Μαθηματικά και GPS

Τα μαθηματικά στο Global Positioning System (GPS)

Για να ξεφύγουμε λίγο από την παράνοια των θεωρητικών μαθηματικών, από τα 1 + 1 = 0 και από την ισοδυναμία ή όχι δυο απειροσυνόλων, ας μιλήσουμε για κάτι πρακτικό και εφαρμόσιμο, βλέποντας πως τα μαθηματικά χρησιμεύουν στην τεχνολογία.


Το σύστημα GPS
Είναι γνωστό ότι τα διάφορα ηλεκτρονικά μέσα, και κυρίως οι διάφοροι δορυφόροι που περιφέρονται γύρω από τη Γη χρησιμοποιούνται, μεταξύ άλλων, και για τον εντοπισμό διαφόρων αντικειμένων ή και ανθρώπων πάνω στην επιφάνεια της Γης. Η διαδικασία είναι γνωστή σας GPS (Global Positioning System), και χρησιμοποιείται κατά κύριο λόγο για στρατιωτικούς σκοπούς.
Οι 24 δορυφόροι, που χρησιμοποιούνται για το σύστημα GPS, τέθηκαν σε τροχιά γύρω από τη Γη σε ύψος 20000 χιλιομέτρων από την επιφάνειά της, κατά το χρονικό διάστημα από το 1978 έως το 1994. Εκτελούν δυο πλήρεις περιστροφές σε λιγότερο από 24 ώρες, και κινούνται με ταχύτητα περίπου 11000 χιλιόμετρα την ώρα. Σαν κινητήριο δύναμη έχουν την ηλιακή ενέργεια, χωρίς να τους λείπει η εφεδρική μπαταρία σε περίπτωση έκλειψης ηλίου. Τα επίπεδα των τροχιών των δορυφόρων έχουν επιλεγεί κατά τέτοιο τρόπο, ώστε ανά πάσα στιγμή να είναι ορατοί τουλάχιστον πέντε έως οκτώ δορυφόροι από κάθε σημείο της επιφάνειας της Γης.

Για να γίνει κατανοητό το σύστημα GPS, υποθέτουμε ότι έχουμε ένα σύστημα συντεταγμένων Οxyz, του οποίου η αρχή Ο βρίσκεται στο κέντρο της Γης, και ο άξονας Οz περνά από το Βόρειο Πόλο. Υποθέτουμε επίσης, ότι η μονάδα μήκους είναι η ακτίνα της Γης, και ότι ο χρόνος μετράται σε εκατοστά του δευτερολέπτου από τα μεσάνυχτα.
Έστω ότι ένα πλοίο βρίσκεται σε κάποιο άγνωστο σημείο της επιφάνειας της Γης, του οποίου οι συντεταγμένες είναι (x,y,z) που πρέπει να προσδιορίσουμε. Το γεγονός ότι η μονάδα μήκους είναι η ακτίνα της Γης σημαίνει ότι, οι συντεταγμένες (x,y,z) κάθε σημείου της επιφανείας της Γης ικανοποιούν τη σχέση

Η απόσταση του πλοίου από ένα δορυφόρο προσδιορίζεται, αν ο δορυφόρος στείλει ένα σήμα στο πλοίο. Το σήμα κινείται με την ταχύτητα του φωτός, που είναι περίπου 0,469(t-to).

Aν ο δορυφόρος στείλει ταυτόχρονα και τις συντεταγμένες του (Xo,Yo,Zo), τότε η απόσταση του δορυφόρου από το πλοίο θα δίνεται και από τη σχέση

Από τις δυο τελευταίες σχέσεις προκύπτει η εξίσωση

η οποία, μετά τη στρογγυλοποίηση σε τρία δεκαδικά ψηφία μας δίνει

Από την εξίσωση αυτή ο δορυφόρος γνωρίζει τη θέση του και το χρόνο αποστολής του σήματος, δηλαδή γνωρίζει τα Xo, Yo, Zo, to. Επομένως έχουμε 4 αγνώστους x,y,z,t. Αυτός είναι και ο λόγος για τον οποίο χρειαζόμαστε μετρήσεις από 4 διαφορετικούς δορυφόρους για να προσδιορίσουμε τη θέση (x,y,z) του πλοίου.

Οι εξισώσεις που προκύπτουν λύνονται με μεθόδους γραμμικής άλγεβρας, ένας από τους πιο εφαρμόσιμους κλάδους των μαθηματικών. Σίγουρα υπάρχουν και άλλες μέθοδοι, πολλές περισσότερο αποτελεσματικές, αλλά πάντα μαθηματικές!