Δευτέρα, 29 Νοεμβρίου 2010

Φύλλο εργασίας στην Γεωμετρία Α΄ Λυκείου: Σχετικές θέσεις ευθείας και κύκλου

Το τμήμα Α4 είχε ως εργασία την σχετική θέση ευθείας και κύκλου (παράγραφος 3.14) με το παρακάτω φύλλο εργασίας.

Χειρομαντεία και Μαθηματικά !!

Ένα μέντιουμ κοιτάει την παλάμη και βλέπει το μέλλον. Ένας μαθηματικός, κοιτάει την παλάμη και βλέπει... τις γραφικές παραστάσεις!
Αν παρατηρήσετε την παλάμη σας, βλέπετε 3 είδη συναρτήσεων την f(x)=ex, f(x)=lnx και την f(x)=λx+β. Στη δεξιά παλάμη λοιπόν η κάτω δεξιά καμπύλη είναι η λογαριθμική (η γραμμή της ζωής = φανερώνει την ΠΟΙΟΤΗΤΑ ΚΑΙ ΟΧΙ ΤΗ ΔΙΑΡΚΕΙΑ της ζωής μας. Επίσης αναφέρεται και στην γενική κατάσταση της υγείας ), η πάνω αριστερά καμπύλη είναι η εκθετική (η γραμμή της καρδιάς= αντιπροσωπεύει τη συναισθηματική συμπεριφορά, τον τρόπο που αγαπάμε και τις σχέσεις μας. Δείχνει επίσης την εκτίμηση για τις τέχνες και τη δημιουργικότητά μας. Δίνει επίσης, πληροφορίες για την κατάσταση της καρδιάς), και η ευθεία ανάμεσα ο άξονας συμμετρίας τους (η γραμμή της μοίρας =  καταγράφει τα πιο σημαντικά γεγονότα της ζωής μας εάν, βέβαια, αυτά είχαν ή θα έχουν τη δύναμη να μας επηρεάσουν)

Πάντως είναι ένας καλός μνημονικός κανόνας για να μην ξεχνάμε τις γραφικές παραστάσεις ex και lnx

H συγκατοίκηση των 5 σπουδαιότερων αριθμών: 0, 1, π, e, i

Μέσα στο ογκώδες επιστημονικό έργο του Euler, συναντούμε την εξίσωση e ix = συνx + iημx. Αν βάλουμε όπου x το π θα προκύψει η σημαντικότερη - κατά τον Feynman- σχέση των μαθηματικών

e + 1 = 0

Ο Benjamin Peirce σε μία του διάλεξη, αναφερόμενος στην απίστευτη αυτή ισότητα είχε πει: “Gentlemen, that is surely true, it is absolutely paradoxical; we cannot understand it, and we don't know what it means. But we have proved it, and therefore we know it must be the truth."
Κύριοι, είναι σίγουρα αληθής, είναι απολύτως παράδοξη. Δεν μπορούμε να την κατανοήσουμε και δεν ξέρουμε τι σημαίνει. Αλλά την έχουμε αποδείξει και για αυτό ξέρουμε ότι είναι αληθής.

Ο Richard Feynman τη θεωρούσε την πιο σημαντική φόρμουλα των μαθηματικών δεδομένου ότι σ΄ αυτήν συγκατοικούν οι πέντε σημαντικότεροι αριθμοί των μαθηματικών, 0, 1, π, e και ο i.

Ο ii είναι πραγματικός αριθμός; Δείτε μια απόδειξη:

Εάν στην εξίσωση του Euler e ix = cosx + isinx βάλουμε x = π/2 θα προκύψει :

eiπ/2 = cosπ/2+ isinπ/2. eiπ/2 = i

Αν υψώσουμε και τα δύο μέλη στη δύναμη i προκύπτει

ii =e-π/2 = 0,2078795763

Ένα πλήρες Μαθηματικό τυπολόγιο για μαθητές και φοιτητές

Το παρακάτω τυπολόγιο που ακολουθεί είναι μια προσφορά του Σωτήριου Περσίδη από τον εκδοτικό οίκο ΕΣΠΙ.
Ένα τυπολόγιο για μαθητές, φοιτητές, σπουδαστές και καθηγητές.

Κεφάλαιο 1 ΣΤΑΘΕΡΕΣ
Κεφάλαιο 2 ΑΛΓΕΒΡΑ
Κεφάλαιο 3 ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΑ
Κεφάλαιο 4 ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ
Κεφάλαιο 5 ΑΝΑΛΥΤΙΚΗ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ
Κεφάλαιο 6 ΠΑΡΑΓΩΓΟΙ
Κεφάλαιο 7 ΑΟΡΙΣΤΑ ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑΤΑ
Κεφάλαιο 8 ΟΡΙΣΜΕΝΑ ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑΤΑ
Κεφάλαιο 9 ΟΙ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΓΑΜΑ ΚΑΙ ΒΗΤΑ
Κεφάλαιο 10 ΣΥΝΗΘΕΙΣ ΔΙΑΦΟΡΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ
Κεφάλαιο 11 ΣΕΙΡΕΣ
Κεφάλαιο 12 ΠΟΛΥΩΝΥΜΑ ΚΑΙ ΑΡΙΘΜΟΙ
Κεφάλαιο 13 ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΙΚΗ ΑΝΑΛΥΣΗ
Κεφάλαιο 14 ΚΑΜΠΥΛΟΓΡΑΜΜΕΣ ΣΥΝΤΕΤΑΓΜΕΝΕΣ
Κεφάλαιο 15 ΣΕΙΡΕΣ FOURIER
Κεφάλαιο 16 ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ BESSEL
Κεφάλαιο 17 ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ LEGENDRE
Κεφάλαιο 18 ΟΡΘΟΓΩΝΙΑ ΠΟΛΥΩΝΥΜΑ
Κεφάλαιο 19 ΔΙΑΦΟΡΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ
Κεφάλαιο 20 ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΣ FOURIER

http://rapidshare.com/files/39858674/mathimatiko_tipologio.zip.html
mathimatiko tipologio

Κυριακή, 28 Νοεμβρίου 2010

Ο αριθμός googol - Μήπως σας θυμίζει κάτι;

Από που πήρε το όνομά του το Google?
Την δεκαετία τπυ 1940 ένας Αμερικάνος μαθηματικός, ο Edward Kasner (1878-1955) του Πανεπιστημίου της Κολούμπια, σε κουβέντες που είχε με μικρά παιδιά, βρέθηκε μπροστά στο εξής πρόβλημα: Ποιοι αριθμοί απαιτούνται για να εκφραστεί το πλήθος των σταγόνων της βροχής, που πέφτουν μια βροχερή μέρα στη Νέα Υόρκη; Οι αριθμοί βέβαια, είναι πολύ μεγάλοι, αλλά πεπερασμένοι.
 

Για να μυήσει ο Kasner τον εννιάχρονο ανιψιό του στους μεγάλους αριθμούς, επινόησε το γκούγκολ (1 googol=10^100)
 

Κατ' άλλους το googol φτιάχτηκε από τον Milton Sirotta, ανεψιό του Κasner, και πρωτοαναφέρθηκε στο βιβλίο "mathematics and the imagination" των Κasner και Newman.
 

Το google, η μηχανή αναζήτησης του ίντερνετ, είναι ένα λογοπαίγνιο με τη λέξη googol και συμβολίζει το όραμα και την πρόθεση της εταιρίας να οργανώσει τον φαινομενικά άπειρο αριθμό πληροφοριών που είναι διαθέσιμες στο διαδίκτυο.
 

Αν και το googol είναι ένας πολύ μεγάλος αριθμός, στα μάτια ενός μαθηματικού συνηθισμένου να παίζει με την έννοια του άπειρου είναι ένας μικρός αριθμός. Η τιμή όμως 10^100 ξεπερνά κατά πολύ τα όρια του πραγματικού κόσμου, αφού δεν έχει πλέον καμία φυσική σημασία!!
Ένα συνηθισμένο διαμέρισμα 100 τ.μ. ή 100.000.000 τ.χιλ. = 10^8 είναι πολύ μακριά από το googol. Ας πάρουμε την επιφάνεια της Γης μήπως και έχουμε κάποια σεβαστή τιμή. Η επιφάνεια της υδρογείου είναι 510.000.000 τ.χιλ. ή 5*10^20 τ.χιλ. περίπου, πάλι όμως πολύ μακριά από το googol.
 

O άνθρωπος σίγουρα δεν μπορεί να μετρήσει τις σταγόνες του νερού μιας θάλασσας ούτε τους κόκκους άμμου μιας ερήμου. Δεχόμενοι όμως ότι οι σταγόνες έχουν διάμετρο 2 χιλιοστά, η Μεσόγειος θα περιλάμβανε περίπου 10^24 σταγόνες. Επίσης στη Σαχάρα (έκταση 8*10^6 τ/χιλ.) μια στρώση άμμου πάχους 20 εκ., δεχόμενοι ότι υπάρχουν 10 κόκκοι ανά κυβικό χιλιοστό, θα περιλάμβανε 10^21 κόκκους άμμου.
 

Αν σκεπάσουμε την Ελλάδα (ηπειρωτικό και νησιωτικό τμήμα έχει έκταση περίπου 132000 τ.χιλ.) με ένα στρώμα άμμου ύψους ενός μέτρου και δεχόμενοι ότι χρειάζονται 10 κόκκοι άμμου ανά κυβικό χιλιοστό., θα χρειαστούμε περίπου 1,32*10^21 κόκκους άμμου.
 

Ο αριθμός κόκκων άμμου που ολόκληρος ο όγκος της γης θα μπορούσε να περιέχει είναι περίπου 10^31. Αριθμός πολύ μεγάλος, αλλά και πολύ μικρός για το googol.
 

Ας δεχτούμε (όχι αποδεδειγμένα) ότι το Σύμπαν είναι κοίλο και πεπερασμένο. Οι αστρονομικοί υπολογισμοί, σε συνδυασμό με αυτούς της ατομικής φυσικής, αποδεικνύουν ότι ο λόγος της διαμέτρου του σύμπαντος προς τη διάμετρο του πυρήνα του ατόμου είναι 10^42. Γενικά, το 10^42 είναι το κλασσικό όριο για καθετί που είναι πραγματικά μετρήσιμο στο σύμπαν.
 

Στην πραγματικότητα δεν υπάρχει ποσότητα ενός googol από οτιδήποτε. Ο αριθμός 10^100 ξεπερνά καθετί που θα μπορούσε να αριθμηθεί και να μετρηθεί στον φυσικό κόσμο. Ο Kasner με το googol έβαλε ένα από τα όρια ανάμεσα στην αριθμητική και τη φυσική.
 

Φυσικά αυτό δεν εμποδίζει τους μαθηματικούς να ξεπεράσουν κατά πολύ τα όρια του μετρήσιμου σύμπαντος, αφού ένας αριθμός όπως το googol, δεν είναι για αυτούς παρά ένα από τα αμέτρητα στοιχεία του συνόλου των φυσικών αριθμών, προηγούμενος από 10^100 + 1 και βέβαια πάντα πολύ μικρότερος από το άπειρο!

Μαθηματικές ίντριγκες!


Ο διάσημος στους θετικοτεχνολογικούς μαθητές της Γ΄ Λυκείου, ο κανόνας του L'Hospital, δεν ανακαλύφθηκε από τον L'Hospital.

Ο ευκατάστατος Γάλλος πλήρωνε 300 Φράγκα τον χρόνο στον διάσημο Ελβετό Johann Bernoulli της γνωστής οικογένειας ώστε να τον κρατά ενήμερο για τις εξελίξεις των Μαθηματικών καθώς και να του λύνει προβλήματά του.

Παρόλα αυτά ο L'Hospital εξέδωσε ένα βιβλίο στο οποίο περιέλαβε το θεώρημα αυτό και όντας τίμιος, το εξέδωσε ανώνυμα (μιας και δεν συμμετείχε σε πολλά δημιουργήματα από όσα περιλαμβάνει το βιβλίο), αναφέροντας πάντως την συνεισφορά του Bernoulli.

Ο Bernoulli επέμενε πως είχε γράψει ο ίδιος το βιβλίο, παρ'όλα αυτά ο κανόνας σήμερα έχει το όνομα του Γάλλου ευγενή.

Μάθημα 6 - Απόλυτη τιμή - Άλγεβρα Α΄ Λυκείου (ανανεωμένο - διορθωμένο)

Μάθημα 6 - Α΄ Λυκείου - Απόλυτη τιμή πραγματικού αριθμού - Θεωρία και ασκήσεις. (Καινούργιες προσθήκες,διορθώσεις 19/12/2010)

Μάθημα 6ο-Απόλυτη τιμή

Παρασκευή, 26 Νοεμβρίου 2010

Αντώνης Κυριακόπουλος - Διάλεξη στο συνέδριο της Χαλκίδας

Μια όμορφη διάλεξη που παρακολούθησα στο συνέδριο της Χαλκίδας (20/11/2010) ήταν του Αντώνη Κυριακόπουλου για τα "Σωστά - Λάθος" και τους "ποσοδείκτες". Ένα χρήσιμο αρχείο κυρίως για τους Καθηγητές που θέτουν ερωτήσεις κλειστού τύπου και χρησιμοποιούν σύμβολα Λογικής.
Αντώνης Κυριακόπουλος-Διάλεξη στο συνέδριο της Χαλκίδας

Πέμπτη, 25 Νοεμβρίου 2010

Μάθημα 5ο - Γ΄ Λυκείου Κατεύθυνσης - Συνάρτηση 1 - 1 και αντίστροφη

Μάθημα 5 - Συνάρτηση 1 - 1 και αντίστροφη. Ερωτήσεις θεωρίας, βασικές συναρτήσεις και άλυτες ασκήσεις. (Ανανεωμένο 26/11/2010)
Μάθημα 5ο-Συνάρτηση 1 - 1 και αντίστροφη

Τα σχολικά βιβλία στο διαδίκτυο

Κατεβάστε τα σχολικά βιβλία!
Δωρεάν-ελεύθερα e-book 

Η στήλη των Μαθηματικών, από τον Κώστα Δόρτσιο

Στην ΕΜΕ Κοζάνης βρήκαμε μια όμορφη στήλη, την στήλη των Μαθηματικών από τον πρώην σχολικό σύμβουλο Κώστα Δόρτσιο.
Για να δείτε τα άρθρα από διάφορα τεύχη πατήστε στον παρακάτω εξωτερικό σύνδεσμο http://www.emekozanis.gr/reports/r060103/r060103.html

Τετάρτη, 24 Νοεμβρίου 2010

Σταυρόλεξο στην γεωμετρία της Α΄ Λυκείου

Από το βιβλίο Γεωμετρίας της Α΄ Λυκείου του φίλου Λ. Πρωτοπαπά, βρήκαμε το παρακάτω σταυρόλεξο με έννοιες από το κεφάλαιο 3.10-3.11 (ανισοτικές σχέσεις πλευρών και γωνιών)
Πατήστε πάνω στην εικόνα για να τη μεγεθύνετε

Διαγωνισμός στα Μαθηματικά για μαθητές Δημοτικού Σχολείου- Θέματα και λύσεις

Τον 5ο Μαθητικό Διαγωνισμό στα Μαθηματικά για τους μαθητές Δημοτικού Σχολείου «Παιχνίδι και Μαθηματικά» διοργανώνει η Ελληνική Μαθηματική Εταιρεία (ΕΜΕ).
Σχετική εγκύκλιο υπέγραψε σήμερα ο Ειδικός Γραμματέας του Υπ. Παιδείας Μ. Κοντογιάννης , την οποία για να δείτε κάνετε κλικ εδώ

Κατέβασμα αυτού του αρχείου (498_themata e taxis  2011 LYSEIS.pdf)Μικρός Ευκλείδης[Θέματα και Λύσεις Ε' Τάξης]732 Kb12/03/2011 00:46
Κατέβασμα αυτού του αρχείου (themata st taxis 2011 LYSEIS.pdf)Μικρός Ευκλείδης[Θέματα και Λύσεις ΣΤ' Τάξης]205 Kb11/03/2011 22:38

Πηγή:esos.gr

Η Γεωμετρία στην τέχνη και την επιστήμη

Πρόγραμμα Μορφωτικών Εκδηλώσεων - ΕΠΙΣΤΉΜΗ ΚΟΙΝΩΝΊΑ

Β΄ ΚΥΚΛΟΣ ΟΜΙΛΙΩΝ (30/11– 21/12/2010)

Έκθεση και Επιστημονικές παρουσιάσεις

Κίρκινος: Η Γεωμετρία στην τέχνη και την επιστήμη
Σπάνια όργανα σχεδίου και μετρήσεως από την ιδιωτική συλλογή του Θανάση Κουτρουβέλη


Μια μοναδική έκθεση σπάνιων επιστημονικών οργάνων σχεδίου και μετρήσεως από την ιδιωτική συλλογή του Θανάση Κουτρουβέλη παρουσιάζεται για πρώτη φορά στην Ελλάδα. Η έκθεση πλαισιώνεται από μία σειρά διαλέξεων/επιστημονικών παρουσιάσεων σχετικά με την ιστορία και φιλοσοφία των μαθηματικών και της αρχιτεκτονικής με σκοπό να αναδειχθούν οι σχέσεις ανάμεσα στην ιστορία των επιστημών και την ιστορία των τεχνών, εστιάζοντας στη γεωμετρία και τον ρόλο της στη σύλληψη και εκτέλεση δημιουργικού σχεδίου.

Σε αυτό το πλαίσιο τα όργανα θα παρουσιαστούν ως η πρακτική εφαρμογή μιας μαθηματικής θεωρίας, με σκοπό να καθοδηγηθεί ο επισκέπτης τόσο στις τεχνικές σχεδίου όσο και στα εικαστικά πρότυπα και τον τρόπο σκέψης σε διάφορους τομείς, όπως η κλασική αρχιτεκτονική.

Η έκθεση και οι παράλληλες εκδηλώσεις διοργανώνονται από το Πρόγραμμα Ιστορίας, Φιλοσοφίας και Διδακτικής των Επιστημών και της Τεχνολογίας του Ινστιτούτου Νεοελληνικών Ερευνών του Εθνικού Ιδρύματος Ερευνών στο πλαίσιο του προγράμματος Hephaestus (“Hellenic Philosophy, History and Environmental Science Teaching Under Scrutiny”) του 7ου Προγράμματος Πλαισίου της Ε.Ε. (RegPot-2008-1).



Επιμέλεια έκθεσης: Δρ Κατερίνα Καρέλλα
Τρίτη 30 Νοεμβρίου 2010
Drawing things together*
Dr Stephen Johnston, Assistant Keeper, Museum of the History of Science, University of Oxford

Το βακτήριον της Γεωμετρίας

Θεοδόσιος Τάσιος, Καθηγητής ΕΜΠ, Πρόεδρος της Εταιρείας Μελέτης Αρχαίας Ελληνικής Τεχνολογίας

* Θα υπάρχει ταυτόχρονη μετάφραση

Τρίτη 7 Δεκεμβρίου 2010
Scientific instruments that aren’t. Some examples from the 20th century*
Girolamo Rammuni, Professeur des Universités, Conservatoire National des Arts et Métiers, Παρίσι

Επιστημονικά όργανα στο Βυζάντιο και τον νεότερο ελληνισμό: Μια παρεξηγημένη υπόθεση

Eυθύμιος Νικολαίδης, Διευθυντής Ερευνών, Ινστιτούτο Νεοελληνικών Ερευνών/ΕΙΕ, Eπιστ. Yπεύθυνος του προγράμματος Hephaestus

* Θα υπάρχει ταυτόχρονη μετάφραση



Τρίτη 14 Δεκεμβρίου 2010

Τα επιστημονικά όργανα στο σχολείο: Παιδαγωγικές δραστηριότητες αξιοποίησης των επιστημονικών οργάνων και της ιστορίας τους

Kώστας Σκορδούλης, Καθηγητής Φυσικής & Επιστημολογίας Φυσικών Επιστημών, Παιδαγωγικό Τμήμα Δημοτικής Εκπαίδευσης, Πανεπιστήμιο Αθηνών

Αρχιτεκτονική σκέψη και γεωμετρικά όργανα

Θανάσης Κουτρουβέλης, αρχιτέκτων



Τρίτη 21 Δεκεμβρίου 2010

Αλλαγές της διάστασης χώρου - χρόνου στις αρχές του αιώνα και σήμερα

Κώστας Βαρώτσος, Γλύπτης, Καθηγητής ΑΠΘ, Τμήμα Αρχιτεκτόνων

Η Γεωμετρική έρευνα στην Ευρώπη τον 18o και 19o αιώνα

Χριστίνα Φίλη, Iστορικός των μαθηματικών, αν. Καθηγήτρια ΕΜΠ, μέλος της Διεθνούς Ακαδημίας Ιστορίας Επιστημών



Η έκθεση υποστηρίχτηκε με εικαστικό υλικό από το Science Museum της Οξφόρδης

Διαδραστικό υλικό και επιστημονικά ντοκιμαντέρ από το αρχείο και σε συνεργασία με το Ίδρυμα Μείζονος Ελληνισμού

Η έκθεση θα λειτουργεί στο ισόγειο του Εθνικού Ιδρύματος Ερευνών

Διάρκεια έκθεσης 30/11/2010 – 30/01/2011

Ώρες λειτουργίας της έκθεσης: καθημερινά 10.00΄ -20.00΄

Σάββατο και Κυριακή 10.00΄ - 14.00΄
Ώρες προβολών: τις ημέρες των εκδηλώσεων (17:30΄-19:00΄)
Χορηγείται βεβαίωση παρακολούθησης στους φοιτητές
Εθνικό Ίδρυμα Ερευνών (ΕΙΕ), Αμφιθέατρο «Λεωνίδας Ζέρβας»
Λεωφόρος Βασιλέως Κωνσταντίνου 48, Αθήνα
στις 19:30΄
Είσοδος Ελεύθερη

Final Circinus Prgm

Τετάρτη, 17 Νοεμβρίου 2010

Οι ρητορικοί και δικανικοί λόγοι πάτησαν σε μαθηματικά θεωρήματα - Απόστολος Δοξιάδης

Το γεγονός πως οι ρητορικοί και δικανικοί λόγοι αποτελούν τη βάση πάνω στην οποία πάτησαν τα πρώτα μαθηματικά θεωρήματα, ανέλυσε ο πολύ γνωστός μαθηματικός Α. Δοξιάδης
Η λογική-μαθηματική απόδειξη, η πρώτη και σημαντικότερη συνεισφορά των Ελλήνων στα μαθηματικά, "γεννήθηκε" γύρω στο 430 π.Χ, με απόκλιση το πολύ 20 χρόνων πριν ή μετά από αυτή την χρονολογία. Το σημαντικό αυτό βήμα, που οδήγησε περίπου μετά από περίπου ενάμιση αιώνα στην εμφάνιση της γεωμετρίας του Ευκλείδη με το έργο του "Στοιχεία", συνέπεσε -όχι τυχαία- με άλλες μνημειώδεις εξελίξεις στην πολιτική και την τέχνη εκείνη την εποχή, καθώς η Δημοκρατία "γέννησε" τη Λογική. Ειδικότερα, οι ρητορικοί και δικανικοί λόγοι αποτέλεσαν το πρότυπο με βάση το οποίο δομήθηκαν τα πρώτα μαθηματικά θεωρήματα των αρχαίων Ελλήνων.
Αυτά υποστήριξε ο συγγραφέας και μαθηματικός Απόστολος Δοξιάδης, σε χθεσινοβραδινή ομιλία του με θέμα "Τι βρίσκεται ανάμεσα στον έκτο και τον τέταρτο αιώνα π.Χ.: το πέρασμα στα ελληνικά μαθηματικά", με την οποία εγκαινιάστηκε ο νέος κύκλος ομιλιών με κεντρικό άξονα "Πρόσφατες εξελίξεις στην μελέτη των αρχαίων ελληνικών μαθηματικών", που διοργανώνει το Μουσείο Κυκλαδικής Τέχνης στην Αθήνα. Οι απόψεις του ομιλητή αποτελούν καρπό δεκάχρονης έρευνάς του πάνω στο ζήτημα και έχουν αρχίσει να δημοσιεύονται σε ξένα περιοδικά, όπως το διεπιστημονικό αμερικανικό "Storyworlds".
Κάνοντας μια διεξοδική συγκριτική ανάλυση των αρχαίων λογοτεχνικών κειμένων με τα πρώτα μαθηματικά θεωρήματα και κείμενα, ο Δοξιάδης ανέδειξε τα κοινά σχήματα λόγου και σκέψης που διατρέχουν και τα δύο (χιασμός, κυκλικές συνθέσεις κ.α.), τονίζοντας τις ομοιότητες της λογοτεχνικής αφήγησης και της μαθηματικής λογικής, που παραπέμπουν έτσι σε μια λογοτεχνική "γενεαλογία" της απόδειξης. Όπως είπε, η ποιητική αφήγηση οδήγησε στη ρητορική πειθώ και αυτή κατέληξε στη δόμηση της λογικής και μαθηματικής απόδειξης.
Καθώς η δημοκρατία και η τέχνη (ιδιαίτερα η τραγωδία) άνθιζαν και οι άνθρωποι στην αγορά και στα δικαστήρια της αρχαίας Αθήνας άρχισαν να προσπαθούν να πείσουν με κάθε τρόπο τους γύρω τους για την ορθότητα των απόψεων τους, η ρητορική "πίστις" (η πειθώ) οδήγησε στην απόδειξη στα μαθηματικά. Έτσι, οι Έλληνες -μέσα από τον ρητορικό λόγο και αντίλογο- εφηύραν ένα νέο λογικό και αποδεικτικό τρόπο σκέψης, που έμελλε να χαράξει ανεξίτηλα την κατοπινή ιστορία της επιστήμης.
Η εξέλιξη αυτή διευκολύνθηκε από την εφεύρεση και χρήση του διαβήτη και του κανόνα (χάρακα), αρκετά χρόνια πριν το 430 π.Χ., όπως δείχνουν και τα γεωμετρικά σχέδια πάνω σε αρχαία αγγεία. Τα εργαλεία αυτά επέτρεψαν στους πρώτους μαθηματικούς να πειραματίζονται στην πράξη και να συζητούν μεταξύ τους τις θεωρίες τους.
Ο Δοξιάδης υπογράμμισε ότι δεν ανακάλυψαν οι αρχαίοι Έλληνες τα μαθηματικά, διαλύοντας ένα μύθο που ορισμένοι πιστεύουν, τονίζοντας ότι προϋπήρξαν τα υπολογιστικά μαθηματικά των Αιγυπτίων και αυτοί, με τη σειρά τους, είχαν κατά πάσα πιθανότητα δεχτεί επιρροές από τα μαθηματικά των Βαβυλωνίων. Όπως είπε, ο ίδιος ο Ηρόδοτος παραδέχεται ότι ο Θαλής δεν δημιούργησε τα μαθηματικά, αλλά τα έφερε από την Αίγυπτο, ενώ ανάλογες αναφορές αργότερα κάνει και ο Αριστοτέλης.
Όμως από τον 6ο αιώνα, όταν υπήρχαν ουσιαστικά μόνο τα αιγυπτιακά μαθηματικά, μέχρι τον 4ο αιώνα, λαμβάνει μια χώρα μια αλυσίδα πολιτισμικών εξελίξεων, που οδηγεί τελικά στην ανάδυση των πρωτότυπων ελληνικών μαθηματικών, που αρχικά επικεντρώνονται στη γεωμετρία. Σύμφωνα με τον Δοξιάδη, τα ελληνικά μαθηματικά διαφέρουν από τα αιγυπτιακά σε σημαντικό βαθμό, καθώς έχουν πιο γενική (και όχι απλώς υπολογιστική μορφή), συνήθως περιλαμβάνουν σχήματα στα κείμενα τους και για πρώτη φορά περιέχουν αποδείξεις. Το πρώτο θεώρημα με απόδειξη ήταν ο "τετραγωνισμός των μηνίσκων" του Ιπποκράτη του Χίου, ένα επίτευγμα που καταγράφεται από τον Ρωμαίο Σιμπλίκιο τον 1ο αιώνα μ.Χ.
O Απόστολoς Δοξιάδης, παράλληλα με το πλούσιο συγγραφικό έργο του (με πιο πρόσφατο δημιούργημα το διεθνές μπεστ-σέλερ Logicomix), μελετά εδώ και χρόνια σε θεωρητικό επίπεδο τη σχέση μαθηματικών και αφήγησης. Ήδη ετοιμάζει ένα σχετικό βιβλίο με τίτλο "Από τις ιστορίες στις αποδείξεις".
Ο Δοξιάδης έπαιξε κεντρικό ρόλο στη διοργάνωση του πρώτου διεθνούς συνεδρίου "Μαθηματικά και Αφήγηση" στην Μύκονο το 2005, που σχολιάστηκε από το επιστημονικό περιοδικό Nature ότι "σηματοδότησε το ξεκίνημα μιας επαναπροσέγγισης ανάμεσα στις αποξενωμένες τέχνες των μαθηματικών και της διήγησης ιστοριών". Ακολούθησε μια δεύτερη σχετική συνάντηση στους Δελφούς το 2007, την οποία οργάνωσαν ο Δοξιάδης και ο διεθνής φήμης μαθηματικός Μπάρι Μαζούρ, οι ομιλίες της οποίας θα εκδοθούν σε βιβλίο.
Πηγή: News247.gr

Διαγώνισμα 1ου τετραμήνου Γεωμετρίας Α' Λυκείου για τα τμήματα Α1 και Α2

3 Διαγωνίσματα Γεωμετρίας της Α΄ Λυκείου για το πρώτο τετράμηνο. Πραγματοποιήθηκε στις 16/11/2010 στα τμήματα Α1 και Α2 του 1ου Λυκείου Ζακύνθου, από τον Καθηγητή Μιχαλόπουλο Νίκο.
ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3-ΝΙΚΟΣ ΜΙΧΑΛΟΠΟΥΛΟΣ

Τρίτη, 16 Νοεμβρίου 2010

Η ύλης της Γ΄ Λυκείου στα Μαθηματικά Κατεύθυνσης

Δίνεται η ανανεωμένη ύλη για το σχολικό έτος 2010 - 11, στα Μαθηματικά Γ Λυκείου - Κατεύθυνσης.
ΕΞΕΤΑΣΤΕΑ ΥΛΗ ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ 2010-2011 - ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ
ΘΕΤΙΚΗΣ - ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ

Από το βιβλίο «Μαθηματικά» της Γ΄ τάξης Γενικού Λυκείου Θετικής και Τεχνολογικής Κατεύθυνσης των Ανδρεαδάκη Στ., κ.ά., έκδοση Ο.Ε.Δ.Β. 2010.

ΜΕΡΟΣ Α

Κεφάλαιο 2: Μιγαδικοί αριθμοί
Παρ. 2.1 Η έννοια του Μιγαδικού Αριθμού.
Παρ. 2.2 Πράξεις στο σύνολο C των Μιγαδικών.
Παρ. 2.3 Μέτρο Μιγαδικού Αριθμού.

ΜΕΡΟΣ Β

Κεφάλαιο 1: Όριο - Συνέχεια συνάρτησης
Παρ. 1.1 Πραγματικοί αριθμοί.
Παρ. 1.2 Συναρτήσεις.
Παρ. 1.3 Μονότονες συναρτήσεις- Αντίστροφη συνάρτηση.
Παρ. 1.4 Όριο συνάρτησης στο Χο
Παρ. 1.5 Ιδιότητες των ορίων, χωρίς τις αποδείξεις της υποπαραγράφου "Τριγωνομετρικά όρια"
Παρ. 1.6 Μη πεπερασμένο όριο στο Χο.
Παρ. 1.7 Όρια συνάρτησης στο άπειρο.
Παρ. 1.8 Συνέχεια συνάρτησης.

Κεφάλαιο 2: Διαφορικός Λογισμός
Παρ. 2.1 Η έννοια της παραγώγου, χωρίς την υποπαράγραφο "Κατακόρυφη εφαπτομένη"
Παρ. 2.2 Παραγωγίσιμες συναρτήσεις- Παράγωγος συνάρτηση.
Παρ. 2.3 Κανόνες παραγώγισης, χωρίς την απόδειξη του θεωρήματος που αναφέρεται στην παράγωγο γινομένου συναρτήσεων.
Παρ. 2.4 Ρυθμός μεταβολής.
Παρ. 2.5 Θεώρημα Μέσης Τιμής Διαφορικού Λογισμού.
Παρ. 2.6 Συνέπειες του Θεωρήματος Μέσης Τιμής.
Παρ. 2.7 Τοπικά ακρότατα συνάρτησης, χωρίς το θεώρημα της σελίδας 264 (κριτήριο της 2ης παραγώγου).
Παρ. 2.8 Κυρτότητα - Σημεία καμπής συνάρτησης. (Θα μελετηθούν μόνο οι συναρτήσεις που είναι δύο, τουλάχιστον, φορές παραγωγίσιμες στο εσωτερικό του πεδίου ορισμού τους).
Παρ. 2.9 Ασύμπτωτες - Κανόνες De l’ Hospital.
Παρ. 2.10 Μελέτη και χάραξη της γραφικής παράστασης μιας συνάρτησης.

Κεφάλαιο 3: Ολοκληρωτικός Λογισμός
Παρ. 3.1 Αόριστο ολοκλήρωμα. (Μόνο η υποπαράγραφος "Αρχική συνάρτηση" που θα συνοδεύτεται από πίνακα παραγουσών συναρτήσεων η οποίος θα περιλαμβάνεται στις διδακτικές οδηγίες)
Παρ. 3.4 Ορισμένο ολοκλήρωμα
Παρ. 3.5. Η συνάρτηση F(x) = ολοκλήρωμα της f(x)dx από α έως χ
Παρ. 3.7 Εμβαδόν επιπέδου χωρίου, χωρίς την εφαρμογή 3 της σελίδας 348.

(Σ.σ. Στην εξεταστέα ύλη 2010-2011 έχει προστεθεί η απόδειξη του θεωρήματος στη σελ.262, έχει υπάρξει η τροποποίηση της υποσημείωσης στην ενότητα 3.1, ενώ έχει αφαιρεθεί η ενότητα 3.2)

Παρατηρήσεις
- Η διδακτέα - εξεταστέα ύλη θα διδαχτεί σύμφωνα με τις οδηγίες του Π.Ι.
- Τα θεωρήματα, οι προτάσεις, οι αποδείξεις και οι ασκήσεις που φέρουν αστερίσκο δε διδάσκονται και δεν εξετάζονται.
- Οι εφαρμογές και τα παραδείγματα των βιβλίων δεν εξετάζονται ούτε ως θεωρία ούτε ως ασκήσεις. Μπορούν, όμως, να χρησιμοποιηθούν ως προτάσεις για τη λύση ασκήσεων ή την απόδειξη άλλων προτάσεων.
- Εξαιρούνται από την εξεταστέα-διδακτέα ύλη οι εφαρμογές και οι ασκήσεις που αναφέρονται σε λογαρίθμους με βάση διαφορετική του e και του 10.

Γενικά η ύλη για όλα τα μαθήματα της Γ Λυκείου δίνεται παρακάτω από το επίσημο έγγραφο του Υπουργείου Παιδείας

Η νέα ύλη Γ Λυκείου 2010-11

Κυριακή, 14 Νοεμβρίου 2010

Ο Ερατοσθένης και η ακτίνα της Γης

Οι αρχαίοι Ελληνες, αντίθετα με όσα πιστεύει ο μέσος πολίτης σήμερα, γνώριζαν από την εποχή του Αριστοτέλη ότι η Γη είναι σφαιρική και όχι επίπεδη. Ο Ερατοσθένης μάλιστα, με ένα πείραμα που έχει μείνει στην Ιστορία, μπόρεσε να μετρήσει την ακτίνα της Γης με ακρίβεια απρόσμενη για τα μέσα της εποχής εκείνης. Οι μεταγενέστεροι αστρονόμοι και γεωγράφοι όμως συντάχθηκαν με την άποψη του Πτολεμαίου ότι η Γη είναι 30% μικρότερη από όσο είχε μετρήσει ο Ερατοσθένης. Το λάθος αυτό παρέμεινε για 15 αιώνες και ήταν η αιτία να αποφασίσει ο Κολόμβος το ταξίδι για την Ινδία, το οποίο κατέληξε στην ανακάλυψη της Αμερικής.
Το πείραμα του Ερατοσθένη βασίστηκε στη μέτρηση του ύψους του Ηλίου την ίδια ημερομηνία σε δύο διαφορετικές τοποθεσίες, καθώς και στην πεποίθηση του μεγάλου έλληνα μαθηματικού ότι ο Ηλιος είναι πολύ μακριά από τη Γη, τόσο ώστε οι ακτίνες του να φθάνουν στον πλανήτη μας σχεδόν παράλληλα. Από διηγήσεις ταξιδιωτών ο Ερατοσθένης έμαθε ότι στις 21 Ιουνίου, την ημέρα του θερινού ηλιοστασίου, ο Ηλιος καθρεφτίζεται στην επιφάνεια του νερού των πηγαδιών της πόλης Συήνης, αυτής που σήμερα οι Αιγύπτιοι ονομάζουν Ασουάν. Από την πληροφορία αυτή ο Ερατοσθένης συμπέρανε ότι η Συήνη βρίσκεται πάνω στον τροπικό του Καρκίνου, δηλαδή στον παράλληλο κύκλο με γεωγραφικό πλάτος 23,5 μοίρες. Το χαρακτηριστικό των τόπων που βρίσκονται στον τροπικό του Καρκίνου είναι ότι το μεσημέρι της 21ης Ιουνίου ο Ηλιος βρίσκεται στο ζενίθ, δηλαδή ακριβώς κατακόρυφα προς τα πάνω. Ετσι οι ακτίνες του διαδίδονται κατά μήκος των κατακόρυφων τοιχωμάτων των πηγαδιών, ανακλώνται στην επιφάνεια του νερού και επιστρέφουν προς την επιφάνεια, κάνοντας ορατό το είδωλό του σε έναν παρατηρητή που κοιτάζει από το στόμιο του πηγαδιού.

Το μεσημέρι της ημέρας του θερινού ηλιοστασίου ο Ερατοσθένης μέτρησε το ύψος του Ηλίου στην πόλη στην οποία κατοικούσε, την Αλεξάνδρεια της Αιγύπτου. Η μέτρηση έγινε με τη βοήθεια ενός οβελίσκου, ο οποίος είναι το αρχαιότερο αστρονομικό όργανο στην ιστορία της επιστήμης. Το μήκος της σκιάς που ρίχνει ο οβελίσκος, διαιρεμένο με το ύψος του οβελίσκου, μας δίνει, όπως μάθαμε στο σχολείο, την εφαπτομένη της γωνίας του ύψους του Ηλίου. Η γωνία αυτή, η οποία από τη μέτρηση του Ερατοσθένη προέκυψε 7,2 μοίρες, είναι ίση (ως «εντός-εκτός και επί τα αυτά», όπως θυμούνται οι παλαιότεροι) με την επίκεντρη γωνία που σχηματίζουν δύο ακτίνες της Γης με άκρα τη Συήνη και την Αλεξάνδρεια, υπό την προϋπόθεση ότι οι δύο πόλεις έχουν το ίδιο γεωγραφικό μήκος, βρίσκονται δηλαδή στον ίδιο μεσημβρινό. Επειδή από τη γεωμετρία γνωρίζουμε ότι η απόσταση των δύο πόλεων, η ακτίνα της Γης και η γωνία που μέτρησε ο Ερατοσθένης συνδέονται με τη σχέση απόσταση/ακτίνα = 6,28x(7,2/360), η ακτίνα της Γης βρίσκεται αμέσως αν γνωρίζουμε την απόσταση των δύο πόλεων. Την εποχή του Ερατοσθένη, περί το 250 π.Χ., δεν υπήρχε ακριβής μέθοδος μέτρησης τόσο μεγάλων αποστάσεων. Σύμφωνα με την παράδοση, ο Ερατοσθένης ανέθεσε σε επαγγελματίες βαδιστές να την υπολογίσουν, και το αποτέλεσμά τους το συνέκρινε με τις εκτιμήσεις αρχηγών καραβανιών. Το τελικό του αποτέλεσμα ήταν ότι η απόσταση Αλεξάνδρειας- Συήνης ισούται με 5.000 στάδια, οπότε η ακτίνα της Γης προκύπτει ίση με 252.000 στάδια.

Για να μπορέσουμε να εκτιμήσουμε την ακρίβεια της μέτρησης του Ερατοσθένη, θα έπρεπε να γνωρίζουμε πόσο είναι το μήκος ενός σταδίου σε μέτρα, καθώς και κατά πόσο αληθεύουν οι δύο υποθέσεις του Ερατοσθένη, δηλαδή ότι η Συήνη έχει γεωγραφικό πλάτος 23,5 μοίρες και ότι Συήνη και Αλεξάνδρεια βρίσκονται στον ίδιο μεσημβρινό. Μια ματιά σε έναν σύγχρονο χάρτη δείχνει ότι και οι δύο υποθέσεις ήταν λανθασμένες, αλλά το λάθος δεν ήταν μεγάλο: το γεωγραφικό πλάτος της Συήνης είναι 24,1 μοίρες, ενώ τα γεωγραφικά μήκη των δύο πόλεων διαφέρουν μόνο κατά μία μοίρα. Επομένως η βασική πηγή σφάλματος είναι το μήκος ενός σταδίου σε μέτρα. Θα έλεγε κανείς ότι έχουν διασωθεί πολλά αρχαία στάδια, οπότε δεν έχουμε παρά να μετρήσουμε πόσο μήκος έχει ένα από αυτά. Δυστυχώς τα στάδια δεν είχαν το ίδιο μήκος σε όλες τις περιοχές της αρχαίας Ελλάδας. Αν υποθέσουμε ότι ο Ερατοσθένης εννοούσε αττικά στάδια των 185 μέτρων, τότε το αποτέλεσμά του δίνει για την ακτίνα της Γης 7.400 χιλιόμετρα, τιμή 16% μεγαλύτερη από την πραγματική. Αν όμως εννοούσε αιγυπτιακά στάδια, πράγμα που είναι και το πιθανότερο, τότε κατά τον Ερατοσθένη η ακτίνα της Γης είναι 6.316 χιλιόμετρα, μόλις 1% μικρότερη από την πραγματική, που σήμερα γνωρίζουμε ότι είναι 6.366 χιλιόμετρα!

Το πείραμα του Ερατοσθένη είχε δημιουργήσει μεγάλη εντύπωση στην εποχή του, και αρκετοί μεταγενέστεροι φυσικοί φιλόσοφοι, όπως ονομάζονταν οι επιστήμονες εκείνη την εποχή, θέλησαν να το επαναλάβουν. Ο πρώτος που γνωρίζουμε, χρονολογικά, ήταν ο Ελληνας Ποσειδώνιος ο Ρόδιος, ο οποίος γύρω στο 100 π.Χ. υπολόγισε την ακτίνα της Γης με διαφορετική μέθοδο από αυτήν του Ερατοσθένη. Υπέθεσε ότι η Αλεξάνδρεια και η Ρόδος είναι στον ίδιο μεσημβρινό και υπολόγισε ότι η επίκεντρη γωνία που σχηματίζουν οι δύο πόλεις είναι 7,5 μοίρες, παρατηρώντας όχι τον Ηλιο αλλά το ύψος του αστέρα Κάνωπου, όπως φαίνεται από τις δύο πόλεις. Υποθέτοντας ότι η απόσταση των δύο πόλεων είναι 5.000 στάδια, κατέληξε σε ένα αποτέλεσμα πρακτικά ίδιο με αυτό του Ερατοσθένη. Μεταγενέστερα όμως αναθεώρησε την εκτίμησή του για την απόσταση Ρόδου- Αλεξάνδρειας σε 3.750 στάδια, οπότε η ακτίνα της Γης προέκυψε ίση με 4.500 χιλιόμετρα, δηλαδή 30% μικρότερη από την πραγματική. Με την τιμή αυτή συμφώνησε στη συνέχεια ο ρωμαίος ναύαρχος και φυσικός φιλόσοφος Πλίνιος, ενώ την καθιέρωσε οριστικά ο έλληνας αστρονόμος Πτολεμαίος αναφέροντάς τη στο βιβλίο του Γεωγραφία.

Τα βιβλία του Πτολεμαίου έχαιραν μεγάλης εκτίμησης μεταξύ των επιστημόνων ως την Αναγέννηση, και αυτό το γεγονός ήταν η αιτία να επικρατήσει τελικά η λανθασμένη τιμή του Ποσειδώνιου για την ακτίνα της Γης. Σε υδρόγειες σφαίρες της εποχής, κατασκευασμένης με βάση αυτήν τη λανθασμένη τιμή, βλέπει κανείς τοποθετημένες την Ευρώπη, την Ασία και την Αφρική να καλύπτουν όλη την επιφάνεια της Γης, χωρίς να υπάρχει διαθέσιμος χώρος για άλλη ήπειρο. Ο Κολόμβος, με βάση παρόμοιους χάρτες, κατέληξε στο συμπέρασμα ότι η Ινδία απείχε από τα Κανάρια Νησιά μόλις 6.300 χιλιόμετρα δυτικά (αντί για τη σωστή 28.000 χιλιόμετρα), οπότε θα μπορούσε να φθάσει σχετικά σύντομα στις Ινδίες ταξιδεύοντας προς δυσμάς. Επομένως θα μπορούσε κανείς να πει ότι το λάθος του Ποσειδώνιου έπαιξε καθοριστικό ρόλο για την ανακάλυψη της Αμερικής από τον Κολόμβο, αφού είναι σχεδόν βέβαιο ότι αν γνώριζε τις πραγματικές διαστάσεις της Γης δεν θα τολμούσε ποτέ να ξεκινήσει για ένα ταξίδι 28.000 χιλιομέτρων με τα πλοία της εποχής.

Πηγή: Το Βήμα (14.11.2010).

Το παράδοξο των γενεθλίων!

Πηγή: http://mathhmagic.blogspot.gr

Το παράδοξο των γενεθλίων και η 27η αγωνιστική της Superleague !!


                                 
         "Ας δώσουμε περισσότερο χρόνο στο πιθανό και θα συμβεί!!!!"
                Ηρόδοτος
 
Πόσο συχνά δυο ποδοσφαιριστές που συμμετέχουν στον ίδιο ποδοσφαιρικό αγώνα  κάνουν κοινό πάρτι γενεθλίων; 
Πολύ πιο συχνά από ότι θα περίμενε κανείς , αποδεικνύεται ότι σε περισσότερους από τους μισούς ποδοσφαιρικούς  αγώνες   δυο τουλάχιστον  ποδοσφαιριστές που λαμβάνουν μέρος στον ίδιο αγώνα θα έχουν γενέθλια την ίδια μέρα του χρόνου. Σαν  αριθμητικό δεδομένο φαντάζει περίεργο  για αυτό φέρει το τίτλο του παραδόξου παρ ότι δεν είναι. Ας το δούμε αναλυτικότερα.

Το ερώτημα που τίθεται αρχικά είναι: 
Πόσοι άνθρωποι πρέπει να  βρίσκονται σε μια αίθουσα για να έχουμε πιθανότητα μεγαλύτερη από 50% τα γενέθλια τουλάχιστον δυο από αυτούς να συμπίπτουν; Θα το σκεφτούμε αντίστροφα θα υπολογίσουμε αρχικά την πιθανότητα όλοι οι άνθρωποι να έχουν διαφορετική  μέρα του χρόνου γενέθλια. Ας φανταστούμε τον πρώτο άνθρωπο να μπαίνει στην αίθουσα τότε η  πιθανότητα  η ημέρα των γενεθλίων του να διαφέρει από κάθε άλλου προσώπου στην αίθουσα είναι 1 ( δεν υπάρχει άλλο πρόσωπο) .Το γράφουμε σαν κλάσμα:
                                                       
με την έννοια ότι  από τις 365 δυνατές μέρες γενεθλίων όλες είναι διαφορετικές .
Όταν ένα δεύτερο πρόσωπο μπαίνει στην αίθουσα  τότε θέλουμε τα γενέθλια των δυο ανθρώπων   να διαφέρουν , αν ο ένας έχει γενέθλια μια μέρα του χρόνου ο άλλος έχει  364  επιλογές ημερών σε ένα σύνολο 365 ημερών του χρόνου .Άρα η πιθανότητα σε αυτήν την περίπτωση είναι :
                                           
Όταν ένα τρίτο πρόσωπο μπει στην αίθουσα τότε έχουμε αντίστοιχα 363 επιλογές  έτσι η πιθανότητα να έχουν οι τρεις άνθρωποι γενέθλια σε διαφορετικές ημέρες του χρόνου είναι :
                                       
Ανάλογα αν μπουν μέσα Κ άνθρωποι τότε η πιθανότητα  να έχουν και οι κ γενέθλια σε διαφορετική μέρα του χρόνου είναι:
                               
 (αν δεν καταλάβατε πως βγήκε ο τύπος ,ρίξτε μια ματιά ΕΔΩ )

 
Όταν   Κ=22 το κλάσμα ισούται με 0.524305 και όταν  Κ=23 η πιθανότητα ισούται με 0.492703 . Υπολογίσαμε την πιθανότητα του ενδεχόμενου και οι  Κ άνθρωποι να έχουν γενέθλια όλοι σε διαφορετικές ημέρες  ,αν  λοιπόν από το 1 αφαιρέσουμε αυτήν  την πιθανότητα θα πάρουμε την πιθανότητα τουλάχιστον δυο άνθρωποι να έχουν την ίδια μέρα του χρόνου γενέθλια. Δείτε τα νούμερο που προκύπτουν:
Για Κ=22   τότε 1-0.524305=0.475695  ή 47.5695 %
Για κ=23 τότε  1-0.492703=0.507297 ή 50.7297 %
 
Η τελευταία  σχέση εκφράζει αυτό ακριβώς που αποκαλείται  “παράδοξο των γενεθλίων” , δηλαδή σε κάθε συγκέντρωση 23 ανθρώπων η πιθανότητα τουλάχιστον δυο από αυτούς να έχουν την ίδια μέρα του χρόνου γενέθλια είναι μεγαλύτερη από 50% (50.7297 %)
 
Αν αυτό σας φαίνεται παράξενο το διαδίκτυο μας προσφέρει τα μέσα να κάνουμε το εξής πείραμα. Σκεφτείτε ότι σε  έναν οποιοδήποτε ποδοσφαιρικό αγώνα  έχουμε 22 ποδοσφαιριστές και τον διαιτητή (11+11+1=23)  σύμφωνα  με τα παραπάνω  η πιθανότητα να  κάνουν την ίδια μέρα πάρτι  γενεθλίων τουλάχιστον δυο από τους συμμετέχοντες (παίκτες , διαιτητής ) είναι πάνω από 50% .
 
Επιλέγουμε  στην τύχη μια αγωνιστική του superleague (ας πούμε  με ημερομηνία  01/04/2012 ) και  από τους αγώνες που διεξήχθησαν  επιλέγουμε δυο στην τύχη και διαπιστώνουμε  ότι:
 
1)Παναθηναϊκός - Άρης  ( καμιά σύμπτωση γενεθλίων).
2)Παναιτωλικός – Ολυμπιακός  ( εδώ  έχουμε δυο  ζεύγη παικτών με γενέθλια την ίδια μέρα (Γραμμόζης,- Μπάρκογλου 1978-07-08) και (Κλωναρίδης, Ιωάννου 1992-07-28 ).
 
Αν κάποιος έχει αρκετή υπομονή μπορεί να επιλέξει μια οποιαδήποτε αγωνιστική  και να ελέγξει τις ημερομηνίες γενεθλίων όλων των αγώνων θα διαπιστώσει και εμπειρικά το παράδοξο των γενεθλίων.
 
Το γεγονός  ότι είναι αναμενόμενο στους μισούς αγώνες  από όσους επιλέξουμε να συμβαίνει η σύμπτωση γενεθλίων  δεν σημαίνει ότι θα πραγματοποιηθεί  κιόλας. Είναι σαν σκεπτόμαστε ότι αν ρίξουμε ένα κέρμα  4 φορές το κέρμα οφείλει να έρθει 2 φορές κορώνα και 2 γράμματα (  πλάνη του τζογαδόρου   ).

Δείτε και ένα σχετικό βίντεο:
 http://mathhmagic.blogspot.com/2012/02/23-and-football-birthdays.html

Τετάρτη, 10 Νοεμβρίου 2010

Μάθημα 5 - Άλγεβρα Α΄ Λυκείου

Το "Μάθημα 5" περιέχει το κεφάλαιο 1.2 από την Άλγεβρα Α΄ Λυκείου. Είναι η διάταξη των πραγματικών αριθμών. Υπάρχουν 11 ερωτήσεις θεωρίας και 10 ασκήσεις με κενά για λύση.
Μάθημα 5ο

Τρίτη, 9 Νοεμβρίου 2010

Εργασία 2η - Γεωμετρία Β΄ Λυκείου - Κεφάλαια 7 - 9

2η εργασία στο μάθημα της Γεωμετρίας για τα κεφάλαια 7 έως 9. Οι εργασίες αυτές δίνονται στο μάθημα συμπληρωματικά και καλύπτουν τις φιλοδοξίες και τις ορέξεις των μαθητών για επιπλέον μάθηση. Είναι προαιρετικές αλλά προφανώς λογίζονται θετικά για όποιον ασχολείται.
Εργασία 2η-Κεφάλαια 7-9

Δευτέρα, 8 Νοεμβρίου 2010

Βάλε μου ρεύμα να λύσω Μαθηματικά!


Μετά από μελέτη που πραγματοποιήθηκε στο Πανεπιστήμιο της Οξφόρδης, ανακαλύφθηκε ότι η διέγερση του εγκεφάλου με ένα πολύ χαμηλής ισχύος ηλεκτρικό ρεύμα μπορεί να βελτιώσει τις ικανότητες ενός ανθρώπου στα μαθηματικά και συγκεκριμένα για χρονικό διάστημα έξι μηνών.
Οι ερευνητές του Πανεπιστημίου, με επικεφαλής τον Δρ Ρόι Κοέν Καντός, που δημοσίευσαν τη σχετική μελέτη στο επιστημονικό έντυπο Current Biology, σύμφωνα με το BBC, το πρακτορείο Reuters, το Science, έκαναν πειράματα με 15 εθελοντές ηλικίας 20-21 ετών.
Επί έξι μέρες και για 20 λεπτά κάθε φορά, οι επιστήμονες διέγειραν ηλεκτρικά με ρεύμα, ενός μικρού μόνο κλάσματος του αμπέρ (1 milliamper), το βρεγματικό λοβό των εθελοντών από αριστερά προς τα δεξιά και αντίστροφα. Οι εθελοντές αισθάνονταν αμυδρά την διακρανιακή ηλεκτρική διέγερση μόνο στα αρχικά δευτερόλεπτα του πειράματος και κανείς δεν εμφάνισε κάποια παρενέργεια.
Τα μαθηματικά τεστ που ακολούθησαν, έδειξαν ότι όσοι νέοι είχαν μετάσχει στην ομάδα επέμβασης, τα κατάφεραν σαφώς καλύτερα και μάλιστα, η επανάληψη των τεστ μετά από έξι μήνες έδειξε ότι η βελτίωση των ικανοτήτων τους συνεχιζόταν.

Κάτι ανάλογο διαβάσαμε και στην Βρετανική εφημερίδα "Γκάρντιαν".

Ένα ηλεκτροσόκ στον εγκέφαλο δεν σε κάνει Αϊνστάιν, αλλά σε βοηθάει να μαθαίνεις πιο εύκολα τα μαθηματικά.
Πόσο κρατά η επιφοίτηση; Τουλάχιστον έξι μήνες.


Όπως έγραψε η βρετανική εφημερίδα «Γκάρντιαν», έρευνα φοιτητών έδειξε ότι μια ήπια διέγερση του πίσω μέρους του εγκεφάλου αύξησε την ικανότητα των φοιτητών να μαθαίνουν και να χρησιμοποιούν αριθμούς για έξι μήνες. Η έρευνα μπορεί να οδηγήσει σε νέες θεραπείες παιδιών και ενηλίκων που δεν τα καταφέρνουν στα μαθηματικά, λόγω μαθησιακών δυσκολιών ή εγκεφαλικών βλαβών που προκλήθηκαν από εγκεφαλικά επεισόδια ή νευροεκφυλιστικές ασθένειες. «Δεν λέμε στους ανθρώπους να αρχίσουν τα ηλεκτροσόκ, αλλά μας έχει πάρα πολύ συναρπάσει το τι μπορεί να κάνει αυτό που βρήκαμε», δήλωσε ο Ρόι Κόεν Καντός, νευροεπιστήμονας στο Πανεπιστήμιο της Οξφόρδης. Η ομάδα του Πανεπιστημίου, μαζί με ακόμη μία από το Univercirty College London πήρε 15 φοιτητές και τους μοίρασε σε 3 ομάδες. Κάθε μία πέρασε έξι μέρες μαθαίνοντας σειρά συμβόλων που ανταποκρίνονταν σε αριθμούς από το μηδέν ως το εννέα.
Οι εθελοντές υφίσταντο κάθε μέρα ηλεκτροσόκ με ηλεκτρόδια προσαρμοσμένα στο τριχωτό της κεφαλής τα οποία περνούσαν στον εγκέφαλο (πίσω και πάνω από τα αυτιά) συνεχές αδύναμο ηλεκτρικό ρεύμα. Στην ομάδα που το ρεύμα περνούσε από τα δεξιά προς τα αριστερά η επίδοση στα τεστ που ακολούθησαν ήταν καλύτερη των άλλων ομάδων. Το επόμενο στάδιο θα είναι το πείραμα να γίνει με νεαρότερα άτομα.

Τα μαθηματικά των Μινωιτών


Του ΠΑΝΑΓΙΩΤΗ ΓΕΩΡΓΟΥΔΗ


Σύνθετες και πολύπλοκες μαθηματικές πράξεις γνώριζαν να πραγματοποιούν οι Μινωίτες από τον 16ο αιώνα π.Χ. με κλάσματα και χρήση του δεκαδικού συστήματος, γεγονός το οποίο ανατρέπει πλήρως την εικόνα που έχουμε μέχρι τώρα για την επιστήμη και τις εφαρμογές της στον αρχαίο κόσμο και μάλιστα τόσο νωρίς.

Τη συγκλονιστική αυτή ανακάλυψη πραγματοποίησε ο ερευνητής αιγαιακών γραφών Μηνάς Τσικριτσής, σε πρωτότυπο μαθηματικό κείμενο που βρίσκεται χαραγμένο στον τοίχο του διαδρόμου της μινωικής έπαυλης της Αγίας Τριάδας που είναι πλησίον του ανακτόρου της Φαιστού. Το ίδιο κείμενο είχε εντοπίσει το 1965 ο Μ. Pope που δημοσίευσε στο περιοδικό BSA, όπως αναφέρει ο Μηνάς Τσικριτσής, λέγοντας πως πρόκειται για γεωμετρική πρόοδο, αλλά χωρίς κανέναν άλλο σχολιασμό. Μάλιστα ο Έλληνας ερευνητής τονίζει ότι αντίστοιχα μαθηματικά συναντώνται μόνο στον Ευκλείδη, δηλαδή 11 αιώνες αργότερα.



Η πρωτοποριακή αυτή ανακάλυψη έρχεται να δικαιολογήσει τη δημιουργία των αρχιτεκτονικά πολύπλοκων και πολυδαίδαλων μινωικών ανακτόρων για τα οποία χρειαζόταν ένα συγκροτημένο υπόβαθρο επιστημονικών και θεωρητικών γνώσεων σε διαφορετικά επιστημονικά αντικείμενα και όχι μόνο καλούς εμπειρικούς μαστόρους. Επίσης το ανεπτυγμένο μινωικό εμπόριο στη Μεσόγειο, η εξελιγμένη μικροτεχνία, η ανακάλυψη ολόκληρου οικισμού στον Ψηλορείτη στα 1.200 μέτρα υψόμετρο (Ζώμινθος) απαιτούσαν μια τεχνολογία αρκετά προωθημένη.

Ο ερευνητής Μηνάς Τσικριτσής, με τη χρήση μαθηματικού αλγόριθμου, έχει αναγνώσει τη Γραμμική Α' Γραφή, βρίσκοντας πως συγγενεύει με τη Γραμμική Β', ενώ το 70% των εγγράφων της Γραμμικής Α' είναι μία πρώιμη Αιολική Γραφή και το 30% είναι σε μία άγνωστη γραφή πιθανόν Λουβική. Τη μελέτη του εξέδωσαν οι εκδόσεις της Βικελαίας Βιβλιοθήκης του Δήμου Ηρακλείου.

Σύμφωνα με τον κ. Τσικριτσή, «Τα αριθμητικά σύμβολα που χρησιμοποιούνται στο δεκαδικό σύστημα της γραμμικής Α' είναι όμοια με εκείνα της γραμμικής Β':

* Η κάθετη γραμμή Ι για τη μονάδα Ι

* Η οριζόντια γραμμή - για τη δεκάδα -

* Η κουκκίδα ή κύκλος για την εκατοντάδα ο

* Το σύμβολο για τη χιλιάδα .ο+

π.χ. ο αριθμός 1224 γραφόταν ο+ ο ο =Ι Ι Ι Ι


Εκτός των ακεραίων αριθμητικών συμβόλων οι Μινωίτες καταγραφείς χρησιμοποιούσαν ένα πολύπλοκο σύστημα κλασματικών σημείων για τα μέτρα των στερεών και ρευστών προϊόντων.

Γι' αυτό το σύστημα ο ίδιος ερευνητής αναφέρει: «Χαρακτηριστικά ο υπάλληλος που απασχολείτο με διανομή των προϊόντων, αν ήθελε να αποδώσει 4 και 3/8 (δηλαδή 4 >7) μονάδες κρασιού, μετρούσε πρώτα 4 ολόκληρα μέτρα, έπειτα το 1/4 και τέλος το 1/8 του μέτρου.

Ο παρακάτω πίνακας περιέχει τα βασικά σύμβολα, όπως συναντώνται στις πινακίδες της γραμμικής Α', που δηλώνουν μεγέθη μέτρησης υγρών και στερεών. Τα περισσότερα έχουν συσχετισθεί, από τον Ε. Bennett και άλλους ερευνητές, με κλασματικά μεγέθη. Στις δύο τελευταίες γραμμές εμφανίζεται ο αντίστοιχος του κλασματικού μεγέθους όγκος σε λίτρα, με αναγωγή στη μονάδα των 144 λίτρων για τα στερεά και των 36 λίτρων για τα υγρά.

Κλασματικά μεγέθη με αναγωγή στη μονάδα μέτρησης

Σύμβολο 7 + > λ >7 < <7 τ <λ Κλάσμα 1/8 1/5 1/4 1/3 3/8 1/2 5/8 1/6 3/4 5/6 Στερεα 144 18 28,8 36 48 54 72 90 24 108 120 Υγρά 36 4,5 7,2 9 12 13,5 18 25 6 27 30 Για την πολυπλοκότητα των Μινωικών Ανακτόρων και τη χρήση των μαθηματικών, ο κ. Τσικριτσής, επισημαίνει τα εξής: «Στην αρχιτεκτονική κατασκευή των αυλαίων χώρων των ανακτόρων ο W. Graham προσδιόρισε έναν ιερό πόδα 36 εκατοστών (παρατήρησε στην Κνωσό η κεντρική αυλή να έχει διαστάσεις 180Χ90 πόδια, στα Μάλια και Φαιστό 170Χ80 πόδια ενώ στη Ζάκρο 100Χ60 πόδια). Είναι ενδιαφέρον ότι η υποδιαίρεση του ποδιού σε μονάδες (2, 3, 4, 6, 9, 12 και 18) βοηθούσε πιθανόν στις κλασματικές πράξεις». Μινωικά Μαθηματικά po-to ku-ro 400+50+2+0,5 ποσσόν ούλο 452,5 ku-ro 31+1 ούlo 31+1 ku-ro 65 ούlo 65 qo-to - ku-ro 97 ποσσόν ούlo 97 Αναλύοντας το σύστημα των Μινωικών Μαθηματικών, ο ίδιος ερευνητής τονίζει: «Σε 32 πινακίδες της γραμμικής Α' υπάρχει, στην τελευταία σειρά, η λέξη ku-ro=χουλο=ούλον, και ακολουθεί το αριθμητικό ποσό, που είναι το άθροισμα των μονάδων που αναγράφονται στις προηγούμενες σειρές. Σε δύο πινακίδες της Αγ. Τριάδας αναγράφεται μερικό άθροισμα με τη λέξη ούλο, και στο τέλος μια γραμμή με τη φράση po-to - ku-ro = po-(s)o- ku-lo, που ερμηνεύεται "ποσόν ούλον" και ακολουθεί το συνολικό άθροισμα των προηγηθέντων μερικών αθροισμάτων». 


Το συγκλονιστικό εύρημα Εκτός των παραπάνω καθημερινών τρόπων καταγραφής των μαθηματικών υπολογισμών των αναγκών της μινωικής γραφειοκρατίας, υπάρχει και ένα μοναδικό εύρημα στην Αγ. Τριάδα (έπαυλη πλησίον της Φαιστού). Στη βορεινή πλευρά του δωματίου, που είχε τοιχογραφίες με παραστάσεις κρίνων και αγριόγατων που κυνηγούν φασιανούς, μία σκάλα οδηγεί σε ένα διάδρομο με τρεις κολώνες. Ο τοίχος του διαδρόμου είχε επίχρισμα, που είχε 3 εγχάρακτες επιγραφές (graffiti). Οι δύο εγχάρακτες επιγραφές αναφέρουν σε γραμμική Α' τις φράσεις: «αισθάνομαι να με διατρέχει η σκέψη του Διός» και «θεραπεία η σκέψη του Διός». Το μεγαλύτερο ενδιαφέρον επικεντρώνεται στην τρίτη εγχάρακτη επιγραφή, η οποία φέρει με κλασματικά σύμβολα της γραμμικής Α' τους τέσσερις πρώτους όρους μιας γεωμετρικής προόδου. 

Το κείμενο της εγχάρακτης επιγραφής παρατηρούμε στην παρατιθέμενη εικόνα. Η μεταγραφή των αριθμητικών σημείων του κειμένου και η μετατροπή τους σε σύγχρονη μορφή είναι η εξής: 1 1½ 21/4 3 1/4 1/8 ta 3 1/6 1 3/2 9/4 27/8 στάν 19/6 Στους παραπάνω όρους της γεωμετρικής προόδου παρατηρούμε ότι επιλύεται ένα σύνθετο κλασματικό πρόβλημα: (1+3/2)+(9/4/27/8) = 19/6. Οπου τα αποτελέσματα των πράξεων αποδίδονται (αντί του=) με την λέξη ta= στάν (αναύξητος επικός τύπος αορίστου β' με σημασία στον Ομηρο ζυγίστηκαν).


Αντίστοιχη μορφή μαθηματικών παρατηρούμε την ίδια περίοδο του 16ου π.Χ. αιώνα στον αιγυπτιακό πάπυρο του Rhind. Το πρόβλημα που επιλύει είναι σχετικό με μια γεωμετρική πρόοδο με ακέραια πολλαπλάσια του 7 και στο τέλος ευρίσκει το άθροισμα των τεσσάρων πρώτων όρων. 
  
Το πρόβλημα είναι το εξής: σε 7 σπίτια (pr w) είναι 7 γάτες (myw w), που κάθε μια τρώει 7 ποντίκια (pnw w). Αν κάθε ποντίκι έτρωγε 7 στάχια σίτου (bd t), που αν τα έσπερνε κάποιος, θα παρήγαγαν 7πλάσια μονάδα Hekat, πόσο στάρι σώθηκε. Το αποτέλεσμα (dmd) των πράξεων παρατηρούμε από τον παρατιθέμενο πίνακα, που στο τέλος κάνει την πράξη: (7+49+343+2301+16807)=19607 

Το μαθηματικό πρόβλημα της γεωμετρικής προόδου παρατηρούμε ότι είναι γνωστό στους Αιγυπτίους από τον 16ο αιώνα π.Χ. με ακεραίους αριθμούς και συγκεκριμένα πολλαπλάσια του 7. Το πρωτότυπο που παρατηρούμε στο εγχάρακτο αριθμητικό κείμενο στον τοίχο του διαδρόμου της Αγ. Τριάδας είναι ότι: περίπου στο 1550 π.Χ. οι Μινωίτες καταγράφουν μία κλασματική γεωμετρική πρόοδο με λόγο 3/2 που σε κανέναν άλλο λαό δεν συναντάται, παρά μόνο ύστερα από 11 αιώνες στα μαθηματικά του Ευκλείδη. 

Παράλληλα δε επιλύουν ένα σύνθετο μαθηματικό κλασματικό πρόβλημα.Τη χρονική περίοδο, γύρω στο 16ο αι., οι Μινωίτες, όπως παρατηρούμε αφενός από το εγχάρακτο αριθμητικό κείμενο της Αγ. Τριάδας με την κλασματική γεωμετρική πρόοδο, και αφετέρου από τις λογιστικές πινακίδες με το άθροισμα των μερικών συνόλων προκύπτει ότι είχαν ανακαλύψει σύνθετες μαθηματικές πράξεις. Το φαινόμενο αυτό μπορεί να χαρακτηρισθεί πρωτοποριακό στην παγκόσμια ιστορία των μαθηματικών (τουλάχιστο με τις μέχρι σήμερα γνωστές γραπτές πηγές).
 

http://www.ellinikoarxeio.com

Τρίτη, 2 Νοεμβρίου 2010

Πύλη Επαγγελματικού Προσανατολισμού (ΣΕΠ)

Μια σημαντική διεύθυνση για τους μαθητές της Γ΄ Λυκείου πριν συμπληρώσουν το μηχανογραφικό τους. Δίνει ενημέρωση για κάθε σχολή-τμήμα ξεχωριστά μέσα από μια λίστα επιλογών, χωρισμένα ανά πεδίο.
Για να επισκεφτείτε την ιστοσελίδα του ΣΕΠ πατήστε εδώ

Μια βραβευμένη παρουσίαση Γεωμετρίας για την Α΄ Γυμνασίου

Μια ενδιαφέρουσα παρουσίαση της Γεωμετρίας στην Α΄ Γυμνασίου, από την συνάδελφο ΑΝΝΑ ΖΟΥΡΝΑ από το Κολέγιο Θεσσαλονίκης.

Το έργο αυτό βραβεύτηκε το 2010 από το Υπουργείο Παιδείας στα "Αριστεία και καινοτομία στην εκπαίδευση"

(ανανέωση συνδέσμου 6/9/2015) Για απευθείας αποθήκευση πατήστε εδώ.