Να προσδιορίσετε τους πρώτους θετικούς ακεραίους p και q που ικανοποιούν την εξίσωση:
p4 + p3 + p2 + p = q2 + q
Πρόβλημα 2
Θεωρούμε πίνακα Π σχήματος ορθογωνίου με διαστάσεις 10cm και 11cm. O πίνακας υποδιαιρείται με ευθείες παράλληλες προς τις πλευρές του σε 110 τετράγωνα πλευράς 1cm. Διαθέτουμε πλακάκια σχήματος σταυρού, που αποτελούνται από 6 τετράγωνα πλευράς 1cm, όπως δίνονται στο παρακάτω σχήμα. Να προσδιορίσετε το μέγιστο αριθμό πλακιδίων που μπορούμε να τοποθετήσουμε στον πίνακα Π, έτσι ώστε να μην έχουν επικαλύψεις μεταξύ τους και κάθε πλακίδιο να επικαλύπτει 6 ακριβώς τετράγωνα του πίνακα.
Πρόβλημα 3
Να βρεθούν οι συναρτήσεις f, g: Q → Q για τις οποίες ισχύουν οι σχέσεις:
Να βρεθούν οι συναρτήσεις f, g: Q → Q για τις οποίες ισχύουν οι σχέσεις:
f(g(x) - g(y)) = f ( g(x) ) - y(1)
g(f(x) - f(y) ) = g(f(x)) - y(1)
για κάθε x, y ∈ Q
Πρόβλημα 4
Δίνεται τετράπλευρο ABCD εγγεγραμμένο σε κύκλο C ( O, R) και έστω K,L,M,N,S,T τα μέσα των AB, BC, CD, AD, AC και BD αντίστοιχα. Να αποδείξετε ότι τα κέντρα των περιγεγραμμένων κύκλων των τριγώνων KLS, LMT, MNS, και NKT ορίζουν εγγράψιμο τετράπλευρο όμοιο προς το ABCD.
Δίνεται τετράπλευρο ABCD εγγεγραμμένο σε κύκλο C ( O, R) και έστω K,L,M,N,S,T τα μέσα των AB, BC, CD, AD, AC και BD αντίστοιχα. Να αποδείξετε ότι τα κέντρα των περιγεγραμμένων κύκλων των τριγώνων KLS, LMT, MNS, και NKT ορίζουν εγγράψιμο τετράπλευρο όμοιο προς το ABCD.
Σχόλια και περιγραφή των λύσεων μπορείτε να δείτε εδώ
Σχόλια
Δημοσίευση σχολίου
Εκτιμάμε τους ανθρώπους που σέβονται τους συνομιλητές τους και διδάσκουν ήθος από τα πληκτρολόγιά τους.
Το lisari είναι χώρος που ενώνει φωνές, κάνει τις διαφορετικές δυνάμεις ομόρροπες.
Είναι εδώ για να ενώσει τους μαθηματικούς και να εκφραστούν μέσα από ένα μέσο. Επομένως, οι αντεγκλήσεις και οι προσβολές δεν μας τιμούν και δεν βοηθούν το σκοπό του εγχειρήματος.
Σας ευχαριστούμε για τη συμμετοχή και το ήθος σας!
Μάκης Χατζόπουλος