Σάββατο, 20 Ιουνίου 2020

Γενίκευση του ερωτήματος Δ2 από τα θέματα νέου τύπου (Εξετάσεις 2020)

Η γενίκευση του ερωτήματος Δ2 που τέθηκε στις φετινές Πανελλαδικές Εξετάσεις (2020) νέου τύπου δίνεται από τις παρακάτω προτάσεις. 

Η λογική είναι πολύ απλή! Αν έχει δύο συναρτήσεις που η μία πάει στο άπειρο και η άλλη είναι φραγμένη, τότε το άθροισμά τους (άρα και η διαφορά τους) πάει και αυτό στο άπειρο. Προφανώς και η απόδειξη είναι απλή, όμως πρέπει να καταγραφεί (verva volant).  

Με αυτό το σκεπτικό μπορείς να το προσθέσεις σε οποιαδήποτε άσκηση! Αρκεί να έχεις μια συνάρτηση που τείνει στο άπειρο (ή στο μηδέν αν πάρεις την αντίστροφη συνάρτηση)! 

Αν δείτε το ερώτημα αυτό είναι αποκομμένο από την άσκηση. Δηλαδή ο θεματοδότης θα την "κούμπωνε" σε οποιαδήποτε συνάρτηση πρότεινε η επιτροπή των εξετάσεων. 

Για απευθείας αποθήκευση πατήστε εδώ.

6 σχόλια:

  1. Πολύ καλη γενίκευση και χρήσιμη! Ευχαριστούμε.

    ΑπάντησηΔιαγραφή
  2. Ωραία γενίκευση. Να συμπληρώσω πώς τα όρια τέτοιου τύπου στο άπειρο (με απλούστερη περίπτωση το lim(x+ημx) ) υπολογίζονται και βγάζοντας υποχρεωτικό κοινό παράγοντα τη συνάρτηση με όριο το άπειρο και καταλήγοντας σε μηδενική επί φραγμένη και κριτήριο παρεμβολής.

    Βέβαια, ο παραπάνω τρόπος του Μάκη οδηγεί σε πιο σύντομη λύση, με την προυπόθεση βεβαια η πρόταση του υπουργείου να παραμείνει ως θεωρία.

    ΑπάντησηΔιαγραφή
  3. Μάκη καλησπέρα από το Ηράκλειο της Κρήτης.
    Να προσθέσω στην ωραια απόδειξη ότι μας αρκεί η g να είναι κάτω φραγμενη.
    Το ερώτημα είναι αν κάποιος μαθητής αποδείξει ότι η πρώτη συνάρτηση 1/ f(x)-f(x_0) στο Δ2 απειριζεται θετικά κοντά στο x_0 και αυτή με το ημιτονο πει ότι βρίσκεται ανάμεσα στο -1 και το 1 άρα απλοϊκά πει ότι το όριο είναι +οο, ποσά μόρια θα δοθούν;;
    Μπακάλικο μεν για πολλούς σωστά μαθηματικά από την άλλη..

    ΑπάντησηΔιαγραφή
    Απαντήσεις
    1. Προφανώς Αντώνη ισχύει για την κάτω φραγμενη. Απλά αν το όριο της f είναι μείον άπειρο τότε η g πρέπει να είναι άνω φραγμενη. Άρα γενικά πρέπει να είναι φραγμενη...
      Θα τα πάρει όλα ο μαθητής! Σκέφτομαι να κάνω μια ανάλογη ανάρτηση με αυτή τη λύση γιατί έχει συζητηθεί πολύ...

      Διαγραφή
  4. Μάκη καλημέρα.
    Για την πρόταση 1 ήταν το σχόλιό μου αλλά δεν το ανέφερα παραπάνω..

    ΑπάντησηΔιαγραφή