Εισαγωγή στον προγραμματισμό - Συστήματα Αρίθμησης

Σκοπός του παρακάτω κεφαλαίου είναι να εξηγήσει πώς παριστάνονται οι πληροφορίες από τον
υπολογιστή με τη μορφή 0 και 1.

Όταν ολοκληρώσετε το κεφάλαιο αυτό (νούμερο 2), θα μπορείτε:
♦ Να χρησιμοποιείτε διάφορα συστήματα αρίθμησης και να μετατρέπετε αριθμούς από το ένα στο
άλλο.
♦ Να κάνετε πράξεις στο δυαδικό σύστημα με ακέραιους και κλασματικούς αριθμούς, θετικούς και
αρνητικούς.
♦ Να περιγράφετε τις διάφορες τεχνικές συμπίεσης των δεδομένων.
♦ Να εξηγείτε πώς παριστάνονται ο ήχος, η εικόνα και το video με 0 και 1.


Πολύ σημαντικό για τα Μαθηματικά είναι το πρώτο μέρος, η μετατροπή διαφόρων συστημάτων από την μία μορφή στην άλλη.

Γνωρίζεται ότι κάθε αριθμός Ν μπορεί να γραφεί με την ακόλουθη μορφή:
 \[N=\sum\limits_{i = - n}^{m - 1}{{a_i}{b^i}}=\underbrace{{a_{m - 1}} \cdot {b^{m - 1}} + {a_{m - 2}} \cdot {b^{m - 2}} + .+ {a_1} \cdot {b^1} + {a_0} \cdot {b^0}}_{\left( * \right)} + \underbrace {{a_{ - 1}} \cdot {b^{-1}} +{a_{ - 12}} \cdot {b^{ - 2}} + .+ {a_{ - n}} \cdot {b^{ - n}}}_{(**)}\],όπου (*) το ακέραιο μέρος του αριθμού και (**) κλασματικό μέρος του αριθμού

Με  a_i συμβολίζουμε τα ψηφία του αριθμού και με β παριστάνουμε τη βάση του αριθμητικού συστήματος στο οποίο εκφράζεται ο αριθμός. Το ψηφίο a_i πολλαπλασιάζεται με τον αριθμό b_i γι’ αυτό λέμε ότι η τάξη (order) του ψηφίου a_i είναι i. Το κλασματικό τμήμα του αριθμού (**) είναι αυτό μετά την υποδιαστολή και είναι μικρότερο του 1. Αν ο αριθμός N έχει m ακέραια ψηφία, οι εκθέτες i παίρνουν τιμές από 0 έως m-1 για το ακέραιο μέρος του και αν τα κλασματικά του ψηφία είναι n, οι εκθέτες i παίρνουν αρνητικές τιμές από -1 έως -n για το κλασματικό του τμήμα.

Για παράδειγμα
Ο δεκαδικός αριθμός 19,278 με τον τρόπο αυτό γράφεται ως εξής:
\[\underbrace {1 \cdot {{10}^1} + 9 \cdot {{10}^0}}_{\left( * \right)} + \underbrace {2 \cdot {{10}^{ - 1}} + 7 \cdot {{10}^{ - 2}} + 8 \cdot {{10}^{ - 3}}}_{\left( {**} \right)}\]
Συμπέρασμα
Ένα αριθμητικό σύστημα με βάση β χρειάζεται β διαφορετικά «ψηφία» για την παράσταση των αριθμών, που παίρνουν τις τιμές από 0 έως β - 1. Ένας φυσικός αριθμός που έχει m ψηφία, στο σύστημα αυτό μπορεί να πάρει τιμές από 0 έως   b^m -1 δηλαδή b^m διαφορετικές τιμές.