Άσκηση 6η (χειραψίες)
Σε ένα συμβούλιο παρευρίσκονται 10 άτομα τα οποία ανταλλάσσουν μεταξύ τους από μια χειραψία. Πόσες χειραψίες έγιναν;
Να λυθεί το ίδιο πρόβλημα για
α) 100 άτομα
β) Γενίκευση: ν άτομα
Σημείωση: Το ίδιο σκεπτικό είναι και αν είχαμε τσουγκρίσματα ποτηριών!
Παρατήρηση:
1. Για να δείτε όλες τις ασκήσεις πατήστε στο φάκελο "Άλυτες ασκήσεις"
2. Εάν δεν έχει δοθεί απάντηση, θα γραφτεί η λύση μετά τις 5 Ιουλίου 2011
3. Θα παρακαλούσα να δώσουμε χρόνο για να απαντήσουν αρχικά οι μαθητές! Οι ασκήσεις είναι αποκλειστικά για τους μαθητές έως την χρονική περίοδο που ορίζει η κάθε άσκηση. Αν η άσκηση δεν απαντηθεί μέσα σε αυτό το διάστημα μπορεί να προσπαθήσει όποιος επιθυμεί! Σας ευχαριστώ για το ενδιαφέρον σας!
Για 10 άτομα:
ΑπάντησηΔιαγραφήο 1ος χαιρετά άλλους 9
ο 2ος >> 8
...
ο 9ος χαιρετά μόνο τον 10ο
άρα 9+8+..+1=(9*10)/2=45 χειραψίες
από τον τύπο 1+2+...+ν = ν(v+1)/2
Ομόιως για 1000 άτομα έχω:
999+998+....+1=499.500 χειραψίες
Ομοίως για ν άτομα έχω:
(ν-1)+(ν-2)+...+1=(ν-1)ν/2
45
ΔιαγραφήΆψογα η λύση και η περιγραφή της σκέψης σου!
ΑπάντησηΔιαγραφήΕίσαι μαθητής;
οχι, μαθηματικος ειμαι
ΑπάντησηΔιαγραφήκαλησπέρα,
ΑπάντησηΔιαγραφήυπάρχει λύση για το αντίστροφο πρόβλημα;Δηλαδή, αν ακούγονται ν(πχ 14) τσουγκρίσματα, πόσα άτομα βρίσκονται στο τραπέζι;
Εννοείται ότι ισχύει και το αντίστροφο, πρέπει να ισούται πάντα με ν(ν-1)/2 (από τον γενικό τύπο)
ΑπάντησηΔιαγραφήΑν προκύπτει φυσικός αριθμός τότε γίνεται, αν όχι, τότε δεν γίνεται να έχουμε τόσα τσουγκρίσματα (ή χειραψίες).
Πχ. Έστω ότι ακούστηκαν 15 τσουγκρίσματα σε ένα Πασχαλινό τραπέζι, τότε πόσα άτομα παρευρίσκονταν;
Απάντηση: 6, γιατί;
ν(ν-1)/2 = 15 δηλ. ν(ν-1)=30
και επειδή το ν είναι φυσικός αριθμός, γινόμενο δύο διαδοχικών φυσικών αριθμών που να δίνει 30 είναι το 6 και 5, άρα ν = 6!
Φυσικά μπορείς να το λύσεις και με εξίσωση δευτέρου βαθμού κάνοντας τις πράξεις, δηλ.
ν(ν-1)=30 άρα ν^2 - ν - 30 =0 κτλ
μπορειτε να μου πειτε ποσες χειραψιες πρεπει να κανει καποιος με αγνωστους, μεχρι να πεσει σε γνωστο του?
ΑπάντησηΔιαγραφή