Ένα όμορφο πρόβλημα Μαθηματικών, που χρειάζονται γνώσεις παραπάνω από τις Λυκειακές και συνοχή σκέψης, είναι το επόμενο:
Ένας σουλτάνος, θέλοντας να δοκιμάσει τους δύο πιο σοφούς μαθηματικούς του βασιλείου του, τους καλεί και ανακοινώνει ταυτόχρονα και στους δυο τα εξής:"Θέλω να μαντέψετε δυο ακέραιους αριθμούς,οι οποίοι είναι μεγαλύτεροι της μονάδας και το άθροισμα τους ειναι μικρότερο του 60. Στον έναν απο σας θα πω - μυστικά απο τον άλλον - το άθροισμα των δυο αριθμών και στον άλλον - επίσης μυστικά - το γινόμενο τους".
Πράγματι, λέει στον έναν (ας τον ονομάσουμε Α) το άθροισμα των δυο αριθμών και στον δεύτερο (ας τον ονομάσουμε Β) το γινόμενο τους. Κατόπιν ο σουλτάνος απομονώνει τους δυο μαθηματικούς έτσι ώστε να είναι αδύνατη κάθε επαφή μεταξύ τους και τους δίνει προθεσμία για να βρουν τη λύση του προβλήματος.Με βάση τις παραπάνω δηλώσεις, εξηγήστε και δικαιολογήστε:
Στην καθορισμένη ημέρα,οι δυο σοφοί εμφανίζονται μπροστά στο σουλτάνο και κάνουν κατα σειρά τις εξής δηλώσεις:
Β: "Δε γνωρίζω ποιοι είναι οι δυο αριθμοί".Α: "Το γνώριζα ότι δε γνωρίζεις, αλλά ούτε κι εγώ γνωρίζω".Β: (αφού σκέφτεται λίγο): "Τότε εγώ τους βρήκα".Α: (αφού σκέφτεται κι αυτός λίγο): "Τότε κι εγώ τους βρήκα".
α) Γίνεται και οι δύο αριθμοί να είναι πρώτοι;
β) Το άθροισμα των ζητούμενων αριθμών μπορεί να γραφτεί ως άθροισμα πρώτων;
γ) Οι υποψήφιοι αριθμοί είναι άριοι ή περιττοί; Ποιας μορφής θα είναι;
δ) Να βρεθούν οι δυο ακέραιοι αριθμοί.
Να λυθεί το ίδιο πρόβλημα αν :
Αν οι αριθμοί που τους ζητάει να μαντέψουν ο σουλτάνος δεν είναι μεγαλύτεροι του ένα αλλά θετικοί ακέραιοι και η συζήτησή τους έχει ως εξής:
Α:Δεν ξερω ποιοι είναι οι δύο αριθμοίΒ:Ούτε εγώ ξέρω ποιοι είναι οι δύο αριθμοίΑ:Τώρα εγώ ξέρωΒ:Τώρα ξέρω και εγώ
Τι αλλάζει στην όλη διαδικασία?
2≤χ≤ψ≤57 (1)
ΑπάντησηΔιαγραφή3≤s≤59 (2)
κατ αρχην το γινομενο Ρ=χψ δεν παραγοντοποιειται σε γινομενο δυο αριθμων που ικανοποιουν τις (1) και (2). (3)
(Goldbach)
οποτε, με καθε τροπο που αναλυουμε το s που ικανοποιει την (1), το γινομενο θα πρεπει να εχει την ιδιοτητα (3). (4)
καθε αρτιος ομως απο 2,4,6,8,....,58 μπορει να γραφει ως αθροισμα δυο πρωτων. Αρα το s ειναι περιττο. Ακομη το s-2 ειναι ειναι
συνθετος αριθμος.
Απο την (4) περιοριζουμε το αθροισμα μικροτερο του 55, s<55 (5)
(γιατι αλλιως θα ικανοποιουνταν η (1), αλλα οχι η (3))
Αρα οι περιπτωσεις που εχουν μεινει ειναι:
11, 17, 23, 27, 29, 35, 37, 41, 47, 51, 53 (6)
το s θα πρεπει να ειναι ενα απο τα (6), το οποιο ειναι περιττο. Αρα ο ενας πρεπει να ειναι αρτιος και ο αλλος πρεπει να ειναι περιττος. ο 51 απορριπτεται γιατι δεν ικανοποιει την (4), 17·34 παραγοντοποιειται μονο με εναν τροπο.
εχουν μεινει οι : 11, 17,23, 27, 29, 35, 37, 41, 47 , 53. Ικανοποιουν την (4). "Τότε κι εγώ τους βρήκα".
και οτι s<55 προκυπτει οτι s<33.
οποτε απομενουν οι 11, 17, 23, 27, 29.
Επιπλεον το s ειναι της μορφης 2^n+p (p ειναι περιττος πρωτος), οποτε εξαιρουνται τα 11, 23,27 γιατι αλλιως
Β: (αφού σκέφτεται λίγο): "Τότε εγώ τους βρήκα"
αυτη η προταση δεν θα μπορουσε να ειπωθει.
μας μενουν το 17 και το 29
ομως το s=29 αν ειναι 25 και 4 εχουμε μονο ενα ακομη δυνατο αθροισμα το 25 ομως το 25-2 ειναι πρωτος οχι συνθετος. Αρα το 29 απορριπτεται.
καταληγουμε στο 17,και μαλιστα στο 4 και 13 γιατι για τα υπολοιπα αθροισματα θα ηταν αδυνατο να τους βρεις και ο δευτερος.
Μάκη αν δεν σου δίνει μέγιστο άθροισμα , ξέρεις πώς γίνεται;
ΑπάντησηΔιαγραφή