Επιστροφή στην δραχμή!

Ο Carlo αγόρασε 120 στυλό συνολικής αξίας 120 ευρώ από τις εξής κατηγορίες:

* Οι Bic κοστίζουν 0,50 € (ή δραχμές το ίδιο θα είναι αν γυρίσουμε στην δραχμή, η ισοτιμία αυτή θα είναι)

* Οι Pilot κοστίζουν 2 € 
* Oι Parker κοστίζουν 3 €

Πόσα αντικείμενα αγόρασε ο Carlo από κάθε είδος χωριστά; Η λύση είναι μοναδική; Να γίνει πλήρη ανάλυση και δικαιολόγηση της απάντησή σας.

Σημείωση: Το πρόβλημα λύνεται και με δραχμές αντί ευρώ €, έτσι γίνεται και πιο επίκαιρο!

Ιστορικά σχόλια (από τον papaveri48) 
Το πρόβλημα αυτό ανάγεται στη κατηγορία "Προβλήματα των 100 Πτηνών" του 13ου αιώνα. Με αυτού του είδους τα προβλήματα ασχολήθηκε ο Leonardo (di Pisa) Fibonacci (1170-1230) στο βιβλίο του «Liber Abbaci = Βιβλίο Άβακος=Εγχειρίδιο Αριθμητικής,1202, β΄ έκδοση,1228, αποτελούμενο από 15 κεφάλαια». Δείτε την ανάρτηση: "To Πρόβλημα Των Πτηνών"

Πηγή: http://papaveri48.blogspot.com

Λύση
Τελικά η λύση δεν είναι μοναδική, αλλά υπάρχουν 7 λύσεις, δείτε αναλυτικά παρακάτω.

Έχουμε, έστω
x: προϊόντα των 2 €
y: προϊόντα των 3 €
z: προϊόντα των 0,50 €

Οπότε:
x+y+z = 120   (1)
2x+3y+0,5z = 120 (2)

Από το σύστημα (1) και (2) παίρνουμε αν απαλείψουμε το  z

3x+ 5y = 120  (3)

όμως 3x = 120 – 5y  δηλαδή  3x = 5(24 – y)  

άρα x = πολ5 = 5κ, (4) όπου κ φυσικός αριθμός (διάφορος του μηδενός)

Επίσης από την (3) έχουμε,

5y = 120 – 3x δηλαδή  5y = 3(40 – x)  

άρα y = πολ3 = 3λ, (5) όπου λ φυσικός αριθμός (διάφορος του μηδενός)

Άρα η σχέση (3) γίνεται:

3x+ 5y = 120  δηλαδή 15κ + 15λ = 120 άρα κ + λ =8, οπότε τα πιθανά ζευγάρια λύσεων (κ, λ) είναι:

(1,7), (2,6), (3,5), (4,4), (5,3), (6,2), (7,1)

τα ζευγάρια (8,0) και (0,8) απορρίπτονται αφού ο Carlo αγόρασε από όλα τα προϊόντα.

1η λύση: (κ, λ)=(1,7) έχουμε από τις σχέσεις (4) και (5):  x = 5, y = 21 , z = 120 – 5 – 21 = 94

2η λύση: (κ, λ)=(2,6) έχουμε από τις σχέσεις (4) και (5): x = 10, y = 18 ,z = 120 – 10  – 18 =92

3η λύση: (κ, λ)=(3,5) έχουμε από τις σχέσεις (4) και (5):  x = 15, y = 15 , z=120 – 15 – 15 = 90

4η λύση: (κ, λ)=(4,4) έχουμε από τις σχέσεις (4) και (5):  x = 20, y = 12 , z = 88

5η λύση: (κ, λ)=(5,3) έχουμε από τις σχέσεις (4) και (5):  x = 25, y =9 , z = 86

6η λύση: (κ, λ)=(6,2) έχουμε από τις σχέσεις (4) και (5):  x = 30, y = 6 , z = 84

7η λύση: (κ, λ)=(7,1) έχουμε από τις σχέσεις (4) και (5):  x = 35, y = 3 , z = 82