Μια διδακτική ιστορία όπως εξελίχθηκε σε μια τάξη της Α΄ Λυκείου στην παράγραφο 3.3: "Εξισώσεις β βαθμού".
Για απευθείας αποθήκευση πατήστε εδώ.
Καλά Κούλουμα - Καλή Σαρακοστή - Καλές απόκριες
Επιμέλεια: Μάκης Χατζόπουλος
Σχόλια
Δημοσίευση σχολίου
Εκτιμάμε τους ανθρώπους που σέβονται τους συνομιλητές τους και διδάσκουν ήθος από τα πληκτρολόγιά τους.
Το lisari είναι χώρος που ενώνει φωνές, κάνει τις διαφορετικές δυνάμεις ομόρροπες.
Είναι εδώ για να ενώσει τους μαθηματικούς και να εκφραστούν μέσα από ένα μέσο. Επομένως, οι αντεγκλήσεις και οι προσβολές δεν μας τιμούν και δεν βοηθούν το σκοπό του εγχειρήματος.
Σας ευχαριστούμε για τη συμμετοχή και το ήθος σας!
Μάκης Χατζόπουλος
Εξαιρετική προσέγγιση για τον λόγο ότι εκτός από τα παιδιά που έρχονται από το γυμνάσιο στο λύκειο υιοθετώντας την απαράδεκτη κατακόρυφη γραφή κατά την επίλυση μιας εξίσωσης, υπάρχουν και εκείνα που κολλάνε μία ισοδυναμία στην επίλυση της επειδή τους είπαν ότι "στις εξισώσεις βάζουμε ισοδύναμία", δίχως να γνωρίζουν τον πραγματικό λόγο των ισοδύναμων ως προς τις λύσεις εξισώσεων που προκύπτουν.
ΑπάντησηΔιαγραφήΘέλετε να μας πείτε τον λόγο που είναι, κατά τη γνώμη σας, απαράδεκτη η κατακόρυφη γραφή κατά την επίλυση μιας εξίσωσης;
ΔιαγραφήΜάκη, πολύ καλή δουλειά!
Για δύο βασικούς λόγους εν συντομία.
ΔιαγραφήΠρώτον διότι η χρήση των συμβόλων της λογικής (απλής συνεπαγωγής και ισοδυναμίας) είναι άμεσα συνδεδεμένη με τη μαθηματική διδασκαλία. Δεν υπάρχει πουθενά μαθηματική γραφή δίχως αυτά τα σύμβολα να συνδέουν προτάσεις ή ισχυρισμούς (ή μάλλον υπάρχουν.. σε αρκετές σχολικές αίθουσες γυμνασίου)
Κατά δεύτερο λόγο η διδασκαλία των συμβόλων δεν θα απαιτούσε ιδιαίτερη προσπάθεια από κανέναν καθηγητή. Εξάλλου όπως εμείς διδαχθήκαμε αυτά τα σύμβολα στο γυμνάσιο, θεωρώ πως μπορούν και τα παιδιά σήμερα να το κάνουν και κατά τη γνώμη μου η ευθύνη βαρύνει κυρίως τους διδάσκοντες παρά το υπουργείο με τις οδηγίες που δίνει επί του θέματος. Ελπίζω να σας κάλυψα.
Η ερώτησή μου δεν αφορούσε τη χρήση συμβόλων λογικής, αλλά την κατακόρυφη γραφή κατά την επίλυση, την οποία θεωρείτε απαράδεκτη. Εκτός αν εννοείτε, ότι η κατακόρυφη γραφή πρέπει να έχει το σύμβολο της ισοδυναμίας και να μην έχουμε απλώς διαδοχικές εξισώσεις. Αν εννοείτε αυτό, τότε είμαι σύμφωνος.
ΔιαγραφήΑκριβώς αυτό εννοώ. Τη χρήση των συμβόλων.
ΔιαγραφήΜάκη έχω ενστάσεις....στα πλαίσια εποικοδομητικής συζήτησης πάντα....έτσι όπως το παρουσιάζεις εγώ καταλαβαίνω ότι περνάς στους μαθητές ότι στην εξίσωση αx^2+βx+γ τα α,β,γ, και Δ δεν είναι μοναδικά. Φυσικά και είναι. Η εξίσωση x^2+x+1=0 έχει μοναδικά α=β=γ=1 και Δ=-3 ενώ η εξίσωση 2x^2+2x+2=0 είναι άλλη διαφορετική εξίσωση με μοναδικά α=β=γ=2 και Δ=-12. Απλά οι δύο εξισώσεις έχουν τις ίδιες λύσεις δεν είναι ίδιες. Πιστεύω πως θα έπρεπε να γράφεις...υπάρχει περίπτωση κάποιος να σημειώσει άλλα νούμερα για τα α,β,γ και να προκύπτει εξίσωση που να έχει τις ίδιες λύσεις με την αρχική? Γιατί έτσι όπως το γράφεις...να σημειώσει άλλα νούμερα και να είναι σωστά...τι σημαίνει? Δεν ξέρω κάτι χάνω....
ΑπάντησηΔιαγραφήΓεια σου Χρήστο!!
ΔιαγραφήΧρήστο πάμε να το δούμε ως μαθηματικοί. Όταν δύο εξισώσεις είναι ισοδύναμες τότε δεν μπορούμε να μιλάμε για μοναδικά α,β,γ άρα και Δ.
Πάρε για παράδειγμα την οικογένεια ευθειών με εξίσωση (λ-1)x + (λ+1)y + 2λ = 0, λεR. Πάλι εκεί θα πεις ότι τα Α, Β και Γ είναι μοναδικά;
Αν ναι, τότε θα υπάρχει σύγχυση στους μαθητές όταν δοθεί η εξής ερώτηση:
Να εξετάσετε αν ευθεία 13x - 21y -8 = 0 ανήκει στην οικογένεια των ευθειών.
Τότε τι θα πεις στους μαθητές; Α = 13 άρα λ - 1 = 13 κτλ.;;;
Άρα τα Α, Β, Γ ή τα α, β, γ κτλ. δηλαδή όλοι οι συντελεστές της εξίσωσης της ευθείας ή του τριωνύμου ΠΡΟΦΑΝΩΣ και δεν είναι μόνο αυτά που βλέπουμε, αλλά κρύβουν και όλα τα πολλαπλάσια τους. Χρήστο είναι σημαντικό σημείο και αυτό σημειώνει ο παραπάνω διάλογος.
Δες το και τα ξανά λέμε!
Καλησπέρα Μάκη.
ΑπάντησηΔιαγραφήΕπιμένω πως στην διατύπωση υπάρχει πρόβλημα και μπερδεύει τους μαθητές παρά τους βοηθάει να κατανοήσουν.
Όταν λες σε ένα μαθητή δίνεται η εξίσωση 3x+2=0, να βρεις τα α και τα β, τότε αυτά είναι μοναδικά και είναι α=3 και β=1
Αν ρωτήσεις τον μαθητή υπάρχουν διαφορετικά α,β ώστε να προκύπτει εξίσωση ισοδύναμη με την 3x+2 τότε ναι υπάρχουν και είναι τα πολλαπλάσια τους...
Η ερώτηση που κάνεις: υπάρχει περίπτωση να σημειώσεις άλλα α,β και να είναι σωστά; Τι σημαίνει να είναι σωστά; για μένα η πρόταση δεν είναι σαφής και δεν στηρίζεται μόνη της.
Φιλικά πάντα!
Να το θέσω και ίσως λίγο διαφορετικά.... Έστω η εξίσωση λx=0, λ πραγματικός
ΑπάντησηΔιαγραφήTo λ είναι μοναδικό; Όχι το λ είναι οποιοσδήποτε αριθμός
Για λ=1 έχουμε την εξίσωση x=0....To λ είναι μοναδικό το λ είναι μοναδικό ναι είναι λ=1 και η λύση της εξίσωσης είναι x=0
Για λ=2 έχουμε διαφορετική εξίσωση (άλλο αν ανήκουν στην ίδια δέσμη) την 2x=0....το λ είναι μοναδικό ναι είναι λ=2 και η λύση της εξίσωσης είναι x=0
Για λ=3 έχουμε την εξίσωση 3x=0....το λ είναι μοναδικό ναι είναι λ=3 και η λύση της εξίσωσης είναι x=0
Άρα για κάθε εξίσωση έχουμε συγκεκριμένο μοναδικό λ αλλά για άπειρα λ οι εξισώσεις λχ=0 είναι ισοδύναμες και αποτελούν δέσμη ευθειών.....
Για μένα λοιπόν στέκει να ρωτηθεί ένας μαθητής είναι μοναδικό το λ ώστε η εξίσωση λx=0 να έχει μοναδική λύση x=0; με απάντηση όχι δεν είναι!
ενώ δεν στέκει να ρωτηθεί ο μαθητής πόσο είναι το λ στην εξίσωση 3x=0; Προφανώς το λ=3.
Υπάρχει άλλο λ ώστε να είναι σωστό; Ναι λ=6.
Εδώ διαφωνώ ακριβώς. Τι πάει να πει σωστό;.... Όχι δεν είναι σωστό και ούτε ίδια εξίσωση έχουμε. Για λ=6 έχουμε την εξίσωση 6x=0. Που είναι άλλη εξίσωση.
Για μένα η σωστή ερώτηση είναι υπάρχει άλλο λ ώστε η εξίσωση να έχει λύση ίση με τη λύση της εξίσωσης 3x=0? Ναι άπειρα!!!