Μετάβαση στο κύριο περιεχόμενο

15η Άλυτη άσκηση: Θωμάς ο φούρναρης


Ο φούρναρης Θωμάς, έκλεισε επιτέλους το φούρνο του και πριν πάει για ύπνο, κοιτάζει με τρυφερότητα το ταμείο του. Μετράει και βλέπει ότι έχει 830 ευρώ σε χαρτονομίσματα των 10, 20 και 50 ευρώ. Οι αριθμοί που εκφράζουν το πλήθος των χαρτονομισμάτων κάθε είδους (όχι κατ' ανάγκην έτσι όπως δίνονται, αλλά τυχαία) είναι διαδοχικοί ακέραιοι. Πόσα νομίσματα των 50 ευρώ είχε ο Θωμάς στο ταμείο του;

Σχόλια

  1. Μάκη καλημέρα!
    Μήπως το συνολικό ποσό είναι €840;

    Επίσης όσοι γρίφοι έχουν λυθεί δεν είναι πια άλυτοι. Νομίζω ότι πρέπει να κάνεις μια διόρθωση σε όλους τους γρίφους.

    ΑπάντησηΔιαγραφή
  2. Όχι 830 ευρώ είναι, τα είδα και εγώ!

    Τις ονομάζω άλυτες, αφού δεν επισυνάπτεται μαζί με την εκφώνηση και η λύση. Οι λύσεις σας είναι μια ευγενική προσφορά που δεν την είχα - έχω ως δεδομένο!

    Ευχαριστώ για την συμμετοχή σας (και δω και μέσω e-mail)!

    ΑπάντησηΔιαγραφή
  3. Τότε οι διαδοχικοί ακέραιοι αριθμοί θα πρέπει να είναι δεκαδικοί η κάποιος από αυτους.)

    ΑπάντησηΔιαγραφή
  4. Όχι είναι μια χαρά!

    Μήπως δεν έγινε κατανοητό πως αντιστοιχίζονται οι διαδοχικοί ακέραιοι με το πλήθος των χαρτονομισμάτων;

    Δεν πάει να πει ότι είναι διαδοχικοί ακέραιοι με την σειρά που δίνονται, δηλαδή το πλήθος των χαρτονομισμάτων των 10 ευρώ είναι χ, των 20 ευρώ είναι χ +1 και των 50 ευρώ είναι χ +3, αλλά είναι διαδοχικοί ακέραιοι χωρίς να γνωρίζουμε ποιος είναι πρώτος και ποιος τελευταίος. Δηλαδή τυχαία...

    Ελπίζω να έγινα κατανοητός, αλλιώς θα δώσω την απάντηση και όχι την λύση για να πείσω ότι γίνεται...

    ΑπάντησηΔιαγραφή
  5. Τώρα το τοποθέτησες σωστά το ζητούμενο. Διότι κι' εγώ αυτό σκέφθηκα. Μήπως θα έπρεπε να συμπληρώσεις το γρίφο με τη φράση:
    "...χωρίς να γνωρίζουμε ποιος είναι πρώτος και ποιος τελευταίος. Δηλαδή τυχαία...",ώστε να μην αντιμετωπίσει το ίδιο πρόβλημα, όπως εγώ;

    ΑπάντησηΔιαγραφή
  6. Αφού μπερδεύει θα το ρετουσάρω όσο γίνεται... κανονικά δεν έπρεπε να το πάρεις ως δεδομένο αφού δεν αναφέρει κάτι τέτοιο, απλά εμείς το λαμβάνουμε ως λογικό

    ΑπάντησηΔιαγραφή
  7. Μπορείς να μου πεις ποιο είναι το σύνολο των τριών τυχαίων διαδοχικών αριθμών;

    ΑπάντησηΔιαγραφή
  8. Το πλήθος των χαρτονομισμάτων, δηλαδή του 10, 20 και 50 ευρώ. Αυτά είναι διαδοχικοί αριθμοί, με τυχαία σειρά.

    ΑπάντησηΔιαγραφή
  9. Ο Θωμάς στο ταμείο του είχε:
    €10*13 = €130
    €20*20 = €400
    €50*6 = €300
    Σύνολο: €830

    ΑπάντησηΔιαγραφή
  10. Μα το 6, 13, 20 δεν είναι διαδοχικοί ακέραιοι αριθμοί!

    Δίνω την λύση, όχι την απάντηση για να βοηθήσω...

    Τελικά ο Θωμάς έχει στο ταμείο του:
    10 χαρτονομίσματα των 10 ευρώ
    9 χαρτονομίσματα των 20 ευρώ
    11 χαρτονομίσματα των 50 ευρώ

    άρα συνολικά: 10*10 + 9*20 + 11*50
    = 830 ευρώ.

    ΑπάντησηΔιαγραφή
  11. Τελικά Μάκη με μπέρδεψες και δεν μπόρεσα να λύσω το γρίφο που ήταν πολύ εύκολος. όταν σου ζήτησα το σύνολο των τυχαίων διαδοχικών αριθμών η απάντηση σου ήταν αόριστη και δε με βοήθησε καθόλου. Ζητούσα να μου πεις τον αριθμό 30, τον οποίο κανονικά έπρεπε να το αναφέρεις στο πρόβλημα σαν δεδομένο.

    ΑπάντησηΔιαγραφή
  12. Ποιος είναι ο αριθμός 30; Μάλλον με μπέρδεψες και εσύ!

    Το πρόβλημα έτσι το βρήκα και έτσι το παρουσίασα, καμιά φορά η δυσκολία στο προβλήματος έγκειται και στην κατανόησή του, είμαι μέρος του προβλήματος.

    Πάντως το quiz δεν έχει λυθεί ακόμα, μόνο την απάντηση έδωσα...

    ΑπάντησηΔιαγραφή
  13. To 30 προκύπτει απο το άθροισμα του πλήθους των χαρτονομισμάτων ήτοι: 10+9+11=30
    Σου παραθέτω τη λύση:
    Είχε 11 χαρτονομίσματα των €50, δηλαδή, €550. Έστω «α» το πλήθος των χαρτονομισμάτων των €10, «β» το πλήθος των χαρτονομισμάτων των €20, και «γ» το πλήθος των χαρτονομισμάτων των €50. Βάση των δεδομένων της εκφώνησης του προβλήματος έχουμε:
    α+β+γ =30 (1)
    10α+20β+50γ=830 (2)
    Από την (1) συνάγουμε ότι:
    α+β+γ =30 --> α=30-(β+γ)(3)
    Αντικαθιστούμε τη (3) στη (2) κι’ έχουμε:
    10α+20β+50γ=830 -->
    10(30-β-γ)+20β+50γ=830 --> 300-10β-10γ+20β+50γ=830 -->
    10β+40γ=830-300 -->
    10(β+4γ)=530 --> β+4γ=530/10 --> β+4γ=53 --> 4γ=53-β -->
    γ=(53-β)/4(4)
    Διερεύνηση:
    Λύνουμε τον ένα άγνωστο συναρτήσει του άλλου και κάνουμε την διερεύνηση των ακέραιων ριζών. Δίνοντας στο "β" τις τιμές από το 1 έως το 9, βλέπουμε ότι η μονα-
    δική τιμή που ικανοποιεί τη συνθήκη και δίνει ακέραιο αριθμό "γ" είναι ο αριθμός β = 9
    Αντικαθιστούμε τη τιμή του «β» στη (4) κι’ έχουμε:
    γ=(53-β)/4 --> γ=(53-9)/4 --> γ=44/4 --> γ = 11 (5)
    Αντικαθιστούμε τις τιμές «β» και «γ» στη (3) κι’ έχουμε:
    α=30-(β+γ) --> α=30-(9+11) -->
    α = 30-20 --> α = 10 (6)
    Επαλήθευση:
    α+β+γ =30 --> 10+9+11 = 30
    10α+20β+50γ=830 -->
    (10*10)+(20*9)+(50*11) = 830 --> 100+180+550 = 830 ο.ε.δ.

    ΑπάντησηΔιαγραφή
  14. Ααα τώρα κατάλαβα την ερώτησή σου!

    Άψογη λύση! Ευχαριστώ

    ΑπάντησηΔιαγραφή
  15. ΔΗΜΗΤΡΗΣ ΓΡΑΤΣΙΑΣ15 Φεβ 2013, 1:40:00 μ.μ.

    Γειά σας και συγχαρητήρια για το site και την όλη προσπάθεια! Eίμαι καινούριος στο site και το γρίφο τον είδα χθες πρώτη φορά. Κατά τη γνώμη μου δε χρειάζεται να γνωρίζουμε το άθροισμα των διαδοχικών αριθμών.Απ' τα δεδομένα ξέρουμε ότι οι αριθμοί θα είναι διαδοχικοί θετικοί ακέραιοι άρα θα είναι της μορφής
    x , x+1, x+2 ή x-1, x, x+1 κ.ο.κ .
    Ας πάρουμε την περίπτωση που έχουμε x , x+1, x+2 με x θετικό ακέραιο.
    Φυσικά δε γνωρίζουμε με ποιό αριθμό (χαρτονόμισμα) πολλαπλασιάζεται ο καθένας.
    Ας γράψουμε λοιπόν το πρόβλημα λίγο διαφορετικά.Ουσιαστικά μας δίνεται: (1) (x+α)10+(x+β)20+(x+γ)50=830 με α,β,γ φυσικούς αριθμούς, α+β+γ=3 και α≠β, α≠γ, β≠γ
    ή διαφορετικά α,β,γ ανήκουν στο ({0},{1},{2}) με α≠β, α≠γ, β≠γ.
    Μ’ αυτόν τον τρόπο διασφαλίζουμε την τυχαία σειρά.
    Οπότε διαιρούμε τα δύο μέλη της εξίσωσης (1) με 10 ,κάνουμε πράξεις και έχουμε:
    8x+α+2β+5γ=83 .Ξέρουμε ότι α+β+γ=3 άρα
    8x+β+4γ=80
    x=(80–β-4γ)/8.
    Έχουμε τις εξής περιπτώσεις : (a) β=0 και γ=1 ή γ=2 , (b) β=1 και γ=0 ή γ=2 (c) β=2 και γ=0 ή γ=1.
    Κάνοντας τις αντικαταστάσεις βλέπουμε ότι η μοναδική περίπτωση για την οποία το x είναι θετικός ακέραιος όπως ορίσαμε είναι για
    β=0 και γ=2 ,άρα α=1
    όπου έχουμε x=72/8 =9.
    Επαληθεύουμε θέτοντας x=9 και α=1, β=0, γ=2
    Άρα 10*10+9*20+11*50=830 που ισχύει.
    Οπότε η λύση του γρίφου μας θα είναι ο αριθμός x+γ όπως τον ορίσαμε με x+γ=9+2=11 χαρτονομίσματα των 50 ευρώ.
    Τώρα θα πει κάποιος ότι θα μπορούσαμε απλώς να αλλάξουμε σειρά στα x , x+1, x+2 και να βρούμε το ίδιο αποτέλεσμα.Ναι, αλλά έτσι θα
    Χρειαζόταν να επιλύσουμε 1 έως 6 διαφορετικές εξισώσεις ενώ με αυτόν τον τρόπο κάναμε απλά 1 έως 6 αντικαταστάσεις των β και γ, οπότε αυτός ο τρόπος λύσης είναι ταχύτερος υπολογιστικά.Γράφω 1-6 διότι έχουμε πρωτοβάθμια εξίσωση με ένα άγνωστο άρα βάσει του πώς ορίσαμε τα x,α,β,γ όποιος x θετικός ακέραιος αποτελεί λύση θα αποτελεί και τη μοναδική μας λύση.

    ΑπάντησηΔιαγραφή
  16. εστω χ-1,χ χ+1 οι τρεις διαδοχιλοι ακεραιοι .Εάν χ-1 είναι τα 20 ,χ τα 10 καιχ+1 τα 50 θα εχω. (χ-1)20+χ10+(χ+1)50=830 αρα 80χ=800 αρα χ=10 αρα τα 50 είναι 11

    ΑπάντησηΔιαγραφή
  17. οι άλλοι συνδιασμοι δεν δινουν χ ακεραιο

    ΑπάντησηΔιαγραφή
    Απαντήσεις
    1. Συγχαρητήρια φίλε μου!! Κρίμα που δεν υπογράφεις τη θαυμάσια λύση σου

      Διαγραφή

Δημοσίευση σχολίου

Εκτιμάμε τους ανθρώπους που σέβονται τους συνομιλητές τους και διδάσκουν ήθος από τα πληκτρολόγιά τους.

Το lisari είναι χώρος που ενώνει φωνές, κάνει τις διαφορετικές δυνάμεις ομόρροπες.

Είναι εδώ για να ενώσει τους μαθηματικούς και να εκφραστούν μέσα από ένα μέσο. Επομένως, οι αντεγκλήσεις και οι προσβολές δεν μας τιμούν και δεν βοηθούν το σκοπό του εγχειρήματος.

Σας ευχαριστούμε για τη συμμετοχή και το ήθος σας!

Μάκης Χατζόπουλος

Δημοφιλείς αναρτήσεις από αυτό το ιστολόγιο

71 νέα θέματα (προβλήματα) προστέθηκαν στην Τράπεζα Θεμάτων Άλγεβρα Α΄ Λυκείου

Όπως είχε προαναγγείλει η Υπουργός Παιδείας, στις 24/9/2025 προστέθηκαν 71 νέα θέματα στην Τράπεζα Θεμάτων στο μάθημα της Άλγεβρας Α΄ Γενικού Λυκείου.  Τα συνολικά θέματα της Άλγεβρας Α΄ Λυκείου που έχουν αναρτηθεί στην Τράπεζα θεμάτων είναι 469. Τα θέματα είναι προβλήματα και θυμίζουν το στυλ του Ι.Β.  Δείτε τα 71 θέματα  πατώντας εδώ (τράπεζα θεμάτων από το επίσημο site του Ι.Ε.Π.). Για να κατεβάσετε όλα τα νέα αρχεία σε word (εκφωνήσεις) με ένα κλικ πατήστε εδώ.  Επιμέλεια : Ιορδάνης Κοσόγλου (lisari team) Για να κατεβάσετε όλα τα νέα αρχεία σε word (+ απαντήσεις) με ένα κλικ πατήστε εδώ.  Επιμέλεια : Τάκης Τσακαλάκος (lisari team) Σχολιασμός Ένας πρώτος σχολιασμός:  1) Αλλάζει το στυλ και το ύφος των θεμάτων της Τράπεζας θεμάτων... γιατί;  2) Ποιος έχει την ευθύνη των θεμάτων; Στα προηγούμενα γνωρίζουμε ποιοι ήταν θεματοδότες. Δεν έγινε από το Ι.Ε.Π. ποτέ ανοικτή πρόσκληση προς ενδιαφερόμενους.  3) Δεν είναι μετρήσιμα τα θέματα... πώς θα βαθ...

Μαθηματικά Α' Γυμνασίου: Φύλλα εργασίας στο 1ο κεφάλαιο

126.243  κλικ, 20 σχόλια και συνεχίζει να μονοπωλεί το ενδιαφέρον σας! Ένα φυλλάδιο που είχα παρουσιάσει στους μαθητές του 6ου Γυμνάσιου Ιλίου περίπου πριν δεκατέσσερα χρόνια (2008) παρόλα αυτά στην αρχή κάθε σχολικής χρονιάς το αρχείο αυτό είναι πρώτο στις εμφανίσεις! Ένα αρχείο που το αγαπήσατε! Το ανανεώσαμε λίγο και το αναρτούμε εκ νέου. Παρουσιάζει το πρώτο κεφάλαιο της Α΄ τάξης με θεωρία και ασκήσεις. Περιέχει 13 υποδειγματικά φύλλα εργασίας που θα τα αγαπήσουν οι μαθητές! Τελευταία ενημέρωση: 20/9/2022 Για απευθείας αποθήκευση πατήστε εδώ. Κεφάλαιο 1ο - Φύλλα εργασίας 1 μέχρι 13 from Μάκης Χατζόπουλος

Νέες οδηγίες διδασκαλίας Μαθηματικών για όλες τις τάξεις Γυμνασίου σχολικό έτος 2025 - 26

 Δείτε τις νέες οδηγίες διδασκαλίας που μοιράστηκαν στα σχολεία το Υπουργείο Παιδείας για το σχολικό έτος 2025 - 26 στα Γυμνάσια. Οι οδηγίες έχουν αλλάξει αρκετά από τις περσινές οπότε πρέπει όλοι οι καθηγητές που διδάσκουν στα Γυμνάσια να τις προσέξουν - διαβάσουν. Για ευκολία των εκπαιδευτικών, αναρτούμε παράλληλα και ένα αρχείο excel σε κάθε τάξη με τις αλλαγές που παρατηρήθηκαν από τις περσινές οδηγίες διδασκαλίας ( 2024 - 25 ).  Αποκλειστικά από το lisari.blogspot.com .  Τμήμα Οδηγίες διδασκαλίας 2025 – 26 Οδηγίες διδασκαλίας 2024 - 25 Αλλαγές από τις περσινές οδηγίες Α΄ Γυμνασίου Μαθηματικά Μαθηματικά EXCEL Β΄ Γυμνασίου Μαθηματικά Μαθηματικά EXCEL Γ ΄ Γυμνασίου Μαθηματικά Μαθηματικά EXCEL Ερωτήματα  αναγνωστών 1) Ποιοι επιμελήθηκαν τις αλλαγές; Το Ι.Ε.Π.;  2) Τι σημαίνει η νέα...