του αριθμού 72011
Η λύση όπως και η μεθοδολογία αυτού του είδους των ασκήσεων, θα δοθεί σε σύντομο διάστημα.
Όποιος ενδιαφέρεται να δώσει λύση πρέπει να είναι απλή, κατανοητή και όσο γίνεται αναλυτική (η δυσκολία χρήσης Latex στα σχόλια είναι κατανοητή)!
Δείτε στα σχόλια 3 όμορφες λύσεις! Ξεχωρίζει η λύση του Γιάννη Φιορεντίνου με στοιχεία - γνώσεις Φυσικής!
Η πηγή άρα και η έμπνευση της άσκησης είναι η ανάρτηση που βρήκα εδώ, http://papaveri48.blogspot.com/2011/06/blog-post_24.html και μετά από ερωτήσεις του Carlo (papaveri) να εξηγήσω την ίδια άσκηση με εκθέτη το 2011 (δείτε σχόλια http://lisari.blogspot.com/2011/09/blog-post_08.html) δημιούργησε αυτό το θέμα!
Σε ευχαριστούμε Carlo!
Έχουμε :
ΑπάντησηΔιαγραφή7^2=-1(mod10)
7^2006=-1(mod10)
7^2007=3(mod10)
7^2011=3(mod10)
Άρα το τελευταίο ψηφίο είναι 3.
Έχουμε:
ΑπάντησηΔιαγραφή7^1=7 (τελευταίο ψηφίο 7)
7^2=49 (τελευταίο ψηφίο 9)
7^3=343 (τελευταίο ψηφίο 3)
7^4=2401 (τελευταίο ψηφίο 1)
7^5=16807 (τελευταίο ψηφίο 7)
...κλπ
Παρατηρούμε μια "περιοδικότητα" με περίοδο 4 στην εμφάνιση του τελευταίου ψηφίου. (Το τελευταίο ψηφίο οιασδήποτε δύναμης μπορεί να είναι-διαδοχικά- κάποιος από τους αριθμούς 7,9,3 και 1, ξεκινώντας από το 7^1=7).
Έτσι λοιπόν, και επειδή 2011/4
δίνει πηλίκο 502 και υπόλοιπο 3, το τελευταίο ψηφίο θα είναι το 3.
Ή (πιο φορμαλιστικά):
2011=3(mod4)
Ο αριθμός 7^2011 έχει 1700 ψηφία!
(Απλά από περιέργεια "ρώτησα" το Mathematica).
Και κοίτα "σύμπτωση" Μάκη:
ΑπάντησηΔιαγραφή2011=3(mod4) και επίσης:
7^2011=3(mod10).
Μα η αρχή του Heizenberg δεν απαγορεύει τις συμπτώσεις;
ΑπάντησηΔιαγραφήΦίλε MichailidisK,
ΑπάντησηΔιαγραφήέγραψα το δεύτερο σχόλιο, επειδή θεώρησα ότι η πρώτη μου απάντηση ίσως δεν ήταν καταφανής για όλους τους αναγνώστες, λόγω του (κοινού) αποτελέσματος 3. Τώρα που το ξαναβλέπω όμως μοιάζει σαν να υπαινίσσομαι κάτι για τη λύση σου. Ζητώ συγνώμη.
Τελικά η εικόνα που έβαλα δεν ήταν τυχαία!
ΑπάντησηΔιαγραφήΕυχαριστώ και τους δύο φίλους, άριστες λύσεις, απλά του Γιάννη είναι κατανοητή και στον μαθητή του Γυμνασίου!
Heizenberg; Αρχή της απροσδιοριστίας;
@ Χατζόπουλος Μάκης
ΑπάντησηΔιαγραφήΜάκη σ' ευχαριστώ. Χαίρομαι που έγινα η αιτία να δημιουργηθεί μια τόσο ωραία ανάπτυξη σ' ένα θέμα μαθηματικό που ωφελήθηκα πολύ μαθαίνοντας το πως λύνονται αυτού του είδους οι ασκήσεις.