του Δημοτικού. Μπορούμε, μετά από εξοικείωση με το πρόβλημα, να τους δείξουμε τα βήματα απόδειξης για να αντιληφθούν ότι τα Μαθηματικά λύνουν πολλά  μαγικά! Τι λέτε, δεν θα τους κερδίσουμε, έστω και παροδικά;  

Συνοπτικός πίνακας της ανάπτυξης των Μαθηματικών

Η ιστορική εξέλιξη των μαθηματικών από την Χριστίνα Φίλη (Επίκουρη καθηγήτρια Ε.Μ.Π), μια όμορφη παρουσίαση που δείχνει εύκολα και ανά εποχή τι ανακαλύφθηκε στα Μαθηματικά.

                        3000-2000 π.Χ                   

Αίγυπτος	Εμφάνιση ιερογλυφικών αριθμών . Κατασκευή πυραμίδων .
Κίνα	Πραγματεία Μεταθέσεων (yang-ying ) . Πραγματεία αριθμητικής σε  9 κεφάλαια ( υπολογισμοί εμβαδών) . Προσέγγιση της τιμής του π .
Μεσοποταμία	Εμφάνιση σφηνοειδούς γραφής των αριθμών .

Αϊνστάιν - Καραθεοδωρής. Ένα άρθρο μου στην εφημερίδα του Πανεπιστημίου το 1998

Πολλά έχουν γραφτεί ως σήμερα για τον Καραθεοδωρή και άλλα τόσα για την σχέση ή μη με τον Φυσικό Αϊνστάιν.

Πρόσφατα βρήκα στο αρχείο μου, ένα άρθρο που είχα γράψει το 1998 στην Μαθηματική εφημερίδα του Πανεπιστημίου "Cοctail" για τον πασίγνωστο πλέον Μαθηματικό και την σχέση του με τον  διάσημο Φυσικό.

Παραθέτω συνδέσμους που δίνουν πληροφορίες για την σχέση Καραθεοδωρή - Αϊνστάιν, στο τέλος παραθέτω και την εφημερίδα που έχει αυτούσιο το άρθρο μου.

Χαμηλή επίδοση γυναικών στα μαθηματικά. Που οφείλεται; Διαφωνώ!!!

Ένα άρθρο της Ελένη Παπουτσή, Εκπαιδευτικός - Πολιτισμολόγος (Μ.ED) που δεν συμφωνώ καθόλου!

Το παραθέτω (μαζί με τα σχόλια μου, εντός παρενθέσεων με πράσινο χρώμα) για να ακούσω τις απόψεις σας. Διαβάστε και πείτε μου...

 

"Μέσα στο πλαίσιο της ανάπτυξης του γυναικείου κινήματος ανεπτύχθησαν έρευνες με στόχο την εξήγηση της  χαμηλής επίδοσης των γυναικών στα μαθηματικά τεστ και της χαμηλής συμμετοχής τους στα τμήματα μαθηματικών.(δηλαδή το έχουν αποδείξει ότι οι άντρες υπερτερούν από τις γυναίκες; Δηλαδή στον ίδιο αριθμό συμμετεχόντων αντρών και γυναικών, θα υπερτερούν πάντα οι άντρες; Πάντως θυμίζω ότι στο Μαθηματικό Αθήνας, εν έτη 2010, οι εγγραφόμενοι ήταν περίπου στο 50% άντρες και 50% γυναίκες. Φυσικά δεν συνέβαινε το ίδιο το 1912, όπως πολύ εύκολα αντιλαμβάνεστε. Επίσης να διαβάσετε ένα άρθρο που έχω στο blog με τους Πυθαγόρειους που αποτελούνταν κυρίως από γυναίκες)
 

Μελετήθηκαν εκτενώς και αυτό οδήγησε στο να διερευνηθούν οι παράγοντες που επηρεάζουν ώστε να δοθεί τουλάχιστον μια εξήγηση στους ισχυρισμούς για γυναικείο έλλειμμα στην επίδοση και τη συμμετοχή των μαθηματικών (για πότε μιλάμε; Για το 1900 που δεν επιτρεπόταν στην γυναίκα να πάει σχολείο ή να σπουδάσει;Την γυναίκα που δεν είχε θέση στην κοινωνία; Για την σημερινή γυναίκα σίγουρα δεν ισχύει ... )