🏀 Η Τετραγωνική Εξίσωση σε δράση – το Doodle της ημέρας

Το σημερινό Google Doodle & η τετραγωνική εξίσωση… στο παρκέ!

Σήμερα το Google Doodle τιμά την εξίσωση δευτέρου βαθμού (τετραγωνική), ένα εργαλείο με εφαρμογές στη Φυσική, τη Μηχανική, τα Οικονομικά και φυσικά στην καθημερινή ζωή. Αν έχετε χαζέψει ποτέ ένα σουτ στο μπάσκετ — στυλ Σπανούλη— τότε έχετε δει μια τετραγωνική εξίσωση «σε δράση».

Παραβολή και κίνηση βολής

Η τροχιά της μπάλας είναι μια παραβολή και μπορεί να μοντελοποιηθεί με τη συνάρτηση $$ y = ax^2 + bx + c, $$ όπου:

• y: το ύψος της μπάλας (σε μέτρα),
• x: η οριζόντια απόσταση από το σημείο απελευθέρωσης (σε μέτρα),
• a, b, c: συντελεστές που καθορίζονται από τις αρχικές συνθήκες της βολής.

Τι «λένε» οι συντελεστές

• a: σχετίζεται με τη βαρύτητα και κάνει την παραβολή κοίλη (να «ανοίγει» προς τα κάτω). Στο συγκεκριμένο σύστημα αναφοράς έχουμε πάντα a < 0.
• b: σχετίζεται με την αρχική κατακόρυφη συνιστώσα της ταχύτητας και τη γωνία βολής.
• c: το αρχικό ύψος της μπάλας τη στιγμή της απελευθέρωσης του παίκτη από τα χέρια του, δηλαδή $y(0)=c$. Αν η μπάλα είναι στο έδαφος, τότε c = 0. To c δεν εκφράζει το ύψος του παίκτη (μόνο αν ρίχνεις σουτ όπως ο Κόρφας!) αλλά το ύψος της μπάλας που φεύγει από τα χέρια του. 

Παράδειγμα μοντελοποίησης βολής

Ας υποθέσουμε ότι ένας παίκτης απελευθερώνει την μπάλα σε ύψος 2,13 m. Άρα $c=2{,}13$ και η εξίσωση γράφεται: $$ y = ax^2 + bx + 2{,}13. $$ Επιπλέον, από την παρατήρηση γνωρίζουμε ότι το μέγιστο ύψος είναι 3,86 m και επιτυγχάνεται σε οριζόντια απόσταση 6,7 m. Η κορυφή της παραβολής είναι λοιπόν το σημείο $$(h,k)=(6{,}7,\;3{,}86).$$

Χρησιμοποιούμε τη μορφή κορυφής: $$ y = a\,(x-h)^2 + k = a\,(x-6{,}7)^2 + 3{,}86. $$ Γνωρίζουμε επίσης ότι $y(0)=2{,}13$. Άρα: $$ 2{,}13 = a\,(0-6{,}7)^2 + 3{,}86 \;\;\Rightarrow\;\; a = \frac{2{,}13 - 3{,}86}{6{,}7^2} \approx -0{,}03854. $$

Επεκτείνοντας στη γενική μορφή $y=ax^2+bx+c$ και χρησιμοποιώντας ότι $c=2{,}13$ και $h=-\dfrac{b}{2a}=6{,}7$, προκύπτει $$ b = -2ah \approx -2\cdot(-0{,}03854)\cdot 6{,}7 \approx 0{,}5164. $$

Τελικό μοντέλο της βολής
$$ \boxed{\,y \;\approx\; -0{,}03854\,x^2 + 0{,}5164\,x + 2{,}13\,} $$ (με μέτρα ως μονάδες και αγνοώντας αντίσταση αέρα).

Για την τάξη & το γήπεδο

• Η κορυφή $(6{,}7,\;3{,}86)$ δίνει την μέγιστη ανύψωση και τη θέση όπου συμβαίνει.
• Ο έλεγχος πρόσημου του $a$ (<0) επαληθεύει ότι η τροχιά είναι κυρτή (στρέφει τα κοίλα προς τα πάνω) ή κοίλη (στρέφει τα κοίλα προς τα κάτω ή αλλιώς «κάμπτει» προς τα κάτω).
• Μπορείτε να ζητήσετε από τους μαθητές σας να αλλάξουν $c$ (ύψος απελευθέρωσης) ή να εκτιμήσουν το $b$ από διαφορετικές γωνίες βολής του παίκτη.

🔗 Δείτε το επίσημο Doodle: Learning the Quadratic Equation (Google Doodles)

---

Σημείωση: Το μοντέλο είναι ιδανικό (χωρίς αντίσταση αέρα, στροβιλισμό κ.λπ.). Για πιο ρεαλιστική προσομοίωση μπορούν να ενσωματωθούν διορθώσεις ή να γίνει πειραματική προσαρμογή (fit) πάνω σε πραγματικά δεδομένα βολών.

Μερικά γνωμικά για το θέμα μας!

Κάθε σουτ γράφει την εξίσωσή του στον αέρα· το καλάθι είναι απλώς η απόδειξη.

Ο αθλητισμός είναι γεωμετρία σε κίνηση· οι παραβολές του παρκέ σπάνια λένε ψέματα.

Τα μαθηματικά δεν βλέπουν το ματς∙ απλά το περιγράφουν

Αλλάζει η γωνία; Αλλάζει η ιστορία! Οι εξισώσεις το γνωρίζουν πριν απ’ όλους.

Στο γήπεδο, οι αριθμοί δεν χειροκροτούν — εξηγούν.

Τα μαθηματικά είναι παντού· στο παρκέ διδάσκονται καλύτερα.

Παρατήρησε την τροχιά∙ τα μαθηματικά σου μαρτυρούν την έκβαση πριν μπει το καλάθι.

Κάθε παραβολή κρύβει μια ιστορία· φυσική, γεωμετρία, και λίγο θάρρος.