Να αφαιρεθούν μονάδες όταν ο μαθητής βρίσκει την αντίστροφη όπως το σχολικό βιβλίο;

Επειδή οι εξετάσεις των υποψηφίων ολοκληρώθηκαν, έχουμε πλέον τον χρόνο να σχολιάσουμε τις απαντήσεις που δόθηκαν από τους μαθητές και το αν, σε ορισμένες περιπτώσεις, πρέπει ή δεν πρέπει να αφαιρεθούν μονάδες.

Παράλληλα, επειδή η διόρθωση των γραπτών μόλις ξεκίνησε, θεωρώ ότι είναι σημαντικό να προστατευθεί και το σώμα των διορθωτών, ώστε η βαθμολόγηση να γίνει με ενιαίο, δίκαιο και μαθηματικά τεκμηριωμένο τρόπο.

Στο Θέμα Β των Πανελλαδικών Εξετάσεων 2026 δινόταν η συνάρτηση

$$h(x)=\ln (x-2),x\in (2,+\mathrm{\infty })$$

και ζητούνταν από τους μαθητές να αποδείξουν ότι είναι $1-1$ και να βρουν την αντίστροφή της.

Οι ενδεικτικές απαντήσεις που στάλθηκαν από την Κ.Ε.Ε. βρίσκουν το πεδίο ορισμού της αντίστροφης μέσω του συνόλου τιμών της $h$. Κανένα πρόβλημα. Είναι μια απολύτως σωστή και πλήρης προσέγγιση.

Συγκεκριμένα, μπορεί κάποιος να δείξει ότι

$$h((2,+\mathrm{\infty }))=\mathbb{R},$$

οπότε

$$D_{h^{-1}}=\mathbb{R}\mathrm{.}$$

Στη συνέχεια, λύνοντας τη σχέση

$$y=\ln (x-2)$$

ισοδύναμα ως προς $x$, παίρνουμε

$$x=e^y+2.$$

Άρα

$$h^{-1}(x)=e^x+2,x\in \mathbb{R}\mathrm{.}$$

Αυτή είναι η προσέγγιση των ενδεικτικών απαντήσεων. Είναι σωστή, αλλά έχει περισσότερη εργασία για τον μαθητή, ειδικά σε ένα σημείο όπου το σύνολο τιμών είναι άμεσο και φανερό.

Έτσι, λογικά, οι 6 μονάδες του ερωτήματος Β2 μπορούν να «σπάσουν» σε 3 μονάδες για την εύρεση του πεδίου ορισμού της αντίστροφης, δηλαδή του συνόλου τιμών της $h$, και 3 μονάδες για την εύρεση του τύπου της αντίστροφης.

Το ζήτημα όμως είναι άλλο.

Παρατηρήθηκε ότι κάποιοι συνάδελφοι υποστηρίζουν πως, αν ο υποψήφιος βρει τον τύπο της αντίστροφης μέσα από τις ισοδυναμίες

$$y=h(x)⟺y=\ln (x-2)⟺x=e^y+2,y\in \mathbb{R},$$

τότε πρέπει επιπλέον να γράψει ότι η τιμή του $x$ που βρέθηκε ανήκει στο αρχικό πεδίο ορισμού, δηλαδή:

$$x>2⟺e^y+2>2⟺e^y>0,$$

που ισχύει για κάθε $y\in\mathbb{R}$. 

Αν δεν το γράψει, θεωρούν ότι πρέπει να αφαιρεθούν μονάδες.

Εδώ ακριβώς βρίσκεται το πρόβλημα.

Ας δούμε τι κάνει το σχολικό βιβλίο σε παρόμοια άσκηση. Στην Άσκηση 2(v), σελ. 38, δίνεται η συνάρτηση

$$f(x)=\ln (1-x),$$

με πεδίο ορισμού

$$(-\mathrm{\infty },1)\mathrm{.}$$

Το σχολικό βιβλίο, για να βρει την αντίστροφη, θέτει

$$y=f(x)$$

και λύνει ισοδύναμα ως προς $x$:

$$y=\ln (1-x)⟺1-x=e^y⟺x=1-e^y\mathrm{.}$$

Στη συνέχεια καταλήγει ότι

$$f^{-1}(x)=1-e^x,x\in \mathbb{R}\mathrm{.}$$

Όμως το σχολικό βιβλίο δεν γράφει χωριστά ότι

$$1-e^y<1⟺-e^y<0⟺e^y>0.$$

Δεν κάνει, δηλαδή, πρόσθετη επαλήθευση ότι η τιμή του $x$ που βρέθηκε ανήκει στο αρχικό πεδίο ορισμού της $f$.

Και πολύ σωστά δεν το κάνει.

Διότι, όταν λύνουμε ισοδύναμα τη σχέση

$$y=f(x)$$

ως προς $x$, οι περιορισμοί που προκύπτουν κατά την επίλυση περιλαμβάνουν ήδη τις αναγκαίες πληροφορίες για το σύνολο τιμών της $f$, άρα και για το πεδίο ορισμού της αντίστροφης.

Στην περίπτωση

$$h(x)=\ln (x-2),x>2,$$

από τη σχέση

$$y=\ln (x-2)$$

παίρνουμε

$$x-2=e^y\mathrm{.}$$

Επειδή

$$e^y>0$$

για κάθε πραγματικό $y$, προκύπτει αυτομάτως ότι

$$x=2+e^y>2.$$

Άρα η τιμή του $x$ που βρέθηκε ανήκει πράγματι στο αρχικό πεδίο ορισμού. Δεν είναι αναγκαίο να γραφτεί ως ξεχωριστό βήμα, αρκεί βέβαια ο μαθητής να έχει καταλήξει σωστά στο πεδίο ορισμού της αντίστροφης και στον τύπο της.

Παρατηρήσεις

1. Στους μαθητές λέμε συχνά να βρίσκουν πρώτα το σύνολο τιμών της συνάρτησης.

Αυτό είναι σωστό και είναι η μέθοδος που ακολουθούν οι ενδεικτικές απαντήσεις της Κ.Ε.Ε.

Όμως, όταν στο σχολικό βιβλίο εισάγεται η έννοια της αντίστροφης συνάρτησης, το σύνολο τιμών δεν είναι πάντοτε ήδη γνωστό. Γι’ αυτό και το βιβλίο ακολουθεί τη μέθοδο της επίλυσης της σχέσης

$$y=f(x)$$

ισοδύναμα ως προς $x$.

Επομένως, δεν μπορεί να θεωρηθεί λανθασμένη ή ελλιπής μια απάντηση που ακολουθεί ακριβώς τη μεθοδολογία του σχολικού βιβλίου.

2. Πρέπει οι μαθητές να κάνουν πρόσθετη επαλήθευση ότι το $x$ που βρήκαν ανήκει στο αρχικό (φυσικό) πεδίο ορισμού της συνάρτησης;

Στη συγκεκριμένη περίπτωση, όχι.Δεν το απαιτεί το σχολικό βιβλίο σε ίδια ουσιαστικά περίπτωση. Στην άσκηση με

$$f(x)=\ln (1-x),x<1,$$

το βιβλίο βρίσκει

$$x=1-e^y$$

και δεν επαληθεύει χωριστά ότι

$$1-e^y<1.$$

Η επαλήθευση αυτή είναι αληθής, αλλά δεν παρουσιάζεται ως απαραίτητο βήμα.

Θα είχε νόημα να ζητηθεί πιο ρητά μια τέτοια επαλήθευση σε περιπτώσεις όπου η συνάρτηση είναι περιορισμός μιας συνάρτησης και το πεδίο ορισμού της δεν είναι το φυσικό πεδίο ορισμού του τύπου της.

Για παράδειγμα, στη συνάρτηση

$$f(x)=(x-1{)}^2-1,x<1,$$

το πεδίο ορισμού της διαφέρει από αυτό που δίνεται. Επομένως, όταν λύσουμε ισοδύναμα ως προς x, θα πρέπει να βρούμε για y ικανοποιείται η σχέση x < 1. 

Δεν συμβαίνει κάτι αντίστοιχο στη συνάρτηση

$$h(x)=\ln (x-2)\mathrm{.}$$

Εδώ ο περιορισμός $x>2$ είναι ήδη ενσωματωμένος στη σχέση

$$x-2=e^y,$$

αφού το δεξί μέλος είναι πάντοτε θετικό.

3. Όταν λέμε ότι τα θέματα έχουν στροφή στο σχολικό βιβλίο, πρέπει να αποδεχόμαστε και τις λύσεις του σχολικού βιβλίου.

Δεν γίνεται να θεωρούμε το σχολικό βιβλίο κεντρικό σημείο αναφοράς για τη διδασκαλία και την εξέταση, αλλά στη βαθμολόγηση να απαιτούμε περισσότερα βήματα από αυτά που το ίδιο το βιβλίο θεωρεί επαρκή.

Αν ένας καθηγητής, για λόγους πληρότητας, διδάσκει στους μαθητές του να γράφουν και την επαλήθευση του αρχικού περιορισμού, πολύ καλά κάνει. Είναι μια καλή πρακτική και θεωρεί ότι δεν θέλει να τους ζαλίσει με το φυσικό πεδίο ορισμού της συνάρτησης και άλλοτε με τον περιορισμό της συνάρτησης.

Άλλο όμως η καλή πρακτική και άλλο το υποχρεωτικό βαθμολογικό κριτήριο.

Δεν μπορούμε να αφαιρούμε μονάδες από έναν υποψήφιο επειδή δεν έγραψε ένα επιπλέον βήμα που δεν απαιτείται ούτε από το σχολικό βιβλίο σε ανάλογη περίπτωση.

4. Η αφαίρεση 3 ή 4 μονάδων για αυτόν τον λόγο δεν είναι δίκαιη.

Αν ένας μαθητής:

$$y=\ln (x-2)⟺x=e^y+2,$$

καταλήξει σωστά ότι

$$h^{-1}(x)=e^x+2$$

και δηλώσει σωστά ότι

$$D_{h^{-1}}=\mathbb{R},$$

τότε έχει βρει σωστά την αντίστροφη συνάρτηση.

Η μη αναγραφή του ενδιάμεσου ελέγχου

$$e^y+2>2$$

δεν αλλοιώνει τη λύση, δεν οδηγεί σε λανθασμένο πεδίο ορισμού, δεν οδηγεί σε λανθασμένο τύπο και δεν δείχνει άγνοια της έννοιας της αντίστροφης.

Επομένως, η αφαίρεση σημαντικού αριθμού μονάδων για αυτό το σημείο δεν είναι ούτε παιδαγωγικά ούτε μαθηματικά ορθή.

Συμπέρασμα

Δεν είναι σωστό να αφαιρεθούν μονάδες από μαθητή που ακολούθησε τη μέθοδο του σχολικού βιβλίου, έλυσε ισοδύναμα τη σχέση

$$y=h(x),$$

βρήκε σωστά τον τύπο της αντίστροφης και δήλωσε σωστά το πεδίο ορισμού της.

Η πρόσθετη επαλήθευση ότι

$$e^y+2>2$$

μπορεί να θεωρηθεί μια καλή και πλήρης πρακτική. Δεν μπορεί όμως να αποτελέσει υποχρεωτικό βαθμολογικό κριτήριο, ιδίως όταν το ίδιο το σχολικό βιβλίο, σε παρόμοια άσκηση, δεν την πραγματοποιεί.

Ας συμφωνήσουμε τουλάχιστον σε αυτό:

Οι απαντήσεις που είναι σύμφωνες με τη μεθοδολογία και το επίπεδο πληρότητας του σχολικού βιβλίου πρέπει να θεωρούνται αποδεκτές στις Πανελλαδικές Εξετάσεις όσο και να έχουμε τις προσωπικές μας απόψεις, ας τις συζητήσουμε σε προσωπικό επίπεδο.

Το επίμαχο θέμα Β των Πανελλαδικών Εξετάσεων

Η άσκηση του σχολικού βιβλίου σελ. 38

Οι απαντήσεις από το σχολικό βιβλίο σελ. 19 που φαίνεται ότι δεν παίρνει επιπλέον περιορισμούς