Κυριακή, 9 Οκτωβρίου 2011

Πως ορίζουμε Μαθηματικές έννοιες;


Συχνά είναι δύσκολο στα Μαθηματικά να ορίσεις κάτι. Για παράδειγμα τι ονομάζουμε τρίγωνο;

Α) Είδη ορισμών
Η Λογική διαθέτει τρία εργαλεία για να ορίσεις μια έννοια, τα τρία είδη ορισμών είναι:

Καταφατικός ορισμός: Μας ορίζει  ακριβώς τι είναι με την βοήθεια προηγούμενων εννοιών που έχουν οριστεί.

π.χ. Τι οξυγώνιο τρίγωνο; Το τρίγωνο που όλες τις γωνίες του είναι οξείες.

Περιγραφικός ορισμός: Μέσω από την περιγραφή των ιδιοτήτων ή των λειτουργιών του μας ορίζει την έννοια.

π.χ. Τι ονομάζουμε διάμεσος ενός τριγώνου; Λέγεται το ευθύγραμμο τμήμα που ενώνει μια κορυφή τριγώνου με το μέσο της απέναντι πλευράς.

Αποφατικός ορισμός: μας λέει τι δεν είναι

π.χ. Τι ονομάζουμε αντίρροπα διανύσματα; Τα παράλληλα διανύσματα που δεν είναι ομόρροπα.

πχ. Τι ονομάζουμε παράλληλες ευθείες; Οι ευθείες που δεν τέμνονται στο επίπεδο.


2) Κανόνες
Το να ορίσουμε μια Μαθηματική έννοια τελικά δεν είναι μια εύκολη δουλειά, αλλά πρέπει να ικανοποιεί κάποιους κανόνες, όπως είναι:

1. Δεν πρέπει να εμφανίζεται στον ορισμό η οριζόμενη λέξη - έννοια,  αν γίνεται ο ορισμός  αυτός λέγεται κυκλικός ορισμός.

π.χ. Τι ονομάζουμε ενδεχόμενο ή γεγονός; Είναι ένα σύνολο απλών γεγονότων, δηλαδή ένα σύνολο αποτελεσμάτων ενός πειράματος τύχης

2. Οι ορισμοί διατυπώνονται με την βασική γλώσσα ή με την βοήθεια εννοιών  που έχουν ορισθεί εκ των προτέρων.

πχ. Τι ονομάζουμε αδύνατο ενδεχόμενο; Δεχόμαστε ως ενδεχόμενο και το σύνολο που δεν έχει κανένα στοιχείο (κενό σύνολο)! Αυτό έρχεται σε αντίθεση με τον αρχικό ορισμό του σχολικού βιβλίου για το ενδεχόμενο, που το ορίζει ως «το σύνολο που έχει στοιχεία ένα ή περισσότερα αποτελέσματα ενός πειράματος τύχης»

πχ. Τι ονομάζουμε παράλληλες ευθείες; Αν δύο ευθείες τεμνόμενες από τρίτη σχηματίζουν τις εντός εναλλάξ γωνίες ίσες, τότε είναι παράλληλες. Εδώ γίνεται λάθος με την χρήση της έννοιας «εντός εναλλάξ», πρώτα ορίσαμε την παραλληλία ευθειών και μετά την έννοια εντός εναλλάξ (αν και θα μπορούσε να είχε γίνει ανάποδα).

3 σχόλια:

  1. Να 'σαι καλά Γιάννη!

    Εγώ πάντως παρακολουθώ το blog σου http://physicsjfior.blogspot.com/

    προσπαθώ, αλλά δεν καταλαβαίνω και πολλά!!

    Βλέπεις δεν έχω ανάλογο επίπεδο με αυτό που έχεις εσύ στα Μαθηματικά!

    ΑπάντησηΔιαγραφή
  2. Δημήτρης Δούδης11 Απρ 2012, 1:04:00 μ.μ.

    Η προσπάθεια να ορίσουμε μια έννοια με χρήση της ίδιας της έννοιας λέγετε αλλιώς και ΑΥΤΟΑΝΑΦΟΡΑ;;;

    ΑπάντησηΔιαγραφή