* Οι Bic κοστίζουν 0,50 € (ή δραχμές το ίδιο θα είναι αν γυρίσουμε στην δραχμή, η ισοτιμία αυτή θα είναι)
* Οι Pilot κοστίζουν 2 €
* Oι Parker κοστίζουν 3 €
Πόσα αντικείμενα αγόρασε ο Carlo από κάθε είδος χωριστά; Η λύση είναι μοναδική; Να γίνει πλήρη ανάλυση και δικαιολόγηση της απάντησή σας.
Σημείωση: Το πρόβλημα λύνεται και με δραχμές αντί ευρώ €, έτσι γίνεται και πιο επίκαιρο!
Ιστορικά σχόλια (από τον papaveri48)
Το πρόβλημα αυτό ανάγεται στη κατηγορία "Προβλήματα των 100 Πτηνών" του 13ου αιώνα. Με αυτού του είδους τα προβλήματα ασχολήθηκε ο Leonardo (di Pisa) Fibonacci (1170-1230) στο βιβλίο του «Liber Abbaci = Βιβλίο Άβακος=Εγχειρίδιο Αριθμητικής,1202, β΄ έκδοση,1228, αποτελούμενο από 15 κεφάλαια». Δείτε την ανάρτηση: "To Πρόβλημα Των Πτηνών"
Πηγή: http://papaveri48.blogspot.com
Λύση
Τελικά η λύση δεν είναι μοναδική, αλλά υπάρχουν 7 λύσεις, δείτε αναλυτικά παρακάτω.
Έχουμε, έστω
x: προϊόντα των 2 €
y: προϊόντα των 3 €
z: προϊόντα των 0,50 €
Οπότε:
x+y+z = 120 (1)
2x+3y+0,5z = 120 (2)
Από το σύστημα (1) και (2) παίρνουμε αν απαλείψουμε το z
x: προϊόντα των 2 €
y: προϊόντα των 3 €
z: προϊόντα των 0,50 €
Οπότε:
x+y+z = 120 (1)
2x+3y+0,5z = 120 (2)
Από το σύστημα (1) και (2) παίρνουμε αν απαλείψουμε το z
3x+ 5y = 120 (3)
όμως 3x = 120 – 5y δηλαδή 3x = 5(24 – y)
άρα x = πολ5 = 5κ, (4) όπου κ φυσικός αριθμός (διάφορος του μηδενός)
Επίσης από την (3) έχουμε,
5y = 120 – 3x δηλαδή 5y = 3(40 – x)
άρα y = πολ3 = 3λ, (5) όπου λ φυσικός αριθμός (διάφορος του μηδενός)
Άρα η σχέση (3) γίνεται:
3x+ 5y = 120 δηλαδή 15κ + 15λ = 120 άρα κ + λ =8, οπότε τα πιθανά ζευγάρια λύσεων (κ, λ) είναι:
(1,7), (2,6), (3,5), (4,4), (5,3), (6,2), (7,1)
τα ζευγάρια (8,0) και (0,8) απορρίπτονται αφού ο Carlo αγόρασε από όλα τα προϊόντα.
1η λύση: (κ, λ)=(1,7) έχουμε από τις σχέσεις (4) και (5): x = 5, y = 21 , z = 120 – 5 – 21 = 94
2η λύση: (κ, λ)=(2,6) έχουμε από τις σχέσεις (4) και (5): x = 10, y = 18 ,z = 120 – 10 – 18 =92
3η λύση: (κ, λ)=(3,5) έχουμε από τις σχέσεις (4) και (5): x = 15, y = 15 , z=120 – 15 – 15 = 90
4η λύση: (κ, λ)=(4,4) έχουμε από τις σχέσεις (4) και (5): x = 20, y = 12 , z = 88
5η λύση: (κ, λ)=(5,3) έχουμε από τις σχέσεις (4) και (5): x = 25, y =9 , z = 86
6η λύση: (κ, λ)=(6,2) έχουμε από τις σχέσεις (4) και (5): x = 30, y = 6 , z = 84
7η λύση: (κ, λ)=(7,1) έχουμε από τις σχέσεις (4) και (5): x = 35, y = 3 , z = 82
Γεια σου Μάκη.
ΑπάντησηΔιαγραφήΕίδα τον τίτλο και ...τρόμαξα.
Σου εύχομαι καλή σχολική χρονιά με υγεία, ευτυχία και χαρά για σένα και την οικογένειά σου. Και με πολύ δύναμη, που όπως φαίνεται θα τη χρειασθούμε...
@ Γιάννης Φιορεντίνος
ΑπάντησηΔιαγραφήΓιατί τρόμαξες. Όπως φαίνεται εκ των πραγμάτων προς αυτή τη κατεύθυνση οδεύουμε.
Μάκη καλημέρα!
ΑπάντησηΔιαγραφήΩραία η διατύπωση του προβλήματος. Σ' ευχαριστώ. Δες τη λύση και το σχόλιο που έκανα στο γρίφο http://papaveri48.blogspot.com/2011/09/blog-post_08.html
Γιάννη σε ευχαριστώ για τις ευχές σου και αντεύχομαι!
ΑπάντησηΔιαγραφήΌ,τι καλύτερο και για σένα και την οικογένειά σου, ελπίζω να έχουμε μια ΗΡΕΜΗ σχολική χρονιά παρά τα αντίθετα μηνύματα που λαμβάνουμε...
Γιάννη ο επόμενος τίτλος θα είναι (για να μην τρομάξεις σε ενημερώνω):
"Οι σειρήνες του πολέμου δεν θα αργήσουν να ηχήσουν"
(Ζούμε εποχές '74, οικονομική κατάρρευση, χαλαρή διακυβέρνηση, σοβαρά εσωτερικά προβλήματα και οι Τούρκοι καταδρομείς κάνουν ντου σε φυλάκια της Κύπρου και αρπάζουν την Ελληνική σημαία)
@papaveri (Carlo)
ΑπάντησηΔιαγραφήΤην είδα, νομίζω ότι έχω καλύτερη λύση, πιο κομψή!! Μπράβο πάντως για την άσκηση, πολύ καλή, την κρατάμε! Θα προσθέσω και τα ιστορικά σχόλια που έγραψες στο blog σου...
Περιμένω λύση και από τον άριστο λύτη - μαθηματικό Γιάννη Φιορεντίνο, μήπως δώσει μια άλλη ιδέα καλύτερη από αυτές που έχουμε...
Θα την ανεβάσω σύντομα...
@ Χατζόπουλος Μάκης
ΑπάντησηΔιαγραφήΑπό καταβολής κόσμου η Τουρκία διακατεχόταν απο εχθρικές τάσεις προς την Ελλάδα και ας πρεσβεύουν ότι είναι "φίλη" λόγω πολιτικών σποπιμοτήτων και βλέψεων
μελλοντικών. Τα προβλήματα της εξωτερικής πολιτικής θα διογκόνονται μέρα με τη μέρα μέχρι να γίνει αυτό που έγραψες:
"Οι σειρήνες του πολέμου δεν θα αργήσουν να ηχήσουν"
προσθέτω και τη λέξη "εκ νέου".
Ο Μεγαλοδύναμος να βάλει το Χέρι ΤΟΥ να μη συμβεί τέτοιο κακό!!
@Χατζόπουλος Μάκης
ΑπάντησηΔιαγραφήΝομίζω ότι η λύση μου δεν
υστερεί σε τίποτα και είναι
αναλυμένη σε βάθος ή όχι;
Για μένα είναι λίγο κουραστικό να κάνεις 9 δοκιμές και να ελέγχεις ποια είναι σωστή για να την δεχτείς, εγκυμονεί κινδύνους όπως και έγινε με την λύση που ξέχασες, για a = b = 4 είναι δεκτή δηλ. ο αριθμός 44 που δεν τον βρήκες, σωστά ή σε αδικώ;
ΑπάντησηΔιαγραφήΤώρα ποια είναι ποιο κομψή ας κρίνει άλλος, μαθηματικά δεν υστερεί η λύση σου...
Φιλικά
Μάκης
@Χατζόπουλος Μάκης
ΑπάντησηΔιαγραφήΣτις δοκιμές που έκανα χρησιμοποίησα και το "4", αλλά δεν το "είδα" σε βάθος, γι' αυτό μου διέφυγε. Μετά που το είδα πιο ψύχραιμα κατάλαβα το λάθος μου να μη το δεκτώ σαν τρίτη λύση.
@Χατζόπουλος Μάκης
ΑπάντησηΔιαγραφήΠοια είναι η λύση του 7^2011. Δεν μπόρεσα να τη βρω. Έχει τον ίδιο μηχανισμό με το 7^20;
Στείλε μου τη λύση στην ηλεκτρονική μου διεύθυνση.
Ακριβώς!Πάρε τις τέσσερις δυνάμεις του 7 και θα καταλάβεις πως πάει το τελευταίο ψηφίο!
ΑπάντησηΔιαγραφή@Χατζόπουλος Μάκης
ΑπάντησηΔιαγραφήΜπορείς να με βοηθήσεις λίγο, γιατί και πάλι δεν κατάλαβα το σκεπτικό σου.
Θες να πάμε στην αντίστοιχη ανάρτηση να την σχολιάσουμε; Γιατί εδώ δεν είναι η σωστή θέση της...
ΑπάντησηΔιαγραφήΠου την έχουμε δει αυτή την άσκηση;
Εσύ μου τη πρότεινες στην ανάρτησή μου "Το Ψηφίο", στις 24-06-2011. Γράψε μου εκεί το σχόλιό σου ή στείλε μου ένα ηλεκτρονικό μήνυμα.
ΑπάντησηΔιαγραφήΘα κάνω κάτι διαφορετικό, θα την αναρτήσω και εδώ, έτσι ώστε να την σχολιάσουμε - λύσουμε!
ΑπάντησηΔιαγραφή