Googlisari

Τρέχοντα….

Εκπαιδευτικά νέα….

Τα νέα της lisari team...


Το lisari θα αλλάζει κατά την διάρκεια του καλοκαιριού μορφή. Οπότε μην ανησυχείτε αν κάποια στιγμή δείτε κάτι διαφορετικό από αυτό που γνωρίζατε.


Θα ομαδοποιήσουμε κάποιες αναρτήσεις, θα σβήσουμε κάποιες άλλες και θα αναζητήσουμε την ιδανική μορφή για να γίνει πιο χρηστικό το blog που αγαπάτε.

Κάτι ανάλογο είχαμε κάνει πριν δύο χρόνια (δείτε εδώ). Φέτος θα προσπαθήσουμε να κάνουμε κάτι διαφορετικό.

Επίσης θα υπάρχουν νέες καρτέλες, νέες ιδέες και όλα αυτά θα ολοκληρωθούν μέχρι 31/8/17.

Όποιος θέλει να καταθέσει προτάσεις, σκέψεις, ιδέες και να συμμετέχει στη δημιουργία μην διστάσετε να στείλε μήνυμα στο lisari.blogspot@gmail.com.


Στις 30 Ιουνίου (πηγή: esos.gr) ημέρα Παρασκευή θα ανακοινωθούν οι βαθμολογίες των υποψηφίων των πανελλαδικών εξετάσεων. Στη συνέχεια οι 104.929 υποψήφιοι, εκ των οποίων 85.908 ΓΕΛ και οι 19.021 υποψήφιοι από τα ΕΠΑ.Λ έχουν περιθώριο ως τις 14 Ιουλίου για να συμπληρώσουν το μηχανογραφικό τους δελτίο.


1) Το πρώτο βιβλίο της ομάδα μας για την Επανάληψη στη Γ΄ Λυκείου

(18/2/2016)!


2) Με καμάρι σας παρουσιάζουμε το
2ο βήμα (20/12/2016) της ομάδα μας για τους μαθητές των ΕΠΑ.Λ στη Γ Λυκείου!


3) Έπεται και το τρίτο βήμα της ομάδας.

Κυκλοφορεί (16/3/17)!!

Ένα απαραίτητο εργαλείο για όλους τους μαθητές, ένα βιβλίο στοχευμένο στο μαθητή που έχουμε στο σχολείο, στο Φροντιστήριο στην τάξη.


Τρίτη, 21 Αυγούστου 2012

Συχνά λάθη / επικίνδυνα σημεία στην ύλη των Μαθηματικών Γ΄ Λυκείου Κατεύθυνσης (ανανεώθηκε)

Παρουσιάζω διάφορα λάθη που συνηθίζουν οι καθηγητές (άρα και μαθητές) κυρίως από απροσεξία, αφού τα περισσότερα που θα δείξω δεν έχουν κάποια ιδιαίτερη δυσκολία.

Το πρώτο λάθος (7/7/2012) είναι στην μελέτη συνέχειας συναρτήσεων πολλαπλού τύπου. Δόθηκε  απάντηση μετά από τις σωστές απαντήσεις των μελών μας (Μάνος, Τριαντάφυλλος, Γιώργος, Θοδωρής)

Σε μια πρόσφατη συνάντηση με ομάδα Μαθηματικών έθεσα την παρακάτω ερώτηση, διαπίστωσα ότι δεν είναι τόσο απλή όσο φαίνεται και εγκυμονεί κινδύνους για πολλές παρερμηνείες και λάθη. Στην ροή του λόγου έχω πιάσει και τον εαυτό μου να κάνει το λάθος αυτό.

Το δεύτερο λάθος (11/7/2012) που έχω δει να κάνουν πολλοί συνάδελφοι είναι στην σύνθεση συναρτήσεων. Δόθηκε απάντηση μετά τις σωστές απαντήσεις των μελών μας (Νίκος και nik).

Το τρίτο λάθος (16/7/2012) προέρχεται από μια γνωστή άσκηση στον Ολοκληρωτικό λογισμό, αποκτά ενδιαφέρον χωρίς να την δείτε αν αντιλαμβάνεστε που κρύβεται το λάθος. Δόθηκε απάντηση  από τον Τριαντάφυλλο Πλιάτσιο.

Το τέταρτο λάθος (16/7/2012) προέρχεται από τις αρχικές συναρτήσεις Ολοκληρωτικού λογισμού (προφανώς προκύπτει και με γνώσεις Διαφορικού λογισμού). Δόθηκε απάντηση από τον Νίκο (Χαλκίδα).

Το πέμπτο και έκτο λάθος (17/7/2012) ανήκουν στο κεφάλαιο των μιγαδικών αριθμών.

Το έβδομο επικίνδυνο σημείο (17/7/2012) ανήκει στον διαφορικό λογισμό και αναδεικνύει ένα σημείο  που είναι ξεχασμένο στην ύλη. Υπάρχει μια απόδειξη ενός μαθητή για μια πρόταση που το λάθος δεν είναι τόσο φανερό.

To όγδοο λάθος (20/8/12) είναι πάλι από τον διαφορικό λογισμό και την συνέχεια.

Το ένατο λάθος (20/8/12) είναι μια πρόταση ενός μαθητή που την έχει αποδείξει κιόλας!! Μπορείτε να εντοπίσετε που είναι το λάθος;

Το δέκατο λάθος (20/8/2012) είναι γεωμετρικοί τόποι μιγαδικών αριθμών. Ένα λάθος που γίνεται συχνά στους γεωμετρικούς τόπους των μιγαδικών αριθμών.

Μετά από ένα εύλογο χρονικό διάστημα θα δίνονται οι απαντήσεις.

Για απευθείας αποθήκευση πατήστε εδώ.

35 σχόλια :

  1. Στο (5,+απειρο) είναι ως πολυωνυμική.
    Στο x0=5 με τον ορισμό της συνέχειας με τα πλευρικά όρια δεν είναι συνεχής, άρα είναι συνεχής μόνο στο (5,+απειρο)

    ΑπάντησηΔιαγραφή
  2. Για πιο εύκολη επικοινωνία καλό θα ήταν να μου γράφετε κάποια αρχικά ή ψευδώνυμο και ποια ιδιότητα έχετε, καθηγητής ή μαθητής;

    ΑπάντησηΔιαγραφή
  3. έιναι συνεχής στο [5,+00)εξαιτίας του ορισμού της συνέχειας σε κλειστό διάστημα που απαίτει το ένα μόνο πλευρικό όριο της f στο κλειστό άκρο.Ωστόσο δεν είναι συνεχής στο π.ο. κατά τα γνωστά.
    Μάνος καθ.

    ΑπάντησηΔιαγραφή
  4. Σωστά Μάνο!!

    Τελικά στην αρχή γράφτηκε το λάθος που συνηθίζεται!! Ευχαριστώ πολύ τον φίλο που μας έδωσε την δυνατότητα να γράψει αυτό που εννοούσα!

    Θα έχω αναλυτική απάντηση στο συνημμένο...

    ΑπάντησηΔιαγραφή
  5. Στο (5,+απειρο) είναι ως πολυωνυμική.
    Στο x0=5 με τον ορισμό σελ 191 σχ βιβλιου limf(x) to x-->5 = f(5)=7
    Τριανταφυλλος Κοζανη

    ΑπάντησηΔιαγραφή
  6. Τριαντάφυλλε τελικά ποια είναι η απάντησή σου, είναι σωστό ή λάθος να πούμε ότι η συνάρτηση f είναι συνεχής στο [5, +00);

    ΑπάντησηΔιαγραφή
  7. Κυριε μάκη πολύ εύστοχο το ερωτημά σας...
    Είμαι σιγουρος οτι κ στον α.σ.ε.π της π.ε-03 να έπεφτε σαν θέμα πολλοί συνάδελφοι δεν θα ήξεραν τι να απαντήσουν με σιγουριά!!! Γεωμετρικά από το [5,+00)η συνάρτηση είναι συνεχής.
    Σύμφωνα με τον ορισμό του βιβλίου δεν υπαρχει το όριο, αφού το lim απο αριστερά κ δεξιά της συνάρτησης δεΝ υπάρχει...
    Ομώς το βιβλίο αναφερεται σε συνέχεια που το χο βρισκεται ''ΜΕΣΑ'' σε ενα διάστημα ενω στο προβλημά σας εχετε παρεί το χο στο άκρο(οριακή περίπτωση)!!!
    Επειδή αγαπάω την Γεωμετρία κ οχι μόνο πιστεύω οτι είναι συνεχής... Γιώργος ΚΑΘ.

    ΑπάντησηΔιαγραφή
  8. Γεια σου Γιώργο! Είναι ερώτημα που την πατάς εύκολα να και είμαι σίγουρος ότι το γνωρίζουν όλοι και αν όχι όλοι, οι περισσότεροι που ασχολούνται στοιχειωδώς με τα Μαθηματικά.

    Θα δώσω αναλυτική απάντηση σύντομα, αλλά επειδή βλέπω ενδιαφέρων δεν βιάζομαι...

    ΑπάντησηΔιαγραφή
  9. Το βιβλίο αναφέρει ότι μια συνάρτηση είναι συνεχή σε κλειστό διάστημα [α,β] όταν είναι συνεχής σε κάθε σημείο του (α,β) και επιπλέον το όριο από δεξιά στο α ισούται με f(α) και το όριο από αριστερά στο β ισούται με f(β). Το σημαντικό είναι ότι αναφέρει πως ανάλογοι ορισμοί διατυπώνονται για διαστήματα της μορφής (α, β], [α, β). Σύμφωνα με το τελευταίο και αφού η f είναι συνεχής στο (5, +οο) ως πολυωνυμική και limx->5+=f(5)=7, η f είναι συνεχής στο [5, +οο).
    Θοδωρής Κ. Μαθημ.

    ΑπάντησηΔιαγραφή
  10. Καλημέρα σας, εγώ θεωρώ τη διατύπωση «προβοκατόρικη». Τι εννοώ; ότι έτσι όπως έχει δοθεί η συνάρτηση δεν είναι συνεχής στο αρχικό π.ο. όπως αυτό προκύπτει από τον ορισμό της. Όμως ρωτώντας την συνέχεια στο [5,+άπειρο) «αλλάζει» και ο τύπος της συνάρτησης, με την έννοια ότι ρωτάς τι γίνεται για την συνάρτηση με τύπο τάδε στο διάστημα [5,+άπειρο), άρα είτε δεν θα έβαζα ποτέ αυτό το ερώτημα είτε θα άλλαζα την ισότητα για να φανεί πιο ξεκάθαρα τι θέλω να ρωτήσω.

    ΑπάντησηΔιαγραφή
  11. Γεια σου Γιάννη, πρέπει να πω και δημοσίως ότι κατέχει ένα πολύ όμορφο blog Μαθηματικών με γρίφους και ασκήσεις που αξίζει να το δει οποιοσδήποτε ασχολείται με τα Μαθηματικά.

    Για την άσκηση μας τώρα, δεν ήταν σκοπό μου να παγιδεύσω, αλλά να αναδείξω προβλήματα που κάνουμε όλοι μας.

    Αρχικά δεν καταλαβαίνω τι εννοείς λέγοντας αρχικό πεδίο ορισμού συνάρτησης, μία είναι η συνάρτηση και ένα το πεδίο ορισμού της.

    Τώρα αν παίρνεις το πάνω κλάδο ως τον περιορισμό της συνάρτησης, οπότε έχεις μια νέα συνάρτηση (άρα και ένα νέο πεδίο ορισμού) τότε το αντιλαμβάνομαι αλλά επειδή είναι εκτός ύλης, πιο πολύ θα μπερδέψουμε τον μαθητή παρά θα τον βοηθήσουμε.

    Η απάντηση είναι μοναδική, ξεκάθαρη και προκύπτει με απλές γνώσεις του σχολικού βιβλίου όπως θα δείξω σύντομα.

    Ευχαριστώ για την συμμετοχή σας.

    ΑπάντησηΔιαγραφή
  12. Μετά την ολοκληρωμένη και σαφή απάντηση του Θοδωρή περνάμε στο δεύτερο πρόβλημα.

    Μπράβο Θοδωρή, έτσι όπως τα λες είναι, η απάντησή μου δεν διαφέρει και σε πολλά από αυτά που έγραψες.

    Η έκφραση βρείτε το λάθος (στο δεύτερο πρόβλημα) είναι υπερβολική. Πάντως το σκεπτικό είναι βρείτε που θα μπορούσε να υπάρχει πρόβλημα...

    ΑπάντησηΔιαγραφή
  13. μιλάμε για πραγματικές συναρτήσεις πραγματικής μεταβλητής;Αν όχι, τότε θα μπορούσε να υπάρξει πρόβλημα στο lnx ε R

    ΑπάντησηΔιαγραφή
  14. Καλημέρα σε όλους.

    Πρώτα απ'όλα θα ήθελα να σας συγχαρώ για την κίνηση να αναδεικνύετε σημεία που θέλουν ιδιαίτερη προσοχή, όπως τα συγκεκριμένα. Καλό θα ήταν να έχει και συνέχεια, γιατί τα λεπτά σημεία της θεωρίας, ειδικά των Μαθ.Κατ Γ' Λυκείου είναι πολλά.

    Σχετικά με το πρώτο(αν και έχει ήδη απαντηθεί) να τονίσω κι εγώ πως το γεγονός ότι μία συνάρτηση είναι συνεχής σε διάστημα [α,β] ΔΕΝ σημαίνει απαραίτητα ότι είναι συνεχής στα άκρα του α και β. Χαρακτηριστικό είναι το παράδειγμα που δώσατε όπως και τα σχήματα στο κάτω μέρος της σελίδας 191 του σχολικού.

    Σχετικά με το δεύτερο, δεν ξέρω αν φταίει ο καύσωνας( :p ) αλλά δεν βλέπω να υπάρχει λάθος.
    Βλέπω όμως που θα μπορούσαν κάποιοι να την πατήσουν.
    Παρασυρόμενοι από τον τύπο της fog να πουν ότι αυτή έχει πεδίο ορισμού το R. Αυτό βεβαίως θα ήταν λάθος, εξάλλου για αυτό το λόγο γίνεται και η εύρεση του πεδίου ορισμού της σύνθεσης πρώτα. (Γνωρίζω καθηγητή που επέμενε μάλιστα σε τάξη ότι το πεδίο ορισμού μιας αντίστοιχης fog είναι το R, αφού δεν έχει κανέναν περιορισμό στον τύπο της...)

    Νίκος, καθ.

    ΑπάντησηΔιαγραφή
  15. Ανώνυμος:

    Μιλάμε για πραγματικές συναρτήσεις και πραγματικές μεταβλητές έτσι όπως ορίζονται στο βιβλίο της Γ΄ Λυκείου.

    Το lnxεR ισχύει x >0, οπότε ικανοποιείται ο περιορισμός που έχουμε θέσει.

    Δεν είναι εκεί το πρόβλημα, κάπου αλλού βρίσκεται...

    Νικ:

    Γεια σου Νίκο, νομίζω με την τοποθέτησή σου στο πρώτο ερώτημα ολοκληρώνεις το σκεπτικό και τα πράγματα είναι έτσι όπως τα λες!

    Όσο για το δεύτερο πρόβλημα υπάρχει κάπου θέμα, δεν φαίνεται εύκολα αφού το λάθος, η παρατυπία αυτή, την κάνουμε συχνά χωρίς να το αντιλαμβανόμαστε.Η αλήθεια είναι ότι αν το πω θα καταλάβετε τι ψάχναμε ακριβώς... Κατά το βιβλίο πάντως η έκφραση που έγραψα την θεωρεί όχι ακριβείς!

    Θα δώσω λίγο χρόνο ακόμα...

    Σας ευχαριστώ για την συμμετοχή σας

    ΑπάντησηΔιαγραφή
  16. Μηπως η παρατυπα ειναι οτι το χ ανηκει στο (0,+απειρο) θα επρεπε να τοποθετηθει οχι στο τελος αλλα πριν παρουμε το τυπο της συνθετης συναρτησης?????Με παιδευει ωρες το ερωτημα αλλα δν βρηκα αλλο λαθος!!!

    ΑπάντησηΔιαγραφή
  17. Δεν έχεις άδικο σε αυτό, δηλαδή το σωστό και ακριβές ήταν να λέγαμε το εξής:

    "...για κάθε x που ανήκει στο
    (0, +00) (μόλις είχαμε βρει το πεδίο ορισμού της σύνθετης) έχουμε
    (fog)(x)=... "

    Αλλά δεν ήθελα αυτό, κάτι άλλο είναι που δεν είναι σωστό. Ποιο;

    Χαίρομαι που σας προβληματίζω! Χαίρομαι που προσπαθείτε!

    ΑπάντησηΔιαγραφή
  18. αγαπητέ Μάκη μας έσκασες!!Μάλλον το λάθος είναι το εξής:Λες ότι η συνάρτηση fog έχει πεδίο ορισμού... κτλ, ενώ θα έπρεπε να πεις ότι για να ορίζεται η παράσταση f(g(x)) θα πρέπει... κτλ!Δηλαδή την ορίζεις συνάρτηση χωρίς να ξέρεις εκ των προτέρων ότι είναι!!

    ΑπάντησηΔιαγραφή
  19. Καλησπέρα. Μία σκέψη (τραβηγμένη) που έκανα ξαναβλέποντας την άσκηση, είναι ότι αν θέλουμε να είμαστε 100% τυπικοί θα πρέπει μετά την εύρεση του πεδίου ορισμού της σύνθεσης να πούμε ότι επειδή το (0,+οο) είναι σύνολο διάφορο του κενού , επομένως ορίζεται η fog και στη συνέχεια να βρούμε τον τύπο της.
    Πάντως, δεν νομίζω να υπάρχει βαθμολογητής που να έκοβε έστω και μισό μόριο από γραπτό, αν παρέλειπε την παραπάνω διευκρίνηση.
    Νίκος

    ΑπάντησηΔιαγραφή
  20. Έχουμε νικητή!Νίκο μπράβο, σε έσκασα αλλά τελικά είχαμε αποτέλεσμα!!

    Να το ξαναπούμε, γράφω ότι η συνάρτηση fog έχει πεδίο ορισμού κτλ, είναι λάθος να λέμε ότι είναι συνάρτηση χωρίς να έχουμε βρει πρώτα το πεδίο ορισμού της, θα μπορούσε να ήταν το κενό όπως πολύ καλά αναφέρει ο nik! Και το σχολικό βιβλίο τονίζει αυτή την λεπτομέρεια, ότι για να ορίζεται η σύνθεση δύο συναρτήσεων πρέπει το πεδίο ορισμού τους να διάφορο του κενού συνόλου (σελ. 143 πάνω από την "Προσοχή").

    Άρα το ορθό που πρέπει να ακολουθούμε σε ανάλογες περιπτώσεις είναι,

    "Για να ορίζεται η ΠΑΡΑΣΤΑΣΗ (και όχι συνάρτηση)(fog)(x)=f(g(x)) πρέπει .... "

    Δείτε την εφαρμογή του βιβλίου σελ 144 δεύτερη γραμμή.

    ΑπάντησηΔιαγραφή
  21. Καλό μεσημέρι (αν και με 40+ βαθμούς..:p)

    Ξεκινάω από το 4ο: Το λάθος που υπάρχει είναι ότι το θεώρημα στο οποίο στηρίζεται η απάντηση (το 2ο στις συνέπειες ΘΜΤ) δεν ισχύει σε ένωση διαστημάτων αλλά μόνο σε διάστημα.
    Επομένως, θα πρέπει να εφαρμοστεί ξεχωριστά στο (0,+οο) και ξεχωριστά στο (-οο,0).
    Δηλαδή η f είναι δίκλαδη με τύπο:
    f(x)=ln(lxl)+c, αν χ>0 και
    f(x)=ln(lxl)+c', αν χ<0

    ΥΓ. Μπορούμε να προτείνουμε κι εμείς ανάλογα επικίνδυνα σημεία ; (αφού πρώτα βέβαια απαντηθούν τα ήδη δοσμένα)

    ΑπάντησηΔιαγραφή
  22. Τριανταφυλλος Πλιατσιος16 Ιουλ 2012, 4:51:00 μ.μ.

    Για το 3ο... . Αν f(x)<=g(x)για καθε χ ανηκει στο[α,β]. ακομη αν f,g συνεχεις στο [α,β] τοτε:ολοκληρωνουμε τις ανισοτητες

    ΑπάντησηΔιαγραφή
  23. Τριανταφυλλος Πλιατσιος16 Ιουλ 2012, 5:13:00 μ.μ.

    ακομη μια παρατηρηση για το 3ο...θα πρεπει α<β...

    ΑπάντησηΔιαγραφή
  24. nik και Τριαντάφυλλε σωστά!!

    Πάμε για άλλα, θα ανεβάσω και άλλα σύντομα, τα έχω ήδη έτοιμα.

    Εννοείται nik ότι μπορείτε να προτείνετε και εσείς!

    Στείλτε με e-mail στο mac190604@gmail.com

    ΑπάντησηΔιαγραφή
  25. Τριανταφυλλος Πλιατσιος17 Ιουλ 2012, 2:03:00 π.μ.

    εχουν πολυ ενδιαφερον ολα τα λαθη!!!περιμενουμε τα επομενα...

    ΑπάντησηΔιαγραφή
  26. Αγαπητέ Μάκη,ξεκινάω ανάποδα:Για το 7:Για να εφαρμοστεί Del hospital θα πρέπει η συνάρτηση να είναι παραγωγίσιμη σε διάστημα, δεν αρκεί μόνο σε σημείο!
    Για το 6: Δεν παριστάνει έλλειψη διότι (Ε1Ε2)>3.Θα πρέπει δηλαδή η απόσταση των "εστιών" να είναι μικρότερη από το μήκος του μεγάλου άξονα
    Για το 5: Προφανώς και δεν ισχύει πάντα

    ΑπάντησηΔιαγραφή
  27. Αγαπητέ Νίκο (περιοχή να μην σε μπερδεύουμε με άλλο φίλο του blog) σε ευχαριστώ για το ενδιαφέρον και την συμμετοχή σου.

    Για το 7 έχουμε κυρίως ένα άλλο πρόβλημα εκτός από αυτό που αναφέρεις (θα μπορούσε να σου έδινα ότι η f είναι παραγωγίσιμη σε περιοχή του x_0, άρα σε διάστημα). Δηλαδή το διατυπώνω ως εξής: "αν η f είναι παραγωγίσιμη στο διάστημα (a, b) τότε θα είναι (πάντα) η f'και συνεχής σε αυτό".

    Σωστό; Ο μαθητής υποστηρίζει ότι είναι σωστό και δίνει απόδειξη!!

    Για το θέμα 6 είναι όπως ακριβώς τα λες.

    Για το θέμα 5 έχεις δίκιο, απλά αναμένω να μου γράψουν μερικά σχόλια παραπάνω, είναι συχνό λάθος των μαθητών. Εδώ υπάρχει και μια οδηγία τι να πρέπει να κάνουν οι μαθητές ανάλογα αν έχουν εύρεση μέγιστου - ελάχιστου μέτρου μιγαδικού αριθμού.

    ΑπάντησηΔιαγραφή
  28. Για το 7ο θέμα: Αν το τελευταιο όριο υπάρχει και ειναι πραγματικος,τοτε η αποδειξη ειναι σωστή!Δεν εξασφαλιζεται όμως η ύπαρξη του ορίου,ώστε να ισχύει ο Del hospital!Νικος Κάλυμνος

    ΑπάντησηΔιαγραφή
  29. Νίκο έτσι όπως τα λες είναι! Δεν γνωρίζουμε την ύπαρξη του τελευταίου ορίου για να εφαρμόσουμε De L' Hospital, οπότε δεν υφίσταται κιόλας!

    Κάλυμνο; Η πρώτη θέση μου μόλις διορίστηκα, αλλά την υπηρέτησα στην Ρόδο λόγω πληρότητας! Να σαι καλά!

    ΑπάντησηΔιαγραφή
  30. Γειά σου Μάκη! Υπάρχουν συναρτήσεις που δεν είναι συνεχείς σε ένα διάστημα Δ αλλά έχουν παράγουσα σε αυτό π.χ.
    f(x)= 2xημ(1/x)-συν(1/x) , x<>0
    0 , x=0
    η οποία δεν είναι συνεχής αλλά έχει παράγουσα στο |R την συνάρτηση
    F(χ)= x^2ημ(1/x) , χ<>0
    0 , χ=0
    Παναγιώτης Καραγιώργος

    ΑπάντησηΔιαγραφή
  31. Γεια σου Πάνο! Καλώς τον!Σε κινητοποίησε η αναφορά στο facebook!

    Εννοείται και ισχύει αυτό που λες, αλλά σε τι έρχεται σε αντίθεση με αυτά που λέμε; Αναφέρεσαι στο 7ο θέμα;

    ΑπάντησηΔιαγραφή
  32. Για το πέμπτο εξαρτάται απο το τι αναπαριστα ο μιγαδικου.

    Για το τρίτο υπάρχει αντίστοιχη άσκηση σελ 353 άσκηση 10i

    Γιατι τέταρτο φαντάζομαι ότι εννοείς στο R^* άρα πρέπει να μελετηθεί σε δυο κλάδους.

    Στο έκτο 2α=3 γ=2 άρα το β δεν έχει νόημα.

    Για το έβδομο σελίδα 292 άσκηση 10 είναι ένα ωραίο αντί παράδειγμα .

    ΑπάντησηΔιαγραφή
  33. Αγαπητέ Μάκη...!
    Για το 8ο: η παράγωγος της f ορίζεται και στο μηδέν,αφού με την βοήθεια του ορισμού, το όριο του λόγου μεταβολής όταν το χ→0 υπάρχει και ισούται με μηδέν.Η πρώτη παράγωγος είναι συνεχής στο μηδέν αφού υπάρχει το δεξί πλευρικό όριο και ισούται με το f΄(0)
    Για το 9ο: το x1 του ΘΜΤ είναι x1(x),δηλαδή το h΄(x1) είναι συναρτήσει του x,άρα στο όριο μπορεί να υπάρξει απροσδιοριστία.Δεν μπορείς να πεις ότι απλά είναι θετικό.Ομοίως για το x2.
    Για το 10ο :ο γεωμετρικός τόπος των εικόνων του z, δεν είναι όλα τα σημεία της μεσοκαθέτου άλλα μόνο αυτά που ικανοποιούν την αρχική σχέση!φαντάζομαι 21!!
    ΝΙΚΟΣ ΚΑΛΥΜΝΟΣ

    ΑπάντησηΔιαγραφή
  34. Νίκο πάρα πολύ σωστά!!

    Τις ίδιες παρατηρήσεις έχω και εγώ!

    ΑπάντησηΔιαγραφή
  35. οι απαντησεις εχουν αναρτηθει καπου για τα υπολοιπα ερωτηματα?ευχαριστω!

    ΑπάντησηΔιαγραφή

Creative Commons License Αυτό έργο χορηγείται με άδεια Creative Commons Attribution-NonCommercial-ShareAlike 3.0 Ελλάδα.
Related Posts Plugin for WordPress, Blogger...