lisari.blogspot.com

Επειδή οι εξετάσεις των υποψηφίων ολοκληρώθηκαν , έχουμε πλέον τον χρόνο να σχολιάσουμε τις απαντήσεις που δόθηκαν από τους μαθητές και το αν, σε ορισμένες περιπτώσεις, πρέπει ή δεν πρέπει να αφαιρεθούν μονάδες. Παράλληλα, επειδή η διόρθωση των γραπτών μόλις ξεκίνησε, θεωρώ ότι είναι σημαντικό να προστατευθεί και το σώμα των διορθωτών, ώστε η βαθμολόγηση να γίνει με ενιαίο, δίκαιο και μαθηματικά τεκμηριωμένο τρόπο . Στο Θέμα Β των Πανελλαδικών Εξετάσεων 2026 δινόταν η συνάρτηση \[ h(x)=\ln(x-2), \quad x\in(2,+\infty) \] και ζητούνταν από τους μαθητές να αποδείξουν ότι είναι \(1-1\) και να βρουν την αντίστροφή της. Οι ενδεικτικές απαντήσεις που στάλθηκαν από την Κ.Ε.Ε. βρίσκουν το πεδίο ορισμού της αντίστροφης μέσω του συνόλου τιμών της \(h\). Κανένα πρόβλημα. Είναι μια απολύτως σωστή και πλήρης προσέγγιση. Συγκεκριμένα, μπορεί κάποιος να δείξει ότι \[ h((2,+\infty))=\mathbb{R}, \] οπότε \[ D_{h^{-1}}=\mathbb{R}. \] Στη συνέχεια, λύνοντας τη σχέση \[ y=\ln(x-...

Η ανισότητα Huygens Επιμέλεια: Μάκης Χατζόπουλος   Με αφορμή το Θέμα Δ των Πανελλαδικών Εξετάσεων 2026, παρουσιάζουμε την κλασική ανισότητα Huygens: 2 η μ x + ε φ x > 3 x , x ∈ ( 0 , π 2 ) . 2ημx+εφx>3x,\qquad x\in\left(0,\frac{\pi}{2}\right). Στο άρθρο θα δούμε πώς η ανισότητα εμφανίζεται μέσα από το ερώτημα Δ3(i), ποιες είναι οι βασικές ισοδύναμες μορφές της, καθώς και διάφορες αποδείξεις με εργαλεία γνωστά στους μαθητές της Γ΄ Λυκείου: μονοτονία, παράγωγο, κυρτότητα και ανισότητα αριθμητικού - γεωμετρικού μέσου. Το κείμενο συνοδεύεται από ιστορικά σχόλια και μικρές προεκτάσεις, ώστε να φανεί ότι πίσω από μια φαινομενικά απλή εξεταστική άσκηση κρύβεται μια όμορφη και κλασική μαθηματική ιδέα. Για απευθείας αποθήκευση πατήστε εδώ. 

Το e-sos.gr ανάρτησε τις ενδεικτικές απαντήσεις που απέστειλε η Κ.Ε.Ε. στα Βαθμολογικά Κέντρα για την προφορική εξέταση των υποψηφίων στο μάθημα των Μαθηματικών. Με αφορμή τη δημοσίευση αυτή, παραθέτω ορισμένες παρατηρήσεις σε σημεία των ενδεικτικών απαντήσεων που, κατά τη γνώμη μου, χρειάζονται προσοχή ή περαιτέρω διευκρίνιση, καθώς ενδέχεται να δημιουργήσουν προβληματισμό κατά τη διόρθωση ή την αξιολόγηση των απαντήσεων των υποψηφίων. Οι παρατηρήσεις που ακολουθούν δεν αφορούν το e-sos.gr, το οποίο απλώς δημοσιοποίησε το σχετικό αρχείο, αλλά αποκλειστικά το περιεχόμενο των ενδεικτικών απαντήσεων. Υπενθυμίζεται ότι, σύμφωνα με τις οδηγίες του Υπουργείου Παιδείας, οι ενδεικτικές απαντήσεις προορίζονται για χρήση από τα Βαθμολογικά Κέντρα. Θεωρώ απαραίτητο να τονίσω ότι οι παρατηρήσεις που ακολουθούν διατυπώνονται με απόλυτο σεβασμό στον κόπο, την πίεση και το βάρος της ευθύνης που φέρει η Κεντρική Επιτροπή Εξετάσεων κατά τη σύνταξη των θεμάτων και των ενδεικτικών απαντήσεων. Ιδιαίτερη...

  Οι δύο αγαπητοί φίλοι, Αρχιμήδης (Α) και Ευκλείδης (Ε), όπως θα έχετε διαπιστώσει, έχουν εκ διαμέτρου αντίθετες αντιλήψεις - απόψεις, παρ’ όλα αυτά τους ενώνει μια μεγάλη αγάπη, τα μαθηματικά! Ας θυμηθούμε λίγο τους χαρακτήρες: Ευκλείδης Ο Ευκλείδης είναι ο αυστηρός, ο θεσμικός, ο μαθηματικά ακριβής χαρακτήρας. Σκέφτεται πρώτα με όρους ορθότητας, σαφήνειας και δικαιοσύνης . Δεν του αρκεί ένα θέμα να «βγαίνει περίπου» ή να είναι παιδαγωγικά ανεκτό· θέλει να είναι άψογο στη διατύπωση, καθαρό στη λύση και δίκαιο για όλους τους υποψηφίους. Είναι αυτός που εντοπίζει τις λεπτομέρειες: μια λέξη όπως το «ακριβώς», μια λανθασμένη υπόθεση, ένα ασαφές χωρίο, μια μη νόμιμη χρήση θεωρήματος, μια διαφοροποίηση στη βαθμολόγηση. Δεν αφήνει τίποτα να περάσει ασχολίαστο , αν δεν είναι στο δικό του κώδικα ηθικής και ακρίβειας. Έχει έντονη θεσμική ευαισθησία . Τον απασχολεί όχι μόνο το μαθηματικό λάθος, αλλά και τι σημαίνει αυτό για την αξιοπιστία των Πανελλαδικών Εξετάσεων , για την ισονομία των...

  1) Εκφωνήσεις θεμάτων 3/6/2026  ΓΕΛ : pdf - word * (από το site του Υπουργείου Παιδείας) * τα αρχεία word είναι μια προσφορά του Χρήστου Τσουκάτου 2) Απαντήσεις από τη lisari team  Σημείωση: Το αρχείο σε word προσφέρεται από lisari team σε όλα τα Βαθμολογικά Κέντρα (Β.Κ) της Ελλάδας. Καλή δύναμη! 3) Σχολιασμός Διαβάστε τη στιχομυθία του Ευκλείδη με το Αρχιμήδη 4) Ενδεικτικές απαντήσεις αποκλειστικά από το e-sos «Προβληματισμό προκαλεί το γεγονός ότι δημοσιεύονται ενδεικτικές απαντήσεις οι οποίες, σύμφωνα με τις οδηγίες του Υπουργείου Παιδείας, προορίζονται αποκλειστικά για τα Βαθμολογικά Κέντρα.   Δείτε και αντίστοιχη ανάρτηση που έχει κάνει το e-sos ! »

Μετά την επιθυμία σας να καταγράψετε τις εκτιμήσεις και τις προτάσεις σας λίγο πιο νωρίς, σας δίνουμε τον χρόνο να το κάνετε όπως εσείς επιθυμείτε. Ένα να κρατήσουμε: όλα γίνονται για καλό σκοπό. Δεν θέλουμε ούτε να αγχώσουμε ούτε να μπερδέψουμε, αλλά ούτε και να χαλάσουμε τα σχέδια των θεματοδοτών. Όποιος ενοχλείται, μπορεί να απομακρυνθεί από τους δέκτες του! Οι μαθητές πρέπει να συμβουλεύονται τους καθηγητές τους για το αν πρέπει να είναι μαζί μας και να συμμετέχουν ή να απέχουν από όλη αυτή τη διαδικασία. Σε όλα τα πράγματα το θέμα έγκειται στη χρήση που γίνεται. Οι υπερβολές δεν βοηθούν κανέναν. Κάποιοι αυτές τις ημέρες κρατούν μια σχέση με το lisari —και γενικότερα με το διαδίκτυο— όπως με το τζάκι! Ούτε πολύ κοντά, γιατί θα καούν, αλλά ούτε και μακριά, γιατί θα κρυώσουν! Αλλά αυτά είναι γούστα και δεν θα τα κρίνω. Εύχομαι τα σχόλιά σας στην παρούσα ανάρτηση να καταγραφούν όλα και να μη χάσουμε κανένα μήνυμα, μετά το νέο ελάττωμα που απέκτησε το Blogspot. Θέλω αναλυτικές εξηγήσει...

  Σήμερα, 2/6/2026 θα αναρτηθούν τα θέματα Μαθηματικών από τα ΕΠΑ.Λ Γ΄ τάξης. Αθόρυβα και ήσυχα θα περάσουν αυτά τα θέματα χωρίς πολλά σχόλια και μουρμούρα!  1) Εκφωνήσεις θεμάτων 2/6/2026 ΓΕΛ : pdf   (ώρα 10:11) - word * (από το site του Υπουργείου Παιδείας) * τα αρχεία word είναι μια προσφορά του Χρήστου Τσουκάτου 2) Απαντήσεις από τη lisari team Σημείωση: Το αρχείο σε word προσφέρεται από lisari team σε όλα τα Βαθμολογικά Κέντρα (Β.Κ) της Ελλάδας. Καλή δύναμη! 3) Σχολιασμός από την Ε.Μ.Ε. 4) Σχολιασμός από τον επιμελητή του lisari Μάκης Χατζόπουλο Ένας πρώτος σχολιασμός για τα σημερινά θέματα των Μαθηματικών Γ΄ ΕΠΑ.Λ. Αρχικά, παρατηρούμε ότι απουσιάζει το κλασικό ερώτημα συμπλήρωσης κενών στο Θέμα Α . Αντί γι’ αυτό, ζητήθηκε ένας δεύτερος ορισμός, ο οποίος, απ’ όσο γνωρίζω, δεν εμφανίζεται σε αρκετά φυλλάδια που κυκλοφορούν στο διαδίκτυο ( συμπεριλαμβανομένου και του δικού μας ). Είναι ένας ορισμός που προτείνεται για πρώτη φορά (τελικά έχει τεθεί στις Επαναληπτικ...

ΚΑΛΟ ΜΗΝΑ ΣΕ ΟΛΟΥΣ ΚΑΙ ΚΑΛΗ ΕΠΙΤΥΧΙΑ ΣΤΟΥΣ ΜΑΘΗΤΕΣ ΣΑΣ!! Σε αυτό το post θα συζητήσουμε και θα σχολιάσουμε οτιδήποτε αφορά το μάθημα των ΕΠΑ.Λ., που εξετάζεται αύριο, Τρίτη 2 Ιουνίου 2026. Εδώ θα κάνουμε την εκτόνωσή μας. Θα μιλήσουμε για όσα αναμένουμε, για τις δυσκολίες του μαθήματος και για το μέλλον του. Προτείνω ο σχολιασμός των εκπαιδευτικών να ξεκινήσει μετά τις 21:00, σήμερα 1/6/2026. Θέλω να ξεκαθαρίσω το εξής: όλα γίνονται για καλό σκοπό. Δεν θέλουμε ούτε να αγχώσουμε ούτε να μπερδέψουμε, αλλά ούτε και να χαλάσουμε τα σχέδια είτε των μαθητών είτε των καθηγητών, πόσο μάλλον των θεματοδοτών. Όποιος εκτιμά ότι δεν του προσφέρει τίποτα αυτή η συζήτηση, μπορεί να απομακρυνθεί από τους δέκτες του! Η διαδικασία αυτή είναι γνωστή και γίνεται τα τελευταία χρόνια με απόλυτη επιτυχία και με μεγάλη συμμετοχή συναδέλφων από όλη την Ελλάδα. Δεν θα στερήσω από κανέναν τη διαδικτυακή συζήτηση που γίνεται κάθε χρόνο την παραμονή των Πανελλαδικών Εξετάσεων. Είναι ο τρόπος που εκτονωνόμαστε· δρ...

  Καλή επιτυχία στους υποψήφιους! Ψυχραιμία στους γονείς! Καλή δύναμη στους καθηγητές! Και φέτος, το lisari.blogspot.com, με τη στήριξη της lisari team, θα βρίσκεται στο  επίκεντρο των εξελίξεων των Πανελλαδικών Εξετάσεων 2026. Το γνωστό μας online μαθηματικό καφενείο , που πραγματοποιείται κάθε χρόνο την παραμονή των εξετάσεων, ανοίγει και φέτος τις πόρτες του: για τα ΕΠΑΛ: Δευτέρα 1/6/2026 (μετά τις 22:00) για τα ΓΕΛ: Τρίτη 2/6/2026 (μετά τις 22:00) Θα εφημερεύουμε και θα διανυκτερεύουμε , με σχόλια, συζητήσεις, ιδέες και πολλή μαθηματική παρέα! Και φυσικά… σε κάθε επισκέπτη θα προσφέρουμε ένα  καλαΜάκη ! Καλή δύναμη σε όλους!

Όσοι έχουν πρόσβαση στο Ψηφιακό Φροντιστήριο μπορούν να διαπιστώσουν ότι γίνεται σοβαρή και συστηματική εργασία. Ωστόσο, ανάμεσα στα αρχεία που έχουν αναρτηθεί, καλό είναι να δοθεί ιδιαίτερη προσοχή σε ένα αρχείο που έπεσε στην αντίληψή μου και περιλαμβάνει τη θεωρία του 2ου Κεφαλαίου (Διαφορικός Λογισμός). Επειδή η θεωρία αποτελεί κομβικό ζήτημα, και επειδή οι μαθητές συχνά μελετούν από διάφορα αρχεία ή από υλικό που βρίσκουν στο διαδίκτυο, είναι σημαντικό να επισημαίνονται τυχόν λάθη, ιδιαίτερα όταν πρόκειται για έγγραφο που προέρχεται από επίσημο δημόσιο φορέα. Προσοχή: Το Θεώρημα της 2ης παραγώγου  ως γνωστόν δεν είναι εντός εξεταστέας ύλης.  Δεν θυμάμαι, μάλιστα, να είχε συμπεριληφθεί ποτέ στην ύλη των Πανελλαδικών Εξετάσεων.

 Δείτε το συγκεντρωτικό υλικό από τις προσομοιώσεις Μαθηματικών Προσανατολισμού έτσι όπως αναρτώνται στο διαδίκτυο και όσα στέλνουν οι αγαπητοί συνάδελφοι για τις Πανελλαδικές εξετάσεις 2026. Τελευταία ενημέρωση: 26/5/2026 1) 2o ΓΕΛ Ρόδου - Ηρακλείδης Χρήστος, Κωστάκης Νικόλαος, Χατζηαντώνης Νεκτάριος: Εκφωνήσεις - Απαντήσεις 2) Σιδηρόκαστρο: Επιμέλεια: Χρ. Καζάκης — Β. Μαυροφρύδης — Αθ. Μπεληγιάννης — Σ. Σκοτίδας  Εκφωνήσεις - Απαντήσεις 3) Διαγώνισμα προσομοίωσης από τα Λύκεια της Δυτικής Μακεδονίας, Πέλλας και Κυκλάδες: Εκφωνήσεις - Απαντήσεις 4) Εν Δυνάμει Φροντιστήρια: Εκφωνήσεις  - Απαντήσεις (Πηγή:  www.en-dynamei.gr  - διαγωνίσματα για όλα τα μαθήματα και από όλες τις χρονιές) 5) Ν. Σουρμπής - Ν. Ζανταρίδης: Διαγώνισμα Μαθηματικά Γ΄ Λυκείου για εξετάσεις 2026: Εκφωνήσεις - Απαντήσεις   (Πηγή:  zanthl.gr )  6) Θεόδωρος Φυλακτός 2026: Εκφωνήσεις - Απαντήσεις 7) 4ο ΓΕΛ Βεροίας - Επιμέλεια θεμάτων: Ιωσηφίδης Λεωνίδας και Χονδρολίδης Δημήτ...

 Και φέτος [2026] η lisari team μας προσφέρει νέα διαγωνίσματα Προσομοίωσης για το Γυμνάσιο, ΓΕΛ και ΕΠΑ.Λ.  Δηλαδή 12 αντικείμενα! Δώδεκα διαγωνίσματα μαθηματικών αποκλειστικά για τους αναγνώστες του lisari.blogspot.com. Τα διαγωνίσματα Προσομοίωσης είναι ακριβώς όπως μαρτυρά ο τίτλος τους. Προσομοιώνουν τις ενδοσχολικές εξετάσεις στα Μαθηματικά από το Γυμνάσιο έως τη Β΄ Λυκείου. Τα θέματα Προσομοίωσης της Γ΄ ΓΕΛ και Γ΄ ΕΠΑ.Λ είναι προσομοιώσεις των Πανελλαδικών Εξετάσεων.  Τα θέματα ακολουθούν τις οδηγίες του Υπουργείου Παιδείας και περιέχουν απαντήσεις. Το 2ο και 4ο θέμα για Α΄ και Β΄ Λυκείου είναι από την Τράπεζα Θεμάτων. Συντονισμός ομάδων, εξώφυλλο και μορφοποίηση αρχείων: Μάκης Χατζόπουλος Σημείωση : Τα θέματα διακινούνται αποκλειστικά από τον ιστότοπο lisari.blogspot.com , διότι γίνονται συνεχώς αλλαγές και τα αρχεία πρέπει να βρίσκονται στην νεότερη έκδοσή τους. Όποιοι επιθυμούν να τα κοινοποιήσουν, τότε να αντιγράψετε τον σύνδεσμο και όχι να αποθηκεύετε το αρ...