Οι δέκα πολύτιμες εργασίες και διαλέξεις του Α. Κυριακόπουλου

Παρουσιάζουμε τις σημαντικότερες εργασίες και διαλέξεις που έχει δώσει ο συνάδελφος Α. Κυριακόπουλος (που πολλές από αυτές τις έχουμε ήδη αναρτήσει) και τις παρουσίασε στον ιστότοπο www.mathematica.gr.
(Για download ο σύνδεσμος βρίσκεται στο τέλος)

Εργασία 1η « ΜΕΘΟΔΟΙ ΑΠΟΔΕΙΞΗΣ ΚΑΙ ΕΥΡΕΣΗΣ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ. ΕΠΙΣΗΜΑΝΣΗ ΛΑΘΩΝ ΠΟΥ ΜΠΟΡΕΙ ΝΑ ΓΙΝΟΥΝ ΣΕ ΜΙΑ ΛΥΣΗ».
Η εργασία αυτή έχει παρουσιαστεί σε πολλές πόλεις της Ελλάδας( Λαμία-Συνέδριο της Ε.Μ.Ε.2005, Μεσολόγγι, Πάτρα κτλ.). Στην εργασία αυτή παρουσιάζονται οι τρόποι, με βάση τη Μαθηματική Λογική, με τους οποίους μπορούμε να αποδείξουμε μια πρόταση στα μαθηματικά, όπως επίσης και τους τρόπους με τους οποίους μπορούμε να εργαστούμε για να βρούμε ένα μαθηματικό αντικείμενο ( αριθμό, συνάρτηση, διάνυσμα κτλ.). Στη συνέχεια, επισημαίνονται τα λάθη που συχνά γίνονται σε μια λύση.
Νομίζω ότι είναι πολύ σημαντικό, όταν έχουμε να λύσουμε ένα πρόβλημα, να ξέρουμε τους τρόπους με τους οποίους μπορούμε να εργαστούμε.

Εργασία 2η «ΠΟΣΟΔΕΙΚΤΙΚΕΣ ΠΡΟΤΑΣΕΙΣ ΚΑΙ ΘΕΜΑΤΑ ΤΟΥ ΤΥΠΟΥ: ΣΩΣΤΟ- ΛΑΘΟΣ»
Μια εργασία που να απαντά με επιστημονικό τρόπο στο πως και γιατί πρέπει να διατυπώνουμε τις ερωτήσεις αυτού του τύπου. Είναι ένα δύσκολο σημείο, στο οποίο υπάρχουν διαφωνίες μεταξύ συναδέλφων. Η εργασία παρουσιάστηκε στο συνέδριο της Χαλκίδας.

Εργασία 3η « ΑΚΕΡΑΙΟ ΜΕΡΟΣ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΟΥ ΑΡΙΘΜΟΥ »
Το συνημμένο περιέχει μια εργασία με θέμα « ΑΚΕΡΑΙΟ ΜΕΡΟΣ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΟΥ ΑΡΙΘΜΟΥ » (θεωρία, ασκήσεις λυμένες και ασκήσεις για λύση). Ουσιαστικά είναι αναμόρφωση του κεφαλαίου 7 του βιβλίου: « ΥΠΟΨΗΦΙΑΚΑΙ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΚΑΙ ΒΑΣΙΚΩΤΕΡΑ ΘΕΩΡΙΑ ΑΛΓΒΡΑΣ», το οποίο είχε εκδώσει ο Α. Κυριακόπουλος το 1975 ( δεν κυκλοφορεί).

Εργασία 4η «ΝΙΟΣΤΕΣ ΡΙΖΕΣ. ΤΑ ΣΥΜΒΟΛΑ. ΣΧΕΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ»
Το συνημμένο είναι μια «τακτοποίηση» των νιοστών ριζών ενός αριθμού και των δυνάμεων με εκθέτη ρητό και γενικότερα με εκθέτη τυχόντα πραγματικό αριθμό. Επίσης περιέχει τον τρόπο εύρεσης του συνόλου ορισμού των συναρτήσεων της μορφής: ( για παράδειγμα της συνάρτησης ).

Εργασία 5η «ΧΡΗΣΙΜΕΣ ΕΠΙΣΗΜΑΝΣΕΙΣ» (ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ)
Βασικές προτάσεις πάνω στις Πιθανότητες

Εργασία 6η « ΑΠΟΔΕΙΞΗ ΣΥΝΕΠΑΓΩΓΗΣ. Η ΙΣΟΔΥΝΑΜΙΑ»
Το συνημμένο περιέχει την εισήγηση με τίτλο: « ΑΠΟΔΕΙΞΗ ΣΥΝΕΠΑΓΩΓΗΣ. Η ΙΣΟΔΥΝΑΜΙΑ» έγινε στο 26o Πανελλήνιο Συνέδριο της Ελληνικής Μαθηματικής Εταιρίας που έγινε στη Θεσσαλονίκη (13, 14,15 Νοεμβρίου 2009).
Στην εισήγηση αυτή επισημαίνεται ιδιαίτερα οι περιπτώσεις που η υπόθεση μιας συνεπαγωγής είναι ψευδής. Αναφέρονται και παραδείγματα από τις Πανελλαδικές Εξετάσεις. Επισημαίνονται επίσης το ρόλο των ισοδυναμιών στους διαφόρους ορισμούς στα μαθηματικά( παράγραφος 4).

Εργασία 7η «ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ-ΧΡΗΣΙΜΕΣ ΕΠΙΣΗΜΑΝΣΕΙΣ ΣΤΙΣ ΒΑΣΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ»
Το συνημμένο περιέχει χρήσιμες επισημάνσεις στις βασικές έννοιες των πραγματικών συναρτήσεων, καθώς και παραδείγματα εφαρμογής.
Στο τέλος παρατίθεται μία σειρά ασκήσεων, πολλές από τις οποίες έχει κατασκευάσει ο Α. Κυριακόπουλος.
• Οι βασικές έννοιες των συναρτήσεων, είναι απαραίτητη προϋπόθεση για την περαιτέρω απρόσκοπτη μελέτη τους. Περιέχονται και λύσεις από τον Κώστα Σερίφη.

Εργασία 8η «ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ. ΜΙΑ ΧΡΗΣΙΜΗ ΠΡΟΤΑΣΗ. ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ»
Στο συνημμένο περιέχει μια απλή αλλά πολύ χρήσιμη πρόταση στα διανύσματα.
• Όπως φαίνεται στις εφαρμογές, όταν έχουμε υπόψη μας την πρόταση αυτή, μπορούμε να λύσουμε ένα πλήθος ασκήσεων στα διανύσματα χρησιμοποιώντας αποκλειστικά και μόνο τη σχολική ύλη.

Εργασία 9η «ΜΙΑ ΑΠΛΗ ΑΛΛΑ ΠΟΛΥ ΧΡΗΣΙΜΗ ΠΡΟΤΑΣΗ»
Το συνημμένο περιέχει μια απλή, σχεδόν προφανή, αλλά πολύ χρήσιμη πρόταση. Η πρόταση αυτή είναι χρήσιμη σε πολλά ζητήματα των μαθηματικών. Κυρίως όμως είναι χρήσιμη όταν ζητάμε να βρούμε ένα ή περισσότερα μαθηματικά αντικείμενα ( αριθμούς, συναρτήσεις, διανύσματα κτλ.).

Εργασία 10η «ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΠΟΥ ΟΡΙΖΟΝΤΑΙ ΑΠΟ ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑΤΑ. ΣΧΕΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ»
Το συνημμένο είναι μια εισήγηση που έχει κάνει σε διάφορα μέρη της Ελλάδας ο Α. Κυριακόπουλος (Περιστέρι, Μεσολόγγι κτλ.)

Για να δείτε τις εργασίες πατήστε εδώ

Μάθημα 7 - Μαθηματικά Γ΄ Λυκείου Κατεύθυνσης - Μη πεπερασμένα όρια

Το μάθημα 7 περιλαμβάνει το κεφάλαιο 1.6 "Μη πεπερασμένα όρια". Υπάρχει θεωρία και ασκήσεις, χωρισμένες σε κατηγορίες.
Μάθημα 7 - Μη πεπερασμένο όριο

Λύσεις διαγωνίσματος Γεωμετρίας Α΄ Λυκείου - Α3 και Α5

Οι ενδεικτικές λύσεις του διαγωνίσματος που έγραψαν τα τμήματα Α3 και Α5 Γεωμετρία του 1ου Λυκείου Ζακύνθου στις 13/12/2010 στο κεφάλαιο 3.
Επιμέλεια θεμάτων: Χατζόπουλος Μάκης
Λύσεις διαγωνίσματος - Πατήστε εδώ

Γεωμετρική αναπαράσταση των τετραγωνικών ριζών των αριθμών 1,2,3,…

Γεωμετρική αναπαράσταση των τετραγωνικών ριζών των αριθμών 1,2,3,… από την Σούφαρη Αθανασία.

Το καταπληκτικό σχήμα που προκύπτει λέγεται η σπείρα του Πυθαγόρα.


Δείτε ο εδώ

Διαγώνισμα 1ου τετραμήνου Γεωμετρίας Α΄ Λυκείου - Κεφάλαιο 3

Το διαγώνισμα που έγραψαν τα τμήματα Α3 και Α5 στην Γεωμετρία της Α΄ Λυκείου στο Κεφάλαιο 3. Επιμέλεια θεμάτων: Χατζόπουλος Μάκης
Διαγώνισμα 1ου Τετραμήνου στην Γεωμετρία της Α3-Α5

Μαθητική εφημερίδα - με μαθηματικό κυρίως περιεχόμενο, από το 1 Γυμνάσιο Καλλίπολης του Πειραιά

Στο 1ο Γυμνάσιο Καλλίπολης Πειραιά ξεκίνησε πέρυσι, όπως μας ενημέρωσε ο εκλεκτός συνάδελφος Παύλος Μαραγκουδάκης, μια μαθητική εφημερίδα με μαθηματικό κυρίως περιεχόμενο.

Μπορείτε να κατεβάσετε τα 3 πρώτα τεύχη στις παρακάτω διευθύνσεις
Τεύχος 1
Τεύχος 2
Τεύχος 3
και γενικότερα το blog που μας ενημερώνει για τα νέα τεύχη είναι: http://www.mathsweets.blogspot.com
Η αξιέπαινη προσπάθεια είναι αποτέλεσμα συνεργασίας αρκετών καθηγητών και μαθητών.

Τα μαθηματικά εν καιρώ πολέμου - Η ηχητική συνέντευξη του Τεύκρου Μιχαηλίδη στην Ναυτεμπορική

Aπό τα σημαντικότερα επιτεύγματα του Β’ Παγκοσμίου Πολέμου θεωρείται η αποκωδικοποίηση της μηχανής Enigma –την οποία οι Γερμανοί χρησιμοποιούσαν για την επικοινωνία τους– από τον φημισμένο μαθηματικό Άλαν Τιούρινγκ

Κανείς δεν γνωρίζει ποια θα ήταν η εξέλιξη της ιστορίας χωρίς τα μαθηματικά, τα οποία χρησιμοποιήθηκαν κατά κόρον από τις μεγάλες δυνάμεις σε σημαντικούς πολέμους της παγκόσμιας ιστορίας, όπως ο Β’ Παγκόσμιος Πόλεμος, η κρίση του Κόλπου των Χοίρων και ο γαλλοϊσπανικός πόλεμος.
Την συνέντευξη (12:19 λεπτά) του Τεύκρου Μιχαηλίδη που έδωσε στην Ναυτεμπορική μπορείτε να την ακούσετε εδώ . Απαντάει στις εξής ερωτήσεις:

1. Στο Β' Παγκόσμιο πόλεμο, πως οι σύμμαχοι κατάφεραν με την βοήθεια των μαθηματικών να υπολογίσουν την μηνιαία παραγωγοί τανκς από τους Γερμανούς;
2. Στον Β' Παγκόσμιο πόλεμο ποιο είναι το μεγαλύτερο μαθηματικό επίτευγμα που χρησιμοποιήσανε οι μυστικές υπηρεσίες;
3. Γνωρίζετε άλλα ιστορικά παραδείγματα στα οποία τα Μαθηματικά έδωσαν λύσεις σε προβλήματα των μυστικών υπηρεσιών εν καιρώ πολέμου;
4. Σήμερα με τα υπερσύγχρονα μέσα που έχουν στην διάθεσή τους οι μυστικές υπηρεσίες, ποια είναι η θέση των μαθηματικών στην κατασκοπεία;

Για τον καθοριστικό ρόλο που έχουν διαδραματίσει τα μαθηματικά στην κατασκοπεία εν καιρώ πολέμου αλλά και τις εφαρμογές της μαθηματικής επιστήμης από τις σύγχρονες μυστικές υπηρεσίες μιλά στην naftemporiki.gr ο διακεκριμένος μαθηματικός και λογοτέχνης, Τεύκρος Μιχαηλίδης.

Σύμφωνα με τον κ. Μιχαηλίδη, η χρήση των μαθηματικών στον πόλεμο ξεκίνησε ήδη από τον 16ο αιώνα, στη διάρκεια του γαλλοϊσπανικού πολέμου, και εκτείνεται έως τις μέρες μας, με τις σύγχρονες μυστικές υπηρεσίες να χρησιμοποιούν τους πρώτους αριθμούς για την κωδικοποίηση της επικοινωνίας τους.

Τελικά τα μηχανογραφικά θα συμπληρωθούν κανονικά το καλοκαίρι

Τον Ιούλιο, μετά τις πανελλαδικές εξετάσεις, θα συμπληρώσουν τα μηχανογραφικά τους οι υποψήφιοι για την τριτοβάθμια εκπαίδευση και όχι τον Μάρτιο, όπως ήταν η αρχική πρόθεση του υπουργείου Παιδείας.

Αυτό άφησε να εννοηθεί η υπουργός, Ά. Διαμαντοπούλου, μιλώντας στον τηλεοπτικό σταθμό Mega. Άλλωστε, το θέμα της περιόδου κατάθεσης των μηχανογραφικών είχε δοθεί προς διαβούλευση και οι περισσότεροι μαθητές επιθυμούν να μην αλλάξει, προτιμώντας να γνωρίζουν πρώτα τους βαθμούς τους και μετά να συμπληρώνουν το μηχανογραφικό και να αποφασίζουν ουσιαστικά για την επιστήμη, που θα σπουδάσουν.

Εξάλλου, η κ. Διαμαντοπούλου, σχετικά με τις σχολικές εκδρομές,
είπε ότι φέτος θα γίνουν μόνο στην Ελλάδα, διευκρινίζοντας: «Θα συζητήσουμε και με τα τουριστικά γραφεία να κάνουν προσφορές και περιμένουμε να κάνουν ειδικές τιμές. Δεν επιβάλλουμε τίποτα. Έχουμε πολύ όμορφα μέρη στην Ελλάδα».

Σχετικά με τις αλλαγές στα πανεπιστήμια και τα ΤΕΙ, δήλωσε ότι είναι απαραίτητη η αναδιάρθρωση και πρόσθεσε ότι «δεν υπάρχει κανένας, εκτός από αυτούς που απέχουν από τον διάλογο, που να πιστεύει ότι δεν χρειάζονται αλλαγές σε πανεπιστήμια και ΤΕΙ».

Η υπουργός κατέληξε αναφερόμενη στην οικογενειοκρατία. Αποκάλυψε, μάλιστα, ότι «υπάρχει τμήμα, που έχει 50 καθηγητές και οι 8 είναι ζευγάρια. Υπάρχει τμήμα στο πανεπιστήμιο Πάτρας, που δεν έχει φοιτητές, άλλα υπάρχουν καθηγητές, αναπληρωτές και λέκτορες, που πληρώνονται κανονικά».

Διαγώνισμα 1 τετραμήνου Μαθηματικά Γ.Π - Γ΄ Λυκείου - Γ3

Διαγώνισμα της Γ Λυκείου στα Μαθηματικά και Στοιχεία Στατιστικής για τους μαθητές του Γ1 1ου Λυκείου Ζακύνθου.  
Επιμέλεια θεμάτων: Μιχαλόπουλος Νίκος

Διαγώνισμα -Γ Λυκείου Γ.Π

Πρόβλημα στην ιστοσελίδα μας (10/12/2010) & (15/12/2010) - Λύθηκε

Έχουμε πρόβλημα με την ιστοσελίδα μας (10/12/2010) αφού  δεν μπορούμε να ανοίξουμε καμία σελίδα στο κύριο μέρος ενώ στο πλαϊνό μενού λύθηκε!!!

Αναζητούμε την λύση στο πρόβλημα που προέκυψε και μόλις αποκατασταθεί θα σας ενημερώσουμε. Οποιαδήποτε βοήθεια ευπρόσδεκτη!

Το blog λειτουργεί κανονικά με τον internet explorer ή Chrome ενώ με το Mozilla firefox συνεχίζει να έχει προβλήματα.

Μας συγχωρείτε για την ταλαιπωρία

Τελευταία ενημέρωση 14/12/2010: Τελικά βρέθηκε λύση ύστερα από τον κώδικα που μας έδωσε ο Τάσος! Ευχαριστούμε και τους φίλους (Μιχάλη να είσαι καλά) που προθυμοποιήθηκαν να βοηθήσουν.

Οι περιπέτειες του Ζαχαρία Τουλούμπα - Μια πολύ όμορφη ιστορία για την Γεωμετρία του χώρου

Μια πολύ όμορφη ιστορία από τον Jean-Pierre Petit, Λένα Βλασταρά (μετάφραση) - Οι περιπέτειες του Ζαχαρία Τουλούμπα - Η Γεωμετρία για την Γεωμετρία του χώρου, πως φύγαμε από την επίπεδη Γεωμετρία που μελετάει η Ευκλείδεια Γεωμετρία και καταλήξαμε στον χώρο.

Χρήσιμο και για όσους μελετάνε αστρονομία.

Είναι 65 σελίδες αλλά διαβάζονται εύκολα και γρήγορα! Το συνιστώ να το διαβάσουν όλοι μαθητές και καθηγητές
Jean-Pierre Petit, Λένα Βλασταρά (μετάφραση) - Οι περιπέτειες του Ζαχαρία Τουλούμπα - Η Γεωμετρία

Μάθημα 6ο - Γ΄ Λυκείου Κατεύθυνσης - Όρια - Μορφή: 0/0

Το μάθημα 6ο για την Γ Λυκείου κατεύθυνσης, περιέχει όρια πραγματικού αριθμού με ερωτήσεις θεωρίας, μεθοδολογίες και μια βασική άσκηση. Δεν δόθηκε έμφαση στις ασκήσεις αφού οι ασκήσεις του βιβλίου είναι αρκετές, επίσης ακολουθούμε τις οδηγίες του Π.Ι.
Μάθημα 6ο-Όρια 0 προς 0

Οι επιδόσεις των ελλήνων μαθητών σύμφωνα με την τελευταία έκθεση του ΟΟΣΑ

Βελτίωση στα μαθηματικά και στην κατανόηση κειμένου αλλά με τις επιδόσεις τους να παραμένουν κάτω από τον μέσο όρο, όπως και στις φυσικές επιστήμες, εμφανίζουν οι έλληνες μαθητές σύμφωνα με την τελευταία έκθεση PISA (Programme for International Student Assessment) του Οργανισμού Οικονομικής Συνεργασίας και Ανάπτυξης, η οποία δόθηκε σήμερα στη δημοσιότητα.

Η έρευνα πραγματοποιείται κάθε τρία χρόνια. Το 2009 αξιολογήθηκαν οι επιδόσεις 470.000 δεκαπεντάχρονων μαθητών από 65 χώρες. Η βαθμολογία των Ελλήνων μαθητών στην ανάγνωση και κατανόηση κειμένου είναι 483 (με μέσο όρο των 65 χωρών τους 493 βαθμούς), στις επιστήμες 470 (μ.ο. 501) και στα μαθηματικά 466 (μ.ο. 496).
 
Νέα ανερχόμενη δύναμη στην εκπαίδευση αναδεικνύεται η Κίνα. Οι Κινέζοι μαθητές από τη Σαγκάη, οι οποίοι έλαβαν για πρώτη φορά μέρος στην έρευνα, υπερτερούν και στους τρεις τομείς που μελετήθηκαν, ενώ ακολουθεί η Νότια Κορέα. Η επί σειρά πρωταθλήτρια Φινλανδία κατρακύλησε στην τρίτη θέση. Την πρώτη δεκάδα συμπληρώνουν οι μαθητές από το Χονγκ Κονγκ, τη Σιγκαπούρη, τον Καναδά, τη Νέα Ζηλανδία, την Ιαπωνία, την Αυστραλία και την Ολλανδία.
 
Αισθητή βελτίωση στις επιδόσεις τους παρουσίασαν μαθητές από χώρες όπου πραγματοποιήθηκαν μεταρρυθμίσεις όπως η Γερμανία και η Πολωνία. Χειρότερες επιδόσεις σε σχέση με την έρευνα του 2000 εμφανίζουν οι Ηνωμένες Πολιτείες και η Γαλλία.
 
Στο επίκεντρο της τελευταίας έρευνας του PISA τέθηκαν οι ικανότητες των μαθητών στην ανάγνωση και κατανόηση κειμένου.

Πηγή: "Η" Online 7/12 19:30

Ασκήσεις Μαθηματικών Γ΄ Λυκείου από το αρχείο του Μαυρογιάννη Ν.

Ένα πλούσιο και ολοκληρωμένο αρχείο από το συνάδελφο Μαυρογιάννη Νικόλαο για την Γ΄ Λυκείου Κατεύθυνσης.

Μια απλή αλλά χρήσιμη πρόταση για επίλυση εξισώσεων

Η πρόταση που παρατίθεται είναι μια απλή αλλά και χρήσιμη πρόταση για ασκήσεις που από μια σχέση επάγονται πολλές άλλες. Την πρόταση και την επιμέλεια της πρότασης είναι από τον Αντώνη Κυριακόπουλο.
Χρησ.πρόταση

Νιοστή ρίζα - Περιορισμοί συναρτήσεων της μορφής f(x)g(x)

Το συνημμένο είναι από τον αγαπητό συνάδελφο Αντώνη Κυριακόπουλο που μας δίνει μια «τακτοποίηση» των νιοστών ριζών ενός αριθμού και των δυνάμεων με εκθέτη ρητό και γενικότερα με εκθέτη τυχόντα πραγματικό αριθμό.
Επίσης περιέχει τον τρόπο εύρεσης του πεδίου ορισμού των συναρτήσεων της μορφής:
f(x)^g(x)( για παράδειγμα της συνάρτησης x^x) που συχνά κάνουμε λάθος.
NIOSTH RIZA

Μιγαδικοί αριθμοί στο ψηφιακό σχολείο

Προετοιμάζοντας τους μαθητές για τις Πανελλήνιες εξετάσεις, για την τάξη της Γ Λυκείου στα  Μαθηματικά Κατεύθυνσης (Τεχνολογική και Θετική).

Μια επίσημη ιστοσελίδα από το Υπουργείο Παιδείας και Θρησκευμάτων, Πολιτισμού και Αθλητισμού (ΥΠΑΙΘΠΑ).

Πατήστε τον σύνδεσμο για να απαντήστε σε ερωτήσεις θεωρίας, να λύσετε ασκήσεις, να δείτε τις λύσεις και τα αποτελέσματά σας.

Διαγώνισμα Β΄ Λυκείου - Μαθηματικά Κατεύθυνσης 1ου τετραμήνου - 1 Λύκειο Ζακύνθου

Παραθέτουμε το διαγώνισμα που έγραψαν οι μαθητές της Β Λυκείου στα Μαθηματικά κατεύθυνσης.  
Επιμέλεια θεμάτων: Μιχαλόπουλος Νίκος
Β Λυκείου - Κατέ-Διαγώνισμα

Διαγώνισμα Άλγεβρας 1ου τετραμήνου - 1 Λύκειο Ζακύνθου

Παραθέτουμε το διαγώνισμα που έγραψαν τα τμήματα Α1 και Α2 στην Άλγεβρα της Α΄ Λυκείου οι μαθητές του 1 Λυκείου Ζακύνθου. Επιμέλεια θεμάτων: Μιχαλόπουλος Νίκος
Διαγώνισμα Άλγεβρα-Α1-Α2

Βρείτε το λάθος στην παρακάτω παραγώγιση!

Για τους μαθητές της Γ Λυκείου (Κατεύθυνσης είτε Γενικής Παιδείας) έχουμε το εξής πρόβλημα:

"Έστω χ μη μηδενικός πραγματικός αριθμός, τότε: χ²=χ*χ άρα έχουμε διαδοχικά:

χ²=χ*χ

χ²=χ+χ+...+χ (χ φορές)

παραγωγίζουμε κατά μέλη:

2χ = 1+ 1+ ...+1 (χ φορές)

2χ=χ

διαιρούμε με το χ (μη μηδενικός αριθμός)

2=1

Που υπάρχει λάθος;

Παράδοξο από τον αείμνηστο Θ. Καζαντζή

Στην διπλανή εικόνα καταλήγουμε στο εξής παράδοξο, η διαδρομή ΑΒ+ΑΓ να ισούται με την διαδρομή ΒΓ (όπου ΑΒΓ τρίγωνο)!! Απάντηση δίνεται από τον Μαθηματικό Γ. Ρίζο, όπως φαίνεται και στην συνέχεια.

Το παράδοξο του bob

Βρείτε το λογικό σφάλμα στην παρακάτω εικόνα:

Φύλλο εργασίας στην Γεωμετρία Α΄ Λυκείου: Σχετικές θέσεις ευθείας και κύκλου

Το τμήμα Α4 είχε ως εργασία την σχετική θέση ευθείας και κύκλου (παράγραφος 3.14) με το παρακάτω φύλλο εργασίας.

Χειρομαντεία και Μαθηματικά !!

Ένα μέντιουμ κοιτάει την παλάμη και βλέπει το μέλλον. Ένας μαθηματικός, κοιτάει την παλάμη και βλέπει... τις γραφικές παραστάσεις!
Αν παρατηρήσετε την παλάμη σας, βλέπετε 3 είδη συναρτήσεων την f(x)=e^x, f(x)=lnx και την f(x)=λx+β. Στη δεξιά παλάμη λοιπόν η κάτω δεξιά καμπύλη είναι η λογαριθμική (η γραμμή της ζωής = φανερώνει την ΠΟΙΟΤΗΤΑ ΚΑΙ ΟΧΙ ΤΗ ΔΙΑΡΚΕΙΑ της ζωής μας. Επίσης αναφέρεται και στην γενική κατάσταση της υγείας ), η πάνω αριστερά καμπύλη είναι η εκθετική (η γραμμή της καρδιάς= αντιπροσωπεύει τη συναισθηματική συμπεριφορά, τον τρόπο που αγαπάμε και τις σχέσεις μας. Δείχνει επίσης την εκτίμηση για τις τέχνες και τη δημιουργικότητά μας. Δίνει επίσης, πληροφορίες για την κατάσταση της καρδιάς), και η ευθεία ανάμεσα ο άξονας συμμετρίας τους (η γραμμή της μοίρας =  καταγράφει τα πιο σημαντικά γεγονότα της ζωής μας εάν, βέβαια, αυτά είχαν ή θα έχουν τη δύναμη να μας επηρεάσουν)

Πάντως είναι ένας καλός μνημονικός κανόνας για να μην ξεχνάμε τις γραφικές παραστάσεις e^x και lnx

H συγκατοίκηση των 5 σπουδαιότερων αριθμών: 0, 1, π, e, i

Μέσα στο ογκώδες επιστημονικό έργο του Euler, συναντούμε την εξίσωση e ^ix = συνx + iημx. Αν βάλουμε όπου x το π θα προκύψει η σημαντικότερη - κατά τον Feynman- σχέση των μαθηματικών

e^iπ + 1 = 0

Ο Benjamin Peirce σε μία του διάλεξη, αναφερόμενος στην απίστευτη αυτή ισότητα είχε πει: “Gentlemen, that is surely true, it is absolutely paradoxical; we cannot understand it, and we don't know what it means. But we have proved it, and therefore we know it must be the truth."
Κύριοι, είναι σίγουρα αληθής, είναι απολύτως παράδοξη. Δεν μπορούμε να την κατανοήσουμε και δεν ξέρουμε τι σημαίνει. Αλλά την έχουμε αποδείξει και για αυτό ξέρουμε ότι είναι αληθής.

Ο Richard Feynman τη θεωρούσε την πιο σημαντική φόρμουλα των μαθηματικών δεδομένου ότι σ΄ αυτήν συγκατοικούν οι πέντε σημαντικότεροι αριθμοί των μαθηματικών, 0, 1, π, e και ο i.

Ο iⁱ είναι πραγματικός αριθμός; Δείτε μια απόδειξη:

Εάν στην εξίσωση του Euler e ^ix = cosx + isinx βάλουμε x = π/2 θα προκύψει :

e^iπ/2 = cosπ/2+ isinπ/2. eiπ/2 = i

Αν υψώσουμε και τα δύο μέλη στη δύναμη i προκύπτει

iⁱ =e-π/2 = 0,2078795763

Ένα πλήρες Μαθηματικό τυπολόγιο για μαθητές και φοιτητές

Το παρακάτω τυπολόγιο που ακολουθεί είναι μια προσφορά του Σωτήριου Περσίδη από τον εκδοτικό οίκο ΕΣΠΙ.
Ένα τυπολόγιο για μαθητές, φοιτητές, σπουδαστές και καθηγητές.

Κεφάλαιο 1 ΣΤΑΘΕΡΕΣ
Κεφάλαιο 2 ΑΛΓΕΒΡΑ
Κεφάλαιο 3 ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΑ
Κεφάλαιο 4 ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ
Κεφάλαιο 5 ΑΝΑΛΥΤΙΚΗ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ
Κεφάλαιο 6 ΠΑΡΑΓΩΓΟΙ
Κεφάλαιο 7 ΑΟΡΙΣΤΑ ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑΤΑ
Κεφάλαιο 8 ΟΡΙΣΜΕΝΑ ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑΤΑ
Κεφάλαιο 9 ΟΙ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΓΑΜΑ ΚΑΙ ΒΗΤΑ
Κεφάλαιο 10 ΣΥΝΗΘΕΙΣ ΔΙΑΦΟΡΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ
Κεφάλαιο 11 ΣΕΙΡΕΣ
Κεφάλαιο 12 ΠΟΛΥΩΝΥΜΑ ΚΑΙ ΑΡΙΘΜΟΙ
Κεφάλαιο 13 ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΙΚΗ ΑΝΑΛΥΣΗ
Κεφάλαιο 14 ΚΑΜΠΥΛΟΓΡΑΜΜΕΣ ΣΥΝΤΕΤΑΓΜΕΝΕΣ
Κεφάλαιο 15 ΣΕΙΡΕΣ FOURIER
Κεφάλαιο 16 ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ BESSEL
Κεφάλαιο 17 ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ LEGENDRE
Κεφάλαιο 18 ΟΡΘΟΓΩΝΙΑ ΠΟΛΥΩΝΥΜΑ
Κεφάλαιο 19 ΔΙΑΦΟΡΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ
Κεφάλαιο 20 ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΣ FOURIER

http://rapidshare.com/files/39858674/mathimatiko_tipologio.zip.html
mathimatiko tipologio

Ο αριθμός googol - Μήπως σας θυμίζει κάτι;

Από που πήρε το όνομά του το Google?
Την δεκαετία τπυ 1940 ένας Αμερικάνος μαθηματικός, ο Edward Kasner (1878-1955) του Πανεπιστημίου της Κολούμπια, σε κουβέντες που είχε με μικρά παιδιά, βρέθηκε μπροστά στο εξής πρόβλημα: Ποιοι αριθμοί απαιτούνται για να εκφραστεί το πλήθος των σταγόνων της βροχής, που πέφτουν μια βροχερή μέρα στη Νέα Υόρκη; Οι αριθμοί βέβαια, είναι πολύ μεγάλοι, αλλά πεπερασμένοι.
 
Για να μυήσει ο Kasner τον εννιάχρονο ανιψιό του στους μεγάλους αριθμούς, επινόησε το γκούγκολ (1 googol=10^100)
 
Κατ' άλλους το googol φτιάχτηκε από τον Milton Sirotta, ανεψιό του Κasner, και πρωτοαναφέρθηκε στο βιβλίο "mathematics and the imagination" των Κasner και Newman.
 
Το google, η μηχανή αναζήτησης του ίντερνετ, είναι ένα λογοπαίγνιο με τη λέξη googol και συμβολίζει το όραμα και την πρόθεση της εταιρίας να οργανώσει τον φαινομενικά άπειρο αριθμό πληροφοριών που είναι διαθέσιμες στο διαδίκτυο.
 
Αν και το googol είναι ένας πολύ μεγάλος αριθμός, στα μάτια ενός μαθηματικού συνηθισμένου να παίζει με την έννοια του άπειρου είναι ένας μικρός αριθμός. Η τιμή όμως 10^100 ξεπερνά κατά πολύ τα όρια του πραγματικού κόσμου, αφού δεν έχει πλέον καμία φυσική σημασία!!
Ένα συνηθισμένο διαμέρισμα 100 τ.μ. ή 100.000.000 τ.χιλ. = 10^8 είναι πολύ μακριά από το googol. Ας πάρουμε την επιφάνεια της Γης μήπως και έχουμε κάποια σεβαστή τιμή. Η επιφάνεια της υδρογείου είναι 510.000.000 τ.χιλ. ή 5*10^20 τ.χιλ. περίπου, πάλι όμως πολύ μακριά από το googol.
 
O άνθρωπος σίγουρα δεν μπορεί να μετρήσει τις σταγόνες του νερού μιας θάλασσας ούτε τους κόκκους άμμου μιας ερήμου. Δεχόμενοι όμως ότι οι σταγόνες έχουν διάμετρο 2 χιλιοστά, η Μεσόγειος θα περιλάμβανε περίπου 10^24 σταγόνες. Επίσης στη Σαχάρα (έκταση 8*10^6 τ/χιλ.) μια στρώση άμμου πάχους 20 εκ., δεχόμενοι ότι υπάρχουν 10 κόκκοι ανά κυβικό χιλιοστό, θα περιλάμβανε 10^21 κόκκους άμμου.
 
Αν σκεπάσουμε την Ελλάδα (ηπειρωτικό και νησιωτικό τμήμα έχει έκταση περίπου 132000 τ.χιλ.) με ένα στρώμα άμμου ύψους ενός μέτρου και δεχόμενοι ότι χρειάζονται 10 κόκκοι άμμου ανά κυβικό χιλιοστό., θα χρειαστούμε περίπου 1,32*10^21 κόκκους άμμου.
 
Ο αριθμός κόκκων άμμου που ολόκληρος ο όγκος της γης θα μπορούσε να περιέχει είναι περίπου 10^31. Αριθμός πολύ μεγάλος, αλλά και πολύ μικρός για το googol.
 
Ας δεχτούμε (όχι αποδεδειγμένα) ότι το Σύμπαν είναι κοίλο και πεπερασμένο. Οι αστρονομικοί υπολογισμοί, σε συνδυασμό με αυτούς της ατομικής φυσικής, αποδεικνύουν ότι ο λόγος της διαμέτρου του σύμπαντος προς τη διάμετρο του πυρήνα του ατόμου είναι 10^42. Γενικά, το 10^42 είναι το κλασσικό όριο για καθετί που είναι πραγματικά μετρήσιμο στο σύμπαν.
 
Στην πραγματικότητα δεν υπάρχει ποσότητα ενός googol από οτιδήποτε. Ο αριθμός 10^100 ξεπερνά καθετί που θα μπορούσε να αριθμηθεί και να μετρηθεί στον φυσικό κόσμο. Ο Kasner με το googol έβαλε ένα από τα όρια ανάμεσα στην αριθμητική και τη φυσική.
 
Φυσικά αυτό δεν εμποδίζει τους μαθηματικούς να ξεπεράσουν κατά πολύ τα όρια του μετρήσιμου σύμπαντος, αφού ένας αριθμός όπως το googol, δεν είναι για αυτούς παρά ένα από τα αμέτρητα στοιχεία του συνόλου των φυσικών αριθμών, προηγούμενος από 10^100 + 1 και βέβαια πάντα πολύ μικρότερος από το άπειρο!

Μαθηματικές ίντριγκες!

Ο διάσημος στους θετικοτεχνολογικούς μαθητές της Γ΄ Λυκείου, ο κανόνας του L'Hospital, δεν ανακαλύφθηκε από τον L'Hospital.

Ο ευκατάστατος Γάλλος πλήρωνε 300 Φράγκα τον χρόνο στον διάσημο Ελβετό Johann Bernoulli της γνωστής οικογένειας ώστε να τον κρατά ενήμερο για τις εξελίξεις των Μαθηματικών καθώς και να του λύνει προβλήματά του.

Παρόλα αυτά ο L'Hospital εξέδωσε ένα βιβλίο στο οποίο περιέλαβε το θεώρημα αυτό και όντας τίμιος, το εξέδωσε ανώνυμα (μιας και δεν συμμετείχε σε πολλά δημιουργήματα από όσα περιλαμβάνει το βιβλίο), αναφέροντας πάντως την συνεισφορά του Bernoulli.

Ο Bernoulli επέμενε πως είχε γράψει ο ίδιος το βιβλίο, παρ'όλα αυτά ο κανόνας σήμερα έχει το όνομα του Γάλλου ευγενή.

Μάθημα 6 - Απόλυτη τιμή - Άλγεβρα Α΄ Λυκείου (ανανεωμένο - διορθωμένο)

Μάθημα 6 - Α΄ Λυκείου - Απόλυτη τιμή πραγματικού αριθμού - Θεωρία και ασκήσεις. (Καινούργιες προσθήκες,διορθώσεις 19/12/2010)

Μάθημα 6ο-Απόλυτη τιμή

Αντώνης Κυριακόπουλος - Διάλεξη στο συνέδριο της Χαλκίδας

Μια όμορφη διάλεξη που παρακολούθησα στο συνέδριο της Χαλκίδας (20/11/2010) ήταν του Αντώνη Κυριακόπουλου για τα "Σωστά - Λάθος" και τους "ποσοδείκτες". Ένα χρήσιμο αρχείο κυρίως για τους Καθηγητές που θέτουν ερωτήσεις κλειστού τύπου και χρησιμοποιούν σύμβολα Λογικής.
Αντώνης Κυριακόπουλος-Διάλεξη στο συνέδριο της Χαλκίδας

Μάθημα 5ο - Γ΄ Λυκείου Κατεύθυνσης - Συνάρτηση 1 - 1 και αντίστροφη

Μάθημα 5 - Συνάρτηση 1 - 1 και αντίστροφη. Ερωτήσεις θεωρίας, βασικές συναρτήσεις και άλυτες ασκήσεις. (Ανανεωμένο 26/11/2010)
Μάθημα 5ο-Συνάρτηση 1 - 1 και αντίστροφη

Τα σχολικά βιβλία στο διαδίκτυο

Κατεβάστε τα σχολικά βιβλία!
Δωρεάν-ελεύθερα e-book 

Η στήλη των Μαθηματικών, από τον Κώστα Δόρτσιο

Στην ΕΜΕ Κοζάνης βρήκαμε μια όμορφη στήλη, την στήλη των Μαθηματικών από τον πρώην σχολικό σύμβουλο Κώστα Δόρτσιο.

Για να δείτε τα άρθρα από διάφορα τεύχη πατήστε στον παρακάτω εξωτερικό σύνδεσμο http://www.emekozanis.gr/reports/r060103/r060103.html

Σταυρόλεξο στην γεωμετρία της Α΄ Λυκείου

Από το βιβλίο Γεωμετρίας της Α΄ Λυκείου του φίλου Λ. Πρωτοπαπά, βρήκαμε το παρακάτω σταυρόλεξο με έννοιες από το κεφάλαιο 3.10-3.11 (ανισοτικές σχέσεις πλευρών και γωνιών)

Πατήστε πάνω στην εικόνα για να τη μεγεθύνετε

Διαγωνισμός στα Μαθηματικά για μαθητές Δημοτικού Σχολείου- Θέματα και λύσεις

Τον 5ο Μαθητικό Διαγωνισμό στα Μαθηματικά για τους μαθητές Δημοτικού Σχολείου «Παιχνίδι και Μαθηματικά» διοργανώνει η Ελληνική Μαθηματική Εταιρεία (ΕΜΕ).
Σχετική εγκύκλιο υπέγραψε σήμερα ο Ειδικός Γραμματέας του Υπ. Παιδείας Μ. Κοντογιάννης , την οποία για να δείτε κάνετε κλικ εδώ

Μικρός Ευκλείδης	[Θέματα και Λύσεις Ε' Τάξης]	732 Kb	12/03/2011 00:46
Μικρός Ευκλείδης	[Θέματα και Λύσεις ΣΤ' Τάξης]	205 Kb	11/03/2011 22:38

Πηγή:esos.gr

Η Γεωμετρία στην τέχνη και την επιστήμη

Πρόγραμμα Μορφωτικών Εκδηλώσεων - ΕΠΙΣΤΉΜΗ ΚΟΙΝΩΝΊΑ

Β΄ ΚΥΚΛΟΣ ΟΜΙΛΙΩΝ (30/11– 21/12/2010)

Έκθεση και Επιστημονικές παρουσιάσεις

Κίρκινος: Η Γεωμετρία στην τέχνη και την επιστήμη
Σπάνια όργανα σχεδίου και μετρήσεως από την ιδιωτική συλλογή του Θανάση Κουτρουβέλη

Μια μοναδική έκθεση σπάνιων επιστημονικών οργάνων σχεδίου και μετρήσεως από την ιδιωτική συλλογή του Θανάση Κουτρουβέλη παρουσιάζεται για πρώτη φορά στην Ελλάδα. Η έκθεση πλαισιώνεται από μία σειρά διαλέξεων/επιστημονικών παρουσιάσεων σχετικά με την ιστορία και φιλοσοφία των μαθηματικών και της αρχιτεκτονικής με σκοπό να αναδειχθούν οι σχέσεις ανάμεσα στην ιστορία των επιστημών και την ιστορία των τεχνών, εστιάζοντας στη γεωμετρία και τον ρόλο της στη σύλληψη και εκτέλεση δημιουργικού σχεδίου.

Σε αυτό το πλαίσιο τα όργανα θα παρουσιαστούν ως η πρακτική εφαρμογή μιας μαθηματικής θεωρίας, με σκοπό να καθοδηγηθεί ο επισκέπτης τόσο στις τεχνικές σχεδίου όσο και στα εικαστικά πρότυπα και τον τρόπο σκέψης σε διάφορους τομείς, όπως η κλασική αρχιτεκτονική.

Η έκθεση και οι παράλληλες εκδηλώσεις διοργανώνονται από το Πρόγραμμα Ιστορίας, Φιλοσοφίας και Διδακτικής των Επιστημών και της Τεχνολογίας του Ινστιτούτου Νεοελληνικών Ερευνών του Εθνικού Ιδρύματος Ερευνών στο πλαίσιο του προγράμματος Hephaestus (“Hellenic Philosophy, History and Environmental Science Teaching Under Scrutiny”) του 7ου Προγράμματος Πλαισίου της Ε.Ε. (RegPot-2008-1).



Επιμέλεια έκθεσης: Δρ Κατερίνα Καρέλλα
Τρίτη 30 Νοεμβρίου 2010
Drawing things together*
Dr Stephen Johnston, Assistant Keeper, Museum of the History of Science, University of Oxford

Το βακτήριον της Γεωμετρίας

Θεοδόσιος Τάσιος, Καθηγητής ΕΜΠ, Πρόεδρος της Εταιρείας Μελέτης Αρχαίας Ελληνικής Τεχνολογίας

* Θα υπάρχει ταυτόχρονη μετάφραση

Τρίτη 7 Δεκεμβρίου 2010
Scientific instruments that aren’t. Some examples from the 20th century*
Girolamo Rammuni, Professeur des Universités, Conservatoire National des Arts et Métiers, Παρίσι

Επιστημονικά όργανα στο Βυζάντιο και τον νεότερο ελληνισμό: Μια παρεξηγημένη υπόθεση

Eυθύμιος Νικολαίδης, Διευθυντής Ερευνών, Ινστιτούτο Νεοελληνικών Ερευνών/ΕΙΕ, Eπιστ. Yπεύθυνος του προγράμματος Hephaestus

* Θα υπάρχει ταυτόχρονη μετάφραση



Τρίτη 14 Δεκεμβρίου 2010

Τα επιστημονικά όργανα στο σχολείο: Παιδαγωγικές δραστηριότητες αξιοποίησης των επιστημονικών οργάνων και της ιστορίας τους

Kώστας Σκορδούλης, Καθηγητής Φυσικής & Επιστημολογίας Φυσικών Επιστημών, Παιδαγωγικό Τμήμα Δημοτικής Εκπαίδευσης, Πανεπιστήμιο Αθηνών

Αρχιτεκτονική σκέψη και γεωμετρικά όργανα

Θανάσης Κουτρουβέλης, αρχιτέκτων



Τρίτη 21 Δεκεμβρίου 2010

Αλλαγές της διάστασης χώρου - χρόνου στις αρχές του αιώνα και σήμερα

Κώστας Βαρώτσος, Γλύπτης, Καθηγητής ΑΠΘ, Τμήμα Αρχιτεκτόνων

Η Γεωμετρική έρευνα στην Ευρώπη τον 18o και 19o αιώνα

Χριστίνα Φίλη, Iστορικός των μαθηματικών, αν. Καθηγήτρια ΕΜΠ, μέλος της Διεθνούς Ακαδημίας Ιστορίας Επιστημών



Η έκθεση υποστηρίχτηκε με εικαστικό υλικό από το Science Museum της Οξφόρδης

Διαδραστικό υλικό και επιστημονικά ντοκιμαντέρ από το αρχείο και σε συνεργασία με το Ίδρυμα Μείζονος Ελληνισμού

Η έκθεση θα λειτουργεί στο ισόγειο του Εθνικού Ιδρύματος Ερευνών

Διάρκεια έκθεσης 30/11/2010 – 30/01/2011

Ώρες λειτουργίας της έκθεσης: καθημερινά 10.00΄ -20.00΄

Σάββατο και Κυριακή 10.00΄ - 14.00΄
Ώρες προβολών: τις ημέρες των εκδηλώσεων (17:30΄-19:00΄)
Χορηγείται βεβαίωση παρακολούθησης στους φοιτητές
Εθνικό Ίδρυμα Ερευνών (ΕΙΕ), Αμφιθέατρο «Λεωνίδας Ζέρβας»
Λεωφόρος Βασιλέως Κωνσταντίνου 48, Αθήνα
στις 19:30΄
Είσοδος Ελεύθερη
Final Circinus Prgm

Τεστ Γεωμετρία Α Λυκείου - Τριγωνική ανισότητα

Γεωμετρία Α΄ Λυκείου - Test(15') στην ενότητα 3.12 - Τριγωνική ανισότητα
2η Γραπτή εξέταση Α-Β ομάδα- Τριγωνική ανισότητα

Μάθημα 4ο - Γ΄ Λυκείου Κατεύθυνσης - Μονοτονία και ακρότατα συνάρτησης

Συνεχίζουμε με το Μάθημα 4 της Γ Λυκείου Μαθηματικά κατεύθυνσης: 'Μονοτονία - Ακρότατα" (νέο: 22/11/2010)
Μάθημα 4ο-Μονοτονία και ακρότατα συνάρτησης-υδατογράφημα

Οι ρητορικοί και δικανικοί λόγοι πάτησαν σε μαθηματικά θεωρήματα - Απόστολος Δοξιάδης

Το γεγονός πως οι ρητορικοί και δικανικοί λόγοι αποτελούν τη βάση πάνω στην οποία πάτησαν τα πρώτα μαθηματικά θεωρήματα, ανέλυσε ο πολύ γνωστός μαθηματικός Α. Δοξιάδης
Η λογική-μαθηματική απόδειξη, η πρώτη και σημαντικότερη συνεισφορά των Ελλήνων στα μαθηματικά, "γεννήθηκε" γύρω στο 430 π.Χ, με απόκλιση το πολύ 20 χρόνων πριν ή μετά από αυτή την χρονολογία. Το σημαντικό αυτό βήμα, που οδήγησε περίπου μετά από περίπου ενάμιση αιώνα στην εμφάνιση της γεωμετρίας του Ευκλείδη με το έργο του "Στοιχεία", συνέπεσε -όχι τυχαία- με άλλες μνημειώδεις εξελίξεις στην πολιτική και την τέχνη εκείνη την εποχή, καθώς η Δημοκρατία "γέννησε" τη Λογική. Ειδικότερα, οι ρητορικοί και δικανικοί λόγοι αποτέλεσαν το πρότυπο με βάση το οποίο δομήθηκαν τα πρώτα μαθηματικά θεωρήματα των αρχαίων Ελλήνων.
Αυτά υποστήριξε ο συγγραφέας και μαθηματικός Απόστολος Δοξιάδης, σε χθεσινοβραδινή ομιλία του με θέμα "Τι βρίσκεται ανάμεσα στον έκτο και τον τέταρτο αιώνα π.Χ.: το πέρασμα στα ελληνικά μαθηματικά", με την οποία εγκαινιάστηκε ο νέος κύκλος ομιλιών με κεντρικό άξονα "Πρόσφατες εξελίξεις στην μελέτη των αρχαίων ελληνικών μαθηματικών", που διοργανώνει το Μουσείο Κυκλαδικής Τέχνης στην Αθήνα. Οι απόψεις του ομιλητή αποτελούν καρπό δεκάχρονης έρευνάς του πάνω στο ζήτημα και έχουν αρχίσει να δημοσιεύονται σε ξένα περιοδικά, όπως το διεπιστημονικό αμερικανικό "Storyworlds".
Κάνοντας μια διεξοδική συγκριτική ανάλυση των αρχαίων λογοτεχνικών κειμένων με τα πρώτα μαθηματικά θεωρήματα και κείμενα, ο Δοξιάδης ανέδειξε τα κοινά σχήματα λόγου και σκέψης που διατρέχουν και τα δύο (χιασμός, κυκλικές συνθέσεις κ.α.), τονίζοντας τις ομοιότητες της λογοτεχνικής αφήγησης και της μαθηματικής λογικής, που παραπέμπουν έτσι σε μια λογοτεχνική "γενεαλογία" της απόδειξης. Όπως είπε, η ποιητική αφήγηση οδήγησε στη ρητορική πειθώ και αυτή κατέληξε στη δόμηση της λογικής και μαθηματικής απόδειξης.
Καθώς η δημοκρατία και η τέχνη (ιδιαίτερα η τραγωδία) άνθιζαν και οι άνθρωποι στην αγορά και στα δικαστήρια της αρχαίας Αθήνας άρχισαν να προσπαθούν να πείσουν με κάθε τρόπο τους γύρω τους για την ορθότητα των απόψεων τους, η ρητορική "πίστις" (η πειθώ) οδήγησε στην απόδειξη στα μαθηματικά. Έτσι, οι Έλληνες -μέσα από τον ρητορικό λόγο και αντίλογο- εφηύραν ένα νέο λογικό και αποδεικτικό τρόπο σκέψης, που έμελλε να χαράξει ανεξίτηλα την κατοπινή ιστορία της επιστήμης.
Η εξέλιξη αυτή διευκολύνθηκε από την εφεύρεση και χρήση του διαβήτη και του κανόνα (χάρακα), αρκετά χρόνια πριν το 430 π.Χ., όπως δείχνουν και τα γεωμετρικά σχέδια πάνω σε αρχαία αγγεία. Τα εργαλεία αυτά επέτρεψαν στους πρώτους μαθηματικούς να πειραματίζονται στην πράξη και να συζητούν μεταξύ τους τις θεωρίες τους.
Ο Δοξιάδης υπογράμμισε ότι δεν ανακάλυψαν οι αρχαίοι Έλληνες τα μαθηματικά, διαλύοντας ένα μύθο που ορισμένοι πιστεύουν, τονίζοντας ότι προϋπήρξαν τα υπολογιστικά μαθηματικά των Αιγυπτίων και αυτοί, με τη σειρά τους, είχαν κατά πάσα πιθανότητα δεχτεί επιρροές από τα μαθηματικά των Βαβυλωνίων. Όπως είπε, ο ίδιος ο Ηρόδοτος παραδέχεται ότι ο Θαλής δεν δημιούργησε τα μαθηματικά, αλλά τα έφερε από την Αίγυπτο, ενώ ανάλογες αναφορές αργότερα κάνει και ο Αριστοτέλης.
Όμως από τον 6ο αιώνα, όταν υπήρχαν ουσιαστικά μόνο τα αιγυπτιακά μαθηματικά, μέχρι τον 4ο αιώνα, λαμβάνει μια χώρα μια αλυσίδα πολιτισμικών εξελίξεων, που οδηγεί τελικά στην ανάδυση των πρωτότυπων ελληνικών μαθηματικών, που αρχικά επικεντρώνονται στη γεωμετρία. Σύμφωνα με τον Δοξιάδη, τα ελληνικά μαθηματικά διαφέρουν από τα αιγυπτιακά σε σημαντικό βαθμό, καθώς έχουν πιο γενική (και όχι απλώς υπολογιστική μορφή), συνήθως περιλαμβάνουν σχήματα στα κείμενα τους και για πρώτη φορά περιέχουν αποδείξεις. Το πρώτο θεώρημα με απόδειξη ήταν ο "τετραγωνισμός των μηνίσκων" του Ιπποκράτη του Χίου, ένα επίτευγμα που καταγράφεται από τον Ρωμαίο Σιμπλίκιο τον 1ο αιώνα μ.Χ.
O Απόστολoς Δοξιάδης, παράλληλα με το πλούσιο συγγραφικό έργο του (με πιο πρόσφατο δημιούργημα το διεθνές μπεστ-σέλερ Logicomix), μελετά εδώ και χρόνια σε θεωρητικό επίπεδο τη σχέση μαθηματικών και αφήγησης. Ήδη ετοιμάζει ένα σχετικό βιβλίο με τίτλο "Από τις ιστορίες στις αποδείξεις".
Ο Δοξιάδης έπαιξε κεντρικό ρόλο στη διοργάνωση του πρώτου διεθνούς συνεδρίου "Μαθηματικά και Αφήγηση" στην Μύκονο το 2005, που σχολιάστηκε από το επιστημονικό περιοδικό Nature ότι "σηματοδότησε το ξεκίνημα μιας επαναπροσέγγισης ανάμεσα στις αποξενωμένες τέχνες των μαθηματικών και της διήγησης ιστοριών". Ακολούθησε μια δεύτερη σχετική συνάντηση στους Δελφούς το 2007, την οποία οργάνωσαν ο Δοξιάδης και ο διεθνής φήμης μαθηματικός Μπάρι Μαζούρ, οι ομιλίες της οποίας θα εκδοθούν σε βιβλίο.
Πηγή: News247.gr

Διαγώνισμα 1ου τετραμήνου Γεωμετρίας Α' Λυκείου για τα τμήματα Α1 και Α2

3 Διαγωνίσματα Γεωμετρίας της Α΄ Λυκείου για το πρώτο τετράμηνο. Πραγματοποιήθηκε στις 16/11/2010 στα τμήματα Α1 και Α2 του 1ου Λυκείου Ζακύνθου, από τον Καθηγητή Μιχαλόπουλο Νίκο.
ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3-ΝΙΚΟΣ ΜΙΧΑΛΟΠΟΥΛΟΣ

Η ύλης της Γ΄ Λυκείου στα Μαθηματικά Κατεύθυνσης

Δίνεται η ανανεωμένη ύλη για το σχολικό έτος 2010 - 11, στα Μαθηματικά Γ Λυκείου - Κατεύθυνσης.
ΕΞΕΤΑΣΤΕΑ ΥΛΗ ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ 2010-2011 - ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ
ΘΕΤΙΚΗΣ - ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ

Από το βιβλίο «Μαθηματικά» της Γ΄ τάξης Γενικού Λυκείου Θετικής και Τεχνολογικής Κατεύθυνσης των Ανδρεαδάκη Στ., κ.ά., έκδοση Ο.Ε.Δ.Β. 2010.

ΜΕΡΟΣ Α

Κεφάλαιο 2: Μιγαδικοί αριθμοί
Παρ. 2.1 Η έννοια του Μιγαδικού Αριθμού.
Παρ. 2.2 Πράξεις στο σύνολο C των Μιγαδικών.
Παρ. 2.3 Μέτρο Μιγαδικού Αριθμού.

ΜΕΡΟΣ Β

Κεφάλαιο 1: Όριο - Συνέχεια συνάρτησης
Παρ. 1.1 Πραγματικοί αριθμοί.
Παρ. 1.2 Συναρτήσεις.
Παρ. 1.3 Μονότονες συναρτήσεις- Αντίστροφη συνάρτηση.
Παρ. 1.4 Όριο συνάρτησης στο Χο
Παρ. 1.5 Ιδιότητες των ορίων, χωρίς τις αποδείξεις της υποπαραγράφου "Τριγωνομετρικά όρια"
Παρ. 1.6 Μη πεπερασμένο όριο στο Χο.
Παρ. 1.7 Όρια συνάρτησης στο άπειρο.
Παρ. 1.8 Συνέχεια συνάρτησης.

Κεφάλαιο 2: Διαφορικός Λογισμός
Παρ. 2.1 Η έννοια της παραγώγου, χωρίς την υποπαράγραφο "Κατακόρυφη εφαπτομένη"
Παρ. 2.2 Παραγωγίσιμες συναρτήσεις- Παράγωγος συνάρτηση.
Παρ. 2.3 Κανόνες παραγώγισης, χωρίς την απόδειξη του θεωρήματος που αναφέρεται στην παράγωγο γινομένου συναρτήσεων.
Παρ. 2.4 Ρυθμός μεταβολής.
Παρ. 2.5 Θεώρημα Μέσης Τιμής Διαφορικού Λογισμού.
Παρ. 2.6 Συνέπειες του Θεωρήματος Μέσης Τιμής.
Παρ. 2.7 Τοπικά ακρότατα συνάρτησης, χωρίς το θεώρημα της σελίδας 264 (κριτήριο της 2ης παραγώγου).
Παρ. 2.8 Κυρτότητα - Σημεία καμπής συνάρτησης. (Θα μελετηθούν μόνο οι συναρτήσεις που είναι δύο, τουλάχιστον, φορές παραγωγίσιμες στο εσωτερικό του πεδίου ορισμού τους).
Παρ. 2.9 Ασύμπτωτες - Κανόνες De l’ Hospital.
Παρ. 2.10 Μελέτη και χάραξη της γραφικής παράστασης μιας συνάρτησης.

Κεφάλαιο 3: Ολοκληρωτικός Λογισμός
Παρ. 3.1 Αόριστο ολοκλήρωμα. (Μόνο η υποπαράγραφος "Αρχική συνάρτηση" που θα συνοδεύτεται από πίνακα παραγουσών συναρτήσεων η οποίος θα περιλαμβάνεται στις διδακτικές οδηγίες)
Παρ. 3.4 Ορισμένο ολοκλήρωμα
Παρ. 3.5. Η συνάρτηση F(x) = ολοκλήρωμα της f(x)dx από α έως χ
Παρ. 3.7 Εμβαδόν επιπέδου χωρίου, χωρίς την εφαρμογή 3 της σελίδας 348.

(Σ.σ. Στην εξεταστέα ύλη 2010-2011 έχει προστεθεί η απόδειξη του θεωρήματος στη σελ.262, έχει υπάρξει η τροποποίηση της υποσημείωσης στην ενότητα 3.1, ενώ έχει αφαιρεθεί η ενότητα 3.2)

Παρατηρήσεις
- Η διδακτέα - εξεταστέα ύλη θα διδαχτεί σύμφωνα με τις οδηγίες του Π.Ι.
- Τα θεωρήματα, οι προτάσεις, οι αποδείξεις και οι ασκήσεις που φέρουν αστερίσκο δε διδάσκονται και δεν εξετάζονται.
- Οι εφαρμογές και τα παραδείγματα των βιβλίων δεν εξετάζονται ούτε ως θεωρία ούτε ως ασκήσεις. Μπορούν, όμως, να χρησιμοποιηθούν ως προτάσεις για τη λύση ασκήσεων ή την απόδειξη άλλων προτάσεων.
- Εξαιρούνται από την εξεταστέα-διδακτέα ύλη οι εφαρμογές και οι ασκήσεις που αναφέρονται σε λογαρίθμους με βάση διαφορετική του e και του 10.

Γενικά η ύλη για όλα τα μαθήματα της Γ Λυκείου δίνεται παρακάτω από το επίσημο έγγραφο του Υπουργείου Παιδείας

Η νέα ύλη Γ Λυκείου 2010-11

Μάθημα 3ο - Γ΄ Λυκείου Κατεύθυνσης - Ισότητα, πράξεις και σύνθεση συναρτήσεων

Σε συνέχεια από το φυλλάδιο Α΄ μέρος Ανάλυσης που είχε τα Μαθήματα 1,2, ακολουθεί το Μάθημα 3 που έχει: Ισότητα, πράξεις και σύνθεση συναρτήσεων.

Ο Ερατοσθένης και η ακτίνα της Γης

Οι αρχαίοι Ελληνες, αντίθετα με όσα πιστεύει ο μέσος πολίτης σήμερα, γνώριζαν από την εποχή του Αριστοτέλη ότι η Γη είναι σφαιρική και όχι επίπεδη. Ο Ερατοσθένης μάλιστα, με ένα πείραμα που έχει μείνει στην Ιστορία, μπόρεσε να μετρήσει την ακτίνα της Γης με ακρίβεια απρόσμενη για τα μέσα της εποχής εκείνης. Οι μεταγενέστεροι αστρονόμοι και γεωγράφοι όμως συντάχθηκαν με την άποψη του Πτολεμαίου ότι η Γη είναι 30% μικρότερη από όσο είχε μετρήσει ο Ερατοσθένης. Το λάθος αυτό παρέμεινε για 15 αιώνες και ήταν η αιτία να αποφασίσει ο Κολόμβος το ταξίδι για την Ινδία, το οποίο κατέληξε στην ανακάλυψη της Αμερικής.
Το πείραμα του Ερατοσθένη βασίστηκε στη μέτρηση του ύψους του Ηλίου την ίδια ημερομηνία σε δύο διαφορετικές τοποθεσίες, καθώς και στην πεποίθηση του μεγάλου έλληνα μαθηματικού ότι ο Ηλιος είναι πολύ μακριά από τη Γη, τόσο ώστε οι ακτίνες του να φθάνουν στον πλανήτη μας σχεδόν παράλληλα. Από διηγήσεις ταξιδιωτών ο Ερατοσθένης έμαθε ότι στις 21 Ιουνίου, την ημέρα του θερινού ηλιοστασίου, ο Ηλιος καθρεφτίζεται στην επιφάνεια του νερού των πηγαδιών της πόλης Συήνης, αυτής που σήμερα οι Αιγύπτιοι ονομάζουν Ασουάν. Από την πληροφορία αυτή ο Ερατοσθένης συμπέρανε ότι η Συήνη βρίσκεται πάνω στον τροπικό του Καρκίνου, δηλαδή στον παράλληλο κύκλο με γεωγραφικό πλάτος 23,5 μοίρες. Το χαρακτηριστικό των τόπων που βρίσκονται στον τροπικό του Καρκίνου είναι ότι το μεσημέρι της 21ης Ιουνίου ο Ηλιος βρίσκεται στο ζενίθ, δηλαδή ακριβώς κατακόρυφα προς τα πάνω. Ετσι οι ακτίνες του διαδίδονται κατά μήκος των κατακόρυφων τοιχωμάτων των πηγαδιών, ανακλώνται στην επιφάνεια του νερού και επιστρέφουν προς την επιφάνεια, κάνοντας ορατό το είδωλό του σε έναν παρατηρητή που κοιτάζει από το στόμιο του πηγαδιού.

Το μεσημέρι της ημέρας του θερινού ηλιοστασίου ο Ερατοσθένης μέτρησε το ύψος του Ηλίου στην πόλη στην οποία κατοικούσε, την Αλεξάνδρεια της Αιγύπτου. Η μέτρηση έγινε με τη βοήθεια ενός οβελίσκου, ο οποίος είναι το αρχαιότερο αστρονομικό όργανο στην ιστορία της επιστήμης. Το μήκος της σκιάς που ρίχνει ο οβελίσκος, διαιρεμένο με το ύψος του οβελίσκου, μας δίνει, όπως μάθαμε στο σχολείο, την εφαπτομένη της γωνίας του ύψους του Ηλίου. Η γωνία αυτή, η οποία από τη μέτρηση του Ερατοσθένη προέκυψε 7,2 μοίρες, είναι ίση (ως «εντός-εκτός και επί τα αυτά», όπως θυμούνται οι παλαιότεροι) με την επίκεντρη γωνία που σχηματίζουν δύο ακτίνες της Γης με άκρα τη Συήνη και την Αλεξάνδρεια, υπό την προϋπόθεση ότι οι δύο πόλεις έχουν το ίδιο γεωγραφικό μήκος, βρίσκονται δηλαδή στον ίδιο μεσημβρινό. Επειδή από τη γεωμετρία γνωρίζουμε ότι η απόσταση των δύο πόλεων, η ακτίνα της Γης και η γωνία που μέτρησε ο Ερατοσθένης συνδέονται με τη σχέση απόσταση/ακτίνα = 6,28x(7,2/360), η ακτίνα της Γης βρίσκεται αμέσως αν γνωρίζουμε την απόσταση των δύο πόλεων. Την εποχή του Ερατοσθένη, περί το 250 π.Χ., δεν υπήρχε ακριβής μέθοδος μέτρησης τόσο μεγάλων αποστάσεων. Σύμφωνα με την παράδοση, ο Ερατοσθένης ανέθεσε σε επαγγελματίες βαδιστές να την υπολογίσουν, και το αποτέλεσμά τους το συνέκρινε με τις εκτιμήσεις αρχηγών καραβανιών. Το τελικό του αποτέλεσμα ήταν ότι η απόσταση Αλεξάνδρειας- Συήνης ισούται με 5.000 στάδια, οπότε η ακτίνα της Γης προκύπτει ίση με 252.000 στάδια.

Για να μπορέσουμε να εκτιμήσουμε την ακρίβεια της μέτρησης του Ερατοσθένη, θα έπρεπε να γνωρίζουμε πόσο είναι το μήκος ενός σταδίου σε μέτρα, καθώς και κατά πόσο αληθεύουν οι δύο υποθέσεις του Ερατοσθένη, δηλαδή ότι η Συήνη έχει γεωγραφικό πλάτος 23,5 μοίρες και ότι Συήνη και Αλεξάνδρεια βρίσκονται στον ίδιο μεσημβρινό. Μια ματιά σε έναν σύγχρονο χάρτη δείχνει ότι και οι δύο υποθέσεις ήταν λανθασμένες, αλλά το λάθος δεν ήταν μεγάλο: το γεωγραφικό πλάτος της Συήνης είναι 24,1 μοίρες, ενώ τα γεωγραφικά μήκη των δύο πόλεων διαφέρουν μόνο κατά μία μοίρα. Επομένως η βασική πηγή σφάλματος είναι το μήκος ενός σταδίου σε μέτρα. Θα έλεγε κανείς ότι έχουν διασωθεί πολλά αρχαία στάδια, οπότε δεν έχουμε παρά να μετρήσουμε πόσο μήκος έχει ένα από αυτά. Δυστυχώς τα στάδια δεν είχαν το ίδιο μήκος σε όλες τις περιοχές της αρχαίας Ελλάδας. Αν υποθέσουμε ότι ο Ερατοσθένης εννοούσε αττικά στάδια των 185 μέτρων, τότε το αποτέλεσμά του δίνει για την ακτίνα της Γης 7.400 χιλιόμετρα, τιμή 16% μεγαλύτερη από την πραγματική. Αν όμως εννοούσε αιγυπτιακά στάδια, πράγμα που είναι και το πιθανότερο, τότε κατά τον Ερατοσθένη η ακτίνα της Γης είναι 6.316 χιλιόμετρα, μόλις 1% μικρότερη από την πραγματική, που σήμερα γνωρίζουμε ότι είναι 6.366 χιλιόμετρα!

Το πείραμα του Ερατοσθένη είχε δημιουργήσει μεγάλη εντύπωση στην εποχή του, και αρκετοί μεταγενέστεροι φυσικοί φιλόσοφοι, όπως ονομάζονταν οι επιστήμονες εκείνη την εποχή, θέλησαν να το επαναλάβουν. Ο πρώτος που γνωρίζουμε, χρονολογικά, ήταν ο Ελληνας Ποσειδώνιος ο Ρόδιος, ο οποίος γύρω στο 100 π.Χ. υπολόγισε την ακτίνα της Γης με διαφορετική μέθοδο από αυτήν του Ερατοσθένη. Υπέθεσε ότι η Αλεξάνδρεια και η Ρόδος είναι στον ίδιο μεσημβρινό και υπολόγισε ότι η επίκεντρη γωνία που σχηματίζουν οι δύο πόλεις είναι 7,5 μοίρες, παρατηρώντας όχι τον Ηλιο αλλά το ύψος του αστέρα Κάνωπου, όπως φαίνεται από τις δύο πόλεις. Υποθέτοντας ότι η απόσταση των δύο πόλεων είναι 5.000 στάδια, κατέληξε σε ένα αποτέλεσμα πρακτικά ίδιο με αυτό του Ερατοσθένη. Μεταγενέστερα όμως αναθεώρησε την εκτίμησή του για την απόσταση Ρόδου- Αλεξάνδρειας σε 3.750 στάδια, οπότε η ακτίνα της Γης προέκυψε ίση με 4.500 χιλιόμετρα, δηλαδή 30% μικρότερη από την πραγματική. Με την τιμή αυτή συμφώνησε στη συνέχεια ο ρωμαίος ναύαρχος και φυσικός φιλόσοφος Πλίνιος, ενώ την καθιέρωσε οριστικά ο έλληνας αστρονόμος Πτολεμαίος αναφέροντάς τη στο βιβλίο του Γεωγραφία.

Τα βιβλία του Πτολεμαίου έχαιραν μεγάλης εκτίμησης μεταξύ των επιστημόνων ως την Αναγέννηση, και αυτό το γεγονός ήταν η αιτία να επικρατήσει τελικά η λανθασμένη τιμή του Ποσειδώνιου για την ακτίνα της Γης. Σε υδρόγειες σφαίρες της εποχής, κατασκευασμένης με βάση αυτήν τη λανθασμένη τιμή, βλέπει κανείς τοποθετημένες την Ευρώπη, την Ασία και την Αφρική να καλύπτουν όλη την επιφάνεια της Γης, χωρίς να υπάρχει διαθέσιμος χώρος για άλλη ήπειρο. Ο Κολόμβος, με βάση παρόμοιους χάρτες, κατέληξε στο συμπέρασμα ότι η Ινδία απείχε από τα Κανάρια Νησιά μόλις 6.300 χιλιόμετρα δυτικά (αντί για τη σωστή 28.000 χιλιόμετρα), οπότε θα μπορούσε να φθάσει σχετικά σύντομα στις Ινδίες ταξιδεύοντας προς δυσμάς. Επομένως θα μπορούσε κανείς να πει ότι το λάθος του Ποσειδώνιου έπαιξε καθοριστικό ρόλο για την ανακάλυψη της Αμερικής από τον Κολόμβο, αφού είναι σχεδόν βέβαιο ότι αν γνώριζε τις πραγματικές διαστάσεις της Γης δεν θα τολμούσε ποτέ να ξεκινήσει για ένα ταξίδι 28.000 χιλιομέτρων με τα πλοία της εποχής.

Πηγή: Το Βήμα (14.11.2010).