Σε μια φυλακή υπάρχουν 100 κελιά αριθμημένα από το 1 μέχρι το 100. Ένα κελί μπορεί να βρίσκετε σε μια από τις 2 ακόλουθες καταστάσεις: ανοιχτό ή κλειστό.
·
Κάθε μέρα και για 100 μέρες συνεχόμενα, επισκέπτεται τη φυλακή αυτή ένας φύλακας.
Κάθε μέρα και για 100 μέρες συνεχόμενα, επισκέπτεται τη φυλακή αυτή ένας φύλακας.
- Την πρώτη μέρα ο φύλακας αυτός αλλάζει κατάσταση σε όλα τα κελιά.
- Την δεύτερη μέρα αλλάζει κατάσταση σε όλα τα κελιά που οι αριθμοί τους είναι άρτιοι αριθμοί.
- Την τρίτη μέρα αλλάζει κατάσταση στα κελιά που οι αριθμοί τους είναι πολλαπλάσια του 3, κ.ο.κ.
Αν αρχικά όλα τα κελιά ήταν κλειστά, να βρείτε ποια κελιά θα είναι ανοιχτά μετά την 100-οστη μέρα.
α)Στο τέλος της διαδικασίας από τα 100 κελιά θα έχουμε, 90 κελιά κλειστά και 10 κελιά ανοικτά.
ΑπάντησηΔιαγραφήΘα μείνουν, δηλαδή, ανοικτά τα κελιά που ο αριθμός τους είναι τέλειο τετράγωνο,δηλαδή τα κελιά:
1^2 = 1, 2^2 = 4, 3^2 = 9,
4^2 = 16, 5^2 = 25, 6^2 = 36,
7^2 = 49, 8^2 = 64, 9^2 = 81, και 10^2 = 100.
Αυτό εξηγείται ως εξής:
Όλοι οι υπόλοιποι αριθμοί έχουν διαιρέτες ανά ζεύγη,άρα θα περάσει ζυγός αριθμός φρουρών από το κελί, οπότε τελικά θα είναι κλειδωμένο. Π.χ. για το κελί 24 έχουμε τα εξής ζεύγη: 24=1*24=2*12=3*8=4*6.
Άρα θα περάσουν οι φύλακες : 1,2,3,4,6,8,12,24, δηλαδή συνολικά 8 φύλακες = ζυγός, άρα το κελί στο τέλος της διαδικασίας θα είναι κλειστό.
Αντίθετα, π.χ. για το κελί 16, εκτός από 16 = 1*16 = 2*8, που σημαίνει 4 φύλακες, έχουμε και το 4*4 = 16, που σημαίνει ένας επιπλέον, δηλαδή συνολικά 5 φύλακες = μονός, οπότε στο τέλος της διαδικασίας το κελί θα είναι ανοικτό.
Ή
β)Όπως φαίνεται από τ’ ανωτέρω το 100ο κελί μετά το τέλος της διαδικασίας θα είναι ανοικτό.
Κάθε κελί θα έχει μείνει ανοιχτό στο τέλος, αν έχει αλλάξει κατάσταση ν φορές,με ν περιττό, και κάθε κελί αλλάζει κατάσταση για κάθε παράγοντα του νούμερού
του, π.χ. το κελί 10 αλλάζει κατάσταση την 1η, 2η, 5η και 10η φορά. Άρα ένα κελίκαταλήγει ανοιχτό αν έχει περιττό αριθμό παραγόντων.
Για κάθε ακέραιο ν που υπάρχουν ζευγάρια ακεραίων τέτοια ώστε
ν = α*β, έχουμε άρτιο αριθμό παραγόντων (αφού είναι ζευγάρια). Για κάθε ακέραιο ν όμως που είναι
και στρογγυλό τετράγωνο έχουμε περιττό αριθμό παραγόντων, αφού
ν = α*α = α^2.Άρα στο τέλος θα μείνει ανοιχτό κάθε κελί με αριθμό ν, όταν υπάρχει ακέραιος α τέτοιος ώστε ν = α*α = α^2. Αφού τα κελιά είναι αριθμημένα από το 1 ως το 100, αρκεί να τετραγωνίσουμε όλους τους αριθμούς μέχρι και τη ρίζα του 100, δηλαδή, το 10:
Άριστη διαπραγμάτευση! Συγχαρητήρια έλυσες ένα δύσκολο γρίφο!
ΑπάντησηΔιαγραφή